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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁREA DE ESTATÍSTICA DISCIPLINAS: IC 283 – BIOESTATÍSTICA E IC 284 – ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL Professores: Celso Guimarães Barbosa e Elizabeth Bernardo Ballesteiro Pereira EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO Teste do χ2 (qui-quadrado)..................................................................................................................... 2 Teste t de Student .................................................................................................................................. 5 Delineamento inteiramente ao acaso ..................................................................................................... 8 Delineamento em blocos ao acaso....................................................................................................... 10 Ensaios fatoriais ................................................................................................................................... 13 Regressão e correlação linear simples................................................................................................. 14 Regressão na análise de variância....................................................................................................... 16 Respostas – teste do χ2 (qui-quadrado) ............................................................................................... 18 Respostas – teste t de Student............................................................................................................. 22 Respostas – delineamento inteiramente ao acaso............................................................................... 25 Respostas – delineamento em blocos ao acaso .................................................................................. 27 Respostas – ensaios fatoriais.............................................................................................................. 29 Respostas – regressão e correlação linear simples ............................................................................. 32 Respostas – regressão na análise de variância ................................................................................... 36 ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 2 TESTE DO χ2 (QUI-QUADRADO) 1) Para uma distribuição de χ2 com 12 graus de liberdade, determinar o valor de χ2 de modo que: a) A área à direita de χ2 seja igual a 0,05. b) A área à esquerda de χ2 seja igual a 0,99. c) A área à direita de χ2 seja igual a 0,025. 2) Verificou-se em uma amostra casual de 100 casos de câncer pulmonar que 64 eram de homens e 36 de mulheres. Ao nível de 5% de significância, pode-se aceitar a hipótese de que a ocorrência deste tipo de câncer é a mesma para homens e mulheres? 3) Na mandioca, da autofecundação de uma planta de raízes marrons foram obtidos 132 descendentes com raízes marrons e 48 com raízes brancas. Verificar pela aplicação do teste de χ2 se é indicada a aceitação da hipótese genética 3:1 com α = 5%. 4) Um touro vermelho e branco é acasalado com 120 vacas de igual genótipo e nasceram 20 animais vermelhos, 70 vermelhos e brancos e 30 brancos. Testar com α = 5%, se pode aceitar a proporção de 1:2:1. 5) Num acasalamento entre indivíduos cujos pares de genes eram Aa e Bb, determinaram na F2 (2ª geração), os seguintes fenótipos e suas freqüências: Fenótipos AB Ab aB ab Freqüência 87 30 35 8 Testar se é aceito a hipótese genética da dominância para dois pares de genes (proporção 9:3:3:1). Use α = 5%. 6) Do cruzamento entre uma variedade de mandioca de raízes marrons e folhas de lobos estreitos e outra de raízes brancas e folhas de lobos largos, obteve-se um F1 homogêneo com raízes marrons e folhas de lobos estreitos e um F2 assim distribuído: Fenótipos Raízes marrons e fo-lhas de lobos estreitos Raízes marrons e fo- lhas de lobos largos Raízes brancas e fo- lhas de lobos estreitos Raízes brancas e fo- lhas de lobos largos Freqüência 97 38 33 16 Verificar pela aplicação do χ2 se é indicada a aceitação da hipótese genética 9:3:3:1 com α = 1%. 7) Na descendência de um determinado cruzamento, esperava-se uma segregação fenotípica de 3:1. Examinando-se 100 indivíduos providos deste cruzamento, encontrou-se 80 indivíduos com fenótipo de característica de genes dominantes. Com base nos resultados acima, aceita-se ou não a hipótese de segregação 3:1, com α = 5%? BARBOSA & PEREIRA 3 8) Uma amostra aleatória de 650 nascimentos de uma espécie animal revelou a ocorrência de 100, 120, 300 e 130 nascimentos no outono, inverno, primavera e verão, respectivamente. Em anos anteriores, as proporções obtidas foram de 22%, 25%, 30% e 23% para estas quatro estações, respectivamente. Verificar se existem evidências de que a distribuição dos nascimentos desta espécie animal tenha mudado atualmente. Use α=5%. 9) Verificar a influência de duas diferentes épocas na utilização de um defensivo agrícola natural, sobre a cultura da beterraba. Aplicar o teste de χ2 utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir. Condição Época 1 Época 2 Total Apresentou sintomas 18 27 45 Não apresentou sintomas 22 13 35 Total 40 40 80 10) Pesquisando-se a incidência de intoxicação por produtos agrícolas em uma comunidade, amostrou-se 5000 participantes de ambos os sexos, obtendo-se os seguintes resultados. Sexo do participante Contaminados Não contaminados Total Masculino 1200 1000 2200 Feminino 950 1850 2800 Total 2150 2850 5000 Aplicar o teste de χ2 utilizando-se α = 1% para testar a independência dos eventos e concluir. 11) Uma amostra de 800 soros para a pesquisa de toxoplasmose levando-se em conta a característica local, revelou os seguintes resultados: Localidade Positivos Negativos Total Zona urbana 70 380 450 Zona rural 40 310 350 Total 110 690 800 Aplicar o teste de χ2 utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir. 12) Com o objetivo de determinar a eficiência de certo produto sobre o desenvolvimento de manchas em tomateiros, um pesquisador contaminou 80 plantas de tomate com a doença causadora de manchas e em seguida dividiu-as em dois grupos que foram cultivadas em estufas isoladas, administrando o produto em somente um dos grupos. Os resultados obtidos foram os seguintes: Situação Sem sintomas Com sintomas Total Receberam o produto 28 12 40 Não receberam o produto 20 20 40 Total 32 48 80 Aplicar o teste de χ2 utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir. ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 4 13) Os valores a seguir referem-se aos resultados de um levantamento de 260 fazendas de trigo, com o objetivo de determinar a influência da lagarta sobre a produção deste cereal. As fazendas foram classificadas em quatro tipos de acordo com a intensidade da infestação e registradas em cada uma o resultado da colheita: satisfatórias e não-satisfatórias. Infestação pela lagarta Colheita satisfatória (nº de granjas) Colheita não-satisfatória (nº de granjas) Total Leve 94 15 109 Moderada 62 15 77 Alta 31 17 48 Muito alta 15 11 26 Total 202 58 260 Aplicar o teste de χ2 utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir. 14) Em face da alta inflacionária, o Governo está considerando impor um controle de preços. Um pesquisador interessado em verificar o relacionamento entre a ocupação do indivíduo e a atitude a tomar em relação ao controle de preços, coletou os seguintes dados: Ocupação Atitude a favor Atitude contra Total Trabalhadores 90 60 150 Negociantes 100 150 250 Profissionais 110 90 200 Total 300 300 600 Aplicar o teste de χ2 utilizando-se α = 1% para testar a independência dos eventos e concluir. 15) Emuma pesquisa sobre relação entre grupos sangüíneos e doenças do estômago, foram tomadas amostras de pacientes com úlcera péptica e câncer gástrico e de indivíduos normais (controles). Classificaram- se, todos eles, pelos grupos sangüíneos do sistema ABO, obtendo-se: Grupo sangüíneo* Úlcera péptica Câncer gástrico Controle Total O 983 383 2892 4258 A 679 416 2625 3720 B 134 84 570 788 Total 1796 883 6087 8766 * Pessoas do grupo AB foram omitidas em face do número ser reduzido. Aplicar o teste de χ2 utilizando-se α = 1% para testar a independência dos eventos e concluir. 16) Um levantamento foi realizado para verificar uma possível associação entre a freqüência de cistos férteis e inférteis de certo parasito nos diversos lobos do fígado de ovinos. Os resultados obtidos foram os seguintes: Localização Cistos férteis Cistos inférteis Total Lobo lateral esquerdo 138 104 242 Lobo central esquerdo 101 86 187 Lobo central direito 119 67 186 Lobo lateral direito 86 69 155 Total 444 326 770 Aplicar o teste de χ2 utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir. BARBOSA & PEREIRA 5 TESTE T DE STUDENT 1) Um pecuarista desejando vender seu rebanho, com 3.000 animais, solicitou ao técnico da Cooperativa que fizesse uma avaliação, com nível de 95% de confiança, dos pesos máximo e mínimo do seu rebanho. Para responder ao pecuarista, o técnico obteve uma amostra casualizada de 25 animais, cuja média foi de 18 arrobas e desvio padrão de 8 kg. Nas condições dadas, qual foi a resposta do técnico? 