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1 
Circuitos Elétricos I 
 
1 – Teoremas de análise de circuitos 
 
1.1 – Teorema da superposição 
 “A corrente que atravessa ou a tensão entre os terminais de um elemento de um circuito 
linear é igual à soma algébrica das correntes ou das tensões produzidas independentemente por cada 
uma das fontes.” 
 Praticamente, as fontes de tensão serão curto circuitadas e as fontes de corrente 
transformadas em circuitos abertos, uma de cada vez, resultando na soma de cada uma das 
influências destas fontes na variável que se deseja calcular. 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Utilizando o teorema da superposição, determine a corrente no resistor de 6 Ω do circuito abaixo 
e verifique que o teorema da superposição não pode ser usado para calcular a potência total 
dissipada no circuito. 
 Solução: Considerando apenas o efeito da fonte de 36 V: 
 
 
 
 I’2 = E / RT = E / (R1 + R2) = 36 / (12 + 6) = 2 A. 
 
 
Considerando o efeito da fonte de 9 A: 
 
 I’’2 = R1 I / (R1 + R2) = (12 . 9) / (12 + 6) = 6 A  I2 = I’2 + I’’2 = 2 + 6 
 
 I2 = 8 A; P6 = (I2)
2 R2  P6 = (8)
2. 6  P6 = 384 W; fazendo 
 
 P’6 = (I’2)
2.R2 = (2)
2. 6 = 24 W; P’’6 = (6)
2. 6 = 216 W  P’6 + P’’6 = 
 
 = 24 + 216 = 240 W ≠ 384 W. 
 
2) Utilizando o teorema da superposição, determine a corrente I2 que atravessa o resistor de 12 kΩ 
da figura abaixo. 
 Solução: Levando em consideração apenas o efeito da fonte de 
 
 corrente de 6 mA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I’2 = R1 I / (R1 + R2) = (6 k) (6 m) / (6 + 12) = 2 mA. 
 
Levando em conta somente a fonte de tensão de 9 V: 
 
 2 
 
 I’’2 = E / (R1 + R2) = 9 / (6 k + 12 k) = 0,5 mA. 
 
 I2 = I’2 + I’’2 = 2,5 mA. 
 
 
 
 
 
1.2 – Teorema de Thevenin 
 Qualquer circuito de corrente contínua linear de 2 terminais pode ser substituído por um 
circuito equivalente constituído por uma fonte de tensão e um resistor em série. Por exemplo: 
 
 
 RTH = R1 + R2 = 6 + 4 = 10 Ω; 
 
 ETH = 12 – 4 = 8 V. 
 
 
Exemplos: 
1) Determinar o circuito equivalente de Thevenin para a parte sombreada do circuito abaixo. 
 Solução: 
 
 
 RTH = 4 + 2 = 6 Ω ; 
 
 
 
 
 ETH = V1 = R1 . I = 4 .12 = 48 V  
 
 
 
 
2) Determine o circuito equivalente Thevenin para a parte sombreada do circuito abaixo. 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ETH = R1E1 / (R1 + R2) = (6.8) / (6 + 4) = 
 
 = 48 / 10  ETH = 4,8 V. 
 
RTH = R1//R2 = (6.4)/(6 + 4) = 24/10 
 
 RTH = 2,4 Ω ; 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
 
1.3 – Teorema de Norton 
 Qualquer circuito de corrente contínua linear de 2 terminais pode ser substituído por um 
circuito equivalente formado por uma fonte de corrente e um resistor em paralelo. 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Encontre o circuito equivalente de Norton para a parte sombreada do circuito abaixo. 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
RN = R1//R2 = 3//6  RN = 2 Ω ; 
 
 
 IN = E / R1 = 9 / 3  
 
  IN = 3 A. 
 
 
 
2) Encontre o circuito equivalente de Norton para a parte do circuito à esquerda dos pontos a e b. 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
RN = R1//R2 = 4//6  RN = 2,4 Ω . Utilizando o teorema da superposição: 
 
 IN = I’’N – I’N = 8 – 1,75  
 
  IN = 6,25 A. 
 
