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Ca´lculo I Unifesp - 1o semestre de 2013 Lista de Exerc´ıcios 1 1. Considere os gra´ficos das func¸o˜es abaixo: (a) Quais sa˜o os valores de f(−4) e g(7)? (b) Para quais valores de x temos f(x) = g(x)? (c) Quais sa˜o o domı´nio e a imagem de f(x)? (d) Quais sa˜o o domı´nio e a imagem de g(x)? (e) Estas func¸o˜es sa˜o pares, ı´mpares ou sem paridade definida? (f) Em que intervalos f(x) e´ crescente? (g) Quais sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o f(x) = −1? 2. Dada a func¸a˜o real f(x) = 4 + x2, determine: (a) O esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o. (b) Os conjuntos domı´nio e imagem. (c) A paridade da func¸a˜o (par/´ımpar/sem paridade). (d) O intervalo de x no qual a func¸a˜o e´ crescente. 3. Sejam as func¸o˜es reais f(x) = √ 1 + x e g(x) = √ 1− x. (a) Determine a raiz (x1) de cada func¸a˜o. (b) Determine o domı´nio e a imagem de cada func¸a˜o. (c) Esboce o gra´fico das duas func¸o˜es em um mesmo diagrama. (d) Calcule a funcao (f + g)(x), e determine o seu dominio (lembrete: D = Df ∩Dg). (e) A partir dos gra´ficos de f(x) e g(x), esboce o gra´fico de (f + g)(x) utilizando o me´todo da adic¸a˜o gra´fica. 4. Se f(x) = x2 − 4 x− 1 determine: (a) f(0) (b) f(1/t) (c) f(x− 2) 5. Se f(x) = 3x− 1 x− 7 determine (a) f(h)− f(0) h (b) f(f(5)) 6. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es: (a) y = √ 3 + x + 4 √ 7− x (b) y = √ x x + 1 7. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f(x) e determine seu domı´nio e imagem. f(x) = (x + 1)2, se x ≤ −1 x + 1, se −1 < x < 1 4− x2, se x ≥ 1 8. Para as func¸o˜es f(x) = √ 3− x e g(x) = √ x2 − 1 determine a definic¸a˜o alge´brica e o domı´nio das func¸o˜es abaixo: (a) (g ◦ f)(x) (b) (f + g)(x) (c) (fg)(x) 9. Existem func¸o˜es na Matema´tica Aplicada chamadas de hiperbo´licas. Sa˜o definidas como senh(x) = ex − e−x 2 , cosh(x) = ex + e−x 2 (a) Prove que cosh2(x)− senh2(x) = 1. (b) Prove que o senh(x) e´ uma func¸a˜o ı´mpar e cosh(x) e´ uma func¸a˜o par. 10. Dada Φ(u) = ln ( 1− u 1 + u ) , verifique que Φ(a) + Φ(b) = Φ ( a + b 1 + ab ) 11. Considere uma populac¸a˜o cujo crescimento em func¸a˜o do tempo pode ser explicado pelo modelo de Malthus atrave´s da seguinte a expressa˜o: N(t) = 300 e0,2t onde N representa o nu´mero de indiv´ıduos e t representa o tempo em anos. (a) Determine a func¸a˜o inversa, isto e´, determine t em func¸a˜o de N. (b) Determine em quantos anos a populac¸a˜o atingira´ 1000 indiv´ıduos. 12. Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o inversa. Caso na˜o seja poss´ıvel, justifique. (a) f(x) = 1 + 3x 5− 2x (b) f(x) = √ 2 + 5x (c) f(x) = x3 − x (d) y = ln(x + 3) (e) g(x) = 3 + x + ex, ache g−1(4) Respostas: 1. (a) 6 e −2 (b) −6, −1 e 4 (c) Df = [−7, 8), Imf = [−5, 6] (d) Dg = [−8, 8], Img = [−4, 4] (e) f(x) sem paridade, g(x) e´ ı´mpar. (f) [−7,−4] e [−1, 8) (g) −1 e −6 2. (b) Df = R, Imf = [4,∞) (c) func¸a˜o par (d) [0,∞) 3. (a) f(x1) = −1, g(x1) = 1 (b) Df = [−1,∞), Dg = (−∞, 1], Imf = Img = [0,∞) (d) (f + g)(x) = √ 1 + x + √ 1− x, Df+g = [−1, 1] 4. (a) 4 (b) 1− 4t2 t− t2 (c) x2 − 4x x− 3 5. (a) 20 7(h− 7) (b) 11 7 6. (a) [−3, 7] (b) [0,+∞)∪ (−∞,−1) 7. Df = R, Imf = R 8. (a) √ 2− x, D = (−∞, 2] (b) √3− x + √ x2 − 1, D = (−∞,−1] ∪ [1, 3] (c) √ (3− x)(x2 − 1), D = (−∞,−1] ∪ [1, 3] 11. (a) t = lnN − ln 300 0, 2 (b) ∼ 6 anos 12. (a) f−1(x) = 5x− 1 2x + 3 (b) f−1(x) = x2 − 2 5 , x ≥ 0 (c) na˜o (d) y = ex − 3 (e) 0
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