Linhas de Transmissão

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MODELAMENTO DE LINHA DE TRASMISSÃO
PELA TEORIA DE CIRCUITOS
1.2 CIRCUITO EQUIVALENTE DE UMA LINHA DE TRANSMISSÃO.
A diferença e ntre o estudo feito p ara linhas de transmissão e a quele próprio do s
circuitos comuns, está no fato de que, nas linhas, parâmetros como resistência, condutância
indutância e capacitância não mais s e a presentam concentrados e, sim, d istribuídos ao
longo da mesma.
Porém, num trecho muito curto de linha, é possivel considerar os parâmetros como
concentrados e, então aplicar a análise da teoria usual de c ircuitos. A partir daí podemos
deduzir o comportamento da linha em seu comprimento total.
Uma linha de transmissão uniforme pode ser representada como uma associação em
cascata de infinitas seções de impedância série e admitância paralela, como é mostrado na
figura1.1
Figura 1.1 Circuito equivalente de uma seção elementar de linha de transmissão.
1.2.1 TENSÃO E CORRENTE NA LINHA DE TRANSMISSÃO
A queda de tensão, ( )V x∆ , na seção elementar da linha vale:
( ) ( ) ( ) ( )V x V x x V x x x∆ = + ∆ − = Ι Ζ∆ (1.1)
De forma semelhante, a corrente vale:
( ) ( ) ( ) ( )Yx x x x xV x x∆Ι = Ι + ∆ − Ι = ∆ + ∆ (1.2)
ou:
( ) ( )V x x Z
x
∆
= Ι
∆
(1.3)
em que:
Z R j Lω= +
R = resistência por unidade de comprimento
L = indutância por unidade de comprimento
( ) ( )x YV x x
x
∆Ι
= + ∆
∆
(1.4)
em que:
Y G j Cω= +
G = condutância por unidade de comprimento
C = capacitância por unidade de comprimento
tomando o limite quando x∆ → O, obtém-se:
( ) ( )dV x x Z
dx
= Ι (1.5)
( ) ( )Yd x V x
dx
Ι
= (1.6)
Derivando a Equação 1.5, obtém-se:
( )2
2
d xd V
dxdx
Ζ Ι
= (1.7)
Como
( ) ( )d x YV x
dx
Ι
=
a equação anterior resulta:
( ) ( )
2
2
d V x
YV x
dx
= Ζ (1.8)
Da mesma forma para a Equação 1.6, obtém-se:
( ) ( ) ( )
2
2
d x dV x
Y Y x
dxdx
Ι
= = ΖΙ (1.9)
observa-se que a segunda derivada, tanto para tensão como para corrente, tem forma
semelhante à primeira derivada, pois:
• na Equação 1.8 YV → representa corrente;
• na equação 1.9 ZΙ → representa tensão.
• 
Isso leva a a dmitir que a solução para as equações diferenciais é uma exponencial, ou
seja:
0
xV V eγ= (1.10)
e
0
xeγΙ = Ι (1.11)
respectivamente, para as equações 1.5 e 1.6.
Assim,
0
xdV V e V
dx
γγ γ= = (1.12)
e
2
2
02
xd V V e V
dx
γγ γ= = (1.13)
Igualando-se as Equações 1.8 e 1.13, tem-se:
2
2
2
d V YV V
dx
γ= Ζ =
ou
Yγ = ± Ζ (1.14)
O mesmo resultado é obtido manipulando-se a Equação 1.9.
Como há duas raízes possíveis γ , a solução final será do tipo:
x xV e eγ γ−= Α + Β (1.15)
Para a corrente, tem-se:
1
 ou 
dV dV
dx dx
= ΙΖ Ι =
Ζ
mas
x xdV e e
dx
γ γγ γ= Α − Β
então:
x xe e γγ γϒ −ΑΙ = − Β
Ζ
(1.16)
Para determinação dos coeficientes A e B pode-se escrever:
Quando ,0, e c cx V V= = Ι = Ι ou seja e c cV Ι representam, respectivamente,
tensão e corrente na carga Zc.