2) Após os testes de fábrica, uma indústria de motobombas para irrigação divulgou que seu equipamento tem uma vazão média de 20 l/s. Um produtor de arroz irrigado, antes de comprar o equipamento citado, pediu ao agrônomo que testasse a afirmativa da fábrica. Para tanto o agrônomo, determinou as vazões de 9 motobombas da mesma especificação e nas mesmas condições, obtendo os seguintes resultados: 18 22 21 28 32 25 25 20 25 em l/s Formule H0 e H1 e aplique o teste recomendado para o caso. Use 5% de nível de significância. 3) Sabe-se que uma certa linhagem de ratos alimentados por uma ração padrão, tem aumento de peso igual a 64 g durante os 3 primeiros meses. Um lote de 12 ratos desta linhagem foi submetido a dieta com nova ração, mantendo-se as condições ambientais padronizadas. Os aumentos de peso observados por rato foram: 55, 62, 54, 58, 65, 64, 60, 62, 59, 67, 62 e 61 gramas. A nova ração tem a mesma eficiência alimentar que a padrão? Use α igual a 5%. ΣXi = 729 g ΣX2i = 44.449 g2 4) O limite de tolerância para o chumbo foi estabelecido em 0,20 mg/m3 em ambientes fechados. Com o intuito de saber se em determinada indústria a concentração média de chumbo era superior ao limite tolerável, uma amostra de 10 determinações foi tomada, encontrando-se os seguintes valores, em mg/m3: 0,18 0,22 0,14 0,20 0,17 0,26 0,24 0,25 0,25 0,23 ΣXi = 2,14 mg/m3 ΣX2i = 0,4724 mg/m3 Qual a conclusão que podemos tirar a respeito do teor de chumbo na indústria? Use um nível de significância de 1%. Supondo-se que a concentração média de chumbo fosse desconhecida, construir um intervalo de confiança a 99% baseada nesta amostra, para a média populacional. 5) Para que os pacientes sejam tratados adequadamente, os remédios receitados pelos médicos devem ter seus efeitos corretamente definidos. Conseqüentemente, o efeito médio dos remédios deve estar especificado nas bulas de todos os recipientes. Um fabricante de remédios afirma que seu produto tem um efeito médio de 5 mg/ml. Uma amostra aleatória retirada de 4 recipientes indicou: 4,94; 5,09; 5,03 e 4,90 mg/ml. ΣXi = 19,96 mg/ml ΣX2i = 99,6226 (mg/ml)2 a) Os dados têm evidência suficiente para indicar que o efeito médio desse remédio é diferente de 5 mg/ml? b) Para uma amostra de 61 recipientes de remédios, onde se obteve uma média de 5,04 mg/ml e variância de 0,0063 (mg/ml)2, qual a conclusão obtida? Use em ambos os itens um nível de significância de 1%. ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 6 6) Objetivando-se estudar o efeito de dois tipos de rações sobre a produção de ovos, um aviário realizou o seguinte teste: durante 30 dias seis conjuntos foram tratados com a ração A, efetuando-se o controle da postura de cada conjunto. Outros seis conjuntos foram tratados com a ração B. Cada conjunto de aves era constituído de 10 animais. Os resultados encontrados em média por ave, foram os seguintes: (produção de ovos/ave/30 dias) ΣXi Ração A 28 32 30 29 31 30 180 Ração B 24 24 25 22 28 27 150 Proceder à comparação das variâncias (teste F) e em seguida à das médias pelo teste t de Student. Use α = 5%. 7) Foram os seguintes os pesos (em kg) obtidos em duas amostras de frangos de duas raças de corte: Médias Raça A 1,3 1,4 1,1 1,4 - - 1,3 Raça B 1,8 1,8 1,7 1,9 1,8 1,8 1,8 Proceder à comparação das variâncias (teste F) e em seguida à das médias pelo teste t de Student. Use α = 5%. 8) O efeito da ingestão do álcool sobre o corpo humano parece ser bem maior em localidades mais elevadas do que nas que estão ao nível do mar. Para se testar esta tese, um cientista selecionou, aleatoriamente, 12 pessoas e dividiu-as, aleatoriamente em 2 grupos de 6. Um grupo foi transportado para uma localidade situada a 4000 m de altitude e o outro ficou em uma cidade situada ao nível do mar. Cada pessoa ingeriu uma bebida que continha 100 ml de álcool. Depois de 2 horas, o cientista mediu o conteúdo de álcool no sangue de cada uma dessas pessoas (em g/ml), obtendo-se os dados a seguir. Esses dados evidenciam, com suficiência, uma prova de que esta tese é correta? Teste, considerando α = 5%. ΣXi ΣX2i Ao nível do mar 0,07 0,10 0,09 0,12 0,09 0,13 0,60 0,0624 A 4.000 m 0,13 0,17 0,15 0,14 0,10 0,14 0,83 0,1175 9) Um estudo foi conduzido para se comparar o teor de gordura em leite integral pasteurizado (g%) de dois fabricantes. Utilize os testes F e t de Student, ao nível de significância de 5% e conclua com base nos dados seguintes: ΣXi ΣX2i Fabr. A 4,2 3,8 3,6 3,8 4,0 3,9 3,8 4,0 31,1 121,13 Fabr. B 3,8 3,5 3,6 3,8 3,7 3,7 3,6 - 25,7 94,43 10) Um pesquisador decidiu testar, entre outras, a hipótese de que recém-nascidos de peso normal (≥2500g) têm perímetro cefálico em média maior do que recém-nascidos de baixo peso (<2500g) a um nível de 5% de significância. Foram observadas 21 crianças de menos de 2500g e 31 de 2500g ou mais, das quais mediu-se o perímetro cefálico (em cm), encontrando-se os seguintes valores: Média de baixo peso (A) Î 30,53 cm Variância de baixo peso Î 3,4756 cm2 Média de peso normal (B) Î 33,88 cm Variância de peso normal Î 2,1025 cm2 Fazer a análise estatística e concluir. Use α = 5%. BARBOSA & PEREIRA 7 11) Cinco operadores de certo tipo de máquina são treinados em máquinas de duas marcas diferentes, A e B. Mediu-se o tempo que cada um deles gasta na realização de uma mesma tarefa, sendo os resultados (em min) os seguintes: Operador nº 1 2 3 4 5 Marca A 80 72 65 78 85 Σdi = 25 Marca B 75 70 60 72 78 Σd2i = 139 A – B (di) 5 2 5 6 7 Ao nível de significância de 5%, o que poderíamos afirmar em relação ao tempo gasto com as máquinas das duas marcas? 12) Foram testadas duas variedades (A e B) de uma hortaliça em 7 canteiros conforme o esquema seguinte: Canteiro nº 1 2 3 4 5 6 7 A B A B A B B B A B A B A A Os dados de produção (em kg/m2) foram os seguintes: Canteiro nº 1 2 3 4 5 6 7 A 5,6 5,0 4,8 5,1 4,6 4,9 5,4 Σdi = 1,7 B 5,2 5,0 5,1 4,9 4,1 4,5 4,9 Σd2i = 0,95 A – B (di) 0,4 0,0 -0,3 0,2 0,5 0,4 0,5 Utilizando-se o teste t de Student, testar a hipótese de que não existe diferença significativa na produtividade das duas variedades. Use α = 5%.13) Objetivando-se testar o efeito da niacina (vitamina PP) sobre o teor de hemoglobina em suínos, um pesquisador realizou um ensaio com 8 animais onde se obteve os seguintes resultados da concentração de hemoglobina (g%) antes (A) e após (B) o tratamento com a vitamina. Animal nº 1 2 3 4 5 6 7 8 A 13,6 13,6 14,7 12,1 12,3 13,2 11,0 12,4 Σdi = 9,2 B 11,4 12,5 14,6 13,0 11,7 10,3 9,8 10,4 Σd2i = 21,08 A – B (di) 2,2 1,1 0,1 -0,9 0,6 2,9 1,2 2,0 Utilizando-se o teste t de Student, testar a hipótese de que não existe diferença significativa para o efeito da vitamina. Use α = 5% e a 1%. ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 8 DELINEAMENTO INTEIRAMENTE AO ACASO 1) Dois tratamentos foram ensaiados utilizando-se o delineamento inteiramente ao acaso, cada um com 5 repetições. Os resultados obtidos no final do ensaio foram: Repetições Tratamentos 1 2 3 4 5 ΣTi A 4 5 4 7 5 25 B 6 8 9 7 5 35 ΣY2ij = 386 Faça a análise de variância, utilizando-se um nível de 5% de significância. Aplique o teste t de Student. Verifique que relação existe entre a variância ponderada e a variância do resíduo. Verifique que relação existe entre o valor do teste t calculado e o de F calculado da análise de variância. Comente os resultados. 2) Suponha-se um experimento fictício de alimentação de suínos, em que foram testadas 4 rações (A, B, C e D), com 3 repetições cada uma. Cada ração foi aplicada a conjuntos de quatro animais que se encontrava em baias (constituindo uma unidade experimental), sendo que os aumentos de peso obtidos (em kg) encontram-se a seguir. Faça a análise de variância e conclua utilizando-se 5% de nível de significância. Se for o caso compare as médias dos tratamentos pelo teste de Tukey. Repetições Rações 1 2 3 ΣTi A 35 19 30 84 B 40 35 45 120 C 39 27 21 87 D 26 15 16 57 ΣYij = 348 ΣY2ij = 11184 3) Um experimento foi conduzido, no delineamento inteiramente casualizado, com o objetivo de estudar o efeito da adubação verde na cultura do milho. Para tanto, foram estudadas 4 leguminosas (A, B, C e D), as quais foram cultivadas com o mesmo nº de plantas por parcela. Os resultados em kg de milho por parcela foram: Repetições Leguminosas 1 2 3 4 ΣTi A 10 8 15 7 40 B 22 28 25 25 100 C 37 39 42 42 160 D 45 55 47 53 200 ΣYij = 500 ΣY2ij = 19442 Fazer a análise de variância e concluir com relação à aplicação do teste F e do teste de Tukey. Utilizar α = 5%. BARBOSA & PEREIRA 9 4) Um experimento foi utilizado para verificar a influência da adição do hormônio de crescimento, tiroxina, para o crescimento dos pêlos de chinchilas. Utilizou-se 3 grupos experimentais (A: controle, ração usual, B: ração com tiroxina em um nível estipulado e C: ração com o dobro desse nível de tiroxina). Utilizou-se 30 animais machos e desmamados na mesma semana. Foram sorteados 10 animais para cada tratamento. Após seis meses de ensaio, avaliou-se o comprimento médio do pêlo de cada animal (unidade experimental) onde se obteve os seguintes resultados (em cm). Repetições Tratamentos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ΣTi A 2,5 2,8 2,3 2,7 2,4 2,8 2,2 2,4 2,6 2,1 24,8 B 2,8 3,5 4,3 2,9 3,3 3,6 3,4 3,7 3,4 3,2 34,1 C 3,5 4,2 3,8 3,9 4,1 4,1 3,2 3,7 4,0 3,8 38,3 ΣYij = 97,2 ΣY2ij = 327,46 Fazer a análise de variância e concluir com relação à aplicação do teste F e do teste de Tukey. Utilizar α = 5%. 