relatorio 2 corrigido

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO - UFMA 
BACHARELADO INDERDICIPLINAR EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
FÍSICA EXPERIMENTAL I 
Prof. Dr. Karl Marx Silva Garcez 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
JENNIPHER RAFAELLE COSTA BEZERRA 
LUCAS RAFAEL VASCONCELOS SILVA 
 PEDRO HENRIQUE CARVALHO DA SILVA 
 
 
 
 
 
 
SÃO LUÍS – MA 
2016 
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SUMÁRIO 
 
1. RESUMO ............................................................................................. 03 
2. OBJETIVO .......................................................................................... 03 
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .......................................................... 03 
4. METODOLOGIA ................................................................................. 06 
4.1 Materiais ....................................................................................... 06 
4.2 Métodos ........................................................................................ 06 
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ......................................................... 07 
6. CONCLUSÃO ..................................................................................... 
7. 2° Etapa do segundo Experimento – Anexo ................................... 
1. Momentos da passagem do Pêndulo ....................................... 
2. Histograma para T ............................................................. 12 
3. Resultado na forma T = 𝑻 ̅± σT: ........................................... 13 
4. Conclusão................................................................................ 14 
10 
11 
11 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................... 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
1. RESUMO 
O experimento relatado a seguir tratou de estudar o comportamento 
de um pêndulo simples, utilizando algumas medidas feitas no laboratório e um 
modelo matemático para seu período. Através dos dados obtidos, foi possível 
estruturar uma tabela e obter um histograma no qual relaciona os valores de T 
para incerteza padrão e relaciona o valor médio para a gravidade g. 
Para que os experimentos sejam facilmente compreendidos se fará uma 
breve abordagem teórica sobre o tópico supracitado, explicando as ideias 
fundamentais para a compreensão dos resultados obtidos. 
Após a abordagem teórica trata-se dos procedimentos experimentais, 
tais como materiais utilizados e procedimentos, a seguir tem-se a análise dos 
resultados obtidos com os experimentos e por fim a conclusão, comparando os 
dados da literatura com os obtidos no trabalho. 
 
2. OBJETIVO 
O objetivo do experimento foi realizar medidas de período de um pêndulo 
simples, além disso, determinar o valor da aceleração da gravidade. 
 
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
O pêndulo simples é um sistema constituído por uma massa pontual m, 
suspensa de um ponto por um fio inextensível e de massa desprezável quando 
comparada com m, e que oscila em torno desse ponto. Durante a oscilação, a 
massa descreve uma trajetória circular cujo raio é o comprimento l do pêndulo. O 
movimento não é uniforme porque nem o módulo nem a direção e o sentido da 
velocidade são os mesmos em todos os pontos do seu percurso. 
 
Considerando o esquema de um pendulo simples na figura abaixo: 
 
 
 
 
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Figura 01 – Pêndulo simples 
 
Nota: Gráfico representando o pêndulo simples. 
 
Pela decomposição da força peso mostrada na figura, percebe-se que 
na vertical as forças se anulam isto é; 
 
𝑇 +𝑚𝑔 cos 𝜃= 0 
 
Isso significa que o movimento acorre apenas na horizontal, regida pela 
Lei de Newton. Considerando a função espaço percorrido da massa em relação ao 
tempo: 
𝑠(𝑡) = 𝐿 𝜃(𝑡) 
 
E a força F: 
 
5 
 
 
Substituindo a segunda derivada da função espaço, têm-se: 
 
 
 
No movimento do pêndulo, a única força que se atua é a componente 
horizontal da força peso: 
𝐹 = −𝑚𝑔 sin𝜃 
 
O sinal é negativo em relação ao eixo x. 
Igualando as forças, chega-se a seguinte equação: 
 
 
Que se caracteriza como uma equação diferencial de segunda ordem 
não linear. Para tanto, no caso de ângulos pequenos, menores que 15°, pode-se 
aproximar o valor da função seno pelo valor do próprio ângulo. Assim: 
 
 
Para a resolução de tal equação, é preciso considerar uma solução geral da forma:
 
Substituindo na equação: 
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Como a função exponencial é diferente de zero para todo tempo t, 
obtém-se a equação característica, onde os valores de 𝜔 geram soluções da 
equação. 
(11) 
A interpretação física do termo 𝜔 é que ele representa a frequência 
angular do movimento. Assim, o período de oscilação é: 
(12) 
Onde L é o comprimento do fio, g é a aceleração da gravidade e T é o período. 
 
