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NOTA DE AULA COMPLEMENTAR NOÇÕES DE PROBABILIDADE 2014.1

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José de Souza Neto, Prof.PhD. 
e-mail: jsneto@pq.cnpq.br
jneto.pro@hotmail.com
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Determinando Probabilidade 
aos Eventos
Experimento aleatório
É um processo ou curso de ação, no qual o resultado é incerto.
Repetindo um mesmo experimento, varias vezes, poderemos obter resultados diferentes, e isto chamamos de probabilidade de ocorrencia de um certo resultado. 
Para determinar as probabilidades nós necessitamos definir primeiro os possiveis resultados.
*
*
Determinando os resultados.
Construa uma lista exaustiva de todos os possiveis resultados.
Assegure de que você listou os resultados que são mutuamente exclusivos.
Um dos resultados que satisfaça as duas condições acima, é chamado de um espaço amostral.
Espaço Amostral
Um espaço amostral de um experimento
aleatorio. É uma lista de todos possiveis 
resultados do experimento. Os resultados 
devem ser mutuamente exclusivos.
Simples evento
Resultados individuais são chamados de simples
evento. 
Evento
Um evento é uma coleção de um
ou mais eventos simples
Nosso objetivo é 
determinar P(A), a 
probabilidade de que o 
evento A ocorrerá. 
*
*
Dado um espaço amostral S={E1,E2,…,En}, as seguintes caracteristicas para a probabilidade P(Ei) de um simples evento Ei deve ser mantida:
Probabilidade de um evento: A probabilidade P(A) de um evento A é a soma das probabilidades calculadas para um simples evento contido em A.
Estimando probabilidades
*
*
Origem
Estagio 1
Estagio 2
Primeiro lance
Segundo lance
C
K
CC
KC
KK
CK
C
C
K
K
Segundo lance
Evento simples
Arvore de probabilidades
Isto pode ser util para construir um espaço amostral e calcular probabilidades de um simples evento e eventos.
 Considere o lançamento de uma moeda duas vezes.
*
*
CC
KC
KK
CK
Calcular a probabilidade do evento A
onde A={ no minimo uma Cara} =
P(A)=.25+.25+.25=.75
Espaço amostral =
Arvore de probabilidades
Isto pode ser util para construir um espaço amostral e calcular probabilidades de um simples evento e eventos.
*
*
Se A e B são dois eventos, então
	P(A ou B) = P(A ocorre ou B ocorre ou ambos)
	P(A e B) = P(A e B ambos ocorrem)
	
	P(A|B) = P(A ocorre dado que B tem ocorrido)
Combinação de Eventos
*
*
Exemplo
O numero de pontos quando um dado é lançado. Considere os seguintes eventos.
A: O numero máximo observado é 2.
B: O numero observado é par.
C: O numero observado é 4.
Responda as seguintes questões:
*
*
(a) Defina o espaço amostral para seu experimento e calcule as probabilidades.
		Solução
		S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
		Cada simples evento tem a mesma probabilidade de ocorrer, assim, 	P(1)=P(2)=…=P(6)=1/6.
Diagrama de Venn 
*
*
(b) Calcule P(A)
A
		P(A) = P{1, 2}
		P(A) = P(1) + P(2) = 1/6 +1/6 = 2/6
*
*
A
1
2
4
5
6
3
A complementar de um evento A é:	
*
*
A
1
2
4
5
6
3
Os eventos A e C são mutuamente exclusivos?	
Evento C
Eventos A e C são
mutuamente exclusivos 
porque eles não podem ocorrer
simultaneamente.
Não existe intersecção 
entre as duas regiões
*
*
5
6
3
A ou C
Calcule P(A ou C)	
1
2
4
P(A ou C) = P(1, 2, 4) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6
ou, porque A e C são mutuamente exclusivos,
P(A ou C) = P(A) + P(C) = 2/6 + 1/6 = 3/6.
A
Evento C
*
*
5
3
Calcule P(A e B)
1
2
4
6
B
A
A e B
4
6
1
2
2
2
P(A e B) = P(2) = 1/6
*
*
5
3
Calcule P(A ou B)
1
2
4
6
B
A
A ou B
4
6
1
2
2
P(A ou B) = P(1) + P(2) +P(4) + P(6) = 4/6
*
*
5
3
Calcule P(C|B)	
1
Evento C
4
6
2
B
P(O numero é 4 | dado que o numero é par ) = 1/3
4
6
2
4
*
*
A probabilidade de um evento quando se conhece parcialmente acerca do resultado de um experimento - Probabilidade Condicional.
