capitulo 3 mec flu resolucao

Prévia do material em texto

Capítulo 3 
 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 
Neste capítulo pretende-se, implicitamente, estabelecer a visão euleriana do estudo dos fluidos 
em movimento. É interessante lembrar que o estudante, acostumado com a visão lagrangeana 
estabelecida pela Mecânica Geral e pela Física, tem muita dificuldade para focalizar o fluido 
como um contínuo e observar as suas propriedades em diversos pontos no mesmo instante. 
Insiste-se na idéia do regime permanente, já que a eliminação da variável tempo simplifica o 
estudo e a solução dos problemas e, de certa forma, resolve a maioria dos problemas práticos. 
Procura-se fixar as idéias de campos de propriedades e de diagramas de velocidades, típicas 
do estudo de fluidos. Evita-se propositadamente a denominação “volume de controle”, porém 
seu conceito está utilizado implicitamente quando se trata de tubo de corrente. O 
aprofundamento do estudo será feito no Capítulo 10, quando o leitor já tiver uma melhor 
compreensão do assunto, com as limitações impostas nos primeiros capítulos. 
Exercício 3.1 
 
∫=
A
m vdAA
1v
 
Mostrar claramente a facilidade de se utilizar uma coordenada polar quando se trabalha com 
seções circulares. Mostrar que a área elementar é calculada por 2πrdr. 
( )
máxm
44
4
máx
m
R
0
422
4
máxR
0
32
4
máx
m
R
0 2
22
2
máx
m
2R
0 máx2m
v5,0v
4
R
2
R
R
v2
v
4
r
2
rR
R
v2
drrrR
R
v2
v
rdr
R
rR
R
v2
v
rdr2
R
r1v
R
1v
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
π⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
π
=
∫
∫
∫
 
 
Exercício 3.2 
 
( )
dxdr;xRr;rRx:iávelvardeMudança
rdrrR
R
v2rdr2
R
r1v
R
1v
vdA
A
1v
R
0
7
1
7
15
máx7
1
R
0 máx2m
m
−=−=−=
−=π⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π=
=
∫∫
∫
 
( )( )
máx
7
15
7
15
7
15
máx
R
0
7
15
7
8
7
15
máx
m
R
0
7
8
7
1
7
15
máx0
R
7
1
7
15
máx
m
v
60
49R
15
7R
8
7
R
v2
15
x7
8
Rx7
R
v2
v
dxxRx
R
v2
dxxRx
R
v2
v
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−−= ∫∫ 
 
Exercício 3.3 
 
s/m10
15,010
510
A
gQ
v
s/m20
15,05
510
A
gQ
A
Q
v
BB
m
m
AA
m
AA
m
m
B
A
=××
×=γ=
=××
×=γ=ρ=
 
 
Exercício 3.4 
 
s
N10110gQQ
s
kg110000.1QQ
s
m10
60100
6
t
VQ
mG
3
m
3
3
=×==
=×=ρ=
=×==
−
−
 
 
Exercício 3.5 
 
s
m2
105
10
A
Qv
s
N10110gQgQQQ
s
kg110000.1QQ
s
L1
s
m1010101AvQ
4
3
2
2
mG
3
m
3
34
11
=
×
==
=×==ρ=γ=
=×=ρ=
==××==
−
−
−
−−
 
 
Exercício 3.6 
 
s
m1067,2
9,0
104,2QQ
s
m102
2,1
104,2QQ
s
kg104,210200102,1AvQ
3
2
2
2
m
2
3
2
2
1
m
1
24
111m
−−
−−
−−
×=×=ρ=
×=×=ρ=
×=×××=ρ=
 
s
m267
1010
1067,2
A
Q
v
s
N24,0104,210gQQ
4
2
2
2
2
2
mG
=×
×==
=××==
−
−
−
 
 
Exercício 3.7 
 
Supondo o regime permanente, já que o enunciado não dá nenhuma indicação de variação 
com o tempo, pode-se utilizar a Equação da Continuidade correspondente. 
3
2211
3
332211
Q
QQ
QQQ
ρ+ρ=ρ
ρ=ρ+ρ
 
Sendo os fluidos incompressíveis e o reservatório rígido, pode-se utilizar também a equação 
para fluido incompressível. 
s/m10
1030
1030
A
Q
v
m/kg933
30
1080020000.1
QQQ
4
3
3
3
3
3
3
213
=
×
×==
=×+×=ρ
+=
−
−
 
 
Exercício 3.8 
 
s500
1010
552,0
Q
hA
Q
Vt
s
m104
55
1010
A
Qv
3
tan
4
3
tan
=×
××===
×=×
×==
−
−−
 
 
Exercício 3.9 
 
s
m14,4
1
25,34
D
Q4v
s
m25,3
500
10
100
5
t
V
t
V
Q
22
333
2
2
1
1
=
×π
×=
π
=
=+=+=
 