4. METODOLOGIA 
 
4.1 Materiais 
 Conjunto de variable-g-Pendulum 
 Trena 
 Cronômetro 
 Transferidor 
 Uma folha chamex 
 
4.2 Métodos 
Primeiramente, um membro do grupo mediu o comprimento do pêndulo 
e em seguida anotou-se o valor, o equipamento utilizado foi posicionado na 
bancada, com a angulação ajustada a 10º iniciamos as medições, onde mediu-se o 
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tempo para que o pêndulo realizasse 20ciclos, repetindo-se por 10 vezes; deste 
modo foram anotados os valores. 
 
 
 
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
A partir dos dados coletados no experimento em laboratório, verificou-se 
os seguinte valor para o comprimento: 
 
5.1 Comprimento do pêndulo. 
L = 35 cm 
 Posteriormente foi tabelado as dez medições de vinte ciclos cada, 
obtendo-se assim o intervalo Δ𝑇, em seguida os valores de T foi dividido pelos vinte 
ciclos e o tempo médio de T foi alcançado, observe na tabela abaixo: 
 
Tabela 01 – Tabela dos valores obtidos para 𝑇. 
Δ𝑇 (segundos) 𝑇=Δ𝑇/20 (segundos) 
22,11 1,1055 
23,64 1,182 
23,59 1,1795 
23,49 1,1745 
23,67 1,1835 
23,32 1,166 
23,45 1,1725 
23,60 1,18 
23,55 1,1275 
23,72 1,186 
 
Depois de tabelados, segue-se um histograma para os valores de 𝑇. 
 
 
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Histograma para "T" 
 
 
 
 
Para apresentar os resultados no formato T = T̅± 𝜎T, utilizamos as 
seguintes fórmulas para tais resultados: 
 
 Média 𝑇 ̅: 
 𝑇 ̅ = 1,1657s 
 Desvio Padrão: 
 𝜎= 0,02707s 
 
 Desvio Padrão Médio: 
9 
 
 
 𝜎= 0.0085s 
 
 Para o Desvio Padrão Residual: 
 
 Tendo em vista que adotamos 0,5 como limite de erro, já que em teoria 
esse seria o tempo de reação humana para parar ou pausar um cronômetro 
manualmente, o resultando então foi: 
 
0,25 para Δ𝑇 e 0,0125s para cada ciclo 
 
 
 Desvio Padrão Total: 
 𝜎𝑇= 0,01515 
 
 
 Resultado experimental final: 
 𝑇= 1,1657 ± 0,01515 
 
 Valor Médio da aceleração da Gravidade 𝑔 ̅: 
 
𝒈 ̅ = (
𝟐𝝅
 𝑻 ̅
)² * l 
 
g = 10,184 m/s² 
 
 
 Propagação de Incerteza: 
 
10 
 
 𝜎𝑔= 0,08173 m/s² 
 
 
 Valor Experimental de g: 
 
g = 𝑔 ̅± 𝜎𝑔 
g = 10,184 m/s² ± 0,08173 m/s² 
 
 Incerteza Relativa Percentual: 
 
 𝜖(%)= 0,8% 
 
 
 
 
6. CONCLUSÃO 
 
O experimento apresentou resultados precisos entre si, com um desvio 
padrão entre os dados relativamentepequenos. Entretanto, divergiram em 
comparação ao valor esperado ou teórico. Isso pode ocorrer devido ao erro na hora 
de manuseio dos equipamentos por parte do observador e até mesmo na hora de 
efetuar os devidos cálculos. Concluiu-se ainda, que com os dados coletados todos 
os procedimentos foram realizados para determinação dos valores experimentais, e 
contudo de grande relevância para nosso aprendizado. 
 