Utiliza-se a notação:
P(A|B) = A probabilidade que um evento A ocorre, dado que o evento B tem ocorrido.
O conhecimento parcial 
está contido na ” condição” 
Probabilidade Condicional
*
*
Dois eventos A e B são ditos independentes se P(A|B) = P(A) ou P(B|A) = P(B). Caso contrario, os eventos são dependentes.
Observe que, se a ocorrencia de um evento não muda a probabilidade de ocorrencia do outro evento, os dois evento são independentes 
Eventos
Independentes e Dependentes
*
*
Exemplo
O pessoal do departamento de uma companhia de seguros compilou dados no tocante a promoção, por genero. Promoção e genero dependem uma da outra?
Eventos de interesse
M: O administrador é macho A: O administrador é promovido
M: O administrador é femea A: O administrador não é promovido
Administrador
Promovido
Não promovido
Total
Macho
46
184
230
Femea
8
32
40
Total
54
216
270
*
*
Vejamos se P(A|M)=P(A). Se essa igualdade se mantem. Não existe diferença na probabilidade de promoção entre machos e femeas.
P(A) = Numero de promoções / numero total de administradores 
 = 54 /270 = .20
P(A|M) = Numero de promoções | somente machos são observados
 = 46 / 230 = .20. 
Conclusão: não existe discriminação no 
processo de promoçõess.
46
230
54
270
Sheet1
		Administrador		Promovido		Não promovido		Total
		Macho		46		184		230
		Femea		8		32		40
		Total		54		216		270
*
*
Observe que eventos independentes e 
mutuamente exclusivos não são o mesmo!!!! 
A
B
A e B são dois eventos mutuamente exclusivos,
e A pode assumir que é P(A)>0.
A e B podem ser independentes?
Assuma que o evento B tem ocorrido, 
B
Como P(A)>0, assim, A e B não podem ser independentes 
então, a probabilidade condicional de A ocorrer 
dado que B tem ocorrido é zero, que é P(A|B) = 0,
devido a que P(A e B) = 0. 
*
José de Souza Neto, Prof. PhD. 
e-mail: jsneto@jsneto.pro.br 
jsneto.pro@hotmail.com
*
*
*
Regras Basicas
Regra da Complementar
Cada simples evento deve pertencera ambos A ou Dado que a soma das probabilidades associadas a um simples evento é um, então para qualquer evento A, nós temos:
P(A) = 1 - P(A)
A
*
*
Regra da Adição 
Para dois quaisquer dois eventos A e B
P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)
A
B
P(A) =6/13
P(B) =5/13 
P(A e B) =3/13
+
_
P(A ou B) = 8/13
*
*
Regra da Multiplicação 
Para quaisquer dois eventos A e B
Quando A e B são independentes
P(A e B)	= P(A)P(B|A)
	= P(B)P(A|B)
P(A e B)	= P(A)P(B)
*
*
Um analista de mercado sente que:
 a probabilidade que certo fundo de ações receberá contribuições gradativas dos investidores é 0.6.
A probabilidade de receber contribuições dos investidores inicia com 0.9 se o mercado está em alta.
A probabilidade de receber contribuições dos investidores cai abaixo de 0.6 se o mercado de ações cai.
Existe uma probabilidade de 0.5 de que o mercado de ações aumente ( em alta).
Os eventos de interesse são:
	A: O mercado está em alta; 
	B: A companhia recebe crescentes.
 Exemplo
*
*
Calcule as seguintes probabilidades:
A probabilidade que ambos A e B ocorrerão é P(A e B). (rápido aumento nos ganhos).
A probabilidade de que ambos A ou B ocorrerão é P (A ou B). (no minimo, moderado ganho).
Solução:
	P(A) = 0.5; P(B) = 0.6; P(B|A) = 0.9
	P(A e B) = P(A)P(B|A) = (.5)(.9) = 0.45
	P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B) = .5 + .6 - .45 =0.65
*
*
Variaveis Aleatorias e Distribuição de Probabilidades
Uma experimento aleatorio é uma função que que atribui um valor numerico a qualquer evento simples em um espaço amostral. 
Uma variavel aleatória reflete o aspecto de um experimento aleatório que é de interesse para nós.