 
 
 
 
I’N = E1/R1 = 7/4 = 1,75 A ; I’’N = I = 8 A ; 
 
 
 4 
Exercícios: 
1) Encontre a corrente no resistor de 2 Ω do circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine o circuito equivalente da Thevenin para a parte sombreada do circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Encontre o circuito equivalente Norton para o circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Encontre a corrente que passa pelo resistor R utilizando os 3 teoremas de solução, isto é, 
Superposição, Thevenin e Norton. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
Obs.: Os circuitos podem ter 5 elementos básicos: fonte de tensão, fonte de corrente, resistor, 
capacitor e indutor. Vamos definir os tipos de fontes de um circuito: 
a) Fonte ideal de tensão  é um elemento que mantém uma tensão especificada entre os seus 
terminais qualquer que seja a corrente que a atravessa; 
b) Fonte ideal de corrente  consiste de um elemento que é atravessado por uma corrente 
especificada qualquer que seja a tensão entre seus terminais; 
c) Fonte independente  é aquela que estabelece uma tensão ou corrente em um circuito 
independentemente dos valores de tensão ou corrente em outros pontos do circuito; 
d) Fonte dependente ou controlada  é aquela que estabelece uma tensão ou corrente em um 
circuito cujo valor depende do valor da tensão ou da corrente em outro ponto do circuito. 
Sua representação é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 – Método das correntes de malha 
 Associe uma corrente a cada malha fechada independente do circuito; 
 Indique as polaridades de tensão de cada resistor dentro de cada malha, de acordo com o 
sentido da corrente escolhido para esta malha; 
 Aplique a Lei de Kirchhoff para tensões a todas as malhas; 
 Resolva as equações lineares simultâneas resultantes para obter as correntes de malha. 
Exemplos: 
1) Qual deve ser o valorde Ro no circuito abaixo se io = 4 A? 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule o valor de vo no circuito abaixo: 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Para o circuito abaixo, calcule Vo. 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
+ 
– 
vs = μ vx ou vs = ρ ix is = α vx ou is = β ix 
+ 
– 
4 io + 
– 
64 V 
Ro 
6 Ω 
io 
– 4 io – Ro io + 64 – 6 io = 0  
 
 – 16 – 4 Ro – 64 – 24 = 0  
 
 4 Ro = 24  Ro = 6 Ω. 
+ 
– 
500 V 
5 Ω 
iΔ 
vo 20 Ω 5 iΔ 
io 
1 
 Malha 1: 
 
500 = 5 iΔ + 20 io ; io
 = iΔ + 5 iΔ = 6 iΔ 
 
 500 = 5 iΔ + (20)(6 iΔ) = 125 iΔ  
 
iΔ = 4 A  io = 24 A  vo = 20 io = 
 
= (20)(24)  vo = 480 V. 
 2 Va 
1 kΩ 
2 kΩ 
Va 
+ 
– 
12 V 
Vo 
+ 
– 
io 
+ 
– 
+ – 
1 kΩ – 2 Va + 1 k io + 12 + 1 k io + 2 k io = 0 
 
– 2 Va + 4 k io = – 12; Va = 3 k io  
 
(– 2)(3 k io) + 4 k io = – 12  
 
– 2 k io = – 12  io = 6 mA  
 
Vo = 2 k io = (2 k)(6 m)  Vo = 12 V. 
 6 
4) Determine Vo no circuito abaixo. 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Equacionar o circuito abaixo pelo método das malhas. Em seguida, escrever o sistema sob a 
forma matricial e calcular as correntes das malhas utilizando a regra de Kramer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 – Método das tensões de nó 
 Determine o número de nós no circuito; 
 Escolha um nó de referência e rotule cada nó restante com um valor de tensão; 
 Aplique a Lei de Kirchhoff para correntes a todos os nós, exceto o de referência; 
 Resolva as equações resultantes para obter as tensões dos nós. 
 
Exemplos: 
1) Para o circuito abaixo, calcule Vo. 
 Solução: Pela Lei dos nós: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
– 
 24 V 
2 Ω 
3 Ω 
– + 
Va 
+ 
– 
1 Ω 
2 Va 
Vo 
+ 
– io 
– 24 + 2 io – 2 Va + 3 io + io = 0  
 
6 io – 2 Va = 24  3 io – Va = 12; 
 
– Va – 2 Va + 3 io = 0  3 Va = 3 io 
 
 Va = io  3 io – io = 12  
 
2 io = 12  io = 6 A  Vo = 3 io = 
 
= (3)(6)  Vo = 18 V. 
 
12 A 2 io 4 Ω 
io 
12 Ω 6 Ω 
Vo 
2 io + 12 = Vo/12 + 
 
Vo/6 + Vo/4; io = Vo/6; 
 
2 Vo/6 + 12 = Vo/12 + 
 
+ Vo/6 + Vo/4  
Vo (1/12 + 1/6 + 1/4 – 1/3) = 12  Vo (2/12) = 12  2 Vo = 144  Vo = 72 V. 
30 V 2 Ω 4 Ω 
5 Ω 3 Ω 
10 V 
1 Ω 
+ 
– 
 
+ 
– 
 
+ 
– 
 6 Ω 
20 V 
 7 
2) Determine o valor da tensão Vo para o circuito abaixo. 
 Solução: Chamando de v a tensão em cada ramo, 
pela Lei dos nós: 
 