5) Num ensaio de variedades de batatinhas, no delineamento inteiramente casualizado, as produções foram as seguintes, em kg por parcela de 20 m2. Repetições Variedades 1 2 3 4 ΣTi Regente 15,6 18,6 15,2 - 49,4 Rival 21,1 21,7 21,8 23,4 88,0 Patrones 16,4 17,4 18,4 19,3 71,5 Dekama 19,2 21,6 - 22,6 63,4 Fedria 20,4 22,0 23,3 21,0 86,7 ΣYij = 359,0 ΣY2ij = 7272,04 Fazer a análise de variância e concluir com relação à aplicação do teste F e do teste de Tukey. Utilizar α = 5%. 6) Obtiveram-se amostras de água de 4 lugares por onde passa um rio, com vistas a se determinar se havia variação da quantidade de oxigênio dissolvido (uma medida da poluição dos rios) de um lugar para outro. Recolheram-se amostras de água de cada um destes lugares, de modo aleatório, que analisadas deram os seguintes valores: Conteúdo médio de O2 dissolvido Localidades 1 2 3 4 5 ΣTi A 5,9 6,1 6,3 6,1 6,0 30,4 B 6,3 6,6 6,4 6,4 6,4 32,1 C 4,8 4,3 5,0 4,7 5,1 23,9 D 6,0 6,2 6,1 5,8 - 24,1 ΣYij = 110,5 ΣY2ij = 650,97 Faça a análise de variância e o teste de Tukey, utilizando-se um nível de 5% de significância e dizer qual(is) a(s) localidade(s) que apresentou(ram) maior índice de poluição. ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 10 DELINEAMENTO EM BLOCOS AO ACASO 1) Um experimento foi conduzido para avaliar a produtividade de 6 variedades de leguminosas forrageiras (A, B, C, D, E e F). O delineamento utilizado foi em blocos ao acaso com 4 repetições. Os dados em kg/parcela de 10 m2 de massa verde foram: Tratamentos Blocos A B C D E F ΣBj I 10 16 8 12 15 3 64 II 12 14 7 14 12 5 64 III 13 10 9 16 8 4 60 IV 8 15 10 10 8 7 58 ΣTi 43 55 34 52 43 19 246 ΣY2ij = 2840 Faça a análise da variância utilizando-se um nível de significância de 5%. Comparar as médias dos tratamentos pelo teste de Tukey. 2) Um experimento de alimentação em caprinos foi realizado para estudar 5 tipos de suplementos alimentares (A, B, C, D e E). Como é sabido, os animais respondem de maneira diferente em função da idade e peso no início do experimento, aos suprimentos fornecidos. Para controlar estas causas de variação, organizamos blocos com animais de mesma idade e peso de modo a formar quatro blocos. A seguir, apresentamos os resultados do experimento, em que foram tomadas as médias de ganho de peso/dia no final de trinta dias de experimentação. Tratamentos Blocos A B C D E ΣBj I 0,6 0,8 0,3 0,9 0,2 2,8 II 0,4 0,5 0,2 0,6 0,1 1,8 III 0,8 1,0 0,6 0,8 0,4 3,6 IV 0,3 0,4 0,1 0,5 0,1 1,4 ΣTi 2,1 2,7 1,2 2,8 0,8 9,6 ΣY2ij = 6,08 Faça a análise da variância utilizando-se um nível de significância de 5%. Comparar as médias dos tratamentos pelo teste de Tukey. BARBOSA & PEREIRA 11 3) Um experimento foi conduzido no delineamento em blocos ao acaso para avaliar a possível influência da variedade de algodão sobre a resistência da fibra do mesmo. Os seguintes dados, indicam o índice de resistência obtido com as 5 variedades testadas. Variedades Blocos A B C D E ΣBj I 7,62 8,14 7,76 7,17 7,46 38,15 II 8,00 8,15 7,73 7,57 7,68 39,13 III 7,93 7,87 7,74 7,80 7,21 38,55 ΣTi 23,55 24,16 23,23 22,54 22,35 115,83 ΣY2ij = 895,6183 Faça a análise da variância utilizando-se um nível de significância de 5%. Comparar as médias das variedades pelo teste de Tukey. 4) Em um experimento de irrigação, em arroz, foram testados 4 formas de adicionar a água nos talhões de cultivo. O experimento foi conduzido em blocos ao acaso com parcelas de 300 m2 de área útil e os resultados em kg/parcela foram os seguintes: Blocos Tratamentos I II III IV V VI ΣTi T1 68 86 68 73 62 50 407 T2 73 90 71 69 67 55 425 T3 53 62 46 52 40 40 293 T4 50 62 50 56 46 52 316 ΣBj 244 300 235 250 215 197 1441 ΣY2ij = 90535 Faça a análise da variância utilizando-se um nível de significância de 5%. Comparar as médias dos tratamentos pelo teste de Tukey. 5) Realizou-se uma pesquisa, visando-se comparar o efeito de 3 vegetais com função de estimulação cardíaca (A, B e C) sobre a quantidade de cálcio do músculo do coração de cães. Os músculos cardíacos de 4 cães foram considerados como blocos. O teor de cálcio foi medido obtendo-se os seguintes resultados: Cães (blocos) Tratamentos 1 2 3 4 ΣTi A 1342 1140 1029 1150 4661 B 1608 1387 1296 1319 5610 C 1881 1698 1549 1579 6707ΣBj 4831 4225 3874 4048 16978 ΣY2ij = 24724722 Faça a análise da variância utilizando-se um nível de significância de 5%. Comparar as médias dos tratamentos pelo teste de Tukey. ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 12 6) Plantou-se 4 tipos de café (variedades) em 5 blocos. O delineamento foi em blocos ao acaso. Ao nível de 5% de significância, teste se a produção indicada na tabela abaixo varia: a) Devido ao solo (entre blocos)? b) Devido às variedades de café (entre variedades)? c) Aplique o teste de Tukey para a comparação das médias de variedades. Blocos Variedades I II III IV V ΣTi A 15 19 18 16 17 85 B 12 15 14 11 16 68 C 10 12 15 12 11 60 D 14 11 12 16 14 67 ΣBj 51 57 59 55 58 280 ΣY2ij = 4044 7) Para o estudo da eficiência de substitutos do leite, foram selecionados 15 bezerros de modo a constituírem três blocos. Os tratamentos, todos com 21% de proteína, foram: leite em pó desnatado (A); idem ao trat. A mais concentrado de peixe (B); idem ao trat. B mais soro de leite (C); soro de leite mais promotor de crescimento (D) e idem ao trat. D mais concentrado de peixe (E). Os resultados obtidos em ganho de peso (kg/animal) foram os seguintes: Tratamentos Blocos A B C D E ΣBj I 27,5 30,1 31,0 33,6 35,8 158,0 II 28,2 30,6 31,5 34,2 36,7 161,2 III 27,2 29,8 30,8 34,8 37,2 159,8 ΣTi 82,9 90,5 93,3 102,6 109,7 479,0 ΣY2ij = 15445,64 Faça a análise da variância utilizando-se um nível de significância de 5%. Comparar as médias dos tratamentos pelo teste de Tukey. 8) Com base nos dados apresentados na tabela abaixo, teste a hipótese de que, em média, a pressão arterial de cães é a mesma, quando se utiliza 3 formulações diferentes da prilocaína. Um mesmo animal foi utilizado em períodos distintos para se testar as formulações. Cães (blocos) Formulações I II III IV V VI ΣBj A 70 110 140 85 140 95 640 B 60 110 155 90 125 90 630 C 62 110 150 100 130 70 622 ΣTi 192 330 445 275 395 255 1892 ΣY2ij = 214244 Faça a análise da variância utilizando-se um nível de significância de 5%. Comparar as médias dos tratamentos pelo teste de Tukey. BARBOSA & PEREIRA 13 ENSAIOS FATORIAIS 1) Um experimento utilizando-se o delineamento inteiramente ao acaso foi realizado para se avaliar o peso ao abate de coelhos, quando submetidos a dietas com diferentes níveis de fibra e de proteína na ração. Os resultados obtidos (em kg) com 24 animais foram os seguintes: Proteína bruta Fibra bruta 14% 16% 18% Totais 12% 1,42 1,58 1,80 1,40 1,56 1,78 1,36 1,52 1,74 1,48 1,64 1,86 Subtotais 5,66 6,30 7,18 19,14 15% 1,10 1,31 1,60 1,08 1,29 1,58 1,04 1,25 1,54 1,24 1,37 1,64 Subtotais 4,46 5,22 6,36 16,04 Totais 10,12 11,52 13,54 35,18 ΣY2ij = 52,7748 Fazer a análise de variância e se necessário o teste de Tukey para comparar os níveis de cada um dos fatores estudados. Utilize α = 5%. 