 
Exercício 3.10 
 
s
m01,0
2
02,0
2
v
v
D
DvDvv
4
Dv
4
Dv
4
Dv
1máx
1
2
3
2
22
2
11
3
2
3
3
2
2
2
2
1
1
===
−=
π+π=π
 
 
s
m064,0
5
5,2106,01501,0v
s
m106,013,0
60
49v
60
49v
2
22
2
3máx2
=×−×=
=×== 
 
Exercício 3.11 
 
Seja: Qe = vazão de entrada 
 QF = vazão filtrada 
 QNF = vazão não filtrada 
∫=
+=
ANF
NFFe
vdAQ
QQQ
 
Por semelhança de triângulos: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=→−= R
rRvv
rR
v
R
v
máx
máx 
 
 ( )
( )
s
L8,82,110QQQ
s
L2,1
s
m102,1
3
1014,63,0Q
cm14,620tg105,2R
3
Rv
3
R
2
R
R
v2
3
r
2
Rr
R
v2
Q
drrRr
R
v2
rdr2
R
rRvQ
NFeF
3
3
22
NF
o
2
máx
33
máx
R
0
32
máx
NF
R
0
2máxR
0 máxNF
=−=−=
=×=×××π=
=×+=
π=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −π=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −π=
−π=π⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
−−
∫∫
 
Aproveitar este exercício para mostrar que a vazão coincide geometricamente com o volume 
do diagrama de velocidades. No caso do diagrama cônico, o volume do cone é: 
3
vR
3
alturaBase máx
2 ×π=× 
 
Exercício 3.12 
 
s
m8,02,01QQQ
s
m1111AvQ
s
m2,0
5
1
t
V
Q)b
s
m1
3
y3dyy3bdyy3
11
1v
vdA
A
1v)a
3
Bcalha
3
mcalha
3
B
B
B
31
0
21
0
2
m
m
=−=−=⇒=××==
===
===×=
=
∫∫
∫
 
s
m86,1332,11
49
60v
49
60v104,3
10
3,032,11Re
s
m32,11
3,0
8,04
D
Q4vvDRe)c
mmáx
6
6
22
=×=⇒×=×=
=×π
×=π=→ν=
−
 
 
 
Exercício 3.13 
 
( )
( )
( )
m099,0
10810
624,04
Re
Q4
D
D
D
Q4
Re
D
Q4
v
Dv
Re
s/m624,0
09,1
68,0QQ
s/kg68,073,441,5QQQ
s
m021,5
942,0
73,4QQs/kg73,4
4
8,010942,0
4
D
vQ
s/m10
8,0
10108
D
Re
v
Dv
Re
s/kg41,55,4201,1QQ
m
kg201,1
27317287
10100
RT
p
m
kg942,0
27397287
10100
RT
p
m
kg09,1
27347287
10100
RT
p
s
m5,4
3600
1
h
m16200Q
55
1
1
1
1
2
1
1
12
1
1
1
11
1
3
1
1m
1
2m0m1m
3
2
2m
2
22
2
222m
55
2
2
2
22
2
000m
3
3
0
0
0
3
3
2
2
2
3
3
1
1
1
33
0
=×××π
×=νπ=
νπ=→π=→ν=
==ρ=
=−=−=
==ρ=→=
×π××=πρ=
=××=ν=→ν=
=×=ρ=
=+×
×==ρ
=+×
×==ρ
=+×
×==ρ
=×=
−
−
 
 
Exercício 3.14 
 
h
0
32h
0
2
m
2
3
0y
0y
1
0y
1
cm2y
2
3
52
5
2
3
y
2
y30
h
1bdy)yy30(
bh
1vdA
A
1v)c
m
N189,030103,6
dy
dvs30
dy
dv)b
s262230
dy
dvy230
dy
dv)a
m
s.N103,6
10
900107
gs
m107
s
cmouSt7,0cSt70
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−==
=××=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛μ=τ→=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=×−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⇒−=
×=××=νγ=μ⇒×==
∫∫
−
=
=
−
=
−
=
−−−
 
 
s
kg75,025,005,0107,66
10
900AvQ)d
s
cm7,66
3
5515
3
hh15
3
hh15
h
1v
2
mm
223
2
m
=××××=ρ=
=−×=−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
−
 
 
Exercício 3.15 
 
2
2
4
2
cm5,1r
3
0G
1der0
der
der2431
3
22
m3
3
2m2
322
4m4
322
1m1
máx
m
4
4m
4
m
4
1m
1
m
m
N7,66
015,0
101,0
m
s.N1,0000.110v)g
s/m12,5
5,2
5,118v)f
s/N199109,1910000.1gQQ
s
L9,199,188,38QQQ)e
forapara
s
L8,3838,71,159,18Q
QQQQQ
s
L1,15s/m0151,0
4
08,03
4
D
vQ
s
L3s/m003,002,003,05AvQ)d
s
L8,7s/m0078,0025,04RvQ
s
L9,18s/m0189,0035,09,4RvQ)c
s/m5
2
10
2
v
v)b
2000
10
025,024DvRe
s
m4
2
8v
3430
10
035,029,4DvRe
s
m9,46
60
49v)a
3
3
2
4
1
2
2
4
4
1
1
=×=τ
=×=νρ=μεμ=τ
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
=×××=ρ=
=−=−=
=−++=
+=++
==×π×=π
=
==××==
==×π×=π=
==×π×=π=
===
=××=ν=
==
=××=ν=
=×=
−
=
−
−
−
 
