Relatório de Laboratório de Física Geral I - 01

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ENGENHARIA MECÂNICA 
ENGENHARIA QUÍMICA 
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 
ENGENHARIA CIVIL 
(INTEGRAL) 
 
 
LABORATÓRIO DE FÍSICA GERAL I 
Construção de gráficos 
 
 
Data da realização do experimento: 11/04/2014 
Professor Responsável: Gilson Coutinho Junior 
Aluno: Jonas Eduardo Bini RA: 47447 
Aluno: Luiz Felipe Russo RA: 84612 
Aluno: Mirella Thomazini RA: 84016 
Aluno: Gabriel Massoli RA: 84023 
 
 
Araras, SP 
2014 
 
1. RESUMO 
Normalmente o estudo de um fenômeno qualquer se inicia com o 
tabelamento de dados. Por exemplo, analisa-se o crescimento populacional, 
tabelando-se o número de nascimentos e mortes a cada ano; estuda-se o 
desenvolvimento de animais jovens, tabelando-se suas pesagens em períodos 
regulares; estuda-se o movimento de um corpo, tabelando-se seu deslocamento 
em função do tempo. A partir das tabelas, a construção de gráficos permite, em 
geral, uma visualização imediata do comportamento em estudo. Em particular, 
para fenômenos que apresentam reprodutividade, é possível inclusive extrair uma 
equação matemática para seu comportamento. Assim, os gráficos possibilitam 
também uma comparação de pontos experimentais com traçados de funções 
matemáticas corriqueiras como retas, parábolas e exponenciais, e a determinação 
dos seus parâmetros específicos. 
 
2. OBJETIVO 
Através de atividades realizadas numa mesa de forças, ser capaz de 
identificar a força equilibrante de um sistema de duas forças coplanares e 
determinar a força resultante desse sistema, calculando-a utilizando dos métodos 
analítico e geométrico. 
 
 
3. MATERIAL UTILIZADO 
 Lápis; 
 Borracha; 
 Calculadora; 
 Papel milimetrado; 
 Régua; 
 Painel metálico multifuncional; 
 Escala angular pendular de 0 a 360 graus; 
 Dinamômetros de fixação magnética, com escala de 0 a 2N; 
 Fios de poliamida de 0,22m com anéis. 
 
 
4. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 
 Com a finalidade de obter formas mais simplificadas para representar 
expressões estatísticas, criaram-se os gráficos para representar de uma forma 
geométrica, visual, tais situações matemáticas. 
Para se criar um gráfico, além de conhecer o tipo de informação que se 
deseja transmitir, é preciso saber as normas básicas para sua confecção e 
utilização. As tabelas e os gráficos devem ser construídos na forma mais clara 
possível para quem lê o trabalho de forma que se tenha uma interpretação correta 
dos dados. É importante fornecer, no gráfico, toda a informação necessária que 
permita sua leitura correta e simples. A escolha de uma escala adequada também 
é importante. 
 Estes dados são obtidas das curvas geradas pelos pontos marcados no 
gráfico que podem ser dos mais diversos tipos, porém sabe-se que a curva em 
que é muito mais fácil de extrair informações a partir de um gráfico é a reta. Então, 
para facilitar as operações envolvendo gráficos, criou-se uma técnica em que 
torna possível a linearização da curva por meio de uma mudança das variáveis, 
onde um novo gráfico representado por uma reta é formado. 
Porém este processo de linearização não será preciso, uma vez que retas 
diferentes poderão ser geradas por experimentadores diferentes, resultando em 
diversos resultados para uma mesma equação. Para solucionar este problema, 
utiliza-se das equações dos mínimos quadrados, que fornecem os melhores 
parâmetros linear e angular para a reta. 
Se pegarmos a equação reduzida de uma reta, temos que y=a.x+b, onde a 
é o coeficiente angular da reta, que é o ângulo de inclinação α da reta em relação 
ao eixo OX e que podemos encontrar utilizando a expressão a=tg(α), onde 
0°<α<90° e 90º<α<180° para retas não paralelas ao eixo OX, e α=0º para retas 
paralelas ao eixo OX. 
Pelo método dos mínimos quadrados podemos encontrar os coeficientes a 
e b da reta facilmente pelas equações 1 e 2. 
 
𝑎 =
𝑁.(∑𝑥𝑖.𝑦𝑖)−∑𝑥𝑖.∑𝑦𝑖
𝑁.(∑𝑥𝑖
2)−(∑𝑥𝑖)2
 Eq. 1 
𝑏 =
(∑𝑦𝑖).(∑𝑥𝑖
2)−(∑𝑥𝑖𝑦𝑖).(∑𝑥𝑖)
𝑁.(∑𝑥𝑖
2)−(∑𝑥𝑖)2
 Eq. 2 
 
 Com a equação em mãos, podemos traçar nossa reta, utilizando de dois 
pontos distintos, e/ou desenhar uma tabela com os valores desejados. 
O método dos mínimos quadrados é utilizado para se determinar uma reta 
de ajuste em relação aos dados encontrados. Este método exige que a reta de 
ajuste se encaixe no gráfico de forma que a soma do quadrado da distância 
vertical dos pontos à reta seja mínima. 
 Sua principal utilização é nos casos onde é necessária uma boa 
aproximação para os valores tabelados, permitindo uma extrapolação com uma 
margem de segurança. 
 
