Transformações Lineares - Álgebra Linear

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ÁLGEBRA LINEAR
AULA 8- TRANSFORMAÇÕES LINEARES
TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8
ÁLGEBRA LINEAR
Conteúdo Programático desta aula
. Transformações Lineares: Definição. Exemplos.
. Núcleo de uma Transformação Linear.
. Imagem de uma Transformação Linear
. Matriz de uma Transformação Linear:
- Matriz de Transformação Linear do R²
- Matriz de Transformação Linear do R³
. Transformações Lineares Planas:
- Reflexões. Dilatações e Contrações.Cisalhamentos.
Rotação.
. Exemplos
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TRANSFORMAÇÕES LINEARES
DEFINIÇÃO
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação (função)
T:V  W é chamada TRANSFORMAÇÃO LINEAR de V em W se,
para quaisquer vetores u e v em V e qualquer escalar k
valem:
i) T(u+v) = T(u) + T(v)
ii) T(kv) = k.T(v)
No caso especial em que V = W , a transformação linear
é chamada de OPERADOR LINEAR DE V.
Em toda transformação linear T:V W, a imagem do
vetor 0 V é o vetor 0 W, isto é T(0)=0
 
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EXEMPLOS
1. T:R R
x 2x ou T(x) = 2x é linear. De fato:
i) Sejam u=x1 e v=x2 vetores quaisquer de R (nesse caso os
vetores são números reais). Então:
T(u+v) = T(x1) + T(x2) = 2(x1+x2)=2x1+2x2=T(u)+T(v)
ii) Para todo kR e para todo u=x1R, tem-se:
T(ku)=T(kx1)=2kx1=k(2x1)=kT(u)
Obs: Essa transformação linear representa uma reta que passa
pela origem. Se uma transformação representar uma reta
que não passa pela origem, ela não é linear.
Por ex.: T:RR , T(x)=2x+1
Nesse caso: T(0)≠0 pois T(0)=1

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2. T:R²R²
(x,y)  (-x,-y) , aplicação que a cada vetor (x,y) associa
o seu oposto (-x,-y)
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3. T:R² R³ , T(x,y)=(2x , -3y , x-y) é linear
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4. Considere a transformação T:R² R³ definida por T(x,y) =
(2x , -3y , x – y). Calcule:
a) T(4,-1)
b) T(0,5)
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NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Seja T:VW uma transformação linear. O conjunto dos
vetores em V que T leva em 0 é chamado NÚCLEO DE T, que
denotamos por N(T) ou ker(T) (Kernel).
N(T) = {v V  T(v)=0}
O núcleo de uma transformação linear T:VW é um
subespaço vetorial de V.
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IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
O conjunto de todos os vetores em W que são imagens
por T de pelo menos um vetor em V é chamado de IMAGEM DE
T, que representamos por Im(T) ou T(V).
Im(T) = { wWT(v)=w para algum vV}
A imagem de uma transformação T:VW é um
subespaço de W
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MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
I. MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO R²
Dada uma transformação linear T:R²R² , definida por
T(x,y) =(a1x+b1y , a2x+b2y) denominamos matriz de T na base
canônica do R², ou apenas matriz de T, à matriz
M = a1 b1
a2 b2
Exemplo:
A matriz da transformação T(x,y) = (3x-5y , 2x+y) é
M = 3 -5
2 1
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II. MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO R³
A matriz da transformação linear T:R³R³ definida por
T(x,y,z) = (a1x+b1y+c1z,a2x+b2y+c2z,a3x+b3y+c3z)
é a matriz
a1 b1 c1
M = a2 b2 c2
a3 b3 c3
Exemplo:
A matriz da transformação T(x,y,z) = (x+y+z , 2x-3y-5z , x-2z)
é:
1 1 1
M = 2 -3 -5
1 0 -2
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TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS
São as transformações de R² em R². Vejamos algumas
delas e suas respectivas interpretações geométricas:
1.REFLEXÕES
a) Reflexão em torno do eixo dos x
T:R² R²
(x , y) (x, -y) ou
T (x , y) = (x , -y)
sendo 1 0 sua matriz canônica, isto é:
0 -1
x 1 0 x
-y = 0 -1 . y
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b) Reflexão em torno do eixo dos y
T:R² R²
(x , y) (-x , y)
ou :
x -x -1 0 x
= .
y y 0 1 y
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c) Reflexão na origem
T:R² R²
(x , y) (-x , -y)
ou :
x -x -1 0 x
=
y -y 0 -1 y
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d) Reflexão em torno da reta y = x
T:R² R²
(x , y) (y , x)
ou :
x y 0 1 x
=
y x 1 0 y
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e) Reflexão em torno da reta y=-x
T:R² R²
(x , y) (-y , -x)
ou :
x -y 0 -1 x
=
y -x -1 0 y
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2.DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES
a) Dilatação ou contração na direção do vetor
T:R² R²
(x , y) α(x , y), αR
ou :
x x αx α 0 x
= =
y y αy 0 α y

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b) Dilatação ou contração na direção do eixo dos x 
T:R² R²
(x , y) (αx , y), α > 0
ou :
x αx α 0 x
=
y y 0 1 y
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c) Dilatação ou contração na direção do eixo dos y 
T:R² R²
(x , y) (x , αy), α > 0
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OBS.: α = 0 (x , y) (x , 0)
T seria a projeção ortogonal do plano sobre o eixo dos x.
Para α=0 no caso (b), T seria a projeção ortogonal do plano 
sobre o eixo dos y.
 
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3.CISALHAMENTO
a) Cisalhamento na direção do eixo dos x 
T:R² R²
(x , y) (x + αy, y)
ou :
x x+αy 1 α x
=
y y 0 1 y
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b) Cisalhamento na direção do eixo dos y 
T:R² R²
(x , y) (x,y + αx)
A matriz canônica deste cisalhamento é: 1 0
α 1
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4.ROTAÇÃO
T : R² R²
cos  -sen 
[T ]= 
sen  cos 
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EXEMPLO
Determinar a imagem do vetor v=(5,3) pela rotação de
 = π/2.
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Na aula de hoje estudamos:
. Transformações Lineares: Definição. Exemplos.
. Núcleo de uma Transformação Linear.
. Imagem de uma Transformação Linear
. Matriz de uma Transformação Linear:
- Matriz de Transformação Linear do R²
- Matriz de Transformação Linear do R³
. Transformações Lineares Planas:
- Reflexões. Dilatações e Contrações.Cisalhamentos.
Rotação.
. Exemplos