2) Em um experimento fatorial, estudou-se duas variedades de tomates em dois espaçamentos codificados, respectivamente, por a0 e a1, e b0 e b1, cujos resultados foram kg/parcela de 10 m2. O delineamento utilizado foi o de blocos ao acaso. Faça a análise estatística e conclua com base nos resultados. Use α = 5%. Blocos Tratamentos I II III IV V ΣTi a1 b1 17 19 18 20 21 95 a1 b0 21 22 16 23 28 110 a0 b1 19 25 17 25 29 115 a0 b0 11 18 13 20 18 80 ΣBj 68 84 64 88 96 400 ΣY2ij = 8388 3) Um experimento foi realizado para pesquisar três fontes de proteína adicionadas à ração de suínos, machos e fêmeas, após a desmama. Os dados abaixo representam o ganho de peso, após 90 dias do início do experimento. O delineamento utilizado foi o inteiramente casualizado. Faça a análise de variância e o teste de comparação de médias (Tukey) e conclua com base nos resultados. Use α = 5%. Fonte I Subtot. Fonte II Subtot. Fonte III Subtot. Totais Machos 9 5 1 15 5 7 9 21 7 9 11 27 63 Fêmeas 7 11 15 33 10 13 16 39 1 3 5 9 81 Totais 48 60 36 144 ΣY2ij = 1468 ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 14 4) O resultado de uma pesquisa na qual foram testados 9 tratamentos fatoriais, no delineamento em blocos ao acaso, foi o seguinte (em kg/parcela): V1 V2 V3 Blocos C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 Totais I 9 10 10 10 12 13 6 10 9 89 II 10 13 12 9 10 11 7 12 13 97 III 11 15 12 12 9 9 9 14 16 107 IV 11 16 13 12 16 17 12 16 19 132 V 14 15 11 15 13 14 10 14 17 123 Totais 55 69 58 58 60 64 44 66 74 548 Totais de Vi 182 182 184 Totais de Cj 157 195 196 ΣY2ij = 7030 Onde: Vi = variedades de cenoura Cj = nº de plantas por parcela Faça a análise de variância e o teste de Tukey para a comparação das médias e conclua. Use α = 5%. REGRESSÃO E CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 1) Em um experimento estudou-se o efeito de diversas doses de adubo nitrogenado (x) sobre a cultura do feijão. No final do experimento obtiveram-se as seguintes produções (y): Σ Média x 0 0 0 1 1 1 2 2 2 9 1 y 5 3 4 6 9 8 12 10 15 72 8 ΣX2i = 15; ΣY2i = 700; ΣXi.Yi = 97 Pede-se: 1.a) A reta dos mínimos quadrados (melhor ajuste): 1.b) Determine o intervalo de confiança para o coeficiente de regressão paramétrico (β), com α = 0,05 1.c) Aplicar o teste t de Student, com α = 0,05, para o coeficiente de regressão linear. 1.d) Determine o aumento esperado da produção quando passarmos da dose 1 para a dose 2. 1.e) Na aplicação do teste t de Student, no item c, qual a hipótese nula formulada. Com relação ao gráfico o que significa a hipótese nula? 2) Para estudar a influencia do (x) número de plantas (stand) existentes na parcela sobre a (y) produção de grãos, em uma variedade de sorgo gramíneo, montou-se um experimento, cujos resultados foram: Σ Média x 18 15 17 16 19 24 15 14 17 18 173 17,3 y 58 90 95 53 92 96 75 84 94 87 824 82,4 ΣX2i = 3065; ΣY2i = 70064; ΣXi.Yi = 14374 Pede-se: 2.a) Determine a reta de melhor ajuste; 2.b) Faça a análise de variância da regressão linear simples, utilizando-se α = 0,05; 2.c) Com relação ao gráfico da reta de melhor ajuste o que significa H0 na aplicação do teste F de Fisher- Snedecor? BARBOSA & PEREIRA 15 3) Para os dados abaixo correspondentes ao tempo em horas (x) e o número de colônias (y) de uma certa bactéria semeada em um meio de cultura, pede-se: Σ Média x 1 2 3 4 5 15 3 y 10 20 25 40 30 125 25 ΣX2i = 55; ΣY2i = 3625; ΣXi.Yi = 435 3.a) Calcular a estimativa do coeficiente de regressão e interprete-o; 3.b) O valor e o significado do coeficiente linear (a) na reta? 3.c) Mencionar o método usado para o ajustamento da função e dar suas características. 3.d) O valor esperado para o número de colônias após 6 horas de inoculação (somente para treino, pois valores fora do intervalo estudado não é recomendo esse tipo de estimação), embora em muitas áreas da ciência este valor não deixe de ser usado como uma possível previsão futura. No caso específico, sabemos que o número de colônias depende não somente do número de horas, mas também da quantidade de meio de cultura. 4) Em um experimento, in vitro, com um carrapaticida, foram usadas quatro diferentes concentrações do mesmo. Ao final do ensaio obteve-se os seguintes resultados (nº de carrapatos mortos/placa): Σ Média X 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 18 1,5 Y 40 60 20 80 100 90 170 150 190 230 260 230 1620 135 ΣX2i = 42; ΣY2i = 291000; ΣXi.Yi = 3450 4.a) Determinar a função de melhor ajustamento e testar pelo teste t se Student o coeficiente de regressão; 4.b) Determinar o intervalo de confiança, com α = 0,05 para o coeficiente de regressão paramétrico. 5) Com a finalidade de se estudar o poder germinativo (%) em função da idade da semente de uma planta, foi montado um experimento cujos dados obtidos foram: Σ Média x 1 2 3 45 6 21 3,5 y 90 80 70 60 50 40 390 65 ΣX2i = 91; ΣY2i = 27100; ΣXi.Yi = 1190 5.a) Calcule a estimativa do coeficiente de regressão e interprete-o; 5.b) Determine a reta de melhor ajuste; 5.c) Determine a soma de quadrados dos desvios da regressão e analise a relação entre os dados obtidos e os teoricamente esperados. 6) Um experimento foi conduzido a fim de verificar a regressão entre o número de leitões desmamados e o peso por leitegada, ao desmame. Os resultados encontram-se na tabela abaixo: Σ Média x 5 6 4 8 10 7 6 7 53 6,625 y 60 72 50 84 108 74 62 70 580 72,5 ΣX2i = 375; ΣY2i = 44224; ΣXi.Yi = 4064 Determinar os coeficientes de correlação e de determinação linear simples e concluir. Usar α = 0,05. 7) Os dados seguintes referem-se às concentrações de hemoglobina sangüínea, em percentagem do normal, e a contagem de eritrócitos, em milhões de células/ml, do sangue de 9 cães machos de uma mesma criação. Σ X (% do normal) 93 96 108 86 92 80 96 117 95 863 Y (milhões/ml) 7,3 6,5 7,7 5,4 6,7 5,1 7,0 8,5 7,8 62,0 ΣX2i = 83719; ΣY2i = 436,98; ΣXi.Yi = 6030,8 Verificar ao nível de significância de 5%, se existe correlação linear entre as duas variáveis estudadas. ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 16 REGRESSÃO NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA 1) Um experimento foi conduzido, no delineamento inteiramente casualizado, com o objetivo de estudar o efeito da adubação nitrogenada na cultura do milho. Para tanto, foram estudadas 4 doses de N com 4 repetições. As doses foram: 0 – 30 – 60 – 90 kg/ha. Os resultados em kg de milho por parcela foram: Repetições Tratamentos 1 2 3 4 ΣTi 0 10 8 15 7 40 30 22 28 25 25 100 60 37 39 42 42 160 90 45 55 47 53 200 n = 16 ΣXi = 720 ΣX2i = 50400 ΣYi = 500 ΣY2i = 19442 Σ Xi.Yi = 30600 Pede-se: a) Faça a análise da variância; b) Faça a análise de regressão; c) Determine a equação de regressão, utilizando-se a técnica dos polinômios ortogonais. 2) Um experimento foi realizado para verificar como a lotação de pastagem (nº de animais em pastejo por hectare) influencia o rendimento médio mensal em termos de ganho de peso (kg). Foram utilizadas 4 lotações (0,5; 1; 1,5 e 2 animais/ha) repetidas em 6 piquetes, todos com pasto equivalente da mesma forrageira. Foram utilizados machos castrados da desmama a 12 meses de idade. Os resultados obtidos (ganho médio mensal em kg/cabeça) foram: Lotação (animal por hectare) Repetição 0,5 1,0 1,5 2,0 1 10,5 12,6 8,1 6,5 2 9,4 7,9 6,7 5,8 3 11,0 10,4 7,1 4,3 4 8,3 9,3 7,3 7,0 5 15,0 7,2 7,0 3,9 6 12,7 8,9 6,1 4,6 ΣTi 66,9 56,3 42,3 32,1 n = 24 ΣXi = 30 ΣX2i = 45 ΣYi = 197,6 ΣY2i = 1801,82 Σ Xi.Yi = 217,4 Pede-se: a) Faça a análise da variância; b) Faça a análise de regressão; c) Determine a equação de regressão, utilizando-se a técnica dos polinômios ortogonais. BARBOSA & PEREIRA 17 3) Um experimento para verificar o efeito da adubação potássica sobre a resistência da fibra do algodão, realizado no delineamento em blocos ao acaso, apresentou os dados seguintes, que indicam o índice de resistência. Os tratamento foram os seguintes: 0 – 25 – 50 – 75 – 100 kg/ha de potássio. Tratamentos Blocos 0 25 50 75 100 ΣBj I 7,62 8,14 7,76 7,17 7,46 38,15 II 8,00 8,15 7,73 7,57 7,68 39,13 III 7,93 7,87 7,74 7,80 7,21 38,55 ΣTi 23,55 24,16 23,23 22,54 22,35 115,83 n = 15 ΣXi = 750 ΣX2i = 56250 ΣY2i = 895,6183 Σ Xi.Yi = 5691 Pede-se: a) Faça a análise da variância; b) Faça a análise de regressão; c) Determine a equação de regressão, utilizando-se a técnica dos polinômios ortogonais. 4) Em um ensaio de adubação nitrogenada em milho, foram usadas as seguintes doses (em kg/ha): 50 – 100 – 150 – 200. As produções (em kg/parcela) foram as seguintes: Tratamentos Blocos 50 100 150 200 ΣBj I 43 42 51 48 184 II 60 48 50 45 203 III 72 60 68 68 268 IV 79 59 95 73 306 V 81 67 82 75 305 VI 77 76 61 67 281 ΣTi 412 352 407 376 1547 n = 24 ΣXi = 3000 ΣX2i = 450000 ΣY2i = 104369 Σ Xi.Yi = 192050 Pede-se: a) Faça a análise da variância; b) Faça a análise de regressão; c) Determine a equação de regressão, utilizando-se a técnica dos polinômios ortogonais. 5) Em um experimento de irrigação em algodão foram testados os seguintes tratamentos, que estão expressos em m3 de água absorvidos por hectare (T1 = 5.400; T2 = 4.800; T3 = 4.200 e T4 = 3.600). O experimento foi conduzido em blocos ao acaso com parcelas de 300 m2 de área útil e os resultados em kg/parcela foram os seguintes: Blocos Tratamentos I II III IV V ΣTi T1 (5,4 x 103 m3) 68 86 68 73 62 357 n = 20 T2 (4,8 x 103 m3) 73 90 71 69 67 370 ΣXi = 90 T3 (4,2 x 103 m3) 53 62 46 52 40 253 ΣX2i = 414 T4 (3,6 x 103 m3) 50 62 50 56 46 264 ΣY2i = 80706 ΣBj 244 300 235 250 215 1244 Σ Xi.Yi = 5716,8 ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 18 Pede-se: a) Faça a análise da variância; b) Faça a análise de regressão; c) Determine a equação de regressão, utilizando-se a técnica dos polinômios ortogonais. 