 
3) Use o método das tensões de nó para determinar a potência dissipada pelo resistor de 5 Ω do 
circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Calcule a corrente i e as tensões vc e vd do circuito abaixo, utilizando o método das tensões de 
nó. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 io 3 kΩ 
3 kΩ 
 
3 kΩ 
 
+ 
- 
Vo 
10 mA 
 io 
 
v 
4 io = 10m + v/6k + v/3k; io = v/3k 
 
 4 v/3 k – v/6 k – v/3 k = 10 m 
 
 8 v – v – 2v = 60  5 v = 60 
 
 v = 12 V  Vo = v/2 = 12/2  
 
Vo = 6 V. 
2 0 V 20 Ω 8 io 10 Ω 
v1 v2 2 Ω 
io 
 
5 Ω 2 Ω 
+ 
– 
 
+ 
– 
 
Para o nó 1: (v1 – 20)/2 + v1/20 + (v1 – v2)/5 = 0  10 v1 – 200 + v1 + 4 v1 – 4 v2 = 0  
15 v1 – 4 v2 = 200. Para o nó 2: (v1 – v2)/5 = v2/10 + (v2 – 8 io)/2  
(v2 – v1)/5 + v2/10 + (v2 – 8 io)/2 = 0  2 v2 – 2 v1 + v2 + 5 v2 – 40 io = 0  
8 v2 – 2 v1 – 40 io = 0  4 v2 – v1 – 20 io = 0  4 v2 – v1 – 20(v1 – v2)/5 = 0  
4 v2 – v1 – v1 + 4 v2 = 0  – 5 v1 + 8 v2 = 0; resolvendo o sistema: v2 = 10 V e 
v1 = 16 V; io = (16 – 10)/5 = 1,2 A  P5 Ω = (6)(1,2)  P5 Ω = 7,2 W. 
(1/15) vc 4 Ω 6 Ω 
a b 
+ 
 
 
– 
1,5 V 
+ 
 
 
– 
 
vd 
2 Ω 
+ vc – 
 
10 Ω 
12 V 
1 Ω 
+ 
– 
 
i 
 8 
2) Determine, no circuito abaixo: i , v e id. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine vo para o circuito abaixo e verifique se a potência fornecida ao circuito é igual à 
potência consumida. 
 
 
 
 
 
 
4) Calcule, para o circuito abaixo: i2 , i1 e io. 
 
 
 
 
 
 
5) Sabendo-se que vo = 250 mV, determine: v1, vg e vo/vg. 
 
 
 
 
 
 
 
10 V 
1 Ω 
+ 
– 
 
+ – 
2 Ω 
i /2 
2 Ω 
 + 
4 V 
 – 
3 Ω 
+ 
v 
– 
i 
id 
10 V + 
– 
 
6 Ω 
is 
3 Ω 3 is 
+ 
– 
2 Ω 
+ 
vo 
– 
24 V + 
– 
 
10 Ω 
i2 
5 Ω 0,8 vg 
2 Ω 
+ 
vg 
– 
20 Ω 
i1 io 
vg 
+ 
– 
 
40 Ω 
10 Ω 
100 Ω 20 i1 
+ 
v1 
– 
25 Ω 12,5 Ω 50 i2 
+ 
vo 
– 
50 Ω 
i1 i2 
 9 
6) Para o circuito abaixo, determine vg e demonstre que Pf = Pr. 
 
 
 
 
 
 
 
7) No circuito abaixo, para io = 5 A, calcule: 1) Vs; 2) A potência recebida pela fonte de tensão 
independente; 3) A potência fornecida pela fonte de corrente independente; 4) A potência 
fornecida pela fonte de corrente dependente e 5) A potência total dissipada nos 2 resistores. 
 
 
 
 
 
 
 
8) O circuito abaixo é uma configuração freqüentemente encontrada no projeto e análise de 
circuitos transistorizados. Suponha que os valores de β, R1, R2, Re, Vcc e Vo sejam conhecidos. 
A) Deduza, primeiramente, uma fórmula para calcular ib a partir dos valores conhecidos; b) 
Deduza, a partir do valor de ib e dos valores conhecidos, as equações para a obtenção das 
demais correntes (ic, ie, i1 e i2) e das tensões Vc, Vb e Ve. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vs 
– 
+ 
 
5 Ω 
6 io 
10 Ω 
 
5 A 
 
io 
R2 
Vcc 
ie 
Re 
R1 
+ 
Vb 
– 
Rc 
β ib 
i1 
i2 
ic 
Vc 
+ 
Ve 
– 
+ – 
Vo 
ib 
12,6 V 
50 kΩ 
+ 
– 
 
1,5 k Ω 
+ vg – 
10 V 
 
250 Ω ib + 
– 
 
39 ib 0,6 V 
+ – 
 10 
2 – Capacitores 
 
2.1 – Introdução 
 Os capacitores são formados por 2 condutores elétricos (placas) separados por um material 
isolante (dielétrico). Isto significa que as cargas elétricas não podem atravessar o capacitor. Quando 
uma tensão é aplicada aos seus terminais, as cargas do dielétrico são deslocadas em relação à sua 
posição de equilíbrio. Quando a tensão varia com o tempo, esta posição também varia, dando 
origem à chamada corrente de deslocamento, que é proporcional à taxa de variação da tensão 
aplicada. 
 