Sabe-se que: c=c cV Ζ Ι e que representa a impedância da carga na extremidade da
linha de transmissão.
Impondo estas condições nas equações 1.15 e 1.16 resulta:
1
2 c c
V
Y
 ΖΑ = + Ι   (1.17)
e
1
2 c c
V
Y
 ΖΒ = − Ι   (1.18)
Como a substituição do s valores A e B nas Equações 1.15 e 1.16, tem-se a s
expressões para tensão e corrente ao longo da linha, em função dos parâmetros da mesma e
dos valores de tensão e corrente na carga.
Portanto:
1
[( ) ( )
2
x x
c c cV V e Vc eY Y
γ γ−Ζ Ζ
= + Ι + − Ι (1.19)
e
1
[( )e ( )e ]
2
c c c c
x x
V V
Y Y
Y Y
γ γ−
Ζ Ζ
+ Ι + Ι
Ι = −
Ζ Ζ
(1.20)
1.2.2 COSNTANTE DE PROPAGAÇÃO
O termo γ é uma constante complexa que afeta o resultado da tensão ou corrente
em função da posição x ao longo da linha, po isso é denominado constante de
propagação.
Como γ é um numero complexo, pode ser escrito como:
( )( )j Y R j L G j Cα β ω ωϒ = + = Ζ = + + (1.21)
A corrente de propagação, ao ser inserida como expoente, gera a seguinte equação:
( )xe e e e cos s en x j x x x j xγ α β α β β= = + (1.22)
Desta forma, u ma tensão ou corrente, ao ser multiplicada por e xγ , terá sua
amplitude alterada por e xα e sua fase por e j xβ , por isso α é denominada de constante de
atenuação e β , constante de fase.
Para a unidade de α foi adotada a denominação NEPER, sendo dada por:
NEPER= 2 2
1 1
1n ou 1n
V
V
Ι
Ι
(1.23)
em que 2 1 e V V representam as tenções e 2 1 e Ι Ι , as correntes em dois pontos da
linha entre os quais se deseja medir a atenuação.
Na prática a unidade mais empregada é o decibel (dB), definida por:
dB 2
1
 10 log 
Ρ
=
Ρ
(1.24)
em que 2 1 e Ρ Ρ representam as potências em dois pontos da linha.
A conversão entre essas unidades é a seguinte:
( )N 8,686 NeperdB dBΑ = Α → (1.25)
( )dB 0,115 NeperN dBΑ = Α → (1.26)
1.2.3 IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA
Para uma linha de transmissão d e c omprimento infinito, a relação entre tensão e
corrente em um ponto da mesma, torna-se independente do que for ligado na extremidade
oposta, ou seja no final da linha.
Isso pode ser observado nas Equações 1.19 e 1.20. quando x tende para o infinito.
Assim, os segundos termos daquelas equações, ou seja, os que contêm ( )xe γ− , podem ser
desprezados.
Relacionando-se tensões e corrente, obtém-se a impedância, que fica independente
da posição na linha.
