Aula 4 - Sistemas Lineares

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG Aula 4 
	
  
	
  
	
  
	
  
ICT 13 
Álgebra 
Linear 
Aula 4 
 
	
   	
   	
  
PROF. DR. MAYK COELHO 	
   Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 
Introdução 
Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são 
modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes 
no menor tempo possível. 
Saber uma metodologia para resolver um sistema linear se torna de extrema 
importância, principalmente no decorrer deste curso, visto que quase 
sempre recairemos na resolução de um sistema linear, quando não em 
escalonamento de uma matriz. 
Equações Lineares 
Qualquer linha reta no plano 𝑥𝑦 pode ser representada algebricamente por 
uma equação da forma 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥! = 𝑏 
onde 𝑎!,𝑎! e 𝑏 são constantes reais e 𝑎! e 𝑎! não são ambas nulas. Uma 
equação desta forma é chamada de equação linear nas variáveis 𝑥!e 𝑥!. 
Também dizemos que 𝑏 é uma combinação linear de 𝑥!e 𝑥!. 
Sistemas Lineares 
das 
Filho de camponeses pobres, encontrou apoio 
de sua mãe e de seu tio para estudar, apesar das 
objeções paternas. É um dos casos mais 
espantosos de precocidade registrados na 
história da matemática. 
Aos dez anos, Gauss iniciou seus estudos de 
aritmética, espantando ao seu mestre, Buttner, 
pela facilidade com que completava 
complicadas operações. Buttner tinha, nessa 
época, um jovem assistente, de 17 anos, Johann 
Martin Bartels, apaixonado pela matemática, a 
quem entregou a tarefa de ensinar ao precoce 
Gauss. 
Entre os dois moços firmou-se sólida amizade, 
que durou até a morte de Bartels. Tendo amigos 
influentes, Bartels fez com que Gauss se 
tornasse conhecido do duque de Braunschweig, 
Carl Wilhelm Ferdinand, que o protegeu até sua 
morte, garantindo recursos para que continuasse 
a estudar e tivesse meios de subsistência. Em 
1792, Gauss ingressou no Collegium 
Carolinum, onde permaneceu por três anos, 
estudando as obras mais notáveis de Leonhard 
Euler, Joseph-Louis de Lagrange e Isaac 
Newton. 
É nesse período que Gauss principia suas 
investigações sobre aritmética superior, que o 
tornariam imortal e lhe dariam o título de 
"príncipe da matemática". Gauss deixou o 
Collegium Carolinum em outubro de 1795, para 
entrar na Universidade de Göttingen. Em 1796 
define suas preferências definitivamente, 
decidindo dedicar-se à matemática. No dia 30 
de março desse ano, Gauss começa a redigir um 
diário científico, anotando as suas descobertas. 
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De modo geral, definimos uma equação linear nas variáveis 𝑥!, 𝑥!,… , 𝑥! 
como uma equação na forma: 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥! +⋯+ 𝑎!𝑥! = 𝑏 
onde 𝑎!,𝑎!,… ,𝑎! são chamados de coeficientes da equação e 𝑏 de termo 
independente, todos sendo constantes reais. 
Neste caso também dizemos que 𝑏 é uma combinação linear das variáveis 𝑥!, 𝑥!,… , 𝑥!. 
Sistema de Equações Lineares 
O seguinte conjunto finito de equações lineares nas variáveis 𝑥!, 𝑥!,… , 𝑥! 
é chamado de sistema linear: 𝑎!!𝑥! + 𝑎!"𝑥! +⋯+ 𝑎!!𝑥! = 𝑏!𝑎!"𝑥! + 𝑎!!𝑥! +⋯+ 𝑎!!𝑥! = 𝑏!⋮ ⋮ ⋮𝑎!!𝑥! + 𝑎!!𝑥! +⋯+ 𝑎!"𝑥! = 𝑏! 
Dizemos que uma sequencia 𝑠!, 𝑠!,… , 𝑠! é solução do sistema acima se e 
somente se esta sequencia satisfaz cada uma das equações deste sistema, ou 
seja, para 𝑥! = 𝑠!, 𝑥! = 𝑠!,… , 𝑥! = 𝑠! as igualdades em cada equação são 
satisfeitas. 
Exemplo 1: Para o sistema 4𝑥! − 𝑥! + 3𝑥! = −13𝑥! + 𝑥! + 9𝑥! = −4 : 
Temos que 𝑥! = 1, 𝑥! = 2 e 𝑥! = −1 é solução deste sistema pois satisfaz 
as duas equações do sistema, porém, 𝑥! = 1, 𝑥! = 8 e 𝑥! = 1 satisfaz 
apenas a primeira equação deste sistema, logo não é solução do sistema 
linear. 
Exemplo 2: Seja o seguinte sistema linear 𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦 = 𝑐!𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦 = 𝑐! 
Este sistema envolve as equações de duas retas. Assim, uma solução deste 
sistema deve ser um ponto que pertença as duas retas simultaneamente, 
logo temos as seguintes possibilidades: 
a) As duas retas são paralelas, portanto não se interceptam, logo não 
há solução. 
b) As duas retas se interceptam em um único ponto, logo há uma única 
solução. 
c) As duas retas coincidem, portanto se interceptam em todos os 
pontos, logo há infinitas soluções. 
 