 
 
     0
t
t Cc
C
c tvdi
C
1
tvou
dt
tdv
Cti
0
 
 
 
 
2.2 – Associação de capacitores 
n21eq
n21eq
C...CCC:Paralelo;
C
1
...
C
1
C
1
C
1
:Série 
 
 
2.3 – Formas de onda no capacitor 
Exemplos: 
1) Seja um capacitor de 1 µF no qual é aplicada uma tensão de 6 cos 2000t V. Calcule a 
corrente no capacitor. 
Solução: 
 
     .mAt2000sen12tit2000sen1200010
dt
tdv
Cti c
6
c 

 
2) A forma de onda abaixo corresponde a corrente em um capacitor de 1 F. Esboce a forma de 
onda da tensão neste capacitor, sabendo que ele está descarregado em t = 0. 
 Solução: 
 
     
   
    :
a
1
t/p;at0da0vda
1
1
tv
:
a
1
t0/p;0v0d0
1
1
tv
0i:0t/p;vdi
C
1
tv
t
0
t
0
t
t








 
 
 
 
    11d0
a
1vd0
1
1
tv
t
a
1
t
a
1
 
. 
 
 
 
 
3) Uma corrente constante de 10 mA está carregando um capacitor de 4 µF. Sabendo-se que o 
capacitor está inicialmente descarregado, calcule a tensão neste capacitor após 20 ms. 
 
4) Um capacitor de 1µF tem uma tensão de 10 sen 2000t V. Ache a corrente que passa neste 
capacitor. 
 
5) Por um capacitor de 0,3 µF passa uma corrente de 12 e – 4000t mA. Ache a tensão v(t) no 
capacitor, para t > 0, se v(0) = – 10 V. 
 
i (t) 
a 
1/a t 
v(t) 
1 
1/a t 
 11 
6) Um capacitor de 0,4 µF possui uma forma de onda de tensão mostrada abaixo. Ache a 
corrente para t = – 4, – 1, 2, 5 e 9 ms. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Um capacitor inicialmente descarregado de 0,2 µF é submetido a um pulso de corrente de 
forma triangular, descrito pelas seguintes equações: i(t) = 0 p/ t ≤ 0; i(t) = 5000t A p/ 0 < t ≤ 
20 µs; i(t) = 0,2 – 5000t A p/ 20 µs < t ≤ 40 µs; i(t) = 0 p/ t > 40 µs. 
a) Determine as expressões da tensão, potência e energia do capacitor para os 4 intervalos 
definidos acima; 
b) Por que continua a existir uma tensão finita entre os terminais do capacitor mesmo quando a 
corrente volta a zero? 
 
3 – Indutores 
 
3.1 – Introdução 
 O comportamento dos indutores se baseia em fenômenos associados a campos magnéticos, 
campos estes produzidos por corrente elétrica. Quando uma corrente elétrica varia com o tempo, o 
campo magnético produzido por esta corrente também varia e então, um campo magnético variante 
com o tempo induz uma tensão num condutor imerso neste campo. A tensão induzida está 
relacionada à corrente por um parâmetro denominado de indutância (L). 
 
 
 
     0L
t
t LL
L
L tidv
L
1
tiou
dt
tdi
Ltv
0
 
 
 
3.2 – Associação de indutores 
n21eq
n21eq
L
1
...
L
1
L
1
L
1
:Paralelo;L...LLL:Série 
 
3.3 – Formas de onda no indutor 
Exemplos: 
1) Determine, para o circuito abaixo, as correntes i(t) e i6(t). 
 Solução: 
 
     








t
0
t
eq
eq
0d100cos6
4
1
idv
L
1
ti
;H422
36
3.6
23//62L
 
vc(t) (V) 
10 
-2 
-5 
-10 4 8 10 t (ms) 
2 H 
+ 
 
- 
6 cos 100 t V 
i6(t) 
6 H 
i(t) 
3 H 
 12 
             
   
   
     
    .mAt100sen5ti100sen
100
1
5,0d100cos
6
3
0id100cos3
6
1
tiVt100cos3tvt100cos3t100cos6
100.t100cos10.30t100cos6
dt
t100sen10.15d
2t100cos6tvtv
tv0tvtvtv;mAt100sen15ti100sen
100
1
4
6
ti
6
t
0
t
0
6
t
066
3
3
2
662
t
0




