6) Um ensaio foi conduzido no delineamento inteiramente ao acaso para avaliar a possível influência das idades de corte de uma gramínea em relação às suas concentrações de proteínas. Os níveis de proteína bruta (em %) obtidos aos 30, 60, 90 e 120 dias foram os seguintes: Repetições n = 20 Idades de corte 1 2 3 4 5 ΣTi ΣXi = 1500 30 9,2 7,4 9,0 12,0 9,4 47,0 ΣX2i = 135000 60 12,1 11,4 10,8 12,3 11,6 58,2 ΣYi = 223,5 90 13,2 13,0 11,9 12,5 12,7 63,3 ΣY2i = 2540,27 120 10,2 11,6 11,4 11,1 10,7 55,0 Σ Xi.Yi = 17199 Pede-se: a) Faça a análise da variância; b) Faça a análise de regressão; c) Determine a equação de regressão, utilizando-se a técnica dos polinômios ortogonais. RESPOSTAS – TESTE DO χ2 (QUI-QUADRADO) 1 a) χ2 = 21,03 1 b) χ2 = 26,22 1 c) χ2 = 23,34 2) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas de indivíduos acometidos de câncer pulmonar não diferem quanto ao sexo) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas de indivíduos acometidos de câncer pulmonar diferem quanto ao sexo) ( ) ( ) ( ) 84,7 50 5036 50 5064 .. .... 2222 =−+−=−= ∑ ef efofχ χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, a freqüência de câncer pulmonar é maior nos homens. BARBOSA & PEREIRA 19 3) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas de plantas marrons e brancas condizem com a hipótese genética 3:1) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas de plantas marrons e brancas não condizem com a hipótese genética 3:1) ( ) ( ) ( ) 27,0 45 4548 135 135132 .. .... 2222 =−+−=−= ∑ ef efofχ χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas não diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, pode-se aceitar a hipótese genética 3:1. 4) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas de animais de coloração vermelha, vermelha e branca e de branca condizem com a proporção 1:2:1) H1: f.o. ≠ f.e. ( ... não condizem com a proporção 1:2:1) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,5 30 3030 60 6070 30 3020 .. .... 22222 =−+−+−=−= ∑ ef efofχ χ2 tabelado com G.L.=2 e α = 5% Î 5,99 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas de animais de coloração vermelha, vermelha e branca e de branca condizem com a proporção 1:2:1, respectivamente. 5) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas dos fenótipos AB, Ab, aB e ab condizem com a hipótese genética 9:3:3:1) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas dos fenótiposAB, Ab, aB e ab não condizem com a hipótese genética 9:3:3:1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33,1 10 108 30 3035 30 3030 90 9087 .. .... 222222 =−+−+−+−=−= ∑ ef efofχ χ2 tabelado com G.L. = 3 e α = 5% Î 7,81 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas não diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, pode-se aceitar a hipótese genética 9:3:3:1. 6) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas da descendência de F2 condizem com a hipótese genética 9:3:3:1) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas da descendência de F2 não condizem com a hipótese genética 9:3:3:1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 59,2 5,11 5,1116 5,34 5,3433 5,34 5,3438 5,103 5,10397 .. .... 222222 =−+−+−+−=−= ∑ ef efofχ χ2 tabelado com G.L. = 3 e α = 1% Î 11,34 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas não diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, pode-se aceitar a hipótese genética 9:3:3:1. 7) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas da descendência do cruzamento condizem com a hipótese genética 3:1) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas da descendência do cruzamento não condizem com a hipótese genética 3:1) ( ) ( ) ( ) 33,1 25 2520 75 7580 .. .... 2222 =−+−=−= ∑ ef efofχ χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas não diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, pode-se aceitar a hipótese genética 3:1. ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 20 8) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas de nascimentos não diferem em relação às obtidas em anos anteriores) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas de nascimentos diferem em relação às obtidas em anos anteriores) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13,83 5,149 5,149130 195 195300 5,162 5,162120 143 143100 .. .... 222222 =−+−+−+−=−= ∑ ef efofχ χ2 tabelado com G.L. = 3 e α = 5% Î 7,81 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas de nascimentos diferem em relação às obtidas em anos anteriores, ou seja, pode-se dizer que houve aumento dos nascimentos na primavera. 9) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a apresentação de sintomas independe da época de utilização do defensivo) H1: f.o. ≠ f.e. (a apresentação de sintomas na beterraba está relacionada com a época de utilização do defensivo) ( ) ( ) ( ) ( ) 11,4 18 1813 18 1822 23 2327 23 2318 22222 =−+−+−+−=χ χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que a apresentação de sintomas na beterraba está relacionada com a época de utilização do defensivo, ou seja, apresentou uma freqüência significativamente maior na época 2 (67,5%) que na época 1 (45,0 %). 10) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a intoxicação por produtos agrícolas independe do sexo) H1: f.o. ≠ f.e. (a intoxicação por produtos agrícolas está relacionada com o sexo) ( ) ( ) ( ) ( ) 66,213 1596 15961850 1204 1204950 1254 12541000 946 9461200 22222 =−+−+−+−=χ χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 1% Î 6,63 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que a intoxicação por produtos agrícolas está relacionada com o sexo, ou seja, apresentou uma freqüência significativamente maior nos homens (54,5%) que nas mulheres (33,9 %). 11) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a reação à toxoplasmose – positiva ou negativa – independe da localidade de moradia dos indivíduos) H1: f.o. ≠ f.e. (a reação à toxoplasmose é dependente da localidade de moradia dos indivíduos) ( ) ( ) ( ) ( ) 83,2 302 302310 48 4840 388 388380 62 6270 22222 =−+−+−+−=χ χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que a reação à toxoplasmose – positiva ou negativa – independe da localidade de moradia dos indivíduos, ou seja, as proporções de positivos na zona urbana (15,6%) e na zona rural (11,4%) não diferem significativamente entre si. 12) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a apresentação de sintomas no tomateiro independe da utilização ou não do produto) H1: f.o. ≠ f.e. (a apresentação de sintomas no tomateiro está relacionada com a utilização ou não do produto) ( ) ( ) ( ) ( ) 33,3 16 1620 24 2420 16 1612 24 2428 22222 =−+−+−+−=χ χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que a apresentação de sintomas no tomateiro independe da utilização ou não do produto, ou seja, as proporções de plantas com sintomas que receberam ou não o produto (30,0% BARBOSA & PEREIRA 21 e 50,0%), respectivamente, não diferem significativamente entre si. 13) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a colheita satisfatória do trigo independe da intensidade da infestação pela lagarta) H1: f.o. ≠ f.e. (a colheita satisfatória do trigo é dependente da intensidade da infestação pela lagarta) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 71,15 6 611 20 2015 11 1117 37 3731 17 1715 60 6062 24 2415 85 8594 222222222 =−+−+−+−+−+−+−+−=χ χ2 tabelado com G.L. = 3 e α = 5% Î 7,81 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que a colheita satisfatória do trigo é dependente da intensidade da infestação pela lagarta, ou seja, quanto maior a infestação menos favorável é a colheita. 14) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as opiniões – contra ou a favor – sobre o controle de preços independem da ocupação dos indivíduos) H1: f.o. ≠ f.e. (a ocupação dos indivíduos influencia a atitude sobre o controle de preços) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,18 100 10090 100 100110 125 125150 125 125100 75 7560 75 7590 2222222 =−+−+−+−+−+−=χ χ2 tabelado com G.L. = 2 e α = 1% Î 9,21 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que a atitude contra ou a favor, em relação ao controle de preços pelo Governo, é dependente da ocupação do indivíduo. Entre os negociantes predomina a atitude contra e entre os trabalhadores, a atitude a favor. 15) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a úlcera péptica e o câncer gástrico acometem as pessoas independentemente do grupo sangüíneo do sistema ABO ao qual elas pertencem) H1: f.o. ≠ f.e. (as doenças referidas ocorrem com maior freqüência em indivíduos pertencentes a um dos grupos sangüíneos do sistema ABO) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 54,40 547 547570 79 7984 161 161134 2583 25832625 375 375416 762 762679 2957 29572892 429 429383 872 872983 2222222222 =−+−+−+−+−+−+−+−+−=χ χ2 tabelado com G.L. = 4 e α = 1% Î 13,28 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0. Verifica-se um excesso de indivíduos do grupo O com úlcera gástrica quando comparados com os indivíduos controles, assim como menos intensamente, um excesso de pessoas do grupo A com câncer gástrico, conforme a tabela seguinte: Grupo sangüíneo Úlcera péptica (%) Câncer gástrico (%) Controle (%) O 54,7 43,4 47,5 A 37,8 47,1 43,1 B 7,5 9,5 9,4 16) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a viabilidade dos cistos do parasito independe de sua localização no fígado dos ovinos) H1: f.o. ≠ f.e. (a viabilidade dos cistos do parasito está relacionada com a sua localização no fígado dos ovinos) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 40,4 66 6669 89 8986 79 7967 107 107119 79 7986 108 108101 102 102104 140 140138 222222222 =−+−+−+−+−+−+−+−=χ χ2 tabelado com G.L. = 3 e α = 5% Î 7,81 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo-se que a viabilidade dos cistos do parasito independe de sua localização no fígado dos ovinos. ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 22 RESPOSTAS – TESTE T DE STUDENT 1) Intervalo de confiança para μ Î x ± ttab. x s/√n Î (18 x 15) ± 2,06 x 8/√25 = 270 ± 3, ou seja,entre 267 a 273 kg. 1 arroba Ù 15 kg 2) Hipóteses H0: a média das vazões das motobombas é significativamente igual a 20 l/s (μ = 20 l/s) H1: a média das vazões das motobombas é significativamente diferente de 20 l/s (μ ≠ 20 l/s) Média ( x ): 24 l/s Variância (s2): 18,5 (l/s)2 Desvio padrão (s): 4,30 l/s Teste t: t = ( x – μ)/(s/√n) = 2,79 GL = 8 Valor de t tabelado: 2,31 Conclusão: Como |tc|>|tt|, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que a média das vazões das motobombas é significativamente diferente de 20 l/s. Cálculo do intervalo de confiança a 95% para a média populacional (μ) 24 ± 2,31 x 4,30/√9 = 24 ± 3,3, ou seja, entre 20,7 a 27,3 l/s. 3) Hipóteses H0: a média dos pesos com a nova ração é significativamente igual a 64 g (μ = 64 g) H1: a média dos pesos com a nova ração é significativamente diferente de 64 g (μ ≠ 64 g) Média ( x ): 60,75 g Variância (s2): 14,75g2 Desvio padrão (s): 3,84 g Teste t: t = ( x – μ)/(s/√n) = 2,93 GL = 11 Valor de t tabelado: 2,20 Conclusão: Como |tc|>|tt|, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que a média dos pesos com a nova ração é significativamente diferente de 64 g. Cálculo do intervalo de confiança a 95% para a média populacional (μ) 60,75 ± 2,20 x 3,84/√12 = 60,8 ± 2,4, ou seja, entre 58,4 a 63,2 kg. 4) Hipóteses H0: a média da concentração de Pb obtida na indústria é tolerável (μ < 0,20 mg/m3) H1: a média da concentração de Pb obtida na indústria está acima do tolerável (μ ≥ 0,20 mg/m3) Média ( x ): 0,214 mg/m3 Variância (s2): 0,0016 (mg/m3)2 Desvio padrão (s): 0,0401 mg/m3 Teste t: t = ( x – μ)/(s/√n) = 1,10 GL = 9 Valor de t tabelado: 2,82 Conclusão: Como |tc|<|tt|, aceita-se H0, concluindo que não existem evidências de que a média da concentração de Pb na indústria está fora do limite de tolerância adotado. Cálculo do intervalo de confiança a 99% para a média populacional (μ) 0,214 ± 3,25 x 0,0401/√10 = 0,214 ± 0,041 ou seja, entre 0,17 a 0,26 mg/m3. BARBOSA & PEREIRA 23 5) Hipóteses H0: a média do efeito do medicamento é significativamente igual a 5 mg/ml (μ = 5 mg/ml) H1: a média do efeito do medicamento é significativamente diferente de 5 mg/ml (μ ≠ 5 mg/ml) Média ( x ): 4,99 mg/ml Variância (s2): 0,0074 (mg/ml)2 Desvio padrão (s): 0,0860 mg/ml Teste t: t = ( x – μ)/(s/√n) = 0,23 GL = 3 Valor de t tabelado: 5,84 Conclusão: Como |tc|<|tt|, aceita-se H0, concluindo que não existem evidências de que a média do efeito do medicamento é diferente de 5 mg/ml. Média ( x ): 5,04 mg/ml Variância (s2): 0,0063 (mg/ml)2 Desvio padrão (s): 0,0794 mg/ml Teste t: t = ( x – μ)/(s/√n) = 3,94 GL = 60 Valor de t tabelado: 2,66 Conclusão: Como |tc|>|tt|, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que a média do efeito do medicamento é diferente de 5 mg/ml. Cálculo do intervalo de confiança a 99% para a média populacional (μ) 5,04 ± 2,66 x 0,0794/√61 = 5,04 ± 0,03 ou seja, entre 5,01 a 5,07 mg/ml. 6) Ração A Média ( x A): 30 Variância (s2): 2,00 Ração B Média ( x B): 25 Variância (s2): 4,80 Teste F H0: σ2A = σ2B H1: σ2A ≠ σ2B F = s2 maior/s2 menor F = 2,40 F tab. = 5,05 Conclusão: Como |Fc|<|Ft|, aceita-se H0, ou seja, as variâncias populacionais não diferem significativamente entre si (populações homocedásticas). Teste t H0: μA = μB H1: μA ≠ μB t = ( x A– x B)/√(s2p/nA+ s2p/nB) s2p = (s2A .GLA + s2B .GLB)/(GLA + GLB) s2p = 3,40 t = 4,70 com 10 GL t tab. = 2,23 Conclusão: Como |tc|>|tt|, rejeita-se H0, ou seja, existe diferença significativa na produção média de ovos de aves alimentadas com os dois tipos de rações Î a ração A é a mais indicada. 7) Raça A Média ( x A): 1,3 kg Variância (s2): 0,020 kg2 Raça B Média ( x B): 1,8 kg Variância (s2): 0,004 kg2 Teste F H0: σ2A = σ2B H1: σ2A ≠ σ2B F = s2 maior/s2 menor F = 5,00 F tab. = 5,41 Conclusão: Como |Fc|<|Ft|, aceita-se H0, ou seja, as variâncias populacionais não diferem significativamente entre si (populações homocedásticas). Teste t H0: μA = μB H1: μA ≠ μB t = ( x A– x B)/√(s2p/nA+ s2p/nB) s2p = (s2A .GLA + s2B .GLB)/(GLA + GLB) s2p = 0,01 kg2 t = 7,75 com 8 GL t tab. = 2,31 Conclusão: Como |tc|>|tt|, rejeita-se H0, ou seja, existe diferença significativa no peso médio de aves das duas raças Î a raça B é mais produtiva. ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 24 8) Ao nível do mar Média ( x A): 0,1 g/ml Variância (s2): 0,00048 (g/ml)2 A 4.000 m Média ( x B): 0,1383 g/ml Variância (s2): 0,000537 (g/ml)2 Teste F H0: σ2A = σ2B H1: σ2A ≠ σ2B F = s2 maior/s2 menor F = 1,12 F tab. = 5,05 Conclusão: Como |Fc|<|Ft|, aceita-se H0, ou seja, as variâncias populacionais não diferem significativamente entre si (populações homocedásticas). Teste t H0: μA = μB H1: μA < μB t = ( x A– x B)/√(s2p/nA+ s2p/nB) s2p = (s2A .GLA + s2B .GLB)/(GLA + GLB) s2p = 0,000508 (g/ml)2 t = -2,94 com 10 GL t tab. = 1,81 Conclusão: Como |tc|>|tt|, rejeita-se H0, ou seja, a concentração média de álcool nas pessoas ao nível do mar é significativamente inferior à obtida nas pessoas a 4.000 m Î os dados comprovam a tese abordada. 9) Fabricante A Média ( x A): 3,89% Variância (s2): 0,0327 (%)2 Fabricante B Média ( x B): 3,67% Variância (s2): 0,0124 (%)2 Teste F H0: σ2A = σ2B H1: σ2A ≠ σ2B F = s2 maior/s2 menor F = 2,64 F tab. = 4,21 Conclusão: Como |Fc|<|Ft|, aceita-se H0, ou seja, as variâncias populacionais não diferem significativamente entre si (populações homocedásticas). Teste t H0: μA = μB H1: μA ≠ μB t = ( x A– x B)/√(s2p/nA+ s2p/nB) s2p = (s2A .GLA + s2B .GLB)/(GLA + GLB) s2p = 0,0233 (%)2 t = 2,78 com 13 GL t tab. = 2,16 Conclusão: Como |tc|>|tt|, rejeita-se H0, ou seja, o teor de gordura difere significativamente para os dois fabricantes Î o teor de gordura do leite integral do fabricante A revelou significativamente superior ao obtido pelo fabricante B. 10) Teste F H0: σ2A = σ2B H1: σ2A ≠ σ2B F = s2 maior/s2 menor F = 1,65 com 20 e 30 GL F tab. = 1,93 Conclusão: Como |Fc|<|Ft|, aceita-se H0, ou seja, as variâncias populacionais não diferem significativa- mente entre si (populações homocedásticas). Teste t H0: μA = μB H1: μA < μB t = ( x A– x B)/√(s2p/nA+ s2p/nB) s2p = (s2A .GLA + s2B .GLB)/(GLA + GLB) s2p = 2,6517 cm2 t = -7,28 com 50 GL t tab. = 1,68 Conclusão: Como |tc|>|tt|, rejeita-se H0, ou seja, existem evidências de que o perímetro cefálico de recém-nascidos de baixo peso têm, em média, menor valor que os de recém-nascidos normais. 11) Hipóteses H0: Δ = 0 (a média das diferenças de tempo para operação com as máquinas A e B não difere significativamente de zero) H1: Δ ≠ 0 (a média das diferenças de tempo para operação com as máquinas A e B difere significativamente de zero) Média ( dx ou d ): 5,0 min Variância (s2d): 3,5 min2 Desvio padrão (sd): 1,87 min Teste t: t = ( dx –Δ)/(sd/√n) = 5,98 GL = 4 Valor de t tabelado: 2,78 Conclusão: Como |tc|>|tt|, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que a média das diferenças de tempo para operação com as máquinas A e B difere significativamente de zero Î a máquina B é mais rápida para a tarefa. BARBOSA & PEREIRA 25 12) Hipóteses H0: Δ = 0 (a média das diferenças de produção das variedades A e B não difere significativamente de zero) H1: Δ ≠ 0 (a média das diferenças de produção das variedades A e B difere significativamente de zero) Média ( dx ou d ): 0,243 kg/m2 Variância (s2d): 0,0895 (kg/m2)2 Desvio padrão (sd): 0,299 kg/m2 Teste t: t = ( dx –Δ)/(sd/√n) = 2,15 GL = 6 Valor de t tabelado: 2,45 Conclusão: Como |tc|<|tt|, aceita-se H0, concluindo que a produção média das duas variedades não diferem significativamente entre si Î pode-se optar pela escolha de qualqueruma delas. 