Cinemática dos Fluidos: Descrição Lagrangiana e Euleriana

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Cap 4. Cinemática dos Fluidos
página 133
4.1 Descrição Lagrangiana e Euleriana
Descrição lagrangiana => estuda a posição e 
velocidade de cada parcela individual do fluido
Descrição euleriana => estuda o volume de controle, 
através das variáveis de campo (campo de pressão, 
campo de velocidade, campo de aceleração)
Classificação dos escoamentos de fluidos
Escoamento viscoso x Escoamento não viscoso 
(Atrito) 
Escoamento interno x Escoamento externo
Escoamento natural x Escoamento forçado
Escoamento compressível x Escoamento 
incompressível 
(densidade)
Escoamento laminar x Escoamento turbulento 
(Velocidade)
OBS:
➡ escoamento transitório => alterna entre laminar 
e turbulento
➡ Re => parâmetro para determinar o regime de 
escoamento
Escoamento estacionário (regime permanente) x 
Escoamento não estacionário
OBS: escoamento transiente é para escoamentos 
que estão se desenvolvendo - start up e parada de 
plantas
1 - fluido entrando 
2 - fluido saindo
E = S
propriedades do fluido são constantes no ponto ao 
longo do tempo 
Se fechar a entrada => propriedades do fluido em 
cada ponto varia ao longo do tempo 
Sistema e Volume de Controle
Figura 1.28. Sistema fechado com fronteira móvel
Figura 1.29. Volume de 
controle pode incluir 
fronteiras fixa, móvel, 
real e imaginária
Linha de Corrente
É a linha tangente aos vetores da velocidade de 
diferentes partículas no mesmo instante.
no Regime Permanente as linhas de corrente e 
as trajetórias de corrente coincidem.
Considera 2 dimensões
comprimento do arco infinitesimal ao longo da linha de corrente é 
equação da linha de corrente
linha de corrente no plano xy
d!r = dx
!
i + dy
!
j + dz
!
k d!r "
!
V = u
!
i + v
!
j +w
!
k
dr
V =
dx
u =
dy
v =
dz
w
dy
dx
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ linhadecorrente
= vu
Tubo de Corrente
É a superfície de forma tubular formada pelas 
linhas de corrente que se apoiam numa linha 
geométrica qualquer.
São fixos quando o regime é permanente.
São impermeáveis a passagem de massa => partículas 
que entram de um lado do tubo saem do outro lado, 
sem adição e nem subtração de matéria.
Trajetória Corrente
É o lugar geométrico dos pontos ocupados por 
uma partícula em instantes sucessivos.
A trajetória é função do ponto inicial que 
individualiza a partícula e do tempo.
4.6 Teorema de transporte de Reynolds
expressa a relação entre as taxas de variação no 
tempo de uma propriedade extensiva para 
sistemas e volumes de controle.
Válvula pouco aberta => v↓ => formação de um 
filete reto e contínuo de fluido colorido no eixo do 
tubo.
Experimento de Reynolds 
Válvula pouco mais aberta => v intermediária => 
filete de fluido colorido apresenta ondulações e 
desaparece a uma pequena distância do ponto de 
injeção.
O que Reynolds descobriu com seu experimento?
Válvula pouco aberta => v↓ => formação de um 
filete reto e contínuo de fluido colorido no eixo do 
tubo.
Conclusão: as partículas do fluido viajam sem 
agitações transversais, mantendo-se em lâminas 
concêntricas => não há troca macroscópica de 
partículas
Válvula pouco mais aberta => v intermediária => 
filete de fluido colorido apresenta ondulações e 
desaparece a uma pequena distância do ponto de 
injeção.
Conclusão: movimentos transversais diluem o 
fluido colorido => as partículas apresentam 
velocidades transversais que causam a diluição e 
o filete desaparece.
Re = ρvD
µ
= vD
υ
densidade (kg/m3)
viscosidade cinemática 
(m2/s)viscosidade dinâmica 
(kg/ms ou Ns/m2)
diâmetro (m)
velocidade (m/s)
Re < 2.000 => escoamento laminar
2.000 < Re < 2.400 => escoamento de transição
Re > 2.400 => escoamento turbulento
Exemplos
1. A temperatura de 20 oC, uma pessoa enche um tambor 
de 208 L em 37 s, com auxílio de uma mangueira de 
diâmetro de 4 cm. Informe qual a velocidade mínima para 
que o regime de escoamento seja turbulento.
Dados: ρ = 998kg /m3
µ = 0,001Ns /m2
g = 10m / s2
2. Um fluido newtoniano escoa num tubo de 25 mm 
de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade 
média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o 
número de Reynolds e o tipo de escoamento.
Dados: 
g = 10m / s2
µ = 0,38Ns /m2
ρ = 0,91x103kg /m3
3. A água a 10 oC escoa em um tubo de diâmetro 
de 19 mm. Determine a velocidade máxima para 
que o regime de escoamento seja laminar.
Dados: 
g = 10m / s2
µ = 1,307x10−3Ns /m2
ρ = 999,7kg /m3
4. Determine a velocidade mínima, a 60 oC, para 
que o regime de escoamento seja turbulento.
Dados: 
g = 10m / s2
µ = 4,665x10−4Ns /m2
ρ = 983,2kg /m3