 
 
2) A forma de onda da corrente em um indutor de 10 mH é a da figura que se segue. Determine 
a correspondente forma de onda de tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
     
 
 
 
   
 
     
 
  .V0tv
dt
0d
10.10tvmA0ti:ms4t/p;mV100tv
dt
10.40t10d
10.10tvA10.40t10ti
:ms4tms2/p;mV100tv10.100
dt
t10d
10.10tv
At10t
10.2
10.20
ti:ms2t0/p;V0tvmA0ti:0t/p
3
3
33
33
3
3












 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcular a tensão em um indutor, de indutância L, percorrido por uma corrente dada pela 
expressão: i(t) = Im sen ωt. 
Solução: 
 
 
  .tcosImLtv
dt
tsenImd
Ltv 


 
Obs.: a) A freqüência angular (ω) é a mesma logo, a freqüência também será a mesma; b) A 
amplitude da tensão é proporcional à freqüência angular; c) Tensão e corrente estão defasadas. 
 
4) A corrente em um indutor de 2 mH é i(t) = 2 cos 377 t. Determine a tensão que se 
desenvolve no indutor. 
i(t)(mA) 
20 
10 
2 4 t(ms) 
v(t)(mV) 
100 
-100 
2 4 t(ms) 
 13 
5) Considere o gráfico da corrente aplicada a um indutor de 5 H, mostrado abaixo. Esboce a 
correspondente forma de onda da tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Para o circuito abaixo, determine v1, v2 e v3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Para o circuito e a forma de onda v(t) abaixo, determine i(t). 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) O pulso de tensão aplicado ao indutor de 100 mH do circuito abaixo é nulo para t < 0, sendo 
dado pela expressão v(t) = 20 t e-10t para t > 0. Determine o gráfico da corrente no indutor. 
 
9) No circuito abaixo, a corrente através do indutor é igual a zero para -∞ < t < 0 e para t > 0, 
i(t) = 1 – e-2t A. Determine, para t > 0: a) vL(t); b) vR(t); c) vS(t); d) a potência absorvida pelo 
indutor; e) a potência absorvida pelo resistor; f) a potência fornecida pela fonte e g) a energia 
wL(t). 
 
 
 
 
 
 
 
10 
i(t)(A) 
-10 
1 2 3 4 5 t(s) 
0,2 H 
+ 
 
- 
3 V 
+ v2 - 
5 H 
0,8 H 
5 Ω 
+ v1 - 
1 Ω 
3 Ω 
- 0,8 A 
2,5 H 
4 Ω 9 Ω 
+ 
v3 
- 
i(t) 
 + 
v(t) 
 - 
3 H 
v(t)(V) 
2 
-1 
1 2 t(s) 
i(t) 
 + 
vs(t) 
 - 
1 H 
+ vR(t) - 
2 Ω + 
vL(t) 
 - 
 14 
10) Para o circuito abaixo, excitado pela forma de onda de corrente apresentada, determine as 
formas de onda da tensão no indutor, da potência absorvida pelo indutor e da energia 
armazenada no indutor. 
 
 
 
 
 
 
 
Circuitos RC e RL: 
 
Introdução: 
 Como sabemos, os indutores e os capacitores são elementos capazes de armazenar energia. 
Sendo assim, um circuito RL ou um circuito RC, tem a presença de uma fonte, mas, carregados 
previamente, produzem correntes e tensões que correspondem à Resposta Natural do circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A colocação de uma fonte externa no circuito (de tensão ou de corrente contínua) produzirá a 
chamada Resposta a um Degrau ou Resposta Forçada das correntes e tensões do circuito. Neste 
caso, o circuito deverá ser reduzido a uma das quatro configurações abaixo, a fim de se obter um 
circuito de primeira ordem. 
 
Circuito RL: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuito RC: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta Natural de um circuito RC: 
 Supondo que a chave permaneceu na posição a por um longo tempo, o circuito (1) atingiu 
seu regime estacionário, isto é, a corrente no capacitor é zero e a tensão em seus terminais é V0 . Em 
t = 0, a chave irá para a posição b, produzindo o circuito (2). 
i(t) 
 + 
vL(t) 
 - 
2 H 
1 2 
i(t)(A) 
t(s) 
1 
Io Leq Req 
 + 
 Vo 
 - 
Ceq Req 
iL(t) + 
vL(t) 
 - 
Leq 
RTh VTh 
RTh 
iL(t) + 
vL(t) 
 - 
Leq 
RTh 
VTh 
 
+ 
- 
iC(t) +vC(t) 
 - 
Ceq 
RTh 
VTh 
 
+ 
- 
iC(t) + 
vC(t) 
 - 
Ceq 
RTh VTh 
RTh 
 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) (2) 
 
