Aula 3

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ÁLGEBRA LINEAR
AULA 3- SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3
ÁLGEBRA LINEAR
Conteúdo Programático desta aula:
. Equações Lineares: Definição.
. Sistemas Lineares: Definição 
. Forma Matricial de um Sistema Linear
. Matriz Ampliada de um Sistema Linear
. Classificação de um Sistema Linear
. Teorema de Rouché-Capelli
. Sistema Linear Homogêneo
. Sistemas Escalonados
. Exercícios
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3
ÁLGEBRA LINEAR
EQUAÇÕES LINEARES
DEFINIÇÃO:
Chama-se EQUAÇÃO LINEAR, nas variáveis x1,x2,x3,...,xn
a toda equação da forma a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b onde b e
os coeficientes a1,a2,a3,...,an são números reais ou
complexos.
No plano cartesiano R² toda equação linear nas
variáveis ou incógnitas x e y é da forma ax + by = c que
representa uma RETA.
No espaço cartesiano R³ toda equação linear nas
variáveis ou incógnitas x , y e z é da forma ax + by + cz = d ,
onde a , b , c e d são números reais e, geometricamente esta
equação é representada no espaço, por um PLANO.
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ÁLGEBRA LINEAR
SISTEMAS LINEARES
DEFINIÇÃO
Um conjunto finito de equações lineares nas variáveis
x1,x2,x3,...,xn é chamado um SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
ou um SISTEMA LINEAR.
De modo geral representamos:
a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn = b1
a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn = b2
a31x1+a32x2+a33x3+...+a3nxn = b3
. . .
. . .
. . .
am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn = bm
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Se o conjunto ordenado de números {α1,α2, α3, ... ,αn}
satisfizer todas as equações do sistema, será denominado
SOLUÇÃO do sistema linear.
FORMA MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR
a11 a12 a13 ... a1n x1 b1
a21 a22 a23 ... a2n x2 b2
a31 a32 a33 ... a3n x3 b3
. . . =
. .
. .
am1 am2 am3 ...amn xn bm
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MATRIZ AMPLIADA DE UM SISTEMA
É a matriz obtida acrescentando-se à matriz dos
coeficientes uma coluna com os termos independentes.
EXEMPLO:
Considerando o sistema :
Temos:
1 -2 3 6
-3 1 -5 9
4 3 -7 -10








10734
953
632
zyx
zyx
zyx
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CLASSIFICAÇÃO
Os sistemas lineares podem ser classificados quanto ao
número de soluções, da seguinte forma:
DETERMINADO
POSSÍVEL OU COMPATÍVEL
INDETERMINADO
SISTEMA LINEAR
IMPOSSÍVEM OU INCOMPATÍVEL
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O sistema linear é dito possível ou compatível quando
admite solução. Ele pode ser determinado (SPD) se admite
solução única ou indeterminado (SPI) se admite infinitas
soluções.
O sistema linear é impossível ou incompatível (SI) quando
não admite solução.
TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI
“ Um sistema linear com m equações e n incógnitas possui
solução se e somente se o posto da matriz ampliada post(A)
for igual ao posto da matriz dos coeficientes post(C)”.
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SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
Um sistema de equações lineares é dito HOMOGÊNEO
se os termos constantes são todos iguais a zero.
Todo sistema linear homogêneo admite a SOLUÇÃO
NULA ou TRIVIAL que é aquela em que todas as variáveis são
nulas.Se admitir outras soluções elas serão chamadas de NÃO
NULAS ou NÃO TRIVIAIS.
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SISTEMAS ESCALONADOS
Considere um sistema linear
a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn = b1
a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn = b2
a31x1+a32x2+a33x3+...+a3nxn = b3
. . .
. . .
. . .
am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn = bm.
Vamos admitir que em cada equação exista pelo
menos um coeficiente não nulo.
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Dizemos que o sistema está na forma escalonada, se o
número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente
não nulo, aumenta de equação para equação.
EXEMPLOS.:
1. 2.
3.








123
62
742
z
zy
zyx





23
105
cb
cba








13
05
1423
wt
wtz
wtzyx
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Note que há dois tipos de sistemas escalonados:
1º) Número de equações igual ao número de incógnitas
2º) Número de equações menor que o número de incógnitas
EXEMPLOS:
Resolva cada um dos sistemas dados:
a)
b) 








12
03
032
zy
zx
yx





325
12
tz
tzyx
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Na aula de hoje estudamos:
. Equações Lineares: Definição
. Sistemas Lineares: Definição 
. Forma Matricial de um Sistema Linear
. Matriz Ampliada de um Sistema Linear
. Classificação de um Sistema Linear
. Teorema de Rouché-Capelli
. Sistema Linear Homogêneo
. Sistemas Escalonados
. Exercícios