 
 
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2° Etapa do Segundo Experimento – Anexo 
 
 Repetição do experimento usando o aparelho 3B netlog + foto sensor no 
lugar da medição manual. 
 As formulas utilizadas serão as Mesmas da primeira etapa. 
Levando-se em conta que cada valor de T representa o momento em que o 
pêndulo passa pelo foto sensor, e adotando 0 como sendo o angulo em que isso 
ocorre, podemos dizer que um ciclo ocorre após 2 passagens do pêndulo pelo foto 
sensor. De posse dos valores de T abaixo, começamos a calcular cada ciclo. A 
cada 2 medições temos um ciclo completo. Portanto a partir do 3 valor subtraímos 
o 1, do 5 subtraímos o 3, e assim por diante. 
 
 
1 - Momentos da passagem do pêndulo | Valores para T 
0.290600000000 1.1614 
0.845900000000 1.1592 
 1.45200000000 1.1615 
 2.00680000000 1.1599 
 2.61120000000 1.161 
 3.16640000000 1.1616 
 3.77270000000 1.1596 
 4.32640000000 1.1616 
 4.93260000000 1.1609 
 5.48710000000 1.16 
 6.09360000000 1.1605 
 6.64890000000 
 7.25520000000 
 7.80740000000 
 8.41480000000 
 8.96780000000 
12 
 
 9.57560000000 
 10.1285000000 
 10.7365000000 
 11.2885000000 
 11.8965000000 
 12.4485000000 
 13.0570000000 
 
 
2 - Histograma para T: 
 
 
 
Media Amostral: 
𝑻 ̅= 1.1607s 
 
Desvio Padrão: 
σ = 0.0009s 
 
Desvio Padrão Medio: 
13 
 
σM = 0.00027s 
 
Desvio Padrão Residual: 
 
σr = A barreira foto luminosa tendo realizado a leitura a cada 0.0002 s, 
adotamos este valor como o limite de erro (Lr) instrumental. Portanto a incerteza 
sistemática residual (σr) é 0.0001 s. 
 
Desvio Padrão Total: 
σT = 0.00029s 
 
3 - Resultado na forma T = 𝑻 ̅± σT: 
𝑇 ̅ = 1.1607s ± 0.00029s 
 
 Valor Médio da Aceleração da Gravidade: 
g = 10.2562 m/s² 
 
 Propagação de Incerteza: 
σg = 0.1631 m/s² 
 
 Valor experimental de g: g = ¯g ± σg 
g = 10.2562 ± 0.1631ms² 
 
 
 Incerteza Relativa Absoluta: 
e(%) = σg/g -----> 1.59% 
 
 
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4- Conclusão 
 
As medições usando o aparelho foram bem mais precisas do que as manuais, 
e os desvios foram menores como já era esperado. Os resultados obtidos 
experimentalmente nas duas etapas ficaram próximos entre si, porém, divergiram 
um pouco do valor da literatura. Isso pode ser devido a altitude, latitude e longitude 
que alteram o valor da aceleração média da gravidade dependendo do ponto da 
Terra em que esta é calculada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] RESNICK, R. HALLIDAY, D. WALKER, J. Fundamentos de Física vol.1 – 
Mecânica. 4ª Edição. Rio de Janeiro. LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora 
S. A., 1990. 
 
[2] NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física Básica vol.1 – Mecânica. 4ª Edição – 
Editora Edgard Blucher. 
 
[3] EDWARD, M. FINN, A. Física um Curso Universitário - Vol. 1 – Mecânica. 2ª 
Edição - Editora Edgard Blucher. 
 
<http:// http://www1.univap.br/rspessoa/aulas/fisicaexp2012/topico08fisicaexp.pdf> 
Acesso em: 21/11/16.