13) Hipóteses H0: Δ = 0 (a média das diferenças de concentração de hemoglobina dos suínos suplementados ou não com vitamina PP não difere significativamente de zero) H1: Δ ≠ 0 (a média das diferenças de concentração de hemoglobina dos suínos suplementados ou não com vitamina PP difere significativamente de zero) Média ( dx ou d ): 1,15 g% Variância (s2d): 1,5 (g%)2 Desvio padrão (sd): 1,225 g% Teste t: t = ( dx –Δ)/(sd/√n) = 2,66 GL = 7 t tabelado: 2,36 (α=5%) e 3,50 (α=1%) Conclusão: Como |tc|>|tt|, ao nível de 5% de significância, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que a utilização da vitamina PP reduziu significativamente as concentrações de hemoglobina dos suínos. Já ao nível de 1% de significância, aceitaria-se H0, ou seja, não se encontraria diferença significativa na concentração de hemoglobina com a utilização da vitamina PP. RESPOSTAS – DELINEAMENTO INTEIRAMENTE AO ACASO 1) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 1 10 10 5,00 n.s. 5,32 Erro ou resíduo 8 16 2 Total 9 26 C. V. 23,6% Teste t de Student s2A = 1,5 s2B = 2,5 s2p = 2,0 Fc = 1,67 Populações tc = 2,24 t2c = 5,00 homocedásticas 2) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 3 666 222 4,17* 4,07 Erro ou resíduo 8 426 53,25 Total 11 1092 C. V. 25,2% ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 26 Teste de Tukey q = 4,53 d. m. s. = 19,09 Tratamentos Médias Contraste A 28 a b B 40 a C 29 a b D 19 b 3) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 3 3675 1225 103,52* 3,49 Erro ou resíduo 12 142 11,83 Total 15 3817 C. V. 11,0% Teste de Tukey q = 4,20 d. m. s. = 7,22 Tratamentos Médias Contraste 0 kg/ha 10 d 30 kg/ha 25 c 60 kg/ha 40 b 90 kg/ha 50 a 4) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 2 9,546 4,773 43,16* 3,35 Erro ou resíduo 27 2,986 0,110593 Total 29 12,532 C. V. 10,3% Teste de Tukey q = 3,51 d. m. s. = 0,37 Tratamentos Médias Contraste A 2,48 c B 3,41 b C 3,83 a 5) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 4 86,54 21,63 11,05* 3,18 Erro ou resíduo 13 25,45 1,96 Total 17 111,98 C. V. 7,0% d. m. s.´ d. m. s.´´ d. m. s.´´´ Teste de Tukey q = 4,46 3,60 3,12 3,37 3 repet. 4 repet. 3 e 4 repet. Tratamentos Médias Contraste Rival 22,00 a Fedria 21,68 a Dekama 21,13 a b Patrones 17,88 b c Regente 16,47 c BARBOSA & PEREIRA 27 6) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Localidades 3 7,7138 2,5713 63,07* 3,29 Erro ou resíduo 15 0,6115 0,040767 Total 18 8,3253 C. V. 3,5% d. m. s.´ d. m. s.´´ Teste de Tukey q = 4,08 0,37 0,39 5 repet. 4 e 5 repet. Tratamentos Médias Contraste B 6,42 a A 6,08 a b D 6,02 b C 4,78 c RESPOSTAS – DELINEAMENTO EM BLOCOS AO ACASO 1) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 5 214,5000 42,9000 6,47* 2,90 Blocos 3 4,5000 1,5000 0,23 n.s. 3,29 Erro ou resíduo 15 99,5000 6,6333 Total 23 318,5000 C. V. 25,1% Teste de Tukey q = 4,59 d. m. s. = 5,91 Tratamentos Médias Contraste A 10,75 a B 13,75 a C 8,50 ab D 13,00 a E 10,75 a F 4,75 b 2) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 4 0,7970 0,1993 28,81* 3,26 Blocos 3 0,5920 0,1973 28,53* 3,49 Erro ou resíduo 12 0,0830 0,0069 Total 19 1,4720 C. V. 17,3% ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 28 Teste de Tukey q = 4,51 d. m. s. = 0,19 Tratamentos Médias Contraste A 0,53 a B 0,68 a C 0,30 b D 0,70 a E 0,20 b 3) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 4 0,7324 0,1831 4,19* 3,84 Blocos 2 0,0971 0,0486 1,11 n.s. 4,46 Erro ou resíduo 8 0,3495 0,0437 Total 14 1,1790 C. V. 2,7% Teste de Tukey q = 4,89 d. m. s. = 0,59 Tratamentos Médias Contraste A 7,85 ab B 8,05 a C 7,74 ab D 7,51 ab E 7,45 b 4) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 3 2.143,1250 714,3750 33,68* 3,29 Blocos 5 1.553,7083 310,7417 14,65* 2,90 Erro ou resíduo 15 318,1250 21,2083 Total 23 4.014,9583 C. V. 7,7% Teste de Tukey q = 4,08 d. m. s. = 7,67 Tratamentos Médias Contraste T1 67,83 a T2 70,83 a T3 48,83 b T4 52,67 b 5) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 2 524.177,1667 262.088,5833 258,24* 5,14 Blocos 3 173.415,0000 57.805,0000 56,96* 4,76 Erro ou resíduo 6 6.089,5000 1.014,9167 Total 11 703.681,6667 C. V. 2,3% Teste de Tukey q = 4,34 d. m. s. = 69,13 Tratamentos Médias Contraste A 1165,25 c B 1402,50 b C 1676,75 a BARBOSA & PEREIRA 29 6) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 3 67,6000 22,5333 5,83* 3,49 Blocos 4 10,0000 2,5000 0,65 n.s. 3,26 Erro ou resíduo 12 46,4000 3,8667 Total 19 124,0000 C. V. 14,0% Teste de Tukey q = 4,20 d. m. s. = 3,69 Tratamentos Médias Contraste A 17,00 a B 13,60 ab C 12,00 b D 13,40 ab 7) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 4 146,7333 36,6833 162,08* 3,84 Blocos 2 1,0293 0,5147 2,27 n.s. 4,46 Erro ou resíduo 8 1,8107 0,2263 Total 14 149,5733 C. V. 1,5% Teste de Tukey q = 4,89 d. m. s. = 1,34 Tratamentos Médias Contraste A 27,63 d B 30,17 c C 31,10 c D 34,20 b E 36,57 a 8) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 2 27,1111 13,5556 0,19 n.s. 4,10 Blocos 5 14.617,7778 2.923,5556 40,11* 3,33 Erro ou resíduo 10 728,8889 72,8889 Total 17 15.373,7778 C. V. 8,1% Teste de Tukey q = 3,88 d. m. s. = 13,52 Tratamentos Médias Contraste A 106,67 a B 105,00 a C 103,67 a RESPOSTAS – ENSAIOS FATORIAIS ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 30 1) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 5 1,14888 0,22978 71,43* 2,77 Fibra bruta (A) 1 0,40042 0,40042 124,48* 4,41 Prot. bruta (B) 2 0,73903 0,36952 114,88* 3,55 Interação A*B 2 0,00943 0,00472 1,47 n.s. 3,55 Erro ou resíduo 18 0,05790 0,00322 Total 23 1,20678 C. V. 3,9% Teste de Tukey q = 2,97 d. m. s. = 0,0486 Fator A Fibra Médias Contraste 12% 1,5950 a 15% 1,3367 b Teste de Tukey q = 3,61 d. m. s. = 0,0724 Fator B Proteína Médias Contraste 14% 1,2650 c 16% 1,4400 b 18% 1,6925 a 2) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Blocos 4 184 46 10,22* 3,26 Tratamentos 3 150 50 11,11* 3,49 Variedades (A) 1 5 5 1,11 n.s. 4,75 Espaçamentos (B) 1 20 20 4,44 n.s. 4,75 Interação A*B 1 125 125 27,78* 4,75 Erro ou resíduo 12 54 4,5 Total 19 388 C. V. 10,6% Teste de Tukey q = 3,08 d. m. s. = 2,92 Varied./Espaç. b0 Variedades Médias Contraste a0 16 b a1 22 a Varied./Espaç. b1 Variedades Médias Contraste a0 23 a a1 19 b 3) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Tratamentos 5 210 42 4,75* 3,11 Sexos (A) 1 18 18 2,04 n.s 4,75 Fontes de prot. (B) 2 48 24 2,72 n.s. 3,89 Interação A*B 2 144 72 8,15* 3,89 Erro ou resíduo 12 106 8,8333 Total 17 316 C. V. 37,2% BARBOSA & PEREIRA 31 Teste de Tukey q = 3,08 d. m. s. = 5,29 Sexos/Fonte I Sexos Médias Contraste Machos 5 b Fêmeas 11 a Sexos/Fonte II Machos 7 b Fêmeas 13 a Sexos/Fonte III Machos 9 b Fêmeas 3 a q = 3,77 d. m. s. = 6,47 Fontes/Machos Fontes Médias Contraste I 5 a II 7 a III 9 a Fontes/Fêmeas I 11 a II 13 a III 3 b 4) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) Blocos 4 141,2444 35,3111 12,13* 2,67 Tratamentos 8 122,1778 15,27223 5,25* 2,24 Variedades (A) 2 0,1778 0,0889 0,03 n.s. 3,29 Nº de plantas (B) 2 65,9111 32,9556 11,32*3,29 Interação A*B 4 56,0889 14,0222 4,82* 2,67 Erro ou resíduo 32 93,1556 2,9111 Total 44 C. V. 14,0% Teste de Tukey q = 3,49 d. m. s. = 1,53 Fator A Nº de plantas Médias Contraste C1 10,47 b C2 13,00 a C3 13,07 a q = 3,49 d. m. s. = 2,65 Variedades/C1 Variedades Médias Contraste Nº plantas/V1 Nº de plantas Médias Contraste V1 11,00 a b C1 11,00 b V2 11,60 a C2 13,80 a V3 8,80 b C3 11,60 a b Variedades/C2 V1 13,80 a Nº plantas/V2 C1 11,60 a V2 12,00 a C2 12,00 a V3 13,20 a C3 12,80 a Variedades/C3 V1 11,60 b Nº plantas/V3 C1 8,80 b V2 12,80 a b C2 13,20 a V3 14,80 a C3 14,80 a ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 32 RESPOSTAS – REGRESSÃO E CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 1.a) Reta dos mínimos quadrados (melhor ajuste): Y = a + bx b = ( ) n xx n yx 2 2 - .-xy ΣΣ ΣΣΣ = 9 9 - 15 9 72 9 - 97 2 x = 4,1667 e a = xb - y = 8 – 4,1667 . 1 = 3,8333 DIAGRAMA DE DISPERSÃO DOS PONTOS E RETA DE MELHOR AJUSTE (yx = 0 = 3,83333 e yx = 2 = 12,1667) y = 3,8333 + 4,1667x R2 = 0,8401 r = 0,9157 0 2 4 6 8 10 12 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Dose kg 1.b) Intervalo de confiança para o coeficiente de regressão paramétrico (β) b – tt SQx s x. y < β < b + tt SQx s x. y SQx = ( ) n xx 2 2 Σ−Σ = ( ) 9 915 2 − = 6 SQtotal = SQy = ( )n yy 2 2 Σ−Σ = ( ) 9 72700 2 − = 124 SQregressão linear = ( ) n xx n yx 2 2 2 - .-xy ΣΣ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ΣΣΣ = 9 9 - 15 9 72 9 - 97 2 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅ = 6 252 = 104,1667 SQ dos desvios da regressão linear = SQtotal – SQ reg. linear = 124 – 104,1667 = 19,8333 QUADRO DE ANÁLISE DA VARIÂNCIA (ANOVA) DA REGRESSÃO LINEAR SIMPLES GL SQ QM Fc Ft α=5% Regressão linear 1 104,16667 104,1667 36,76* 5,59 Desvios da regressão linear 7 19,8333 2,8333 Total 8 124 =2 x . ys QMdesvios da regressão = 2,8332 sy..x = 2 x. ys = 1,6832 (desvio padrão de y para um valor fixo de x) Pr.(4,1667 – 2,36 . 6 6832,1 < β < 4,1667 + 2,36 . 6 6832,1 ) = 95% 4,1667 – 2,36 . 0,6872 < β < 4,1667 + 2,36 . 0,6872 Ù 2,5450 < β < 5,7884 1.c) H0: β = 0 (não existe regressão linear significativa entre x e y) H1: β ≠ 0 (existe regressão linear significativa entre x e y) BARBOSA & PEREIRA 33 xSQ s bt β−= = 6,06 6 6832,1 01667,4 =− Valor crítico ou tabelado de t (G.L.= n – 2 = 7 e α = 5%) Î 2,36 Como |tcalc.| > |ttab.