Esse diário só foi divulgado 43 anos após a 
morte de Gauss, quando, para isso, a Sociedade 
Real de Göttingen obteve a permissão do neto de 
Gauss. O diário contém 146 anotações, breves 
exposições dos descobrimentos feitos pelo seu 
autor no período de 1796 a 1814. Os três anos 
passados em Göttingen foram dos mais prolíficos 
de sua vida. As ideias que vinha recolhendo desde 
os 17 anos, foram, nessa época, ordenadas e 
esmiuçadas, resultando, em 1798, as Indagações 
Aritméticas, por muitos considerada a obra-prima 
de Gauss. Uma segunda fase da vida de Gauss 
tem início no primeiro dia do século 19. Giuseppe 
Piazzi, astrônomo italiano, descobriu um pequeno 
planeta, Ceres, o primeiro de vários planetas 
menores hoje conhecidos. A observação do corpo 
celeste era extremamente difícil, e calcular sua 
órbita, partindo dos poucos dados obtidos, uma 
tarefa digna de um gênio. 
Gauss investigou a órbita, vendo todos os seus 
cálculos confirmados. Gauss casou-se, pela 
primeira vez, em 1805, quando seu protetor, o 
duque de Braunschweig, aumentou sua pensão. 
Nesse mesmo ano, porém, o duque faleceu e o 
matemático precisou encontrar um meio de 
manter a família. A sua fama já se espalhara pela 
Europa e Gauss recebeu convite para ocupar o 
posto que fora de Euler, em São Petersburgo, mas 
acabou aceitando a direção do Observatório de 
Göttingen. 
Os anos de 1811 e 1812 foram os melhores de 
sua vida, desfrutando Gauss de certa 
tranquilidade. Logo após seu segundo 
matrimônio, foi observado o cometa de 1811 e 
Gauss teve a satisfação de constatar que o astro 
seguia exatamente a trajetória por ele calculada. 
No período de 1821 a 1848, Gauss foi conselheiro 
científico dos governos de Hannover e da 
Dinamarca, completando minuciosos estudos de 
geodesia, que o levaram a examinar, em toda a 
sua generalidade, problemas relativos às 
superfícies curvas e a questão da representação 
conforme. Gauss faleceu lúcido e cônscio da 
importância de seus trabalhos, aos 78 anos de 
idade. Principais trabalhos investigando uma 
questão aparentemente simples - quantos dígitos 
tem o período de uma decimal periódica? 
Gauss descobre a lei da reciprocidade 
quadrática e introduz a terminologia das 
congruências. Aos 18 anos inventa o método dos 
mínimos quadrados, indispensável para as 
medições geodésicas. A Lei de Gauss, relativa à 
distribuição dos erros, e sua curva normal (em 
forma de sino) são amplamente conhecidas de 
todos os que estudam estatística. 
Algumas anotações de seu diário mostram que 
ele descobriu a dupla periodicidade de certas 
funções elípticas. E outra anotação comprova que 
ele já havia considerado essa periodicidade no 
caso geral. 
 
