mat. financ.

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3 
 
Sumário 
DIVISORES, FATORES E MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL. ........................................... 4 
NOÇÕES DE FRAÇÕES ........................................................................................................................... 9 
A Forma Mista ........................................................................................................................................... 11 
AS FRAÇÕES E A PROCENTAGEM ................................................................................................... 15 
NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL .............................................................................................. 19 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS ........................................................................................ 21 
OS NÚMEROS DECIMAIS E O CÁLCULO DE PORCETAGENS ......................................................................... 22 
UNIDADES DE MEDIDAS DE COMPRIMENTO .............................................................................................. 23 
ÁREAS DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS ............................................................................ 25 
CRITÉRIO DE DIVISIILIDADE ............................................................................................................... 27 
EQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU COM UMA VARIÁVEL ................................................................ 30 
REGRA DE TRÊS SIMPLES .................................................................................................................. 35 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA............................................................................................................. 38 
PORCENTAGEM ...................................................................................................................................... 41 
Razão centesimal ................................................................................................................................. 41 
VARIAÇÃO PERCENTUAL .............................................................................................................................. 45 
JUROS SIMPLES ..................................................................................................................................... 46 
JUROS COMPOSTOS ............................................................................................................................ 50 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ............................................................................................................... 52 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA ........................................................................................................................ 53 
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ............................................................................................................. 56 
PROGRESSÕES ...................................................................................................................................... 56 
Sequências numéricas ......................................................................................................................... 56 
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS P.A ............................................................................................... 58 
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A. .................................................................................... 61 
ESTATÍSTICA ........................................................................................................................................... 62 
SÉRIES CONJUGADAS.......................................................................................................................... 65 
MEDIDAS DE CENTRALIDADE E VARIABILIDADE ......................................................................... 70 
Medidas de dispersão .............................................................................................................................. 76 
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................. 80 
 
4 
 
DIVISORES, FATORES E MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL. 
 
Explorando: 
1 . 10 = 10 
Fatores 1 . 10 = 
Produto resultado 10 
Quais são os fatores de 10? ( Ou, seja que multiplicamos para obter o produto 10. ) 
( 1 e 2; 2 e 5; isto é, 1, 2, 5, e 10 ) 
Quais são os divisores de 10? 
1, 2, 5 e 10 
Vamos agora escrever todas as multiplicações cujo produto é 20. 
( 1 . 20 = 20; 2 . 10 = 20; 4 . 5 = 20 ) 
Vamos verificar quais são todos os divisores de 20. 
( 1, 2, 4, 5, 10 e 20 ) 
“Observe todos os fatores de 20 e também todos os seus divisores. Assim podemos 
afirmar que todos os fatores de 20 são também divisores de 20.” 
Vamos agora praticar um pouco de do que acabamos de ver: 
1. Determine todos os possíveis produtos de dois números naturais cujo resultado seja: 
a) 22 b) 60 c) 17 
 
 
 
 
 
2. Escreva, agora, os divisores de: 
a) 22 b) 60 c) 17 
 
 
 
3. Observe os exercícios 01 e 02 e escreva uma conclusão a respeito. 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
________________________________________ 
 
Questão 01 
a) 1 . 22; 2 . 11 
b)1. 60; 2 . 30; 4 . 15; 1 . 17 
c)1. 17 
Questão 02 
a)1, 2, 11, 22 
b)1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 
c)1 e 17 
Questão 03 
Os fatores de um número são também seus divisores. 
5 
 
QUANDO UM NÚMERO É MÚLTIPLO DE OUTRO 
A palavra “múltiplo” está ligada à operação multiplicação. Assim, quando queremos determinar os 
múltiplos de um número natural, por exemplo o 4, multiplicamos o 4 pela sucessão e números 
naturais. Exemplo: 
4 . 0 = 0 4 . 5 = 20 4 . 8 = 32 
4 . 1 = 4 4 . 6 = 24 4 . 9 = 36 
4 . 5 = 5 4 . 7 = 28 4 . 10 = 40 
Conjunto dos múltiplos naturais de 4 é ( 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ... 
Observe: 
42 / 7 = 6 51 / 3 = 17 100/ 5 = 20 
7 . 6 = 42 3 . 17 = 51 5 . 20 = 100 
E temos como resto ( 0 ) zero. 
Podemos dizer que: 
42 é divisível por 7. 51 é divisível por 3. 100 é divisível por 5. 
 
4. Verifique se 6 é um divisor de: 
 
a) 26 b) 48 c) 72 d) 86 
 
5. Verifique se 92 é múltiplo de: 
 
a) 4 b) 6 c) 8 d) 23 
 
6. Dentre os elementos do conjunto 
A = ( 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10 ) 
Indique os que são divisores de: 
 
a) 14 b) 18 c) 25 d) 45 
 
 
7. Determine os divisores de: 
 
a) 14 que não são divisores de 35. 
b) 35 que não são divisores de 14. 
c) 14 que são, também, divisores de 35. 
 
6 
 
8. Um aluno fez a seguinte pergunta para o professor Jorge. Professor qual a sua idade? O 
professor colocou o seguinte. “ A minha idade corresponde ao maior divisor par de 60, sem 
ser o 60.” Então podemos concluir que a idade do professor é... 
 
a) 30 anos b) 60 anos c) 15 anos d) 20 
 
9. Escreva os seis primeiros múltiplos de 15. 
 
 
10. Qual é o maior múltiplo de 13, menor que 300? 
 
 
11. Qual é o menor múltiplo de 13, maiorque 100? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS PRIMOS 
O 1 tem apenas um divisor; próprio 1. 
Todo número natural diferente de zero é divisível por 1 e por ele mesmo. 
 Há números que são divisíveis apenas por 1 e por ele mesmos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, e 19. 
 Há números que, além do 1 e deles mesmos, possuem outros divisores: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 
16 e 18. 
 O zero tem infinitos divisores. 
 
 
 
 
 
Questão 04 a) não b ) sim c) sim d) não 
Questão 05 a) sim b) não c) não d) sim 
Questão 06 a) 2 b) 2,3,6,9 c) 5 d) 3,5,9 
Questão 07 a) 2 e 14 b) 5 e 35 c 1 e 7 
Questão 08 a) 30 anos 
Questão 09 ( 0, 15, 30, 45, 60, 75 ) 
Questão 10 ( 299 ) 
Questão 11 ( 104 ) 
Um número que possui dois divisores naturais distintos 
( o números 1 e ele mesmo ) é denominado número 
primo) 
7 
 
X 
X 
Observações: 
O número 1 não é primo nem composto 
O único número natural par que é primo é o 2 
12. Em um torneio de futebol, uma equipe somou 91 pontos no final. O número que aparece 
na informação é número primo? Justifique sua resposta. 
13. O valor numérico de cada expressão a seguir é primo? 
a) 26 + 3 b) 4² + 5 ² c) 47 ² - 37 ² - 23 ² 
 
14. Verifique quais dos números são primos. 
 47 51 69 83 97 39 24 99 
 
15. Quais dos seguintes números são primos? 
 
a) 131 b) 253 c) 211 d) 391 
 
 
 
 
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
 
 
 
Uma outra forma de encontrar o m.m.c é fazendo a decomposição simultânea dos três números 
dados: 
12, 15, 20 2 
6, 15, 10 2 
3, 15, 5 3 
1, 5, 5 5 
1, 1, 1 2² . 3 . 5 = 60 
Questão 12 Não, pois é divisível por 7 
Questão 13 a) 67 é primo b) 41 é primo c) 311 é primo 
Questão 14 Somente os números 47, 83 e 97 
Questão 15 somente os números 131 e 211 
Dados dois ou mais números naturais, não nulos, 
denomina – se mínimo múltiplo comum ( m.m.c ) 
desses números o menor dos múltiplos comuns dos 
números dados, que seja diferente de zero. 
8 
 
Assim podemos concluir que o m.m.c de 12, 15 e 20 é 60 
16. Usando a decomposição simultânea em fatores primos, determine: 
a) m.m.c ( 30, 75 ) 
b) m.m.c ( 18, 60 ) 
c) m.m.c ( 66, 102) 
d) m.m.c ( 36, 54, 90 ) 
 
17. Vovó foi viajar com a turma da Melhor Idade do bairro. Quantos havia na viajem, se podemos 
conta de 8 em 8 ou de 10 em 10? 
a) 30 pessoas b) 40 pessoas c) 20 pessoas d) 44 pessoas 
 
