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Lista de exercício de Cálculo Diferencial e Integral 1 
Professor: Thomas Marques de Castro 
1) Seja uma área de um quadrado cujos lados tem comprimento 𝑥 e suponha que 𝑥 
varie com o tempo 𝑡. 
 
a) Escreva uma equação que relacione 𝐴 e 𝑥 
b) Use a equação anterior para encontrar uma equação que relacione 𝑑𝐴/𝑑𝑡 e 𝑑𝑥/𝑑𝑡. 
c) Em um certo instante, os lados medem 3 𝑐𝑚 e crescem a uma taxa em 2 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛. 
Com que rapidez a área está crescendo naquele instante? 
 
2) Seja 𝑉 o volume de um cilindro de altura ℎ e raio 𝑟, e suponha que ℎ e 𝑟 variem com 
o tempo. 
 
a) Como estão relacionadas 𝑑𝑉/𝑑𝑡, 𝑑ℎ/𝑑𝑡, 𝑒 𝑑𝑟/𝑑𝑡? 
b) Em certo instante, a altura é de 6 𝑐𝑚 e está crescendo a 1 𝑐𝑚/𝑠. Com que rapidez o 
volume está variando naquele instante? O volume está crescendo ou decrescendo 
naquele instante? 
 
3) Seja 𝜃 (em radianos) um ângulo agudo de um triângulo retângulo, e sejam 𝑥 e 𝑦, 
respectivamente, os comprimentos dos lados adjacentes e opostos a 𝜃. Suponha, 
também, que 𝑥 e 𝑦 variem com o tempo. 
 
a) Como se relacionam 𝑑𝜃/𝑑𝑡, 𝑑𝑥/𝑑𝑡 𝑒 𝑑𝑦/𝑑𝑡. 
b) Em um certo instante, 𝑥 = 2 unidade e está crescendo a 1 unidade/𝑠, enquanto 𝑦 =
2 unidades e está decrescendo ¼ unidades/𝑠. Com que rapidez 𝜃 estará variando 
naquele instante? 𝜃 está crescendo o u decrescendo naquele instante? 
 
4) O ponteiro dos minutos de um relógio tem 4 𝑐𝑚 de comprimento. Começando do 
momento em que está apontando diretamente para cima, com que rapidez estará 
viajando a área do setor que é varrido por ele durante uma hora? 
 
5) Um balão esférico é esvaziado de tal forma que seu raio decresce a uma taca 
constante de 15 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛. Com que taxa o ar está sendo removido quando o raio for 
de 9 𝑐𝑚? 
 
6) Uma escada de 1,3 𝑚 está apoiada em uma parede. Se seu topo desliza sobre a 
parede para baixo a uma taxa de 0,2 𝑚/𝑠, com que rapidez a base da escada estará 
se afastando da parede quando o topo estiver 0,5 𝑚 acima do chão? 
 
7) Mostramos na figura abaixo uma câmera montada em um ponto a 3.000 pés da base 
de uma plataforma de lançamento de um foguete. Se o foguete estiver subindo 
 
verticalmente a 880 𝑝é𝑠/𝑠 quando estiver a 4 000 𝑝é𝑠 acima da plataforma de 
lançamento, quão rápido deve mudar o ângulo da câmera naquele instante para que 
se mantenha apontada para o foguete? 
 
 
8) Um tanque de água cônico com o vértice para baixo tem um raio de 10 𝑚 no topo e 
uma altura de 24 𝑚. Se a água fluir dentro do tanque a uma taxa de 20 𝑚3/𝑚𝑖𝑛, com 
que velocidade sua profundidade estará crescendo quando ela tiver 16 𝑚 de 
profundidade? 
 
 
 
 
Gabarito 
1) a) 𝐴 = 𝑥² b) 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 c) 12 𝑐𝑚²/𝑚𝑖𝑛 
 
2) a) 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝜋 (𝑟2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
+ 2𝑟ℎ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
) b) −20𝜋 𝑐𝑚3/𝑠, decrescendo 
 
3) a) 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
cos2 𝜃
𝑥2
(𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑡
− 𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) b) −
5
16
𝑟𝑎𝑑/𝑠, decrescendo 
 
4) 
4𝜋
15
 𝑐𝑚2/𝑚𝑖𝑛 
 
5) 4860𝜋 𝑐𝑚3/𝑚𝑖𝑛 
 
6) 
1
2
 𝑚/𝑠 
 
7) 0,11 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
8) 
9
20𝜋
 𝑚/𝑚𝑖𝑛