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Esta visão para um sistema com duas equações lineares nas variáveis 𝑥! e 𝑥! pode ser estendida para um sistema com mais equações em mais 
variáveis. Por exemplo, para um sistema com equações lineares em três 
variáveis tem-se a representação de planos, logo o conjunto solução é 
formado pelos pontos em comum. 
Neste caso, há como ter apenas uma solução em um sistema com duas 
equações em três variáveis? 
Podemos generalizar este fato dizer que todo sistema de equações lineares 
tem ou nenhuma solução, ou exatamente uma, ou infinitas soluções. 
Exemplo 2: 
No exemplo 1 temos o sistema 
4𝑥! − 𝑥! + 3𝑥! = −13𝑥! + 𝑥! + 9𝑥! = −4 como foi obtida uma solução? 
Se reescrevermos as equações deste sistema isolando 𝑥! nas duas equações, estepode ser escrito como: 𝑥! = 1+ 4𝑥! + 3𝑥!𝑥! = −4− 3𝑥! − 9𝑥! 
Logo temos que 1+ 4𝑥! + 3𝑥! = −4− 3𝑥! − 9𝑥!, ou seja: 7𝑥! + 12𝑥! = −5 
 
Assim, quaisquer valores de 𝑥! e 𝑥! que satisfaçam a equação acima determinará um valor para 𝑥! e este trio irá 
satisfazer o sistema inicial, ou seja, podemos substituir qualquer uma das equações originais pela última obtida, 
logo temos que o conjunto solução deste sistema é o mesmo dos sistemas: 7𝑥! + 12𝑥! = −53𝑥! + 𝑥! + 9𝑥! = −4 e 4𝑥! − 𝑥! + 3𝑥! = −17𝑥! + 12𝑥! = −5 
Mas o que aconteceria se isolássemos a variável 𝑥! no sistema original? 
Teríamos o seguinte: 𝑥! = −1+ 𝑥! − 3𝑥!4𝑥! = −4− 𝑥! − 9𝑥!3 
Logo temos que !!!!!!!!!! = !!!!!!!!!! , ou seja: 7𝑥! + 27𝑥! = −13 
 