1
( )
2
)
1
(
2
x
c c
x
c c
V eV Y
Y
V e
Y
Y
γ
γ
Ζ
+ Ι Ζ
= =
Ι Ζ
+ Ι
Ζ
(1.27)
A impedância
É chamada impedância característica, pois depende apenas dos parâmetros da linha
0
R j L
Y G j C
ω
ω
Ζ +Ζ = =
+
impedância característica (1.28)
Usando essa notação, as Equações 1.19 e 1.20 podem ser rescritas como:
0 0
1
[( )] ( )
2
x x
c C c CV V e V e
γ γ−
= + Ζ Ι + − Ζ Ι (1.29)
0 0
0
1
[( )] ( )
2
x x
c C c CV e V e
γ γ−Ι = + Ζ Ι − − Ζ Ι
Ζ
(1.30)
ou ainda,
0( ) ( )2 2
x x x x
c C
e e e eV V
γ γ γ γ− −+ −
= + Ζ Ι (1.31)
0
( ) ( )
2 2
x x x x
C
c
Ve e e eγ γ γ γ− −+ −Ι = Ι +
Ζ
(1.32)
Como:
Y
Ζ
( ) cos 
2
x xe e h x
γ γ
γ
−+
= (1.34)
e
( ) sen 
2
x xe e h x
γ γ
γ
−
−
= (1.35)
Resulta:
0cos s en C CV V h x h xγ γ= + Ζ Ι (1.36)
0
cos s en CC
Vh x h xγ γΙ = Ι +
Ζ
(1.37)
1.3 ONDAS CAMINHANTES
As posições anteriores representam valores dependentes somente da posição (x) ao
longo d a linha, não incluindo, po rtanto, a variável t empo. Para operar com valores
instantâneos, é necessário multiplicar os valores e V Ι por 2 e a crescentar o termo
j te ω para incluir o fator tempo.
Dessa forma, as equações resultam:
j t2 e v V ω= (1.37)
j t2 ei ω= Ι (1.38)
em que 2 fω pi= , sendo f = freqüência do sinal.
Aplicando isso às Equações 1.29 e 1.30, tem-se:
( ) ( )0 0( ) 2 ) 2
2 2
j t x j t xc C c CV Vv e eω γ ω γ+ −+ Ζ Ι − Ζ Ι= + (1.39)
e
( ) ( )0 0( ) 2 ) 2
2 2
j t x j t xc C c CV Vi e eω γ ω γ+ −+ Ζ Ι − Ζ Ι= + (1.40)
A Equação 1.39, por exemplo, pode ser escrita como:
( ) ( )
1 2
x j y x x j y xV V e e V e eα ω β α ω β+ − −= + (1.41)
em que:
0
1 2
c CVV + Ζ Ι=
e
0
2 2
c CVV − Ζ Ι=
Observa-se que o termo 1
xV eα aumenta e 2
xV e α− diminui à medida que x aumenta.
Portanto ondas caminhantes na linha, corresponde o primeiro deles à onda incidente que se
desloca do gerador para a carga e o segundo, à onda reflita, com deslocamento d a carga
para o gerador.
1.3.1 COEFICIENTE DE REFLEXÃO
O coeficiente de reflexão em um determinado ponto da linha transmissão é definido
como a relação entre a onda refletida e a onda incidente naquele ponto.
.
.
ref
inc
V
V
Γ = (1.42)
e
.
.
ref
inc
−Ι
Γ =
Ι
(1.43)
Relacionandoas partes correspondentes das tensões refletida e incidente na Equação
1.29 na posição x, o coeficiente de reflexão resulta:
( ) ( )( )
0 2
0
C C x
C C
V
x e
V
− ϒ− Ζ ΙΓ =
+ Ζ Ι
(1.44)
Fazendo /C C CVΖ = Ι , resulta:
( ) ( )( )
0 2
0
C x
C
Z
x e− ϒ
+ Ζ
Γ =
Ζ + Ζ
(1.45)
Coeficiente de Reflexão na Carga
Na posição corresponde à carga x =0, portanto:
0
0
C
C
C
−
Ζ ΖΓ =
Ζ + Ζ
(1.46)
Coeficiente reflexão com carga “ca sada”: 0CΖ = Ζ . Neste c aso a linha é
terminada por uma carga de impedância igual à impedância característica da linha.
0CΓ = → isso significa que toda a energia incidente è absorvida pela carga.
Coeficiente de reflexão com linha aberta: CΖ = ∞ .
1CΓ = → tensão incidente e refletida estão em fase.
Coeficiente de reflexão com linha em curso: 0CΖ = .
1CΓ = − → tensão incidente e refletida defasada em 180º.