18. Duas pessoas, fazendo exercícios diários, partem simultaneamente de um mesmo ponto e, 
andando, contornam uma pista oval que circunda um jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta 
completa na pista em 12 minutos. A outra, andando mais devagar, leva 20 minutos para completar 
a volta. Depois de quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se encontrar no ponto de 
partida? 
a) 40 minutos b) 60 minutos c) 70 minutos c) 3 minutos 
 
19.Um relógio A bate a cada 15 minutos, outro relógio B bate a cada 25 minutos e um terceiro 
relógio C bate a cada 40 minutos. Qual é, em horas, o menor intervalo de tempo decorrido entre 
duas batidas simultâneas dos três relógios? 
a) 10 horas b) 12 horas c) 40 horas d) 20 horas 
 
20. Três luminosos acendem em intervalos regulares. O primeiro a cada 20 segundos, o segundo 
a cada 24 segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um dado instante, os três 
acenderem ao mesmo tempo, depois de quantos segundos os luminosos voltarão a aceder 
simultaneamente? 
a) 120 segundos 
b) 140 segundos 
c) 100 segundos 
d) 12 segundos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 16 a) 150 b) 180 c) 1122 d) 540 
Questão 17 Letra B 
Questão 18 Letra B 
Questão 19 Letra A ( tira o m.m.c será 600 divide por 60 
que corresponde a minutos será 10 horas ) 
Questão 20 Letra A 
9 
 
Somamos os numeradores 
Conservamos os denominadores 
 
Invertemos a segunda fração e multiplicamos. 
Quando forem diferentes tiramos o m.m.c 
m.m.c 
 
NOÇÕES DE FRAÇÕES 
 
2 Chamamos de numerador 
5 Chamamos de denominador 
 
Os números fracionários surgiram da necessidade de representar uma medida que não tem uma 
quantidade inteira de unidades, isto é, da necessidade de se repartir a unidade de medida. 
Regras: 
Nas operações que envolva ( soma ou subtração ) de frações temos que observar os 
DENOMINADORES, se eles forem iguais conservamos e efetuamos os cálculos com os 
numeradores. 
Exemplo: DENOMINADORES IGUAIS 
 3 + 5 = 8 
 6 6 6 
 
 DENOMINADORES DIFERENTES 
 
 3 + 5 = 6 + 25 = 31 
 5 2 10 10 
 
 
 
Nas operações de (divisão e multiplicação) segue as seguintes regras: 
 Multiplicação multiplica os numeradores pelos numeradores e denominadores pelos 
denominadores. 
 x 
 3 . 5 = 15 
 6 6 36 
 x 
 Divisão, conserva a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda. 
 
 6 ÷ 3 = 6 . 5 = 30 
 4 5 4 3 12 
 ÷ = . = 
 
 
4 
2 
3 
5 
4 
2 
5 
3 
20 
 6 
10 
 
Curiosidade: 
Formas de representações das frações: 
4
7
 𝑜𝑢 4 
7⁄ 𝑜𝑢 4 7⁄ 
21. Oscar Schimidt, uma das maiores estrelas do basquete mundial, acertou 60 lançamentos, dos 
72 que fez, em um treino. Desses 3/5 foram de 3 pontos e os restantes, de 2 pontos. Quantos 
arremessos de 3 pontos ele acertou? 
a) 46 arremessos 
b) 26 arremessos 
c) 36 arremessos 
d) 50 arremessos 
 
 
22. Em 2006, cerca de 670 atletas brasileiros, que não contavam com a ajuda de um patrocinador, 
foram beneficiados com a bolsa – atleta do Governo Federal, que é um benefício mensal com 
duração de um ano. Entre os contemplados estão 40 atletas olímpicos ou paraolímpicos. Que 
fração representa os atletas olímpicos ou paraolímpicos dos contemplados com a bolsa? 
 
a) 40/ 670 
b) 20/ 670 
c) 40/ 570 
d) 10/ 670 
 
 
23. Que fração do quilograma ( 1000 gramas ) representa 250 gramas de farinha? 
a) 500/ 1000 b) 250/ 1000 c) 250/ 5000 d) 250/ 200 
 
24. Havia 24 candidatos para uma vaga em uma empresa. Desse, 1 6⁄ não compareceram à 
prova de seleção. Quantos candidatos participaram d prova? 
a) 20 candidatos 
b) 17 candidatos 
c) 15 candidatos 
d) 8 candidatos 
 
 
25. Um professor de Educação Física verificou que 1 3⁄ dos alunos de uma classe pratica voleibol. 
Se a classe tem 42 alunos, determine quantos alunos, praticam voleibol? 
 
a) 16 alunos 
b) 23 alunos 
c) 18 alunos 
d) 14 alunos 
11 
 
26. Uma pessoa gasta 1 4⁄ do seu salário com o aluguel da casa onde mora e 
2
5⁄ com 
atividades de lazer. Que fração do seu salário essa pessoa gasta em aluguel e lazer? 
a) 13/ 20 
b) 12/ 20 
c) 32/ 30 
d) 12/ 50 
 
 
 
 
 
 
A FormaMista 
 
4 = 1 1 
3 3 forma mista 
 
 Fração imprópria 
 
 
Como calcular? 
 
 
16 
 5 
 
 16 5 3 1 
 15 3 5 
 1 
 
 27. Escreva na forma mista os números racionais. 
a) 21 5⁄ 
b) 17 3⁄ 
 
c) 33 10⁄ 
 
d) 15 2⁄ 
Questão 21 Letra C 
Questão 22 Letra A 
Questão 23 Letra B 
Questão 24 Letra A 
Questão 25 Letra D 
Questão 26 Letra A 
12 
 
28. Escreva na forma de fração imprópria os seguintes números racionais: 
 
a) 5 
1
4
 
 
b) 10 
1
3
 
 
 
c) 5 
2
3
 
 
d) 1 
7
10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29. Em uma sala de aula, 2 3⁄ dos alunos praticam esportes. Desses alunos, 
3
4⁄ jogam voleibol. 
Que fração dos alunos da sala pratica voleibol? 
a) 1/2 
b) 6/ 24 
c) 12/ 6 
d) 6/ 14 
 
30. Em uma caixa cabem 2 5⁄ de quilograma de balas. Até quantos quilogramas de bala pedem 
ser colocados em 10 caixas iguais a essa? 
a) 5 quilogramas 
b) 4 quilogramas 
c) 6 quilogramas 
d) 2 quilogramas 
 
Questão 27 
a)4 1/5 
b)5 2/3 
c)3 3/10 
d)7 1/2 
Questão 28 
a)21/4 
b)31/3 
c)17/3 
d)17/10 
13 
 
31. Numa empresa, 5 8⁄ dos funcionários chegam ao trabalho usando transporte público. Desses, 
4
5⁄ usam o metrô. Que fração dos funcionários dessa empresa usa metrô? 
a) 2/ 10 
b) 3/ 10 
c) 1/ 2 
d) 3/ 5 
 
32. Em um mapa, cada 1 cm equivale a 5 
1
4 
 quilômetros. Nesse mapa, a distância entre Serra 
Azul e Paraíso é 12 centímetros. Qual é a distância real, em quilômetros, entre as duas cidades? 
a) 63 quilômetros 
b) 27 quilômetros 
c) 60 quilômetros 
d) 33 quilômetros 
 
 
 
 
33. Qual é o número que multiplicamos por 4 7⁄ dá 1? Como se chama esse número em ralação 
ao número 4 7⁄ ? 
a) 7/ 4, inverso de 4/ 7 
b) 4/ 4, inverso de 4/ 7 
c) 2/ 3, inverso de 4/ 7 
d) 2/ 7, inverso de 4/ 
 
34. Camila comprou 4 quilogramas de carne moída. Dividiu essa quantidade em pacotes de 1 2⁄ 
quilograma cada uma. Quantos pacotes foram feitos? 
a) 4 pacotes 
b) 6 pacotes 
c) 3 pacotes 
d) 8 pacotes 
 
 
Questão 29 Letra A 
Questão 30 Letra B 
Questão 31 Letra C 
Questão 32 Letra A 
14 
 
35. Qual o resultado das divisões a seguir? 
a) 1/ 4 ÷ 2/ 3 = 
b) 1/ 5 ÷ 4/ 7 = 
c) 5/ 6 ÷ 5/ 3 = 
d) 7/ 8 ÷ 1/ 4 = 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 33 Letra A 
Questão 34 Letra D 
Questão 35 Letra 
A = 3/ 8 
B = 7/ 20 
C = 1/ 2 
D = 7/ 2 
15 
 