 
 
 
Exercício 3.16 
 
s
m66,233,12v2v
QQ)d
s
m33,1
3
2,05
2
2,0200)yv100yv20(
bh
1v)c
N8,024,0AF
m
N4,04010
dy
dv)b
s402,02200220
dy
dv
yv200v20
dy
dv
yv100yv20v)a
mmáx
21
32
2,0
0
2,0
0
2
máxmáxm
2
2
0y
0y
1
m2,0y
máxmáx
2
máxmáx
=×==
=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−=−=
=×=τ=⇒=×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛μ=τ
−=××−×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=
−=
∫
−
=
=
−
=
 
 
Exercício 3.17 
 
s/m730
2,05,0
13,02002,1
A
QAv
v
AvQAvQQQ
22
m111
2
222m111mmm
3
3231
=×
+××=ρ
+ρ=
ρ=+ρ→=+
 
 
Exercício 3.18 
 
2
43
2
311m
1
1m
1
1
2
11m1
33
3m
3m
2m1m3m
2
2m
2
2máx
2m
2
22m22m
111m
m
s.N1077,66,010128,1
s
m10128,1
000.2
564,022000.2
R2v
000.2Re)c
m564,0
2
2
v
Q
RRvQ)b
s
m15
5,04,0
3
A
Q
v
s
kg38,12,1QQQ
s
kg88,14,032,1Q
m4,0R;
s
m3
3
9
3
v
vRvQ
s
kg2,126,0QQ)a
−−
−
×=××=νρ=μ
×=××=ν⇒=ν⇒≤
=×π=π=⇒π=
=×=ρ=
=+=+=
=×π××=
====→πρ=
=×=ρ=
 
 
 
 
 
Exercício 3.19 
 
s/L57,1s/m1057,1102,05,2DvQ
s/m5,2
2
5
2
v
v
s/m5
22,01052
4
2,0000.5052010
DL2
4
pD520
v
4
pD520
DLv2
520
DLv2
4
Dp
520DL
2/
v
4
Dp
333
m
máx
m
3
2
3
2
máx
2
máxmáx
2
máx
2
=×=××π×=επ=
===
=
××××
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−
=μ
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −ε
=
−=ε
μ→=ε
μ+
π=πεμ+
π
−−
−
−
 
 
Exercício 3.20 
 
( )
2
22
x
yx
yy
z
y
y
y
xy
2x
x
xx
xx
z
x
y
x
xx
s
m6)4;3(a
s
m2,12212)4;3(v
s
m12434;3v
2v;y3v)c
0
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va
s
m632a
y
v
va
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va)b
permanente)a
=
=+=
=×=
==
=∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
=×=
∂
∂=⇒∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
 
 
Exercício 3.21 
 
yx9x3.xy3
y
v
va
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va
0
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va)b
.Permanente)a
2y
yy
yy
z
y
y
y
xy
xx
z
x
y
x
xx
==∂
∂=
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
=∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
 
72229aa
12223vv)c
2
y
y
=××==
=××== 
 
Exercício 3.22 
 
( )
2
22
2y
2x
22
y
x
y
x
yx
s
m6,211812)3;2(a
s
m1836)3;2(a
s
m1226)3;2(a
s
m5,86)6()3;2(v
s
m623)3;2(v
s
m632)3;2(v)c
y63y2a
x62x3
y
v
va)b
=+=⇒−=×−=
−=×−=
=+−=⇒=×=
=×−=
−=×−=
−=−=∂
∂=
 
 
Exercício 3.23 
 ( )
( )
( )
4,5432a
4
t
v
a
3
t
v
a
2
t
v
a
2,161296v
12214v
9213v
6212v
222
z
z
y
y
x
x
222
z
y
x
=++=
=∂
∂=
=∂
∂=
=∂
∂=
=++=
=+×=
=+×=
=+×=
 
 
Exercício3.24 
 
2x
xx
z
x
y
x
xx
222
y
2
x
s
m32258221712107a
t8x217y2107
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va
s
m10817107v
s
m175312v
s
m107541223v
=×+××+××=
+×+×=∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
=+=⇒=×+×=
=×+××+=
 
2
22
2
2
y
2
y
yy
z
y
y
y
xy
s
m368178322a
s
m1783122171107a
3xy217y107a
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va
=+=⇒=+×××+×=
+×+=
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=