   
         
 
 
 
 
 
   
     
   
 
 
             
    .
2
1
10
222
;.
;;tan
;0:0/;
ln
11
1
000
2
0
2
00
2
0
0
22
0
0
22
0
0
22
0
0
0
0
01
0
101
ln
JCVW
CV
ee
CV
e
RC
R
V
dte
R
V
dttpWWe
R
V
tpe
R
V
eVtptitvtp
Ae
R
V
ti
R
tv
tiVeVtvtempodetecons
RCcomoeVtvkekVvtpektv
eek
RC
t
tvdt
RCtv
tdv
dt
RCtv
tdv
tv
RCdt
tdv
RC
tv
dt
tdv
R
tv
dt
tdv
Ctiti
R
tt
RR
t
R
t
g
t
RR
tt
RC
t
RCRC
t
k
RC
t
tv
RC














 











 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Quando o instante a ser analisado iniciar-se em um tempo t0 , então a fórmula para tensão 
será: 
 
 
0
RC
tt
0 tt/peVtv
0


 
Exemplos: 
1) Calcule a tensão v para t > 0 no circuito em regime estacionário abaixo. 
 
 
    .Ve6tve6tv
;s1010.10.100RC
;eVtv:Solução
t1000
383
RC
t
0
310
t








 
2) A chave do circuito abaixo ficou na posição x por um longo tempo antes de ser deslocada em 
t = 0 para a posição y. Determine, para t > 0, vc(t), v0(t) e i0(t) e a energia total dissipada no 
resistor de 60 kΩ. 
 
 
C 
R 
a b 
V0 
R1 
+ 
– 
 
t = 0 
C R V0 
v(t) + 
– 
 i(t) 
+ 
- 
v(t) 
V0 
t 
0,01 μF 
100 kΩ 
t = 0 
+ 
v 
- 
6 V 
 
 
 
 
 
 
 V 
1kΩ 
+ 
– 
 
 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
       
 
         
    .mJ2,1Wee
50
1
10.60dt10.e60dttpW
;mWe60tp10.e.e60ti.tvtp;mAeti
k60
e60
k60
tv
ti;Ve60tve100.6,0tv
k48k32
k48
tv
;Ve100tve100eVtv;ms405,0.k80RC;V100V
;k80k32k48Rk32
k60k240
k60.k240
k32k60//k240R:Solução
k60
03
0
3t50
0
k60k60
t50
k60
3t25t25
00k60
t25
0
t25
0
0
t25
0
t25
C0
t25
C
10.40
t
RC
t
0C0
eqeq
3


























 
 
Resposta forçada em um circuito RC: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
     
 
 
 
 
     
 
 
  .AeItie
RC
1
RIC
dt
eRIRId
C
dt
tdv
Cti
;Ve1RItv1eeRItv1eRC
C
I
tv.e
dte
C
I
tv.ede
C
I
dt
tv.ed
eet
C
I
tv
RC
1
dt
tdv
dt
tdv
C
R
tv
ItitiI:0t/p
RC
t
0C
RC
t
0
RC
t
00
C
C
RC
t
0C
RC
t
RC
t
0C
RC
t
0
C
RC
t
t
0
RC
t
0
C
RC
t
RC
t
0
C
RC
t
RC
t
RC
dt
0
C
CCC
0CR0









































































 
 
 
Solução geral de um circuito RC: 
     
    .VeRIVRItv
eRIRIeVtve1RIeVtvvvtv
RC
t
000C
RC
t
00
RC
t
0C
RC
t
0
RC
t
0CfnC












 
 
0,5 μF 
240 kΩ 
y 
100 V 
10 kΩ 
+ 
– 
 
x 
32 kΩ 
+ 
vC(t) 
- 
i0(t) 
+ 
v0(t) 
- 
60 kΩ 
t = 0 
iC(t) 
C vC(t) 
 
R 
iR 
I0 
 17 
P/ V0 > RI0: P/ V0 < RI0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Ache v(t) para t > 0 se v(0-) = 6 V. 
 