Setores
A
B
C
AS FRAÇÕES E A PROCENTAGEM 
 
 % se lê por cento, que significa por cem. 
38 % = 38 
 100 
 
 
36. Escreva na forma de fração as quantidades de: 
a) 8% 
b)19% 
c) 43% 
d)120% 
 
37. Em um jogo de basquete, Ivo acertou a metade 1 5⁄ dos arremessos que fez. Qual é a 
quantidade, em porcentagem, dos acertos de Ivo? 
a) 60% 
b) 20% 
c) 15% 
d) 50% 
 
38. O gráfico a seguinte está dividido em setores: A, B e C. Que setor representa 50% do gráfico? 
 
a) A b) C c) B d) B e C 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Trinta e oito por cento) 
 
(Trinta e oito por cento) 
 
16 
 
Terreno B
Jardim
Casa
Pomar
Horta
Terreno C Jardim
Casa
Pomar
Horta
Terreno A
Jardim
Casa
Pomar
Horta
Terreno D
Jardim
Casa
Pomar
Horta
39. Um terreno foi dividido em quatro partes, de modo que 25% são para a construção da casa, 
50% para o pomar, 20% para horta e o restante para o jardim. A representação gráfica que 
corresponde à divisão feita é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Terreno A 
b) Terreno B 
c) Terreno C 
d) Terreno D 
 
40. Que número de pessoas representa 55% de 3000 pessoas? 
a) 1640 
b) 1650 
c) 1789 
d) 1567 
 
41. Qual a quantia correspondente a 37% de 25.000 reais? 
 
a) 9240 reais 
b) 8350 reais 
c) 8250 reais 
d) 9250 reais 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 36 a) 8/ 100 b) 19/100 
 c) 43/ 100 d) 120/ 100 
Questão 37 D 
Questão 38 A 
Questão 39 A 
Questão 40 B 
Questão 41 D 
17 
 
Dicas para resolver questões de porcentagem: 
20% de 200 = 
 20 . 200 = 4000 = 40 
100 1 100 
 Situação de desconto 
 
Teríamos 200 – 40 = 160 
 
 Situação de acréscimo 
 
Teríamos 200 + 40 = 240 
 
42. Ao efetuar uma compra de um produto verificou que seu valor total era de R$ 958,00. O 
pagamento a vista teria um desconto de 20%, caso seja a prazo terá um acréscimo de 15%. Qual 
das alternativas a seguir representa os valores a serem pagos? 
a) Desconto R$ 766,40; acréscimo R$1101,7. 
 
b) Acréscimo R$ 766,40; desconto R$1101,7. 
 
c) Desconto R$ 706,40; acréscimo R$1001,7. 
 
d) Desconto R$ 766,10; acréscimo R$1101,1. 
 
43. Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria 
a custar? 
a) Aumento seria de R$ 6,50; novo valor R$ 38,50. 
b) Aumento seria de R$ 6,60; novo valor R$ 38,60. 
 
c) Aumento seria de R$ 6,40; novo valor R$ 38,40. 
d) Aumento seria de R$ 5,40; novo valor R$ 37,40. 
 
44. Certa mercadoria que custava R$ 24,00 passou a custar R$ 30,00. Qual o valor da taxa 
percentual do aumento? 
a) 20% 
b) 25% 
c) 27% 
d) 28% 
 
 
18 
 
45. A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Gilberto e Maísa 
entre 01/01/2006 e 01/01/2007. 
 Banco Saldo em 
01/01/2006 
Saldo em 
01/01/2007 
Rendimento 
Gilberto A 500 550 50 
Maísa B 400 450 50 
 
Qual a alternativa que corresponde a rentabilidade correta? 
a) Gilberto 10%; Maísa 12,5%, Maísa obteve no Banco B uma rentabilidade maior que 
Gilberto no banco A. 
b) Gilberto 14%; Maísa 18,5%, Maísa obteve no Banco B uma rentabilidade maior que 
Gilberto no banco A. 
c) Gilberto 10%; Maísa 12,5%, Maísa obteve no Banco B uma rentabilidade menor que 
Gilberto no banco A. 
d) Gilberto 8%; Maísa 9,5%, Maísa obteve no Banco B uma rentabilidade maior que Gilberto 
no banco A. 
46. Calcule: 
a) 30% de 40 = 
25% de 200 = 
70% de 80 = 
15% de 720 = 
 
47. O preço de um par de sapatos é R$ 48,00. Quanto passará a custar se sobre esse preço for 
dado um: 
a) Acréscimo de 5%? 
d) Acréscimo de 20%? 
 
e) Desconto de 15%? 
d) Desconto de 6,5%? 
 
 
 
 
 
 Questão 42 A 
Questão 43 C 
Questão 44 B 
Questão 45 A 
Questão 46 a) 12 b) 50 c) 56 d) 108 
Questão 47 a) R$ 50,40 
 b) R$ 57,60 
 c) R$ 40,80 
 d) R$ 44,88 
19 
 
NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL 
 
Números como 1,7 e 2,49 são denominados números decimais. 
Representação 
fracionária 
Número misto Representação 
decimal 
17
10
 
 
1 
7
10 
 
 
 
 
 
 
 
1, 7 
 
 
 
Escreva a fração 27 10 ⁄ na forma decimal. 
27
10 
 + 
20 + 7 
10 
 = 
20 
10 
 + 
7
10 
 = 2 + 
7
10 
 
 
 
Para escrever uma fração decimal na forma de número decimal, tomamos apenas o numerador e 
nele colocamos uma vírgula, de modo que a quantidade de algarismo da parte decimal, contada da 
direita para a esquerda, seja igual à quantidade de zeros que aparecem no denominador. 
Exemplo: 
281100
 = 2, 81 
 Temos dois zeros a casa, a vírgula andará duas para esquerda. 2,81,0 ou seja 
2, 81 
Se necessário, acrescentam – se zeros à esquerda do número copiado: 
43
100
 = 0,43 Ficaria ---,43; acrescentando 0, 43 
Exemplos: 
39
1𝟎 
 = 
216
1𝟎𝟎
 = 
25
1𝟎𝟎𝟎
 = 
 
 
Parte 
inteira 
Parte 
fracionária 
Parte inteira 
Parte 
decimal 
Dois inteiros 
7 décimos 
Temos um zero, um algarismo depois da vírgula 3, 9 
Temos dois zeros, dois algarismos depois da vírgula. 2,16 
Temos um três, três algarismos depois da vírgula 0,025 
20 
 
48. Escreva nas formas fracionárias e decimal os números expressos por: 
a) oito décimos 
b) quarenta e dois centésimos 
c) duzentos e vinte e cinco centésimos 
d) quatro inteiros e seis centésimos 
 
49. Dê a fração correspondente a cada um dos seguintes números decimais: 
a) 1,3 
b) 0,13 
c) 0,013 
d) 4,002 
 
50. Represente as frações decimais: 
a) 
52
10 
 = 
b) 
52
100
 = 
c) 
77
10 
 = 
d) 
7
100
 = 
 
51. Responda: 
a) 10 centavos representam que fração de um real? 
b) 1 centavo representa que fração de um real? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 48 a) 8/10 = 0,8 b) 42/100 = 0,42 c) 225/100 = 2,25 
 d) 406/100 = 4,06 
Questão 49 a) 13/10 b) 13/100 c) 13/1000 d) 4002/1000 
Questão 50 a) 5,2 b) 0,52 c) 7,7 d) 0,07 
Questão 51 a) 1/10 b) 1/ 100 
21 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS 
 
Vamos analisar o gráfico a seguir: 
U , D C 
1 , 2 5 
2 , 1 4 
0 , 8 2 
2 , 9 5 
7 , 1 6 
 
Lembre – se para realizar uma adição ou subtração as vírgulas devem estar alinhadas como no 
exemplo acima. 
51. Determine o valor de: 
a) 16,9 + 7,6 = 
b) 35,2 + 9,8 = 
c) 0,85 + 1,376 = 
d) 25 – 18, 25 = 
 
52. Quando adicionamos 0,381 e 0,589, o resultado é um número maior ou menor que 1? 
 
53. Que número devemos adicionar a 1,899 para obter 3? 
 
54. Veja o índice de aproveitamento de duas equipes em um torneio de basquete; 
 
Equipe Índice de 
aproveitamento 
A 0,698 
B 0,716 
 
a) Qual das duas equipes apresentou maior índice de aproveitamento? 
b) Qual a diferença entre esses índices? 
 
55. A altura de uma casa era de 4,78 metros. Construindo um segundo andar, a altura da casa 
passou a ser 7,4 metros. Em quantos metros a altura inicial da casa foi aumentada? 
 
