2ª Prova de Calculo I 2014-1 - Aldo Procacci

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CA´LCULO I - prova 2 - GABARITO
Questa˜o 1
Estude a func¸a˜o (achando domı´nio, ma´ximos, mı´nimos, pontos de
inflexa˜o e ass´ıntotas) e esboc¸e seu gra´fico.
f (x) =
3
√
x2ex
SOLUC¸A˜O
1) Domı´nio:
D = R
2) Simmetrias:
f (−x) = 3
√
(−x)2e−x = 3
√
x2e−x
f (−x) 6= f (x)
f (−x) 6= −f (x)
f(x) na˜o e´ nem par nem impar.
3) Intersec¸o˜es com os eixos cartesianos:
f(x) = 0 ⇒ x = 0
Logo o gra´fico da f corta os eixos X e Y so´ na origem O = (0, 0).
4) Sinal da f :
f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R
5) Limites:
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞x
2/3ex = +∞
e em busca de um eventual assintota obliqua calculamos
lim
x→+∞
f (x)
x
= lim
x→+∞
ex
x1/3
= 3 lim
x→+∞
ex
x−2/3
= 3 lim
x→+∞x
2/3ex = +∞
Logo para x → +∞ temos que f(x) → +∞ e na˜o tem ass´ıntota
obliqua.
lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞x
2/3ex = lim
y→+∞
y2/3
ey
=
2
3
lim
y→+∞
y−1/3
ey
= 0
Logo y = 0 e´ ass´ıntota horizontal para f quandi x→ −∞.
6) Derivadas:
f (x) = x
2
3 · ex
f ′ (x) =
2
3
x−
1
3 · ex + x 23 · ex = ex ·
(
2
3
x−
1
3 + x
2
3
)
= ex
2 + 3x
3x1/3
Obs: a derivada f ′(x) na˜o e´ definida em x = 0.
f ′ (x) ≥ 0 ⇒ 2
3
x−
1
3 + x
2
3 ⇒ 2 + 3x
3x1/3
≥ 0
Logo
f ′ (x) > 0 ⇒ x ∈ (−∞,−2/3) ∪ (0,+∞)
e
f ′ (x) < 0 ⇒ x ∈ (−2/3, 0)
e em x = −2/3 temos que a derivada zera i.e. f ′ (−2/3) = 0 e em
x = 0 a derivada na˜o existe.
Logo para x < −2/3 e para x > 0 a func¸a˜o e´ crescente. Entre −2/3
e 0 a func¸a˜o e´ decrescente. A derivada se anula no ponto x = −2/3
e na˜o existe no ponto x = 0. Logo
em x = −2/3 a func¸a˜o tem um ma´ximo sendo f(−2/3) = (4/9)1/3 ·
e−2/3 ≈ 0.39:
o ma´ximo ocorre enta˜o no ponto (−2/3, (4/9)1/3e−2/3)
e, dado que a func¸a˜o decrescente a esquerda de x = 0 e crescente a
direita de x = 0,
em x = 0 a func¸a˜o tem um mı´nimo, sendo f(0) = 0:
o mı´nimo ocorre enta˜o no ponto (0, 0).
Em x = 0 a func¸a˜o de decrescente vira crescente, mas a derivada
na˜o existe em x = 0. Para entender o comportamento da derivada
na vizinhanc¸a de x = 0 calculamos:
lim
x→0−
f ′ (x) = lim
x→0−
ex
2 + 3x
3x1/3
=
2
0−
= −∞
lim
x→0+
f ′ (x) = lim
x→0+
ex
2 + 3x
3x1/3
=
2
0+
= +∞
logo (0; 0) e` una cu´spide.
Derivada segunda:
f ′′ (x) = ex ·
(
4
3
x−
1
3 + x
2
3 − 2
9
x−
4
3
)
=
ex
9x
4
3
· (12x+ 9x2 − 2)
f ′′ (x) = 0 ⇒ 9x2+12x−2 = 0 ⇒ x = −12±
√
216
18
=
−2±√6
3
f ′′ (x) > 0 ⇒ 12x+ 9x2 − 2 > 0 ⇒
⇒ x ∈
(
−2 +√6
3
,+∞
)⋃(
−∞, −2−
√
6
3
)
Logo a func¸a˜o e´ convexa se x > −2+
√
6
3 e se x <
−2−√6
3 e e´ concava
no intervalo (−2−
√
6
3 ,
−2+√6
3 ) (em x = 0 f
′′ non existe) tendo enta˜o 2
pontos de inflexa˜o, a saber:
xF1 =
−2−√6
3
≈ −1, 48 xF2 = −2 +
√
6
3
≈ 0, 15
Veja o gra´fico aqui em baixo
Questa˜o 2
Determine o valor da a´rea A da regia˜o do plano entre a para´bola
y = 3− x2 e a reta y = x+ 1.
SOLUC¸A˜O
Reta e para´bola se cruzam em dois pontos cujas abscissas sa˜o as
soluc¸o˜es da equac¸a˜o
3− x2 = x+ 1 ⇒ x2 + x− 2 = 0 ⇒ x = −2 e x = 1
Veja um esboc¸o da regia˜o do plano em questa˜o.
A a´rea e´ dada enta˜o pela integral definida∫ 1
−2
[
(3− x2)− (x+ 1)] dx = ∫ 1
−2
[
2− x2 − x] dx =
=
(
2x− x
3
3
− x
2
2
)∣∣∣∣1
−2
=
(
2− 1
3
− 1
2
)
−
(
−4 + 8
3
− 2
)
=
9
2
Questa˜o 3
Encontre o ma´ximo absoluto e o mı´nimo absoluto da func¸a˜o
f (x) =
1
2
ln(1 + x2) + arctan(x)− x
no intervalo [−1,√3]
Lembrete
0, 693 ≤ ln 2 ≤ 0, 694 3.141 ≤ pi ≤ 3.142 1.732 ≤
√
3 ≤ 1.733
Soluc¸a˜o
Derivada:
f ′(x) =
x
1 + x2
+
1
1 + x2
− 1 = x− x
2
1 + x2
e f ′(x) = 0 ⇒ x = 1, x = 0. Ambos os pontos cr´ıticos x = 0 e
x = 1 esta˜o no intervalo (−1,√3).
Calculando a func¸a˜o nos pontos cr´ıticos x = 0 e x = 1. Temos
f(0) =
1
2
ln 1 + arctan(0) = 0
f(1) =
1
2
ln 2 +
pi
4
− 1 = 1
2
[ln 2 + pi/2− 2] ≈ 0, 13
Calculando a func¸a˜o nos extremos. temos
f(−1) = 1
2
ln 2− pi
4
+ 1 =
1
2
[ln 2− pi/2 + 2] ≈ 0, 56
f(
√
3) =
1
2
ln 4 +
pi
3
−
√
3 = ln 2 +
pi
3
−
√
3 ≈ 0, 008
Logo
1
2 [ln 2− pi/2 + 2] e´ o ma´ximo absoluto e ocorre em x = −1
e
0 e´ o mı´nimo absoluto que ocorre em x = 0