   
      .Ve410tve10610tv
;ms2010.2.10.10RC;V10RI
;eRIVRItv:Solução
t50t50
63
0
RC
t
000






 
 
2) A chave do circuito abaixo foi mantida por um longo tempo na posição 1. Em t = 0, a 
chave é colocada na posição 2. Determine v0(t) e i0(t) p/ t > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
;mA5,1I
k40
60
R
V
I
;k40R
k200
k160.k40
k8k160//k40k8R;V60V75
k200
k160
75
k40k160
k160
V;V30V40
k80
k60
40
k20k60
k60
V:0t/p:Solução
N
N
ab
N
NNab
ab00









 
 
 
 
 
 
 
          
   
 
   
  .mAe25,2ti
e10090.10.25,0ti
dt
tdv
Cti;Ve9060tv
e603060tvem5,1k4030m5,1k40tv
t100
0
t1006
0
0
0
t100
0
t100
0
25,0.k40
t
0







 
 
 
 
vc(t) 
V0 
RI0 
t 
vc(t) 
RI0 
V0 
t 
+ 
v(t) 
- 
2 μF 
10 kΩ t = 0 
10 V 
0,25 μF 
60 kΩ 
1 2 
40 V 
20 kΩ 
+ 
– 
 
t = 0 
160 kΩ 75 V 
+ 
v0(t) 
- 
8 kΩ 
– 
+ 
 
40 kΩ 
i0(t) 
a 
b 
30 V 
+ 
– 
 
0,25 μF 40 kΩ 1,5 mA 
 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta natural de um circuito RL: 
 Supondo que a chave permaneceu fechada por um longo tempo, o circuito abaixo atingiu seu 
regime estacionário, isto é, o indutor se comporta como um curto circuito. A tensão entre seus 
terminais é zero e as correntes um R0 e R são nulas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
 
 
 
   
 
     
           
 
R
L
:tempodetetancons
;Je1LI
2
1
tWee
L
R2
1
RIdeRI
dptW;WeRItp;VeRItvtRitv
;AeItie0itie
0i
ti
eet
L
R
0i
ti
ln
0t
L
R
0ilntilnx
L
R
lndx
L
Rd
dt
L
R
ti
tdi
ti
L
R
dt
tdi
0ti
L
R
dt
tdi
0tRi
dt
tdi
L:0t/p
t
L
R2
2
0
0
t
L
R2
2
0
t
0
L
R2
2
0
t
0
R
t
L
R2
2
0R
t
L
R
0
t
L
R
0
t
L
R
t
L
R
t
L
R
0i
ti
ln
t
0
ti
0i
t
0
ti
0i









































 
Exemplos: 
1) Para o circuito abaixo, determine i(t) e v(t) em regime estacionário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vc(t)(V) 
30 
- 27 
- 60 
10 50 
t(ms) 
t = 0 
I0 
R0 
L R 
i(t) 
+ 
v(t) 
- 
t = 0 
100 V 
150 Ω 
10 H 
50 Ω 
i(t) 
75 Ω 
+ 
v(t) 
- 
 19      
   
 
 
 
      .Ve100tve100e200e250
dt
e2d
10ti50
dt
tdi
10tv
;Ae2tiA20iI;s1,0
100
10
R
L
;100R
15075
150.75
50
150//7550R:0t/p;A2
50
100
0i0i:0t/p:Solução
t10t10t10t10
t10
t10
0
eq
eq
eq









 
 
2) A chave do circuito abaixo ficou fechada por um longo tempo antes de ser aberta em t = 0. 
Determine, para t > 0: a) iL(t); b) i0(t) e c) v0(t). Qual é a energia dissipada no resistor de 10 
Ω ?      
        
          
 
    
 
    .J256tWee256e
10
1
2560
dte2560tWWe2560
10
e160
10
tv
tp
;Ve160tve440ti40tvc;Ae4tie20
5
1
ti
4010
10
tib;Ae20tiA200iI;s2,0
10
2
R
L
;1040//102R:0t/p;A200i0i:0t/pa:Solução
10
0
0
t10
0
t10
10
t10
2t52
0
10
t5
0
t5
00
t5
0
t5
L0
t5
L0
eq
eqLL





























 
 
Resposta forçada de um circuito RL: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 A 
0,1 Ω 
t = 0 
iL(t) 2 H 
2 Ω 
10 Ω 
i0(t) 
40 Ω 
+ 
v0(t) 
- 
R 
Vs 
t = 0 
i(t) 
L 
+ 
v(t) 
- 
 20 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
.geralSolução
Ae
R
V
I
R
V
tie
R
V
I
R
V
ti
t
L
R
R
V
I
R
V
ti
ln
L
R
R
V
ylnd
L
R
R
V
y
dy
dt
L
R
R
V
ti
tdi
R
V
ti
L
R
dt
tdi
L
V
ti
L
R
dt
tdi
dt
tdi
LtRiV
t
L
R
0
0
s
0
s
t
L
R
s
0
s
s
0
s
t
0
ti
I
s
t
0
ti
I
ss
ss
s


































 
  
     .A
R
V
6321,0ie
R
V
R
V
i:t/pb
;e
R
V
R
V
tizeroéI,zeroéindutordoinicialenergiaaQuandoa:.Obs
s1ss
t
L
R
ss
0




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 A chave do circuito abaixo foi mantida na posição a por um longo tempo. Em t = 0, a chave 
é deslocada da posição a para a b. Esta chave é do tipo que faz a ligação com b antes de abrir em a 
para que a corrente no indutor não seja interrompida. 
a) Determine a expressão de i(t) para t > 0; 
b) Qual é a tensão entre os terminais do indutor logo depois que a chave é colocada na posição 
b ? 
c) Esta tensão inicial faz sentido em termos de comportamento do circuito ? 
d) Quantos ms depois que a chave é colocada na posição b a tensão entre os terminais do 
indutor atinge 24 V ? 
e) Plote i(t) e v(t) em função de t. 
 
