Matrizes e Determinantes - Álgebra Linear

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ÁLGEBRA LINEAR
AULA 1- MATRIZES - DETERMINANTES
MATRIZES - DETERMINANTES– AULA 1
ÁLGEBRA LINEAR
Conteúdo Programático desta aula
I.As Matrizes: Definição,elementos e tipos.
Representação genérica de uma matriz de ordem mxn.
Operações: Adição e Subtração,Multiplicação por escalar
e Produto de Matrizes.
II.Os Determinantes: Definição.Determinação de um 
determinante de 2ª e de 3ª ordem- A Regra de Sarrus.
Menor complementar e Cofator. Teorema de 
Laplace.Combinações Lineares. Propriedades dos 
Determinantes.
Exercícios.
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I.MATRIZES
DEFINIÇÃO
Uma MATRIZ é um agrupamento retangular de
elementos dispostos em m linhas (horizontais) e n colunas
(verticais). Os elementos são também chamados de
ENTRADAS da matriz.
A ORDEM ou TIPO de uma matriz é dado pelo número
de linhas seguido do número de colunas. De modo geral
denotamos as matrizes por letras maiúsculas e os elementos
por letras minúsculas.
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EXEMPLOS DE MATRIZES
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Quando representamos a ordem ou tipo ou tamanho de
uma matriz o primeiro número sempre representa o número
de linhas da matriz e o segundo o número de colunas da
matriz.
TIPOS DE MATRIZES
1.MATRIZ COLUNA (OU VETOR COLUNA) é uma matriz com
somente uma coluna.
2.MATRIZ LINHA (OU VETOR LINHA) é uma matriz com
somente uma linha.
OBS.:Note que a matriz 1x1 é tanto uma matriz coluna
quanto uma matriz linha.
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3.MATRIZ QUADRADA DE ORDEM n é uma matriz com n linhas e
n colunas.
Numa matriz quadrada A chama-se DIAGONAL PRINCIPAL
à diagonal formada pelos termos aij em que i=j. A outra
diagonal é denominada DIAGONAL SECUNDÁRIA.
Se A é uma matriz quadrada, denomina-se TRAÇO DE A
(tr A), a soma dos elementos da diagonal principal de A. O
traço de A não é definido se A não é uma matriz quadrada.
4.MATRIZ NULA é a matriz que tem todos os seus elementos
iguais a zero.
5.MATRIZ UNIDADE OU MATRIZ IDENTIDADE é a matriz
quadrada de ordem n, em que todos os elementos da
diagonal principal são iguais a 1 (um) e os demais
elementos são iguais a 0 (zero).
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Representa-se a matriz identidade por In.
Exs.:
I2= 1 0 1 0 0
0 1 I3 = 0 1 0
0 0 1
6.IGUALDADE DE MATRIZES são duas matrizes A e B de
mesma ordem que possuem os elementos correspondentes
iguais. Um elemento de A é correspondente de B, quando
ocupa, em A, a mesma posição que o outro ocupa em B.
7.MATRIZ TRANSPOSTA
Uma matriz B é a matriz transposta da matriz A, se as linhas
de B forem ordenadamente as colunas de A. Indica-se B por
At.
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8.MATRIZ OPOSTA
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz cujos
elementos são os simétricos dos elementos correspondentes
de A. Ex.: A = 1 -2 - A = -1 2
-4 5 4 -5
9.MATRIZ DIAGONAL é toda matriz quadrada onde todos os
elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
Ex.: a) A2x2 = 2 0 b) 4 0 0
0 2 B3x3 = 0 5 0
0 0 7
10.MATRIZ SIMÉTRICA é uma matriz quadrada onde A = At.
Ex.: A = 2 0 => At = 2 0 => A = At
0 2 0 2
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REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ A DE
ORDEM mxn
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
A = . . . . .
. . . . .
. . . . .
am1 am2 am3 ... amn , com m , n * 
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OPERAÇÕES COM MATRIZES
1.ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
A adição e a subtração de matrizes só pode ser feita entre
matrizes de mesmo tipo. É feita somando-se ou subtraindo-se
os elementos correspondentes das matrizes.
Exs.:
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2.MULTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR (REAL) POR UMA MATRIZ
O produto de um número real k por uma matriz A é igual a
matriz kA, que se obtém multiplicando por k todos os
elementos de A.
Exs.:
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3.PRODUTO DE MATRIZES
Dadas duas matrizes A=(aij)mxn e B=(bij)nxp, define-se como
produto de A por B a matriz C=(cij)mxp tal que o elemento cij é
a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementos
correspondentes da j-ésima coluna de B.
Exs.: Determine, se possível, o produto entre cada uma das
matrizes:
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Obs.:
a) Só é possível multiplicar duas matrizes quando o número
de colunas da primeira for igual ao número de linhas da
segunda.
b) A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é,
existem matrizes A e B tais que AB BA .
c) Se ocorrer AB=BA dizemos que as matrizes A e B comutam,
isto é, as matrizes A e B são comutáveis.