 
+ 
Alinhamento 
da vírgula 
Questão 51 a) 24,5 b) 25,4 c) 2,226 d) 6,75 
Questão 52 menor; 0,97 ˂ 1 
Questão 53 1.101 
Questão 54 a) Equipe B b) 0,018 
Questão 55 2,62 m 
22 
 
OS NÚMEROS DECIMAIS E O CÁLCULO DE PORCETAGENS 
Podemos analisar que toda fração como denominador 100 representa um porcentagem. 
Como 42% = 
42
100
 e 
42
100
 é igual a 0,42; então 42% é igual a 0,42 
Como 9% = 
9
100
 = e 
9
100
 é igual a 0,09; então 9% é igual a 0,09 
56. Escreva a representação decimal de cada porcentagem: 
a) 3% 
b) 16% 
c) 21% 
d) 42% 
57. No inicio do ano, um aparelho de som custava R$ 980,00. Este mês, ele sofreu um aumento 
de 15%. Quanto passou a custar o aparelho de som? 
a) R$ 1127,00 
b) R$ 1345,00 
c) R$ 1129,00 
d) R$ 1277,00 
58. Que número representa: 
a) 51% de 3340 = 
b) 120% de 2500 = 
 
59. Que número decimal representa 8% de 40%? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 56 a) 0,03 b) 0,16 c) 0,21 d) 
0,42 
Questão 57 Letra A 
Questão 58 a) 1703,4 b) 3000 
Questão 59 0, 032 
23 
 
UNIDADES DE MEDIDAS DE COMPRIMENTO 
 
No sistema Métrico Decimal, a unidade fundamental de medida de comprimento o metro, cuja 
abreviação é m. o metro é a unidade padrão adequada para expressar, por exemplo, a largura 
de uma rua, o comprimento de uma sala, a altura de um edifício etc. 
Além do metro, existem outras unidades de medida de comprimentos: 
 Para expressar a medida de grades distâncias, temos o decâmetro, o hectômetro e o 
quilômetro, que são múltiplos do metro. Na prática, a unidade mais utilizada é o quilômetro. 
 
1 decâmetro ( dam ) = 10 . 1 metro = 10 metros 
1 hectômetro ( hm ) = 100 . 1 metro = 100 metros 
1 quilômetro ( km ) = 1000. 1 metro = 1000 metros 
 
 
 
 
 
Para expressar a medida de pequenas distâncias, temos o decímetro, o centímetro e o milímetro, 
que são submúltiplos de metro. Na prática, as unidades mais usadas são o centímetro e o 
milímetro. 
1 decímetro ( dm ) = 
1
10
 do metro = 0,1 metro 
1 centímetro ( cm ) = 
1
100
 do metro = 0,01 metro 
1 milímetro ( mm ) = 
1
1000
 do metro = 0,001 metro 
 
 
 
 
Múltiplos do metro 
Múltiplo do metro 
Quilômetro Hectômetro Decâmetro 
km hm dam 
1000 m 100 m 10 m 
 
Metro 
M 
1,0 
 
24 
 
Submútiplos do metro 
Decímetro centímetro milímetro 
dm cm mm 
0,1 m 0,01 m 0,001 m 
 
Todas estas unidades pertencem ao Sistema Métrico Decimal 
Veja alguns instrumentos disponíveis para medir comprimentos: 
 Régua graduada 
 Trena 
 Fita métrica 
 metro de carpinteiro 
 
60. No sistema Métrico Decimal, qual a unidade de medida mais adequada para expressar a 
medida: 
a) do comprimento do rio Amazonas? 
b) da largura de uma sala de aula? 
c) da altura de uma moeda? 
d) da largura do batente de uma porta? 
 
61. O trovão e o relâmpago ocorrem ao mesmo tempo. O som tem velocidade de 340 m por 
segundo, e a luz se propaga quase instantaneamente. Se ouvimos um trovão 5 segundos após 
termos visto o relâmpago, este se originou a que distância? 
a) 1700 m c) 1200 m 
b) 1600 m d) 2700 m 
 
62. A distância entre duas cidades, nos Estados Unidos, é de 74 milhas, Se a milha vale 1,609 
Km, aproximadamente, qual a distância entre essas duas cidades? 
a) 119,066 Km d) 189,966 Km 
b) 118,066 Km e) 129,066 Km 
 
63. Uma sala possui 5400 mm de comprimento. Escreva esse comprimento em metros e em 
quilômetros, e diga qual é a unidade de medida mais conveniente para medir a sala. 
a) 5,4m; 0,0054 Km; metros c) 5,4m; 0,0054 Km; decâmetro 
b) 5,4m; 0,0054 Km; metros d) 5,4m; 0,054 Km; metros 
 
25 
 
5 cm 
base 
64. Responda: 
a) Quantos centímetros há em 
1
2 
 m? 
b) Quantos centímetros há em 
2
5
 metros? 
c) Quantos metros há em 
9
4 
 de quilômetro? 
d) Quantos quilômetros há em 
18
5
 de metros? 
 
 
65. Um cano tem meia polegada ( 
1
2
 ) polegada de diâmetro. Quantos centímetros esse cano tem 
de diâmetro? ( Considere 1 polegada = 25 mm. ) 
a) 1,35 cm 
b) 1,24 cm 
c) 1,50 cm 
d) 2,50 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS 
Veremos agora como calcular a área de algumas figuras geométricas planas. Para isso, 
utilizaremos fórmulas que permitem efetuar esses cálculos com maior facilidade e rapidez. 
Qual a área de um retângulo que tem 4 cm de altura e 5 cm de base? 
 
4 cm 
altura 
 
 
 
 
Questão 60 a) Km b) m c) mm d) cm 
Questão 61 Letra A 
Questão 62 Letra A 
Questão 63 Letra B 
Questão 64 Letra a) 50 cm b) 40 cm c) 2250 m d) 0,0036 Km 
Questão 65 Letra B 
26 
 
Base 8 cm 
 altura 
 3, 5 cm 
Teremos: 
Área do retângulo = medida da base. medida da alturaA = b. a 
A = 5 . 4 
 A = 20 cm ² 
 
 
 
 
 
Medida da base = 8 cm 
Medida da altura = 3,5 cm 
Área = 8 cm . 3,5 cm 
Área = 28 cm² 
 
ÁREA DO QUADRADO 
Neste quadrado, a medida do lado é 3 cm. 
 
 
 
 
 
Dividimos os lados do quadrado em segmentos de 1 cm cada, obremos 9 quadrados de 1 cm de 
lado, ou seja, 1 cm² de área cada um. 
A área do quadrado maior é, então, 9 cm². 
Note que 9 cm² = 3 cm . 3 cm 
Área do quadrado = medida . medida do lado 
(medida do lado ) ² 
A = l ² 
1 cm² 
1 cm² 
1
 c
m
² 
27 
 
Qual a área de uma praça quadrada com 20 m de lado? 
Dados: 
Medida do lado = 20 m 
Área = 20 . 20 = 400 m², ou seja, A = ( 20 ) ² 
 A = 400 m² 
 
CRITÉRIO DE DIVISIILIDADE 
 
Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar 
a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de 
divisibilidade. 
 Divisibilidade por 2 
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, 
quando ele é par. 
Exemplos: 
 
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. 
 
 Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for 
divisível por 3. 
Exemplo: 
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 
3, então 234 é divisível por 3. 
 Divisibilidade por 4 
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois 
últimos algarismos da direita for divisível por 4. 
Exemplo: 
1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. 
 
 Divisibilidade por 5 
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. 
Exemplos: 
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. 
 
28 
 
 Divisibilidade por 6 
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. 
 
Exemplos: 
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2). 
 Divisibilidade por 8 
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três 
últimos algarismos da direita for divisível por 8. 
 
Exemplos: 
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8. 
 
 Divisibilidade por 9 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for 
divisível por 9. 
 
Exemplo: 
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é 
divisível por 9, então 2871 é divisível por 9. 
 
 Divisibilidade por 10 
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. 
 
Exemplos: 
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0. 
 
 Divisibilidade por 11 
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos 
algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. 
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª 
ordem, e assim sucessivamente. 
 
Exemplos: 
1) 87549 
 Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 
 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 
 Si-Sp = 22-11 = 11 
 Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11. 
29 
 
2) 439087 
 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 
 Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 
 Si-Sp = 10 – 21 
 
 Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de 
zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a 
subtração 21-21 = 0. 
 
 Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. 
 Divisibilidade por 12 
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. 
Exemplos: 
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20). 
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3). 
 Divisibilidade por 15 
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. 
Exemplos: 
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5). 
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5). 
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3) 
 Divisibilidade por 25 
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75. 
 
Exemplos: 
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25. 
 
Atividades 
66. Responda sim ou não: 
 
a) 24 é múltiplo de 2? 
b) 52 é múltiplo de 4? 
c) 50 é multiplo de 8? 
d) 1995 é múltiplo de 133? 
 
67. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o 
resultado pode ser 42? Pode ser 72? Por que? 
 
 
 
 
30 
 
68. Escreva os 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12: 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU COM UMA VARIÁVEL 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra 
equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 
 
2x + 8 = 0 
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0 
 
Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x - 5 < 3 (Não é igualdade) 
 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
A equação geral do primeiro grau: 
 
ax + b = 0 
 
onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo 
b dos dois lados, obtemos: 
ax = - b 
 
dividindo agora por a (dos dois lados), temos: 
 
𝑿 = −
𝒃
𝒂
 
 
 
 Considera a equação 2x - 8 = 3x -10 
 
 A letra é a incógnita da equação. 
 A palavra incógnita significa " desconhecida". 
 Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 
1º membro, e o que sucede, 2º membro. 
 
 
 
 Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. 
 
66. a) sim b) sim c) não d) sim 
67. Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o número 
que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode ser o 
resultado, pois ele não é multiplo de 4. Já o 72 pode ser. 
68.( 0, 24, 48, 72, 96 ) 
31 
 
 
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na 
forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. 
 
Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y 
 
Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, pode 
ser transformada numa equação equivalente mais simples. Assim: 
 
2x + 3y = 5 + 6 
 
2x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c 
 
Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode 
ser reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, 
simultaneamente. 
 
 Na equação ax +by = c, denominamos: 
 
 x + y - variáveis ou incógnitas 
a - coeficiente de x 
b - coeficiente de 
c - termo independente 
 
 
Exemplos: 
 
x + y = 30 
2x + 3y = 15 
x - 4y = 10 
-3x - 7y = -48 
2x- 3y = 0 
x - y = 8 
 
 
 Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis 
 
 Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira? 
 
 Observe os pares abaixo: 
 x = 6, y = 1 
x - 2y = 4 
6 - 2 . 1 = 4 
6 - 2 = 4 
4 = 4 (V) 
 
 
 
 
32 
 
x = 8, y = 2 
x - 2y = 4 
8 - 2 . 2 = 4 
8 - 4 = 4 
4 = 4 (V) 
 
 
 x = -2, y = -3 
 x - 2y = 4 
-2 - 2 . (-3) = 4 
-2 + 6 = 4 
4 = 4 (V) 
 
 Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4. 
 Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação. 
 Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) -, sendo, 
portanto, seu conjunto universo . 
 Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, 
calculando a seguir o valor da outra. Exemplo: 
 
 Determine uma solução para a equação 3x - y = 8. 
 Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim: 
 
3x - y = 8 
3 . (1) - y = 8 
3 - y = 8 
-y = 5 ==> Multiplicamos por -1 
y = -5 
 
O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação. 
V = {(1, -5)} 
 
 
 
 Resumindo: 
Um par ordenado (r, s) é solução de uma 
equação ax + by = c (a e bnão-nulos simultaneamente), se 
para x = r e y = s a sentença é verdadeira. 
 
Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis 
 
 Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções. 
 Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y). 
 Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num 
plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa 
equação. Exemplo: 
 Construir um gráfico da equação x + y = 4. 
Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação. 
 
 1º par: A (4, 0) 
 2º par: B (0, 4) 
 
33 
 
 A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano. 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções 
da equação. 
 
 
 
“A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.” 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de Sistemas 
 
 A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um 
par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. 
 Estudaremos a seguir alguns métodos: 
x y 
4 0 
0 4 
34 
 
 Método de substituição 
 
 
 
 Solução 
 determinamos o valor de x na 1ª equação. 
 x = 4 - y 
 Substituímos esse valor na 2ª equação. 
 2 . (4 - y) -3y = 3 
 Resolvemos a equação formada. 
 8 - 2y -3y = 3 
 8 - 2y -3y = 3 
 -5y = 5 => Multiplicamos por -1 
 5y = 5 
 
 y = 1 
 
 
 
 Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x. 
x + 1 = 4 
x = 4 - 1 
x = 3 
 A solução do sistema é o par ordenado (3, 1). 
 V = {(3, 1)} 
 
Método da adição 
 
 Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da 
adição. 
 
 Resolva o sistema abaixo: 
 
 Solução 
 Adicionamos membros a membros as equações: 
 
 
 2x = 16 
35 
 
 
 x = 8 
 
 Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y: 
 
 8 + y = 10 
 y = 10 - 8 
 y = 2 
 
 A solução do sistema é o par ordenado (8, 2) 
 
 V = {(8, 2)} 
 
Atividades 
68. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são 
esses? 
 
69. Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam 
iguais. 
 
70. Resolver as seguintes equações (na incógnita x): 
 
a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0) 
 
b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc 
 
 
71. Resolva as equações a seguir: 
 
a)18x - 43 = 65 b) 23x - 16 = 14 - 17x 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro 
valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos 
três já conhecidos. 
68. São 130, 131 e 132 
69. a = 22 
70. a) x = 20/9 b) x = 3c/4 
71. a) x = 6 b) x = 3/4 
36 
 
 Passos utilizados numa regra de três simples: 
 
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e 
mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
 Exemplos: 
 Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a 
energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área 
para 1,5m2, qual será a energia produzida? 
 
 Solução: montando a tabela: 
 
Área (m2) Energia (Wh) 
1,2 400 
1,5 x 
 
Identificação do tipo de relação: 
 
Área Energia 
1,2 400 
1,5 x 
 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 
 Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. 
 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as 
grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo 
sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 
 
 
 
 
 Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso 
em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 
480km/h? 
 
 Solução: montando a tabela: 
Velocidade (Km/h) Tempo (h) 
400 3 
480 x 
 
 
 
37 
 
Identificação do tipo de relação: 
 
Velocidade Tempo 
 
 400 3 
 480 x 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 
 Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. 
 
 Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas 
são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário 
(para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
 
 
 
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 
 
 
 Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 
camisetas do mesmo tipo e preço? 
 
 Solução: montando a tabela: 
 
Camisetas Preço (R$) 
3 120 
5 x 
 
 
 
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. 
 
 
 
 
Como as palavras correspondem(aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
3
5
 = 
120
𝑥
 
 
3x = 5 . 120 
 
X = 
5.120 
3
 
 
X = 200 
38 
 
 
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 
 
 Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. 
Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o 
mesmo trabalho? 
 
 Solução: montando a tabela: 
 
Horas por dia Prazo para término (dias) 
8 20 
5 x 
 
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. 
 
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
𝑥
20
 = 
8
5
 
 5 X = 20 . 8 
 X = 
160
5 
 
 X = 32 
 
 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA: 
 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou 
inversamente proporcionais. 
 
 Exemplos: 
 
 Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões 
serão necessários para descarregar 125m3? 
 
 Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, 
em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: 
 
Horas Caminhões Volume 
8 20 160 
5 X 125 
 
Identificação dos tipos de relação: 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 
HORAS CAMINHÕES VOLUME 
 8 20 160 
 5 X 125 
 
 
39 
 
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. 
 
 Observe que: 
 
 
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. 
Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação 
é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que 
contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. 
 
Montando a proporção e resolvendo a equação concluímos: 
Que serão necessário 25 caminhões. 
 
 
 
HORAS CAMINHÕES VOLUME 
 8 20 160 
 5 X 125 
 
 
20 
𝑋 
 = 
160
125
 . 
5
8
 
 
20
𝑋 
 = 
4
5
 
 4X = 20 . 5 
 4X = 100 
 X = 25 caminhões 
Simplificando: 
 
 
 
 
 Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens 
em 16 dias? 
 
Solução: montando a tabela: 
 
Homens Carrinhos Dias 
8 20 5 
4 X 16 
 
 
 
40 
 
Observe que: 
 
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não 
precisamos inverter a razão). 
 
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente 
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras 
razões. 
 
 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
20
𝑥
 = 
8
4
 . 
5
16
 
 
 
 X = 
20 . 4 . 16 
8 . 5 
 
 
 X = 32 
 
Logo, serão montados 32 carrinhos. 
 
72. Três caminhões transportam 200m³ de areia. Para transportar 1600m³ de areia, quantos 
caminhões iguais a esse seriam necessários? 
 
73. A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles 
resolveu saltar e tentar chegar em terra nadando. Com um náufrago a menos, qual será a duração 
dos alimentos? 
 
74. Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo 
cada uma delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número de 
telefonistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média? 
 
75. Um pintor, trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, pinta 7.500 telhas. Quantas horas por 
dia deve trabalhar esse pintor para que ele possa pintar 6.000 telhas em 4 dias? 
 
 
76. Dez guindastes móveis carregam 200 caixas num navio em 18 dias de 8 horas de trabalho. 
Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 6 guindastes, trabalhando 6 horas por dia? 
 