1.3.2 IMPEDÂNCIA AO LONGO DA LINHA DE TRANMISSÃO
A relação entre tensão e corrente a uma distância x da carga fornece a impedância
naquele ponto. Substituindo-se CΓ nas equações 1.29 e 1.30 e relacionando as mesmas, a
impedância resulta em:
( ) ( )( ) 0
x x
C
x x
C
V x e e
x
x e e
γ γ
γ γ
−
−
+ ΓΖ = = Ζ
Ι − Γ
(1.47)
ou
( ) 00
0
C
C
tgh x
x
tgh x
γ
γ
Ζ + ΖΖ = Ζ
Ζ + Ζ
Por meio da Equação 1.47 e 1.48, observa-se que, se a linha for terminada por uma
carga igual a sua impedância característica, o valor da impedância será c onstante e m
qualquer ponto igual a 0Ζ .
Ou seja, para 0 , 0C CΖ = Ζ Γ =
E assim
( ) 0xΖ = Ζ
1.3.3 A VELOCIDADE DE FASE
A velocidade de fase pode ser encarada c omo velocidade e m que um observador
deveria se deslocar para “ver” a onda se deslocando sempre com a mesma fase. Na Equação
1.41 verifica-se que os termos 
( )j t xe ω β+ e ( )j t xe ω β− são responsável pela mudança de
fase.
Tomando-se o termo 
( )j t xe ω β− , qu e representa o termo correspondente a o
deslocamento para x crescente, e fazendo-se t xω β− = Κ (fase constataste), obtém-se:
t
x
ω
β β
Κ
= −
A velocidade de fase pode ser obtida por meio de :
f
dx
v
dt
ω
β= =
fV
ω
β= (1.49)
1.3.4 COMPRIMENTO DE ONDA DA LINHA DE TRANSMISSÃO
O comprimento d e onda senoidal é definido como a distância e ntre dois picos
sucessivos da onda, ou seja, na qual a variação de fase é de 2pi radianos. O comprimento
de onda geralmente é representado por λ .
Assim, para a linha de transmissão
xβ φ=
Para
1; 2x λ φ pi= =
1
1
2
2 ou 
piβλ pi β
λ
= = (1.50)
Sabe-se que:
fV
ω
β=
Portanto:
12 .
2f
fV fpi λ λ
pi
= =
.fV fλ=
Em uma linha de transmissão TEM a velocidade de fase é a própria velocidade de
propagação da onda.
1.4 ONDA ESTRACIONÁRIAS
Quando uma linha de transmissão é terminada por uma carga resistiva igual a sua
impedância característica 0Ζ , a e nergia flui entre gerador e c arga sem reflexão. Nessa
situação, a impedância “ vista” pelo gerador é igual a 0Ζ e tem-se a í uma c ondição
chamada “linha casada”. Para qualquer outra impedância de terminação diferente de 0Ζ ,
ocorre reflexão e parte da potência incidente retorna ao gerador, onde outra reflexão poderá
ocorrer se o gerador não estiver “casado” c om a linha. Dessa forma, as duas ondas
caminhantes,, incidente e refletida, com direções de propagação oposta, dão origem a uma
onda estacionária de tensão e outra de corrente. Isso ocorre mesmo que a impedância do
gerador seja igual à impedância ca racterística 0Ζ d a linha. Ao longo d a linha de
transmissão entre o gerador e a carga, em alguns pontos, a composição da onda incidem e
da refletida produz reforço e, em outros, diminuição, provocando os máximo e mínimo da
onda estacionária, como mostra a Figura 1.4.
Na c ondição d e “ descasamento”, a impedância de e ntrada da linha depende não
somente de c arga, mas também do comprimento d a linha, ou seja, d a separação elétrica
entre gerador e carga.
Fig.1.4 – Onda estacionária de tensão em uma linha de transmissão aberta.