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II.DETERMINANTES
O determinante é um número real associado a uma matriz
quadrada.
➢ DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE 2ª ORDEM
Denomina-se determinante associado à matriz quadrada de
2ª ordem ao número obtido pela diferença entre os produtos
dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária.
Ex.: Calcule o determinante em cada caso:
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➢ DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE 3ªORDEM
(REGRA DE SARRUS)
Obs.: Esta regra só se aplica a determinantes de 3ª ordem
Exs.: Calcule o valor dos determinantes a seguir:
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MENOR COMPLEMENTAR E COFATOR(COMPLEMENTO ALGÉBRICO)
Seja uma matriz M de ordem n≥2; seja aij um elemento de
M. Chama-se MENOR COMPLEMENTAR do elemento aij, que se
indica por Dij, ao determinante da matriz que se obtém
suprimindo a linha i e a coluna j de M.
Exs.:
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Seja uma matriz M de ordem n≥2 e seja aij um elemento
de M. Chama-se COFATOR (OU COMPLEMENTO ALGÉBRICO) DO
ELEMENTO aij que se indica por Aij , ao número (-1)
i+j . Dij.
Exs.: 0 3 -5
Sendo M = -1 7 2 calcule A11, A12 e A31 .
4 8 1
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TEOREMA DE LAPLACE
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n ,
n≥2, é igual à soma dos produtos de uma fila (linha ou coluna)
pelos respectivos cofatores.
Assim considerando a matriz quadrada de ordem n a seguir:
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
M = a31 a32 ... a3n
. . .
. . .
an1 an2 ... ann , temos que:
det M = a11A11 + a12A12 + a13A13 + ... + a1nA1n
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Exs.: Calcular o determinante da matriz a seguir usando
Laplace:
1 2 3 1
M = -2 1 4 5
4 0 0 2
5 -6 3 2 
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COMBINAÇÕES LINEARES
Estamos efetuando uma COMBINAÇÃO LINEAR quando
tomamos duas ou mais filas (linhas ou colunas) paralelas de
um determinante e, por exemplo, somamos essas filas
multiplicadas, respectivamente,por dois ou mais números
reais.
Exs.:
m m-x x
a) n n-y y Observe que C2 = C1 – C3 , isto é,
p p-z z C2 é combinação linear de C1 e C3.
m+1 m+2 m+5
b) m+3 m+6 m+9 Observe que 
m+2 m+4 m+7 
2
21
3
LL
L


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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
1°) Casos em que um determinante é igual a zero.
a) Quando todos os elementos de uma fila são nulos.
b) Quando possui duas filas paralelas proporcionais ou iguais.
c) Quando uma de suas filas é uma combinação linear de
outras filas paralelas.
2º) Transformações que não alteram um determinante.
a) Um determinante não se altera quando se trocam
ordenadamente as linhas pelas colunas.
b) Um determinante não se altera quando se somam aos
elementos de uma fila os correspondentes elementos de uma
fila paralela multiplicados por uma constante.
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3º) Transformações que alteram um determinante.
a) Um determinante muda de sinal quando se trocam as
posições de duas filas paralelas.
b) Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um
determinante por um número, o novo determinante fica
multiplicado (ou dividido) por esse número.
4º) Se A e B são duas matrizes quadradas de ordem n, então:
det (A . B) = det A . det B
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Na aula de hoje estudamos:
I. As Matrizes: Definição,elementos,tipos e representação
genérica.
Operações: Adição,subtração,multiplicação por escalar e
produto de matrizes.
II. Os Determinantes: Definição, determinação de um
determinante de 2ª e de 3ª ordem- A Regra de Sarrus.
Menor complementar e cofator. Teorema de Laplace.
Combinações Lineares. Propriedades dos Determinantes.
III. Exercícios.