 
77. Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada na vertical em relação ao chão e projetou 
uma sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 
10,5 m de altura? 
 
78. Uma certa quantidade de suco foi colocado em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 
60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a 
mesma quantidade de suco? 
 
 
72. x = 24 77. X = 371 cm 
73. x = 18 78. X = 40 latas 
74. x = 15 
75. x = 16 horas 
76. x = 75 caixas 
 
41 
 
PORCENTAGEM 
 
 
 
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou 
quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: 
 
 A gasolina teve um aumento de 15% 
 Significa que em cada R$ 100 houve um acréscimo de R$ 15,00 
 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. 
 Significa que em cada R$ 100 foi dado um desconto de R$ 10,00 
 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. 
 Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. 
 
 
Razão centesimal 
 
 Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns 
exemplos: 
 
8
100
,
17
100
 
 
 
 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 
 
7
100
= 0,07 = 7% ( 𝑙ê − 𝑠𝑒 𝑠𝑒𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 ) 
17
100
= 0,17 = 17% ( 𝑙ê − 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑠𝑠𝑒𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 ) 
125
100
= 1,25 = 125% ( 𝑙ê − 𝑠𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒 𝑣𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 ) 
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. 
 
 Considere o seguinte problema: 
 
 João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? 
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. 
 
50% 𝑑𝑒 50 ==> 
50
100
 .
50
1
 = 
2500 
100
 = 𝟐𝟓 𝒄𝒂𝒗𝒂𝒍𝒐𝒔 
 
 Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. 
 
 Portanto, chegamos a seguinte definição: 
 
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado 
valor. 
 
 
 
42 
 
Exemplos: 
 Calcular 10% de 300. 
 
10% 𝑑𝑒 300 ==>
10
100
 .
300
1
 = 30 
 
 Calcular 25% de 200 kg. 
 
20% 𝑑𝑒 200 == > 
25
100
 .
200
1
= 50 
 
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. 
 
 Um jogador de futebol, ao longode um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 
8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 
 
 
 8% 𝑑𝑒 75 ==> 
8
100
 .
75
1
 ==> 
600
100
= 6 
 
 
 Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 
 
 
 Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa 
percentual de lucro obtida? 
 
 Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que 
aumentou em relação a esses R$250,00, resulte-nos R$300,00. 
 
250 + 250 .
𝑥
100
= 300 
 
 2,5x = 300 – 250 
 
 2,5X = 50 
 X = 50 
 2,5 
 
 Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 
 
Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. 
 
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo 
valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for 
de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Acréscimo ou Lucro 
Fator de 
Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
20% 1,20 
47% 1,47 
67% 1,67 
 
 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 
 
 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: 
 
 Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) 
 
 
Veja a tabela abaixo: 
 
Desconto 
Fator de 
Multiplicação 
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
60% 0,40 
90% 0,10 
 
 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 
 
Atividades 
79. A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? 
 
80. Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? 
 
81. Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores 
ensinam Matemática nessa escola? 
 
82. Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se 
paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? 
 
 
 
 
79. x = 45% 
80. x = 1600 m 
81. x = 6 professores 
82. x = 120 reais 
44 
 
83. Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 300,00 e mais 4% sobre o total de vendas no mês. 
Qual será o seu salário se, em certo mês, o total de vendas for de R$ 16.000,00? 
 
84. Calcule o valor de ( x ) em cada caso: 
a) 10 é x% de 40 = 
b) 3,6 é x % de 72 = 
 
c) 120 é x % de 150 = 
 
d) 136 é x % de 400 = 
 
85. Do salário mensal de Vitor, 
1
10
 é reservado para o pagamento de sue plano de saúde, 30% são 
usados para pagamento do aluguel, e 35% são gastos com alimentação. Descontadas essas 
despesas, sobram R$ 300,00 a Vítor. Qual é o seu salário? 
 
86. Em uma classe de 40 alunos, 60% são moças. Sabendo que 
3
8
 dos rapazes e 75% das moças 
foram aprovados. Determine o número de alunos que não conseguiram aprovação. 
 
87. Calcule: 
a) 30% de 40 = 
b) 25% de 200 = 
 
c) 70% de 80 = 
 
d) 15% de 720 = 
 
e) 8 % de 25 = 
f) 6% de 95 = 
 
 
 
 
 
 
 
83. R$ 940,00 
84. a) 25 b) 5 c) 80 d) 34 
85. R$ 1200,00 
86. 16 não conseguiram 
87. a) 12 b) 50 c) 56 d) 108 e) 2 f) 5,7 
45 
 
VARIAÇÃO PERCENTUAL 
 
No inicio do mês, o preço do quilo do salmão, em um mercado municipal, era de R$ 25,00. No 
final do mês, o mesmo salmão era vendido a R$ 28,00 o quilo. 
De que maneira podemos expressar esse aumento? 
Em valor absoluto o aumento foi de R$ 3,00. 
Calculando a razão entre esse aumento, e o valor inicial encontramos. 
 
𝟑
𝟐𝟓
= 𝟎, 𝟏𝟐 ==> 𝟎, 𝟏𝟐 . 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟐% 
Dizemos que 12% é a variação percentual do preço do quilo do salmão. 
 
Outra possibilidade é fazer: 
𝟐𝟖 
𝟐𝟓 
= 𝟏, 𝟏𝟐 ==> 𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟐 
 1,12 ==> 1,12  aumento de 12% 
Temos então: 
𝑝 = 
𝑉1 − 𝑉0 
𝑉0
==> 
𝑉1
𝑉𝑜 
 − 1 
V0 é o valor inicial de um produto; 
V1 é o valor desse produto em uma data futura; 
P =é a variação percentual do preço desse produto no período considerado. 
Se p > 0, dizemos que p representa a taxa percentual de crescimento ( ou acréscimo ), conforme 
vimos, no preço do salmão. 
Se p < 0, dizemos que p representa a taxa percentual de decrescimento ( ou decréscimo ), 
conforme veremos no exemplo seguinte. 
 
Se, em um mês, o preço do quilo do salmão tivesse diminuído de R$ 25,00 para R$ 24,00, 
teríamos 
p = V1 – V0 
 V0 
p = 24 – 25 == > - 1 == > - 0,04 
 25 25 
 
 Isso significa um decréscimo de 4% no valor inicial do quilo do salmão. 
 
46 
 
Atividade: 
88. O preço de um par de sapatos é R$ 48,00. Quanto passará a custar se sobre esse preço for 
dado um: 
a) acréscimo de 5%? 
b) acréscimo de 20%? 
c) desconto de 15%? 
d) desconto de 6,5%? 
 
 
89. Um produto teve seu preço reajustado de R$ 25,00 para R$ 32,00. Qual é a taxa percentual 
de aumento? 
 
90. Em uma residência, a conta de luz baixou de R$ 60,00 para R$ 48,00 em um mês. Qual a taxa 
percentual de decréscimo no valor da canta? 
 
91. Expresse na forma percentual; 
a) um aumento de R$ 15,00 sobre uma mercadoria que custava R$ 60,00. 
b) um desconto de R$ 28,00 em mercadoria que custava R$ 168,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
JUROS SIMPLES 
 
Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso 
no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o 
sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples 
eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no 
regime simples. Mas vamos entender como funcionava a capitalização no sistema de juros 
simples. No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida 
ou da aplicação. Assim podemos definir a fórmula. 
 
88. a) R$ 50,40 b) R$ 57,60 c) R$ 40,88 d) R$ 44, 88 
89. 28% 
90. 20% 
91. a) 25% b) 16,66...% 
 
47 
 
J = C * i * t, onde 
J = juros 
C = capital 
i = taxa de juros 
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...) 
M = C + J 
 
M = montante final 
C = capital 
J = juros 
 
Exemplo 
Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de 
juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses? 
Capital: 1200 
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.) 
t = 10 meses 
J = C . i . n 
J = 1200 . 0,02 . 10 
J = 240 
M = C + j 
M = 1200 + 240 
M = 1440 
 
O montante produzido será de R$ 1.440,00. 
 Determine o valor do capital que aplicado durante 14 meses, a uma taxa de 6%, rendeu juros de 
R$ 2.688,00. 
 