Note que a equação resultante acima 
também pode ser obtida somando as 
duas equações do sistema inicial. 
Esses descobrimentos, contudo, não chegaram a 
ser divulgados, não se sabe por qual motivo. 
Em 1812, Gauss publica seus estudos sobre as 
séries hipergeométricas. O interesse de tais séries 
está em que englobam, como casos particulares, 
muitas das séries mais notáveis da análise (entre 
as quais as que permitem cálculo e construção de 
tabelas de funções trigonométricas, logarítmicas e 
exponenciais). 
Gauss também abriu novos rumos com a 
invenção de um tipo novo de números, os inteiros 
complexos gaussianos, da forma 𝑎 + 𝑏𝑖, em que 
"𝑎" e "𝑏" são inteiros racionais e "𝑖" a unidade 
imaginária. 
Gauss possuía, ainda, grande habilidade 
manual. Inventou o heliótropo; aperfeiçoou 
alguns instrumentos de observação, utilizados na 
astronomia; inventou o magnetômetro bifilar; e 
descobriu o telégrafo elétrico. 
Exemplo do espírito afeito ao rigor, Gauss está 
ao lado de Arquimedes e Newton como um dos 
três gênios da matemática de todos os tempos. 
Note que a equação resultante também 
pode ser obtida somando 3 vezes a 
primeira com -4 vezes a segunda 
equação no sistema inicial. 
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Seguindo o mesmo raciocínio anterior esta última equação pode substituir qualquer uma das duas originais, ou 
seja, os sistemas abaixo apresentam o mesmo conjunto solução do original: 7𝑥! + 27𝑥! = −133𝑥! + 𝑥! + 9𝑥! = −4 e 4𝑥! − 𝑥! + 3𝑥! = −17𝑥! + 27𝑥! = −13 
Experimente fazer o mesmo isolando 𝑥!. 
Além disso, temos outro sistema com o mesmo conjunto solução: 7𝑥! + 12𝑥! = −57𝑥! + 27𝑥! = −13 
As possíveis soluções para o sistema acima podem ser dadas em função da variável 𝑥! da seguinte forma: 𝑥! = !!!!"!!!𝑥! = !!"!!"!!!   , para qualquer 𝑥! ∈ ℝ 
Como 𝑥! ∈ ℝ o sistema admite infinitas soluções. 
Conclusão: podemos fazer operações entre as equações como soma-las, multiplica-las por um número real ou 
mesmo uma combinação destas duas sem que o conjunto solução se altere, simplificando assim o sistema inicial. 
Todo procedimento acima pode ser simplificado abstraindo as variáveis e trabalhado apenas com os coeficientes 
constantes da seguinte forma: 𝐿!𝐿! 4 −1 33 1 9 −1−4 𝐿!: 3𝐿! − 4𝐿!  ⇒ 0 7 273 1 9 −13−4 ⇒ 7𝑥! + 27𝑥! = −133𝑥! + 𝑥! + 9𝑥! = −4 
Ou 𝐿!𝐿! 4 −1 33 1 9 −1−4 𝐿!: 4𝐿! − 3𝐿!  ⇒ 4 −1 30 7 27 −1−13 ⇒ 4𝑥! − 𝑥! + 3𝑥! = −17𝑥! + 27𝑥! = −13 
Logo, podemos simplificar um sistema linear fazendo operações com as linhas de uma matriz que contenha os 
coeficientes constantes deste sistema zerando o termo de uma das variáveis. De modo geral, todo sistema linear 
pode ser visto como uma equação matricial da forma: 𝐴!×!𝑥!×! = 𝑏!×! 
Como apresentado no sistema geral, temos: 𝑎!! 𝑎!" … 𝑎!!𝑎!" 𝑎!! … 𝑎!!⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎!! 𝑎!! … 𝑎!"
𝑥!𝑥!⋮𝑥! =
𝑏!𝑏!⋮𝑏! 
Como vimos no exemplo anterior, para resolver um sistema linear podemos trabalhar com a seguinte matriz: 
𝐴!×! 𝑏!×! = 𝑎!! 𝑎!" … 𝑎!!𝑎!" 𝑎!! … 𝑎!!⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎!! 𝑎!! … 𝑎!"