1.4.1 LINHA FENDIDA
Os pontos máximos e mínimos da onda e stacionária podem ser observados
utilizando-se uma linha coaxial com uma fenda por onde se deslocar uma sonda detectora
(linha fendida) cuja saída é ligada a um voltímetro ou o sciloscópio. Um esboço d e linha
fendida é mostrada na figura 1.5.
Fig. 1.5 – Esboço de linha fendida.
Os detectores empregados nas medidas de onda e stacionária, em geral, fornecem
valores eficazes, não sendo, portanto, possível i ndicar a polaridade do sinal. Por isso, n a
prática, é comum na representação da onda estacionária, mostrar somente as variações do
sinal para observação ond e ocorrem os pontos máximos e mínimos da tensão ou d a
corrente.
A figura 1.6 mostra uma representação convencional de onde estacionárias em uma
linha aberta.
Figura 1.6 Representação convencional de ondas estacionárias para uma linha aberta.
1.4.2 RELAÇÃO DE ONDA ESTACIONÁRIA (ROE) (SWR-STAND
WAVE RATIO)
A relação de onda estacionária (ROE, SWR ou S) é definida como a relação entre os
valores máximos e mínimos de tensão ou corrente, tomados em pontos adjacentes, ou seja:
ROE=SWR= max max
min min
V
V
Ι
=
Ι
(1.52)
A relação d a onda e stacionária pode também ser especificada e m t ermos do
coeficiente de reflexão da seguinte forma:
max inc ref
min inc ref
= +
= -
V V V
V V V
inc refmax
min inc ref
V VVS
V V V
+
= =
−
=
ref
inc
ref
inc
1
1
V
V
V
V
+
−
mas
refref
inc inc
V
V
Ρ
= = Γ
Ρ
Portanto,
1
1
S
+ Γ
=
− Γ
(1.53)
ou
ref
inc
ref
inc
1
1
S
Ρ
+
Ρ
=
Ρ
−
Ρ
(1.54)
Observa-se que, como a relação de onda estacionária depende apenas do módulo do
coeficiente de reflexão, o mesmo valor desta grandeza pode-rá ser obtido para diferentes
tipos de cargas, desde que suas impedâncias apresentem o mesmo valor absoluto. O valor
de S é sempre um número real.
É importante observar que, como o módulo do coeficiente de reflexão n ão é
constante em uma linha com perdas, também a relação de onda estacionária não apresenta o
mesmo v alor em t odos os pontos da linha. A Figura 1.7 mostra a representação d esses
valores ao longo da linha.
Fig. 1.7 – Representação dos valores de Γ e S na carga e na entrada da linha.
Conforme a Equação 1.45, o coeficiente de reflexão na forma mais geral pode ser expresso
como:
-2 -20
ent
0
( )e x xC C
C
γ γ
+
Ζ − ΖΓ = = Γ
Ζ Ζ
-2( ) -2 2
ent .
j x x j
C Ce e e
α β α β+ −Γ = Γ = Γ
O termo 
-2 xe α altera o módulo do coeficiente de reflexão com a distância e o termo
- 2j xe β altera sua fase.
A relação de onda estacionária na linha, conforme a Equação 1.53, é escrita como:
1
1
S
+ Γ
=
− Γ
ou
2
2
1
1
x
C
x
C
e
S
e
α
α
−
−
+ Γ
=
− Γ
(1.55)
Esta é uma verificação importante porque, nas linhas com perdas, a relação de onda
estacionária medida na saída do gerador, ou seja, na entrada da linha, não representa o valor
obtido na carga.
Cálculo da ROE na carga
ent
ent
ent
1
1
S
+ Γ
=
− Γ
ent
ent
ent
1
1
S
S
−Γ =
+
carga
1
1
C
C
S
+ Γ
=
− Γ
Como,
2
ent e
x
C
ϒΓ = Γ
2
ent
carga 2
ent
1 e
1 e
x
x
S
α
α
+ Γ
=
− Γ
(1.56)