 
J = C . i . n 
2688 = C . 0,06 . 14 
2688 = C * 0,84 
C = 2688 / 0,84 
C = 3200 
 
O valor do capital é de R$ 3.200,00. 
João emprestou R$ 500,00 para Maria, em regime de juros simples. A taxa de juros combinada foi 
de 4% ao mês e Maria comprometeu – se a pagar a dívida em 3 meses. Ao final desse período, 
que valor Maria deverá devolver a João? 
 Em um mês, os juros serão de 4% sobre 500, ou seja. 
4
100
 . 500 ==> 0,04 . 500 = ( 20 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 ) 
 Como os juros são constantes por mês, teremos,em três meses: 
J = 3 . 20  60 ( 60 reais ) 
 
 Assim, Maria devolverá a João o montante de: 
500 + 60 = 560 (560 reais) 
 
48 
 
Se preferir, você pode descobrir diretamente o montante da dívida, aplicando a fórmula: 
M = C . (1 + i . n) 
M = 500 . (1 + 0,04 . 3) => 
 M = 500 . 1,12 = 560 
 
Renato contraiu, de um amigo, um empréstimo de R$ 800,00 em regime de juros 
simples, à taxa anual de 2% ao mês. Após certo tempo, quitou a dívida com um pagamento único 
de R$ 1 040,00. Quantos meses se passaram até a quitação? 
Solução: 
1° modo: sem a fórmula 
 Por mês, Renato deveria pagar 
0,02 . 800 = 16 reais 
 
 O total de juros pagos por Renato foi de 
1 040 – 800 = 240 reais 
Assim, o número de meses foi 240 ÷ 16 = 15. 
2° modo: com a fórmula 
C = 800; i = 0,02; M = 1 040; n = ? 
De M = C . (1 + i . n) vem: 
1 040 = 800 . (1 + 0,02 . n) => 1,3 = 1 + 0,02n => 
 0,3 = 0,02 => n = 
0,03
0,02
= 15 (15 meses) 
 
Um aparelho de TV custa R$ 880,00 para pagamento à vista. A loja também oferece as seguintes 
condições: R$ 450,00 no ato e uma parcela de R$ 450,00 a ser paga um mês após a compra. 
Qual é a taxa de juros mensal cobrada nesse financiamento? 
Solução: 
O saldo devedor no momento da compra é? 
C = R$ 880,00 – R$ 450,00 = R$ 430,00 
 
Após um mês, esse saldo se converte num montante M = R$ 450,00. 
Como M = C (1 + i . 1), vem 450 = 430 (1 + i), então: 
i = 
450
430
− 1 = 0,0465 = 4,65% 
TV à vista Entrada 
49 
 
Atividades 
92. Calcule os juros simples obtidos nas seguintes condições: 
a. Um capital de R$ 220,00 é aplicado por três meses, à taxa de 4% a.m. 
 
b. Um capital de R$ 540,00 é aplicado por um ano, à taxa de 5% a.m. 
 
c. Uma dívida de R$ 80,00 é paga em oito meses, à taxa de 12% a.m. 
 
d. Uma dívida de R$ 490,00 é paga em dois anos, à taxa de 2% a.m. 
 
93. Obtenha o montante de uma dívida, contraída a juros simples, nas seguintes condições: 
a) capital: R$ 400,00; taxa: 48% ao ano; prazo: 5 meses; 
b) capital: R$ 180,00; taxa: 72% ao semestre; prazo: 8 meses; 
c) capital: R$ 5000,00; taxa: 0,25% ao dia; prazo: 3 meses; 
 
94. Um capital aplicado a juros simples durante dois anos e meio, à taxa de 4% a.m, gerou , no 
período, um montante de R$ 17 600,00. 
a) Qual foi o capital aplicado? 
b) qual teria sido o montante gerado se a taxa de rendimento mensal fosse reduzido à metade? 
 
95. Um boleto de mensalidade escolar, com vencimento para 10/ 08/ 2013, possui valor nominal 
de R$ 740,00. 
a) Se o boleto for pago até o dia 20/ 07/ 2013, o valor a ser cobrado será R$ 703,00. Qual o valor 
percentual do desconto concedido? 
b) Se o boleto for pago depois do dia 10/ 08/ 2013, haverá cobrança de juros de 0,25% sobre o 
valor nominal do boleto, por dia de atraso. Se for pago com 20 dias de atraso, qual o valor a ser 
cobrado? 
 
96. Um poupador aplicou R$ 200,00 em um fundo de investimento regido a juros simples. 
Passados quatro meses, o valor da aplicação era R$ 240,00. Qual é a taxa mensal de juros 
simples dessa aplicação? 
 
97. Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 5% a.m. Quanto tempo, no mínimo, 
ele deverá ficar aplicado, a fim de que seja possível resgatar: 
a) O dobro da quantia aplicada? 
b) O triplo da quantia aplicada. 
c) Dez vezes a quantia aplicada? 
 
50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
 O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para 
cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao 
principal para o cálculo dos juros do período seguinte. 
 
 Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. 
 
Após três meses de capitalização, temos: 
 
 
 1º mês: M =P.(1 + i) 
 
 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
 
 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) 
 
 Simplificando, obtemos a fórmula: 
 
M = P . (1 + i)n 
 
 Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de 
juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do 
montante ao final do período: 
 
J = M - P 
 
 Exemplo: 
 
 Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à 
taxa de 3,5% ao mês. 
 (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) 
 
 Resolução: 
 
 P = R$6.000,00 
 t = 1 ano = 12 meses 
92. a) R$ 26,5 b) R$ 324, 00 c) R$ 76,8 
93. a) R$ 480,00 b) 352,8 c) 6125,00 
94. a) R$8000,00 b) R$ 12800,00 
95. a) 5% b) R$ 777,00 
96. 5% a.m 
97. a) n = 20 meses b) n = 40 meses c) n = 180 meses 
51 
 
 i = 3,5 % a.m. = 0,035 
 M = ? 
 
 Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: 
 
 M = 6000. (1+0,035)12 
 M = 6000. (1,035)12 
 
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: 
 
log x = log 1,03512 
log x = 12 log 1,035 
log x = 0,1788 
 x = 1,509 
 
 Então M = 6000.1,509 = 9054. 
 Portanto o montante é R$9.054,00 
Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a.m, a juros compostos. O montante é 
dado, conforme os períodos: 
 
Ao final de três meses: 
M3 = 400 . ( 1 + 0,02 )³ 
M3 = 400 . ( 1,02 ) ³ 
M3 = 400 . 1,061 
M3 = 424,483 
Ao final de seis meses: 
M6 = 400 . ( 1 + 0,02 )6 
M6 = 400 . ( 1,02 )6 
M6 = 400 . 1,126 
M6 = 450,46 
Atividades 
98. Considerando o exemplo anterior, suponhamos que Joana deseje saber o tempo necessário 
para que o montante seja R$ 600,00, qual o tempo necessário para ter este montante? Temos Mn 
= 600, C = 400, i = 0,02: 
52 
 
( Dado log 1,5  0,176; log 1,02  0,0086 ) 
99. Paulo aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a.m, a juros compostos. Qual o 
valor em um período correspondente a 12 meses? 
 
100. Calcule os juros e o montante de uma aplicação financeira a juros compostos, sendo: capital: 
R$ 300,00; taxa: 2% a.m; prazo: 4 meses; 
 
101. Calcule os juros e o montante de uma aplicação financeira a juros compostos, sendo: capital: 
R$ 2500,00; taxa; 5% a.m; prazo: 1 ano; 
 
102. Determine os juros e o montante de uma aplicação financeira a juros compostos: capital: R$ 
100,00; taxa: 16% a.a; prazo: 3 anos; 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. 
 
Exemplos de equações exponenciais: 
1) 3 x = 81 (a solução é x=4) 
2) 2 x – 5 = 16 (a solução é x=9) 
3) 16 x – 4 2x - 1 – 10 = 2 2x - 1 (a solução é x=1) 
4) 3 2x – 1 – 3 x – 3 x – 1 + 1 = 0 (as soluções são x’=0 e x’’=1) 
Lembrando que para desenvolver uma função exponencial é preciso efetuar a decomposição da ( 
s ) base ( s ), para igualar as bases: 
3 x = 81 81 3 
3 x = 3 4 27 3 
x = 4 9 3 
 3 3 
 1 3 4 
 