𝑏!𝑏!⋮𝑏! 
Esta matriz 𝐴!×! 𝑏!×! recebe o nome de Matriz Aumentada do sistema. 
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Na matriz aumentada podemos fazer as seguintes operações elementares: 
• 𝐿!⟷ 𝐿!: Linha 𝑖 troca com Linha 𝑗; 
• 𝐿!⟵ 𝑘𝐿!: Multiplica-se a Linha 𝑖 por um valor não nulo 𝑘 ∈ ℝ; 
• 𝐿!⟵ 𝐿! + 𝑠𝐿!: Soma-se a Linha 𝑖 com um múltiplo 𝑠 ∈ ℝ da Linha 𝑗; 
Pode-se ainda compor duas operações elementares obtendo 
• 𝐿!⟵ 𝑘𝐿! + 𝑠𝐿!, 𝑘 ≠ 0 ∈ ℝ e 𝑠 ∈ ℝ. 
Esta operação pode ser muito útil para evitar trabalhar com frações. 
Exemplo 3: Vamos resolver o seguinte sistema 
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 92𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧 = 13𝑥 + 6𝑦 − 5𝑧 = 0: 
A matriz aumentada do sistema é a seguinte: 1 1 22 4 −33 6 −5 910 
Vamos zeras os termos da variável 𝑥 nas 2ª e 3ª equações como segue: 1 1 22 4 −33 6 −5 910 ∗𝐿!⟵ 𝐿! − 2𝐿!𝐿!⟵ 𝐿! − 3𝐿!⟹ 1 1 20 2 −70 3 −11 9−17−27 ⇒ 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 92𝑦 − 7𝑧 = −173𝑦 − 11𝑧 = −27 
Podemos simplificar ainda mais o sistema obtido zerando agora o termo da variável y na 3ª equação da seguinte 
forma: 1 1 20 2 −70 3 −11 9−17−27 ∗∗𝐿!⟵ 2𝐿! − 3𝐿!⟹ 1 1 20 2 −70 0 −1 9−17−3 ⇒ 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 92𝑦 − 7𝑧 = −17−1𝑧 = −3 
A 3ª equação deste novo sistema nos revela o valor de 𝑧 = 3. Utilizando este valor de 𝑧 na 2ª equação obtemos 𝑦 = 2. Restando-nos apenas a 1ª equação, utilizamos os valores obtidos para 𝑦 e 𝑧 para termos 𝑥 = 1. Repare que 
neste exemplo obtemos única solução. 
Exemplo 4: Seja o seguinte sistema 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧 = 13𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 1, usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior 
temos: 2 1 11 4 −33 −2 5 311 ∗𝐿!⟵ 2𝐿! − 𝐿!𝐿!⟵ 2𝐿! − 3𝐿!⟹ 2 1 10 7 −70 −7 7 3−1−7 ⇒ 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 37𝑦 − 7𝑧 = −1−7𝑦 + 𝑧 = −7 
Simplificando ainda mais este sistema temos: 2 1 10 7 −70 −7 7 3−1−7 ∗∗𝐿!⟵ 𝐿! + 𝐿!⟹ 2 1 10 7 −70 0 0 3−1−8 ⇒ 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 37𝑦 − 7𝑧 = −10 = −8 
Note que a 3ª equação nos diz que a solução deve satisfazer a igualdade 0 = −8, o que é um absurdo, logo, não há 
solução para este sistema. 
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O procedimento feito nos exemplos acima é o que chamamos de escalonamento que consiste da seguinte técnica: 
• Em uma linha não nula, o primeiro termo diferente de zero (da esquerda para direita) é chamado de 
pivô; 
• Linhas nulas são agrupadas na parte inferior da matriz; 
• Sejam as linhas 𝑖 e 𝑗 de uma matriz, com 𝑖 < 𝑗, então o pivô da linha 𝑗 esta situado a direito do pivô da 
linha 𝑖; 
• Todo elemento abaixo do pivô da linha 𝑖 é nulo; 
Este procedimento nos dá a forma escalonada de uma matriz. Além disso, podem-se zerar todos os elementos da 
coluna de um pivô, exceto o pivô, e dividir sua linha pelo próprio pivô. Este procedimento é conhecido como 
forma escalonada reduzida por linhas. 
 
