Aula 7

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ÁLGEBRA LINEAR
AULA 7- BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL
BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL– AULA 7
ÁLGEBRA LINEAR
Conteúdo Programático desta aula
. Base e Dimensão:
Base de um Espaço Vetorial
. Base Canônica: - no Plano R²
- no Espaço R³
. Dimensão
. Teoremas
. Exercícios
BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL– AULA 7
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BASE E DIMENSÃO
BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
Dizemos que um conjunto V={v1,v2, ... ,vn} V é uma
base do espaço vetorial V se:
i) V é LI (Linearmente Independente)
ii) V gera V
Exemplos.
1. B={(1,-1),(-1,0)} é base de R².
Com certeza;
i) B é LI pois a(1,-1) + b(-1,0) = (0,0) , então:






000
0
baaa
ba
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ii) B gera R² pois para todo , tem-se:
(x,y) = a(1,-1) + b(-1,0)
(x,y) = -y(1,-1) + (-y-x)(-1,0)
²),( Ryx 





yaya
xybxabxba
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2.B={(1,0), (0,1)} é base de R² e é denominada BASE
CANÕNICA
i) B é LI (Linearmente Independente) pois a(1,0) + b(0,1) =
(0,0) implica a=b=0
ii) B gera R², pois todo vetor (x,y) R² é tal que (x,y) =
x(1,0) + y(0,1)

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No PLANO – Base Canônica no R²: i=(1,0) e j=(0,1)
B={i,j} -> v = xi + yj
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No ESPAÇO – Base Canônica no R³: i=(1,0,0) , j=(0,1,0) e
k=(0,0,1)
B={i,j,k} -> v = xi + yj + zk
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Note que:
. {(1,0,0,...,0),(0,1,0,...,0), ... , (0,0,0,...,1)} é a base
canônica de
. {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} é a base canônica de
. {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é a base canônica de R³
.{(1,0),(0,1)} é a base canônica de R²
. (1} é a base canônica de R
R
n
R
4
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DIMENSÃO
A DIMENSÃO de um espaço vetorial de dimensão finita V é
definida como o número de vetores de uma base de V é
denotada por dim(V). Além disto, definimos o espaço vetorial
nulo como tendo dimensão zero.
TEOREMA
Todas as bases de um espaço vetorial de dimensão finita
têm o mesmo número de vetores.
TEOREMA
Se W é um subespaço de um espaço vetorial V de
dimensão finita, então dim(W)≤dim(V); além disto, se
dim(W)=dim(V), então W=V.
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Observamos pelo teorema anterior que a dimensão de um
subespaço de um espaço vetorial de dimensão finita V não
pode exceder a dimensão do próprio espaço V .
A única maneira de um subespaço ter a mesma dimensão
que o próprio espaço V é sendo igual ao espaço todo.
Considerando como exemplo o R³, temos:
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Observações:
1. Os subespaços do R² são:
- O subconjunto formado apenas pelo vetor nulo W={(0,0)}
- Os subconjuntos cujos gráficos são representados por
retas passando pela origem do sistema cartesiano
- O próprio R²
2. Os subespaços do R³ são:
- O subconjunto formado apenas pelo vetor nulo
W={(0,0,0)}
- Os subconjuntos cujas representações gráficas são retas
passando pela origem do sistema cartesiano
- Os subconjuntos cujas representações gráficas são
planos passando pela origem do sistema cartesiano
- O próprio R³
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EXERCÍCIOS
1.Considerando os vetores v1=(1,2,3) , v2=(0,1,2) e v3=(0,0,1), 
mostrar que o conjunto B={v1,v2,v3} é uma base do R³.
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2. O conjunto B = { 1+t,1+t²,t+t²} é uma base para P2 .
Determine o vetor das coordenadas de p(t) = 6 + 3t – t²
relativo a B.
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Na aula de hoje estudamos:
. Base e Dimensão:
Base de um Espaço Vetorial
. Base Canônica: - no Plano R²
- no Espaço R³
. Dimensão
. Teoremas
. Exercícios