 
99. R$ 507,29 
100. M= 324,72 J = 24,72 
101. M = 4.489,64 J = 
1989,64 
102. M = 156,08 J = 56,08 
4 
53 
 
Atividades 
 
103. Resolva, em R, a seguintes equações exponenciais: 
 
a) 3 x = 81 
 
b) 2 
x = 256 
 
c) 7 x = 7 
 
d) ( 
1
2
 ) 
x = 
1
32
 
 
e) 5 
x + 2 = 125 
 
f) 10 
3 x = 100.000 
 
 
104. Determine o valorde x, nas equações exponenciais: 
a) 8 x = 16 
b) 27 x = 9 
c) 9 x = 1
27
 
d) 0,1 
x 
 = 1000 
e) 2 x = 16 
f) 2 
x 
 = 32 
8 x = 64 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Um caminhão custa hoje R$ 100 000,00 e sofre Uma desvalorização de 10% por ano de uso. 
Depois de quanto tempo de uso o valor do veículo será igual 2 R$20 000,00? 
A cada ano que passa, o valor do caminhão fica sendo 90% do que era um ano atrás. Então, 
seu valor evolui da seguinte forma: 
• Após 1 ano de uso: 
90% de R$ 100 000,00, ou seja, R$ 90 000,00 
103. 
a) x = 4 
b) x = 8 
d) x = 5 
e) x = 1 
104. a) x = 4/3 
 b) x = 2/3 
 c) x = - 3/2 
 d) x = - 3 
 e) x = 4 
 f) x = 5 
 g) x = 2 
54 
 
• Após 2 anos de uso: 
90% de R$ 90 000,00, ou seja, R$ 81000,00 
• Após 3 anos de uso: 
90% de R$ 81000,00, ou seja, R$ 72 900,00 
e assim por diante. 
0 valor do veículo em reais evolui, ano a ano, de acordo com a sequência: 
100 000; (0,9) . 100 000; (0,9)2 . 100 000; (0,9)3 . 100 000 ;...; (0,9)x . 100 000 
em que x indica o número de anos de uso. 
Para responder à pergunta feita, devemos resolver a equação (0,9)x . 100 000 = 20 000, ou seja, 
( 0,9)x = 0,2, que é uma equação exponencial. 
No estudo de equações exponenciais, feito anterior, só tratamos de situações em que 
podíamos reduzir as potências à mesma base. Quando temos de resolver uma equação como 
(0,9) x = 0,2, não conseguimos reduzir todas as potências à mesma base. Para enfrentar esse e 
outros problemas, vamos estudar agora os logaritmos. 
 
Definição 
Sendo a e b números reais e positivos, com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a o 
expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potência a
x 
seja igual a b. 
log a b = x <=> a
x
 = b 
 
 
Na expressão loga b = x, temos: 
► a é a base do logaritmo; 
► b é o logaritmando; 
► x é o logaritmo. 
Vejamos alguns exemplos de logaritmos: 
• log 2 8 = 3, pois 2 
3 = 8 
• log 3 9 = 2, pois 3 
2
 = 9 
• log 5 5 = 1, pois 5 
1
 = 5 
• log 4 1 = 0, pois 4 
0 
= 1 
 
“Quando o logaritmo não apresenta a base, sempre corresponde a 10.” 
 troca o oito com o três de lugar 
 log 2 8 = 3 
 teremos 
 2 ³ = 8 
 2 ³ = 2 ³ 
 
55 
 
Desenvolvendo o logaritmo: 
Log 2 16 
Acrescentamos o ( x ) 
Log 2 16 = x 
Invertemos o ( x ) com o número 16 
 2 
x 
 = 16 
 2 
x = 2 4 
 X = 4 
 
Atividades: 
103. Usando a definição, calcule o valor dos seguintes logaritmos: 
a) log 2 16 
b) log 4 16 
c) log 3 81 
d) log 5 125 
e) log 100.000 
 
f) log 8 64 
 
 
 
 
104. Use a definição para calcular: 
a) log 2 
1
4
 
b) log 3 √3 
c) log 8 16 
d) log 4 128 
 
 
 
 
103. a) x = 4 
 b) x = 2 
 c) x = 4 
 d) x = 3 
 e) x = 5 
 f) x = 2 
104. a) x = -2 
 b) x = ½ 
 c) x = 4/3 
 d) x = 7/2 
56 
 
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
Vejamos através de exemplos como podemos resolver algumas equações logarítmicas. 
Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base. 
 log a f ( x ) = log a g ( x ) 
Para facilitar os nossos cálculos podemos observar apenas as bases. 
 log 3 ( x + 5 ) = log 3 9 
observe que as bases log 3 é igual a log 3, agora basta eliminarmos as mesmas e igualar as 
equações. 
 log 3 ( x + 5 ) = log 3 9 
 ( x + 5 ) = 9 
 x + 5 = 9 
 x = 9 – 5 
 x = 4 
 Então a solução é S = ( 4 ) 
105. Resolva, em R, as seguintes equações: 
a) log 5 ( x + 4 ) = log 7 
b) log 2 (4 x + 5 ) = log 2 ( 2x + 11 ) 
c) log 3 (5 x ² - 6x + 16 ) = log 3 ( 4x ² + 4x – 5 ) 
d) log x (2 x – 3 ) = log x ( - 4x + 8 ) 
e) log ( x + 2 ) (4 x + 5 ) = log ( x + 2 ) 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROGRESSÕES 
Sequências numéricas 
Uma função que associa números naturais 1, 2, 3,n a números reais é denominada sequência 
ou sucessão. 
105. a) x = 3 
 b) x = 3 
 c) x = 3 e 7 
 ou 
 Solução ( 7 e 3 ) 
57 
 
É usual indicar uma sequência apenas pelo seu conjunto imagem, colocando-o entre 
parênteses. Por exemplo, a sequência: 
 
(1930, 1934, 1938,..., 2002) 
é a sequência dos anos em que ocorreram campeonatos mundiais de futebol. Fica subentendido 
que 1930 é imagem do 1, 1934 é imagem do 2, etc. Por isso, 1930 é o primeiro termo da 
sequência, 1934 é o segundo, e assim por diante. 
Numa sequência qualquer, costuma-se indicar o primeiro termo por a1, o segundo termo por 
a2, e assim por diante. 
 
 
Dessa forma, uma sequência de n termos é indicada por: 
 
(a1, a2, a3, an) 
Há situações em que a sequência é infinita, e a representaremos por (a1 a2, a3,...). 
Em nosso estudo, os elementos das sequências serão sempre números reais. 
Formação dos elementos de uma sequência 
0s elementos de uma sequência podem ser determinados pela lei de formação. 
Vamos determinar os cinco primeiros termos da sequência definida por: 
 an = 3n2 + 2, n ϵ N* 
an representa o termo que ocupa a n-ésima posição na sequência, em que n = 1, 2, 3... Por 
esse motivo, an é chamado termo geral da sequência. 
Atribuindo valores permitidos para n, encontramos os termos procurados: 
 
n = 1 => a1 = 3 . 1 2 + 2 => a1 = 5 
n = 2 => a2 = 3 . 2 2 + 2 => a2 = 14 
n = 3 => a3 = 3 . 3 2 + 2 => a3 = 29 
n = 4 => a4 = 3 . 4 2 + 2 => a4 = 50 
 
Assim a seguência procurada é: ( 5, 14, 29, 50, ... ) 
 
Atividades 
106. Escreva os quatro primeiros termos da sequência definida por an = 3 + 2 n + n ², n ϵ N*. 
 
107. Seja a sequência definida, por an = -3 + 5 n, n ϵ N*. Determine: 
a) a2 b) a4 c) a11 
 
 
106. ( 6, 11, 18 e 27 
107. a) a 2 = 7 
 b) a 4 = 17 
 c) a 11 = 52 
58 
 
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS P.A 
Progressões aritméticas ( P.A ) é uma sequência de números reais em que a diferença entre um 
termo qualquer ( a partir do 2º ) e o termo antecedente é sempre a mesma ( constante 
). 
Essa constante é chamada razão da P.A. e é representada por ( r ). Vejamos alguns exemplos 
nas progressões abaixo. 
( 4, 7, 10, 13, 16, ... ), temos r = 3 
4 – 7 = 3 
7 – 10 = 3 
13 – 16 = 3 
( - 5, - 1, 3, 7, 11, ... ), temos r = 4 
( 7, 7, 7, 7, ... ), temos r = 0 
 
Termo Geral da P.A 
a n = a 1 + ( n – 1 ) . r 
 
 
Exemplo: 
Vamos calcular o 20º termo da P.A ( 26, 31, 36, 41, ... ) 
a n = a 1 + ( n – 1 ) . r 
a 20 = 26 + ( 20 -1 ) . 5 
a 20 = 26 + 19 . 5 
a 20 = 26 + 95 
a 20 = 121 
Atividades 
108. Quais das sequências que representam progressões aritméticas? 
a) 21, 25, 33, 37, ... d) – 30, 36, - 41, -45, ... 
b) 0, - 7, 7, - 14, 14, ... e) √2, 2√2 , 3√2, … 
c) – 8, 0, 8, 16, 24, ... 
109. Determine o 5º termo da P.A ( - 5, 2, ... ) 
 
razão ==> r = 3 
59 
 
110. Calcule o 4º termo da P.A ( 6, 3, ... )