 
 
 
 
 
 
i(t) 
Vs/R 
0,6321 Vs/R 
τ 5 τ 
 
t 
v(t) 
Vs 
τ 
 
0,367 Vs 
5 τ 
 
t 
24 V 
2 Ω 
b a 
t = 0 
200 mH 
+ 
v(t) 
- 
i(t) 10 Ω 
8 A 
 21 

     
  
       
      
  
.ms08,51t
10
5
3
ln
t
5
3
lnt10
5
3
lneln
40
24
ee4024V24tv/pd
;V4016240vV1682v:Simc;V400v0t/p
;Ve40tve2002,0
dt
e2012d
2,0
dt
tdi
Ltvb
;0t/pAe2012tie12812tims100
2
200
R
L
;A12
2
24
i:éidefinalvaloro,bposiçãona;A8I:aposiçãoNaa
t10t10t10
2
t10t10
t10
t101,0
t
0


















 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuito RLC Paralelo – Resposta Natural 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v(t)(V) 
40 
500 t(ms) 
i(t)(A) 
12 
- 8 
51,08 500 t(ms) 
 
 
 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 Hipóteses: 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
 
Exemplo: Para o circuito RLC paralelo com R = 200Ω, L = 50mH e C = 0,2µF. Determine: 
a) os valores de ; 
b) tipo de resposta; 
c) repetir a e b para R = 312,5Ω; 
d) o valor de R para se obter uma resposta criticamente amortecida. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
 
Como Resposta Superamortecida. 
 
 
 
Como Resposta Subamortecida. 
 
Para resposta criticamente amortecida: 
 
 
Considerações sobre as formas de resposta natural do circuito RLC paralelo: 
 
1) Resposta Superamortecida: quando , as raízes são reais e distintas e a 
resposta é denominada de superamortecida. Então, onde são 
determinados partir de . Para t = 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Para o circuito RLC paralelo anterior com R = 200Ω, L = 50mH e C = 0,2µF, temos as 
condições iniciais de = 12V e = 30mA. Determine: 
a) as correntes ; 
b) o valor incial de ; 
c) a expressão de ; e 
d) esboce um gráfico de para 
Solução: 
 
 
 
 
 24 
 
 
 
 
Pelos resultados do exemplo anterior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Resposta Criticamente Amortecida: quando , as raízes são reais e iguais e a 
resposta é denominada de criticamente amortecida (valor final atingido o mais rapidamente, 
sem oscilação do sistema) Nesse caso, a resposta é da forma: 
 Para determinar emprega-se : 
 
 25 
 
 
 
 
Exemplo: Seja o circuito RLC paralelo abaixo onde . Determine: 
a) O valor de R que resulta em uma resposta criticamente amortecida; 
b) Calcule 
c) Faça um gráfico de em função de t para . 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Para resposta criticamente amortecida: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p/ t = 0 => ; p/ t => ; 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
 
3) Resposta Subamortecida: quando α2 < ω0
2, as raízes são complexas conjugadas, 
sendo a resposta denominada de subamortecida: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 1 1 0 
 27 
OBS.: 1) As funções trigonométricas mostram que a resposta é 
oscilatória, cuja frequência depende de ; 
 
2) A amplitude dos senos e cossenos diminuem exponencialmente e o parâmetro 
determina a velocidade desse amortecimento e, por isso, é denominado “coeficiente de 
amortecimento” ou “fator de amortecimento”; 
 
3) Na ausência de , . Quando R ≠ 0 => ≠ 0 e ; 
 
4) O comportamento oscilatório é devido a existência de dois elementos armazenadores de energia 
no circuito (capacitor e indutor). 
 
Exemplo: Para o circuito do exercício anterior com R = 20 KΩ: 
a) Calcule as raízes da equação característica; 
b) Calcule em t = ; 
c) Calcule a tensão para t ≥ 0; e 
d) Faça um gráfico de em função de t para o intervalo de tempo de 0 ≤ t ≤ 11ms. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
 
 
Resposta do Circuito RLC Paralelo ao Degrau 
 
 
 
 
 
A diferença é que passamos a ter uma EDL de 2ª ordem a coeficientes constantes, não-homogênea e 
a incógnita é a corrente e não a tensão.