5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 No primeiro exercício do procedimento, analisamos dois gráficos (figura 1) e 
uma tabela (tabela 1), observando as escalas utilizadas nos gráficos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: gráficos (Sxt) para duas escalas diferentes. 
 
Tempo(s) 
 
0 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
5 
 
6 
 
7 
 
8 
 
9 
 
10 
 Posição(cm) 
 
500 
 
501 
 
504 
 
509 
 
516 
 
525 
 
536 
 
549 
 
564 
 
581 
 
600 
 
Tabela 1: Tempo x Posição 
 
No segundo exercício do procedimento, seguindo a mesma linha de 
raciocínio da tabela e gráfico do procedimento anterior, construímos uma tabela 
(tabela 2) para a função P(t)=200.t, com t em anos, com valores aleatórios de t. 
 
t (anos) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
P(t) 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 
Tabela 2: Crescimento linear de população conforme a função P(t)=200.t. 
 
 Utilizando de papel milimetrado, lápis e régua, desenhamos dois gráficos 
em escalas diferentes. Os gráficos se encontram no anexo I. 
 No terceiro exercício do procedimento, utilizando dos dados da tabela 3 (no 
roteiro como tabela 2), construímos um gráfico, ajustando uma reta “a olho” aos 
pontos do gráfico. 
 
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Y 10 14 17 18 19 20 25 26 27 31 
 
Tabela 3: Dados de valores para X e Y. 
 
 Em seguida, utilizando do método dos mínimos quadrados, determinou-se a 
equação da reta, y=a.x+b, que melhor se ajustava aos pontos do gráfico. 
 
 Soma 
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55 
Y 10 14 17 18 19 20 25 26 27 31 207 
X.Y 10 28 51 72 95 120 175 208 243 310 1312 
X² 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385 
 
Tabela 4: Dados necessários para o cálculo dos coeficientes a e b. 
 
 Cálculo dos coeficientes a e b: 
 
𝑎 =
𝑁. (∑𝑥𝑖 . 𝑦𝑖) − ∑𝑥𝑖. ∑ 𝑦𝑖
𝑁. (∑𝑥𝑖
2) − (∑𝑥𝑖)
2 =
(10). (1312) − (55). (207)
(10). (385) − (552)
= 𝟐, 𝟏 
 
𝑏 =
(∑𝑦𝑖). (∑ 𝑥𝑖
2) − (∑𝑥𝑖 . 𝑦𝑖). (∑𝑥𝑖)
𝑁. (∑𝑥𝑖
2) − (∑𝑥𝑖)2
=
(207). (385) − (1312). (55)
(10). (385) − (552)
= 𝟗, 𝟏 
 
 Função y=a.x+b com os coeficientes encontrados: 
 
𝑦 = 2,1. 𝑥 + 9,1 Eq. 3 
 Com a equação 3, construímos a tabela 5 que nos deu os pontos para 
traçar nosso gráfico. 
 
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Y 11,2 13,3 15,4 17,5 19,6 21,7 23,8 25,9 28 30,1 
 
Tabela 5: Dados de valores para X e Y utilizando-se da função y=2,1.x+9,1. 
 
 O gráfico se encontra no anexo II. 
 
 
6. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 Observando o primeiro exercício do procedimento, analisamos dois 
gráficos, e concluímos que o gráfico 2 é melhor para perceber a posição do objeto 
em movimento durante o tempo em segundos. 
Tivemos facilidade em observar tal resultado, pois os gráficos mostram uma 
grande diferença nas escalas utilizadas por ambos. 
No segundo exercício do procedimento, foi analisado que a construção de 
um gráfico em escalas diferentes, pode ajudar ou dificultar a visualizaçãodos 
resultados, nesse caso, o aumento de certa população ao decorrer de um dado 
tempo em anos. Podemos perceber em um gráfico o aparente aumento mais 
rápido da população e no outro gráfico uma aparente demora. 
No terceiro exercício do procedimento, verificou-se que o método dos 
mínimos quadrados nos deu uma linearização dos dados da tabela, podendo 
assim, se tornar possível uma “previsão” dos eventos do experimento para 
diferentes valores de x. 
 
 
 
 
 
7. CONCLUSÃO 
 Concluímos primeiramente que para construir um gráfico, necessitamos 
seguir normas, tal como escolher e identificar corretamente os eixos coordenados 
e utilizar a escala certa, para que não façamos sua representação errada. 
 Concluímos também que a melhor forma de se tirar informações de uma 
curva que não seja uma reta é linearizando a equação, que podemos obter de 
duas formas: traçando uma reta “a olho”, ou usando as equações dos mínimos 
quadrados. 
Para finalizar, comparamos os resultados das duas formas de se linearizar 
uma curva, e chegamos à conclusão final de que sempre aparecerão erros 
aleatórios neste processo. 
 
 
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 RUGGIERO, M. A. G. Cálculo numérico: aspectos teóricos e 
computacionais. 2ª ed. – São Paulo: Pearson Makron Books, 1996. 
 FREUND, J. E. Estatística aplicada: economia, administração e 
contabilidade. 9ª ed. – Porto Alegre: Bookman, 2000. 
 GOLDEMBERG, J. Física geral e experimental. 2ª ed. – São Paulo: 
Nacional, 1970. 
 DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 3ª ed. – São Paulo: Ática 
S.A., 2010. 
 SPIEGEL, M. R. Estatísticas. 3ª ed. – São Paulo: Malpron Books, 1993.