Existem dois tipos de variavel aleatoria
Variavel aleatria Discreta.
Variavel aleatória Continua.
*
*
	Uma variavel é discreta se ela pode assumir somente um determinado numero de valores. Uma variavel aleatória é dita continua se ela pode assumir indeterminado numero de valores
0
1
1/2
1/4
1/16
Variavel Aleatoria Continua
Após
o primeiro valor ser definido,
o segundo valor, e qualquer valor
após eles são conhecidos.
Desta forma o numero de
valores é possivel de contagem.
Após o primeiro valor ser definido,
qualquer numero pode existir proximo dele
Variavel Aleatoria Discreta
Desta forma, o numero de valores 
torna-se impossivel de contagem
Variaveis Aleatórias Discretas e Continuas
*
*
Uma tabela, formula, ou grafico que liste todos possiveis valores que uma variavel aleatoria discreta pode assumir, associada a uma probabilidade, é chamada de uma distribuição de probabilidade discreta
Para calcular P(X = x), ou seja, a probabilidade que a variavel aleatoria X assume o valor x, adicionadas as probabilidades de todos os eventos simple para os quais X é igual a x. 
Distribuição de Probabilidade Discreta
*
*
Exemplo
Calcule a distribuição de probabilidade da variavel aleatoria que descreve o numero de caras que aparece no lançamento de duas moedas.
Solução
Evento Simples x Probabilidade
 HH	 2	1/4
	HT	 1	1/4
	TH	 1	1/4
	TT	 0	1/4
*
*
Pressuposições a respeito de uma distribuição de probabilidade discreta
Se a variavel aleatoria pode assumir valores xi, então:
A distribuição de probabilidade pode ser usada para calcular probabilidades de diferentes eventos.
Exemplo continuação:
*
*
Probabilidades como frequencias relativas. Na prática, frequentemente as probabilidades são estimadas como frequencias relativas
Exemplo
O numero de carros vendido diariamente foi anotado nos ultimos 100 dias. Estes dados foram sumarizados conforme abaixo:
Vendas diarias Frequencia
	0			 5
	1		 15
	2		 35	
	3		 25
	4		 20
		 100
Estime a distribução de probabilidade.
Estabeleça a probabilidade de venda de mais de 2 carros ao dia.
*
*
Solução
Da tabela de frequencias nós calculamos a frequencia relativa que é o inicio de nossa distribuição de probabilidade estimada
Vendas Diarias Frequencia Relativa
	0		 	5/100=.05
	1		 15/100=.15
	2		 35/100=.35
	3		 25/100=.25
	4		 20/100=.20
						 1.00
A probabilidade de vender mais do que dois carros ao dia é 
0 1 2 3 4 
X
P(X>2) = P(X=3) + P(X=4) = .25 + .20 = .45
*
*
Valor Esperado e Variancia
O valor esperado
Seja uma variavel aleatoria discreta X com valores xi, que ocorre com probabilidades p(xi), o valor esperado de X é:
O valor esperado da variavel aleatoria X é a média ponderada dos possiveis valores que ela pode assumir, onde os pesos são as correspondentes probabilidades de cada xi.
*
*
E(c) = c
E(cX) = cE(X)
E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(X - Y) = E(X) - E(Y)
E(XY) = E(X)E(Y) if X e Y são variaveis aleatorias independentes.
Propriedades do Valor Esperado
*
*
 Seja X uma variavel aleatoria discreta com possiveis valores de xi que ocorre com probabilidades p(xi), então E(xi) = m. A variancia de X é definida como: 
A variancia é a media ponderada dos desvios ao quadrado dos valores de X em relação a sua média m, onde os pesos são as probabilidades correspondentes de cada xi. 
Variancia
*
*
Desvio Padrão 
O desvio padrão de uma variavel aleatoria X, denotado por s, é a raiz quadrada da variancia de X.
Exemplo
O numero total de carros para ser vendido na proxima semana é descrito pela seguinte distribuição de probabilidade:
Determine o valor esperado e o desvio padrão de X, o numero de carros vendidos.
*
*
*
*
Revisando
A variável aleatória X está definida pelos seus valores numéricos xi e suas probabilidades associadas p(xi), como apresentado no quadro abaixo:
O quadro da VA foi obtida a partir de uma população conhecida. Além disso, a VA representa uma distribuição de freqüências relativas, como mostra o histograma acima. 
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anteriores
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