Assim, se a matriz aumentada do sistema for deixada pelo menos na forma escalona por meio de uma sequencia de 
operações elementares, então a solução do sistema inicial pode ser obtida facilmente. Mas como definir a 
sequencia de operação elementares a serem feitas? 
Podemos proceder da seguinte maneira: 
• Caso o elemento 𝑎!! da matriz aumentada seja nulo, trocamos a linha 1 por qualquer outra cujo 
primeiro elemento seja não nulo. 
• Sendo 𝑎!" ≠ 0 o pivô da linha 𝑖 zeramos todos os elementos abaixo deste fazendo as seguinte 
operações: 𝐿! ← 𝑎!"𝐿! − 𝑎!"𝐿! , ∀  𝑘 > 𝑖 
Ou simplesmente   𝐿! ← 𝐿! − 𝑎!"𝑎!" 𝐿! , ∀  𝑘, 𝑗 > 𝑖 
• Caso opte pelo escalonamento reduzido por linhas, o passo anterior pode ser escrito como:  𝐿! ← 𝑎!"𝐿! − 𝑎!"𝐿! , ∀  𝑘, 𝑗 ≠ 𝑖1𝑎!" 𝐿! , 
Dependendo da matriz do sistema o processo se resume basicamente a utilizar operações elementares para zerar os 
termos abaixo da diagonal (ou no escalonamento reduzido zerar os termos fora da diagonal). 
Este método é conhecido como Eliminação Gaussiana. Reveja os exemplos anteriores. 
Mas como saber se o sistema admite infinitas soluções, ou uma única solução, ou mesmoque não admite solução? 
Em diversas situações não é preciso saber a solução, mas apenas se há ou não soluções e se houver, se esta é única. 
Para isso fazemos uso do posto de uma matriz. Seja 𝐴 uma matriz qualquer, definimos por Posto de uma matriz 𝑨 
(𝑃(𝐴)) o número de linhas não nulas da matriz escalonada de 𝐴. 
Exemplo 5: 𝐴 = 4 −1 33 1 9 −1−4  𝑒  𝐵 = 4 −1 30 7 27 −1−13 . Do exemplo 2, 𝐵 é a matriz escalonada de 𝐴, logo 
como 𝐵 tem duas linhas não nulas, segue que 𝑃 𝐴 = 2. 
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Exemplo 6: 𝐴 = 1 1 22 4 −33 6 −5 910 e 𝐵 = 1 1 20 2 −70 0 −1 9−17−3 . Do exemplo 3, 𝐵 é a matriz escalonada de 𝐴, logo 
como 𝐵 tem três linhas não nulas, segue que 𝑃 𝐴 = 3. 
Exemplo 7: 𝐴 = 2 1 11 4 −33 −2 5 e 𝐵 = 2 1 10 7 −70 0 0 . Do exemplo 4, 𝐵 é a matriz escalonada de 𝐴, logo como 𝐵 
tem duas linhas não nulas, segue que 𝑃 𝐴 = 2. 
Podemos relacionar o Posto de uma matriz com o número de soluções do sistema da seguinte forma: 
Seja o sistema 𝐴!×!𝑥 = 𝑏, com matriz aumentada 𝐵 = 𝐴 𝑏 . Então temos que: 
• Se 𝑃 𝐴 ≠ 𝑃(𝐵) o sistema não tem solução. 
• Se 𝑃 𝐴 = 𝑃(𝐵) o sistema tem solução e mais: 
o Se 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵 = 𝑛 o sistema tem única solução. 
o Se 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵 < 𝑛 o sistema tem infinitas soluções. 
Exemplos 
Para 𝐵 = 4 −1 30 7 27 −1−13 temos do exemplo 2 que 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵 = 2. Como 𝐴 tem três colunas o sistema 
admite infinitas soluções. 
Para 𝐵 = 1 1 20 2 −70 0 −1 9−17−3 temos do exemplo 3 que 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵 = 3. Como 𝐴 tem três colunas o sistema 
admite única solução. 
Para 𝐵 = 2 1 10 7 −70 0 0 3−1−8 temos do exemplo 4 que 𝑃 𝐴 = 2  𝑒  𝑃 𝐵 = 3. Como 𝑃 𝐴 ≠ 𝑃(𝐵) segue que o 
sistema não admite soluções. 
Quando há infinitas soluções podemos saber o grau de liberdade das variáveis envolvidas, ou seja, quantas 
variáveis podem receber qualquer valor real sem depender de outras. Este grau de liberdade é obtido fazendo-se 𝑃 𝐴 − 𝑛, onde 𝑛 é o número de colunas de 𝐴. 
Este grau de liberdade do Sistema 𝐴𝑥 = 𝑏 também é conhecido como Nulidade de 𝐴, denotado por 𝑁(𝐴), logo: 𝑁 𝐴 = 𝑃 𝐴 − 𝑛 
Observe que no exemplo 2 𝑁 𝐴 = 1, ou seja, temos 1 grau de liberdade, em outras palavras, podemos atribuir 
qualquer valor a uma das variáveis que as demais estarão definidas. Já no exemplo 3 temos que 𝑁 𝐴 = 0, 
indicando que não há grau de liberdade, ou seja, a solução é única. 
 
Bibliografia 
Anton H. E C. Rorres: Álgebra Linear com Aplicações Bookman, 2001 - Ed. 8 Pág 28-37 
A. Steinbruch e P. Winterle: Álgebra Linear Pearson, 2002 – Ed. 2 Pág 505 - 51