| rejeita-se H0, existe regressão linear significativa entre x e y, ou seja, aumentando-se a dose do adubo nitrogenado espera- se um aumento da produção dada pela função yˆ = 3,8333 + 4,1667x. 1.d) O aumento esperado é b = 4,1667. 1.e) H0: β = 0 O coeficiente de regressão (b) é igual a zero, não há regressão linear. O significado em relação à hipótese nula é que a reta é paralela ao eixo x.) 2.a) b = ( ) n xx n yx 2 2 - .-xy ΣΣ ΣΣΣ = 1,647712 a = xb - y = 53,89459 yˆ = 53,895 + 1,6477x Yx=14 = 76,9626 e yx=24 = 93,4397 Diagrama de dispersão dos pontos e a reta de melhor ajuste y = 53,895 + 1,6477x R2 = 0,0904 r = 0,3007 50 60 70 80 90 100 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 x y 2.b) H0: σ2regressão linear = 0 (não existe regressão linear significativa entre x e y) H1: σ2regressão linear > 0 (existe regressão linear significativa entre x e y) SQtotal = SQy = ( ) n yy 2 2 Σ−Σ = ( ) 10 82470064 2 − = 2166,4 SQregressão linear = ( ) n xx n yx 2 2 2 - .-xy ΣΣ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ΣΣΣ = 10 731 - 3065 10 173x824 - 43741 2 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = ( ) 10,72 8,118 2 = 195,7481 SQ dos desvios da regressão linear = SQtotal – SQ reg. linear = 124 – 104,1667 = 19,8333 QUADRO DE ANÁLISE DA VARIÂNCIA (ANOVA) DA REGRESSÃO LINEAR SIMPLES FV GL SQ QM Fc Ft α=5% Regressão linear 1 195,7481 195,7481 0,7947 n.s. 5,32 Desvios da regressão 8 1970,652 246,3315 Total 9 2166,4 Como Fc < Ft, aceitamos H0, então podemos dizer que não há regressão linear significativa ao nível de 5% de probabilidade. 2.c) H0: σ2regressão linear = 0, foi aceita, significa que os dados não estão aderidos à reta de melhor ajuste, isto é a correlação entre X e Y é baixa. ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 34 3.a) b = ( )∑ ∑ ∑ ∑∑ n 2x - 2x n yx -xy = ( )( ) ( ) 5 215 - 55 5 12515 - 435 = 6 3.b) a = xb - y = 25 – 6 . 3 = 7 O coeficiente de regressão linear (b) ou coeficiente angular da reta é o acréscimo (porque b é positivo) que sofre (y) número de colônias, quando se aumenta uma unidade de variação em x, ou seja, em 1 hora. É o valor da variável dependente (y) número de colônias, quando a variável independente (x) número de horas for igual a zero. (Ou a cota da reta no eixo de y, em x =0). 3.c) Foi utilizado o método dos mínimos quadrados para ajustar a linha teórica ou de melhor ajuste ao conjunto de pontos. A reta obtida tem as seguintes características: a) A soma dos desvios verticais aos pontos em relação à reta é zero (li ^ N (0;σ2). b) A soma dos quadrados desses desvios é mínima. Obs: A reta ajustada tem a propriedades de passar sempre pelos pontos x e y (observar no gráfico). Y = a + bx Yx=0 = 13 e yx=3 = 37 Diagrama de dispersão dos pontos e a reta de melhor ajuste, segundo as coordenadas (13;37) y = 7 + 6x R2 = 0,72 r = 0,8485 10 20 30 40 50 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 x y 3.d) yx=6 = 43 colônias 4.a) b = ( )∑ ∑ ∑ ∑∑ n 2x - 2x n yx -xy = ( )( ) ( ) 12 218 - 42 12 162018 - 3450 = 15 1020 = 68 e a = xb - y = 135 – 68 . 1,5 = 33 yˆ = 33 + 68x H0: β = 0 (não existe regressão linear significativa entre x e y) H1: β ≠ 0 (existe regressão linear significativa entre x e y) xSQ s bt β−= = 15,36 15 1464,17 068 =− onde 2−= n SQerros = 17,1464 212 2940 =− xyy SPbSQSQerro .−= = (291000 – 16202/12) – 68 . 1020 = 2940 Valor crítico ou tabelado de t (G.L.= n – 2 = 10 e α = 5%) Î 2,23 Como |tcalc.| > |ttab.| rejeita-se H0, existe regressão linear significativa entre x e y, ou seja, aumentando-se a concentração do carrapaticida espera-se um aumento do número de carrapatos mortos dada pela função yˆ = 33 + 68x. 4.b) b – tt SQx s x. y < β < b + tt SQx s x. y Ù 68 – 2,23x 15 1464,17 <β <68 + 2,23x 15 1464,17 Ù 58 < β < 78 BARBOSA & PEREIRA 35 5.a) b = ( )∑ ∑ ∑ ∑∑ n 2x - 2x n yx -xy = ( )( ) ( ) 6 21 - 91 6 39021 - 1190 2 = 17,5 175 − = - 10 O valor de b é negativo, portanto a reta é decrescente (inclinada para baixo, indicando que a medida que x cresce, o valor de y decresce). Acarreta que o aumento de uma unidade na idade (x) ocorre uma redução de 10 unidades em y (poder germinativo). 5.b) Como Y = a + bx, então: yx = 1 = 110 e yx = 6 = 160 DIAGRAMA DE DISPERSÃO DIAGRAMA DE DISPERSÃO E RETA DE MELHOR AJUSTE 40 50 60 70 80 90 0 1 2 3 4 5 6 x y y = 100 - 10x R2 = 1 r = - 1 40 50 60 70 80 90 0 1 2 3 4 5 6 x y 5.c) SQtotal = Σy2 – (Σy)2/n = 27100 – ( ) 6 390 2 = 27100 – 25350 = 1750 e SQregressão linear = ( ) 17,5 175 2− = 1750 FV GL SQ QM Fc Ft α=5% Regressão linear 1 1750 1750 #NÚM! 7,71 Desvios da regressão 4 0 0 Total 5 1750 Não existem desvios da regressão, isto é, toda a variação é explicada pela regressão linear, os dados observados encontram-se exatamente sob os dados teóricos esperados, são iguais. 6) rxy = ( ) ( ) n y - y 2 2 n 2x - 2x n yx -xy ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑∑ = ( )( ) 8 2580 - 44224 8 253 - 375 - 0644 8 58053 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = 0,9722 Hipóteses para ρ: H0: ρ = 0 (não existe correlação linear significativa entre x e y) H1: ρ ≠ 0 (existe correlação linear significativa entre x e y) rt (α = 0,05 e GL = 12– 2 = 10) = 0,58 Como |rc| > |rt| Î rejeita-se H0. R2 = (0,9722)2 = 0,9452. Isto significa em termos percentuais que entre as variáveis pareadas 94,52% da variância é conjunta, ou seja, a regressão linear simples explica 94,52% da variação total. 7) rxy = ( )( ) 9 20,26 - 436,98 9 2638 - 83719 9 0,62863- 030,86 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = 0,9040 H0: ρ = 0 (não existe correlação linear significativa entre x e y) H1: ρ ≠ 0 (existe correlação linear significativa entre x e y) ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 36 rt (α = 0,05 e GL = 9 – 2 = 7) = 0,67 Como |rc| > |rt| Î rejeita-se H0, ou seja, existe correlação linear positiva significativa entre x e y. Em outras palavras, cães com valores baixos da concentração de hemoglobina possivelmente apresentam valores baixos do nº de eritrócitos e cães com valores altos da concentração de hemoglobina possivelmente apresentam valores altos do nº de eritrócitos. RESPOSTAS – REGRESSÃO NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA 1) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) R2 Tratamentos 3 3675 1225 103,52* 3,49 Efeito linear 1 3645 3645 308,03* 4,75 99,18% Efeito quadrático 1 25 25 2,11 n.s. 4,75 0,68% Efeito cúbico 1 5 5 0,42 n.s. 4,75 0,14% Erro ou resíduo 12 142 11,83 Total 15 3817 C. V. 11,0% y = 11 + 0,45x 0 10 20 30 40 50 60 0 20 40 60 80 100 Doses de nitrogênio Pr od uç ão (k g/ pa rc el a) 2) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) R2 Lotação 3 117,2600 39,0867 13,56* 3,10 Efeito linear 1 116,8213 116,8213 40,52* 4,35 99,626% Efeito quadrático 1 0,0067 0,0067 0,00 n.s. 4,35 0,006% Efeito cúbico 1 0,4320 0,4320 0,15 n.s. 4,35 0,368% Erro ou resíduo 20 57,6533 2,8827 Total 23 174,9133 C. V. 20,6% y = 13,17 - 3,95x 0 5 10 15 20 0 0,5 1 1,5 2 Lotação (animal por hectare) Ga nh o m éd io m en sa l (k g/ ca be ça ) BARBOSA & PEREIRA 37 3) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) R2 Blocos 2 0,0971 0,0486 1,11 n.s. 4,46 Tratamentos 4 0,7324 0,1831 4,19* 3,84 Efeito linear 1 0,5387 0,5387 12,33* 5,32 73,55% Efeito quadrático 1 0,0440 0,0440 1,01 n.s. 5,32 6,01% Demais efeitos 2 0,1497 0,0748 1,71 n.s. 4,46 20,44% Erro ou resíduo 8 0,3495 0,0437 Total 14 1,1790 C. V. 2,7% y = 7,99 - 0,00536 x 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 0 20 40 60 80 100 kg de potássio/ha Ín di ce d e re si st ên ci a 4) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) R2 Blocos 5 3410,71 682,14 12,09* 2,90 Doses 3 395,12 131,71 2,34 n.s. 3,29 Efeito linear 1 23,41 23,41 0,41 n.s. 4,54 5,92% Efeito quadrático 1 35,04 35,04 0,62 n.s. 4,54 8,87% Efeito cúbico 1 336,67 336,67 5,97* 4,54 85,21% Erro ou resíduo 15 846,13 56,41 Total 23 4651,96 C. V. 11,6% y = 131,33 - 2,0033 x + 0,0172 x2 - 0,00004 x3 0 20 40 60 80 100 0 50 100 150 200 kg de N/hectare Pr od uç ão (k g/ pa rc el a) ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA 38 5) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) R2 Blocos 4 994,70 248,68 29,69* 3,26 Tratamentos 3 2234,00 744,67 88,92* 3,49 Efeito linear 1 1568,16 1568,16 187,24* 4,75 70,2% Efeito quadrático 1 0,20 0,20 0,02 n.s. 4,75 0,0% Efeito cúbico 1 665,64 665,64 79,48* 4,75 29,8% Erro ou resíduo 12 100,50 8,375 Total 19 2229,20 C. V. 4,6% y = 3493,2 - 2373,7x + 537,22x2 - 39,815x3 0 20 40 60 80 100 3,0 3,6 4,2 4,8 5,4 m3 de água/hectare Pr od uç ão (k g/ pa rc el a) 6) F. V. G. L. S. Q. Q. M. Fc Ft (α =5%) R2 Tratamentos 3 28,0135 9,3378 10,20* 3,24 Efeito linear 1 8,4681 8,4681 9,25* 4,49 30,2% Efeito quadrático 1 19,0125 19,0125 20,77* 4,49 67,9% Efeito cúbico 1 0,5329 0,5329 0,58 n.s. 4,49 1,9% Erro ou resíduo 16 14,6440 0,91525 Total 19 42,6575 C. V. 8,6% y = 4,845 + 0,1819x - 0,0011x2 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 30 60 90 120 Dias Pr ot eí na b ru ta (% )
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