5 Determinantes Cramer e triangulacao (1)

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n. 5 – Determinantes: Regra de Cramer e Triangulação 
Podemos classificar um sistema linear de três maneiras: 
 SPD – Sistema possível determinado: existe apenas um 
conjunto solução; 
 SPI – Sistema possível indeterminado: existem inúmeros 
conjuntos solução; 
 SI – Sistema impossível: não é possível determinar um 
conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
Algumas formas de resolução de um sistema de equações: 
 escalonamento de um sistema linear 
 regra de Cramer 
 
Classificação dos sistemas 
Possível - SP Impossível - SI 
 
Determinado 
SPD 
Indeterminado 
SPI 
 
REGRA DE CRAMER 
 
A regra de Cramer é um teorema 
em Álgebra Linear, que dá a solução de 
um sistema de equações lineares em 
termos de determinantes. Recebe este 
nome em homenagem a Gabriel 
Cramer (1704 - 1752). 
 
 Só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número 
de equações e o número de incógnitas forem iguais. 
 
 Consiste num método para resolver um sistema linear normal: 
aquele em o determinante é diferente de zero. SPD 
 
 ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas 
para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da 
equação incompleta do sistema, substituir os termos 
independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos 
determinantes e assim aplicar a regra de Cramer. 
 
 
 
 Regra de Cramer: 
 
 Observe o sistema linear: {
2 𝑥 − 𝑦 = 7
𝑥 + 5 𝑦 = −2
 
Resolução: 
a. Seja 𝐴 = [
2 −1
1 5
] a matriz dos coeficientes das incógnitas. 
 
b. Seja 𝐴𝑥 = [
7 −1
−2 5
] a matriz que se obtém a partir da matriz 
dos coeficientes substituindo a 1ª coluna (coeficientes de x) pelos 
termos independentes. 
 
c. Seja 𝐴𝑦 = [
2 7
1 −2
] a matriz que se obtém a partir da matriz dos 
coeficientes substituindo a 2ª coluna (coeficientes de y) pelos 
termos independentes. 
 
d. Os valores de x e y são dados pelas fórmulas (regra de Cramer): 
 
 𝑥 = 
𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑥
𝑑𝑒𝑡 𝐴
 e 𝑦 = 
𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑦
𝑑𝑒𝑡 𝐴
 
e. Logo: 
det A = 10 + 1 = 11 
det Ax = 35 – 2 = 33 
det Ay = – 4 – 7 = – 11 
 
 𝑥 = 
𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑥
𝑑𝑒𝑡 𝐴
=
33
11
= 3 e 𝑦 = 
𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑦
𝑑𝑒𝑡 𝐴
 =
−11
11
= −1 
 
Logo, x = 3 e y = –1 R: (3, –1) 
 
Exemplo: 
1. Resolva os sistemas pela regra de Cramer: 
a. {
𝑥 + 2 𝑦 − 𝑧 = 0
3 𝑥 − 4 𝑦 + 5 𝑧 = 10
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
 Resposta: {(2, –1, 0)} 
 
b. {
𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 8
2 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2
 Resposta: {(1,2,3)} 
 
Resoluções: 
a. calculamos o seu determinante que será representado por D. 
𝐷 = [
1 2 1 | 1 2
2 −1 1 | 2 −1
3 1 −1 | 3 1
] 
 
 Det = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4 Det = 15 
 
b. devemos substituir os temos independentes na primeira coluna 
da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será 
representada por Ax. 
𝐴𝑥 = |
8 2 1
3 −1 1
2 1 −1
| 
 
c. calcularmos o seu determinante representado por Dx. 
𝐷𝑥 = [
8 2 1 | 8 2
3 −1 1 | 3 −1
2 1 −1 | 2 1
] 
 Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6 Dx = 15 
 
d. substituímos os termos independentes na segunda coluna da 
matriz incompleta formando a matriz Ay. 
𝐴𝑦 = |
1 8 1
2 3 1
3 2 −1
| 
 
e. calcularmos o determinante Dy. 
𝐷𝑦 = [
1 8 1 | 1 8
2 3 1 | 2 3
3 2 −1 | 3 2
] 
 Dy = -3 + 24 +4 – 9 – 2 + 16 Dy = 30 
f. substituindo os termos independentes do sistema na terceira 
coluna da matriz incompleta formaremos a matriz Az. 
𝐴𝑧 = |
1 2 8
2 −1 3
3 1 2
| 
g. calculamos o determinante representado por Dz. 
𝐷𝑧 = [
1 2 8 | 1 2
2 −1 3 | 2 −1
3 1 2 | 3 1
] 
 Dz = - 2 + 18 + 16 + 24 – 3 – 8 = 45 Dz = 45 
 
h. depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta 
pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de 
Cramer. 
i. A incógnita 𝑥 = 
𝐷𝑥
𝐷
= 
15
15
= 1 
j. A incógnita 𝑦 = 
𝐷𝑦
𝐷
= 
30
15
= 2 
k. A incógnita 𝑧 = 
𝐷𝑧
𝐷
= 
45
15
= 3 
 
Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}. 
 
TRIANGULAÇÃO, ESCALONAMENTO OU MÉTODO DE GAUSS 
 
 Quando m e n são maiores que 3, torna-se muito trabalhoso 
utilizar a regra de Cramer, por isso utilizamos a técnica do 
escalonamento, que facilita a discussão e a resolução de qualquer 
sistema linear. 
 
 Triangularizar uma matriz significa transformá-la em uma matriz 
triangular superior ou inferior através de eliminação de Gauss. 
 
 Triangular uma matriz nada mais é do que aplicar o 
escalonamento. 
 
 Dizemos que um sistema em que existe pelo menos um coeficiente 
não nulo em cada equação está escalonado se o número de 
coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta 
de equação para equação. 
 
 Teorema: O determinante da matriz triangular superior é o 
produto dos elementos das diagonais. 
 
 
Exemplo: 
{
 𝑥 + 2 𝑦 − 𝑧 = 5 
 3 𝑦 + 2 𝑧 = 1
 𝑥 + 𝑧 = 1
 
 
 Primeiro construímos a matriz aumentada 
[
1 2 −1 | 5
0 3 2 | 1
1 0 1 | 1
] 
 Depois temos que transformar essa matriz, numa matriz 
triangular superior 
 
[
1 2 −1 | 5
0 3 2 | 1
1 0 1 | 1
] 𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿1 → [
1 2 −1 | 5
0 3 2 | 1
0 −2 2 | −4
] 
 
[
1 2 −1 | 5
0 3 2 | 1
0 −2 2 | −4
] 𝐿3 = 3𝐿3 + 2𝐿2 → [
1 2 −1 | 5
0 3 2 | 1
0 0 10 | −10
] 
 
 Agora, como a matriz está escalonada, voltamos ao sistema: 
{
 𝑥 + 2 𝑦 − 𝑧 = 5 
 3 𝑦 + 2 𝑧 = 1 
 𝑥 + 𝑧 = 1
 → {
 𝑥 + 2 𝑦 − 𝑧 = 5 
 3 𝑦 + 2 𝑧 = 1
 10 𝑧 = −10
 
 
A partir do sistema escalonado temos: 
 𝑧 = −1 → 𝑦 = 1 → 𝑥 = 2 
 
Portanto, a solução do sistema é: ( 2, 1, -1 ) 
 SPD (sistema possível e determinado) 
 
 Voltando a matriz escalonada, temos que o determinante da 
matriz escalonada é o produto da diagonal principal: 
[
1 2 −1 | 5
0 3 2 | 1
0 0 10 | −10
] 
 
Logo, det (matriz escalonada) = (1). (3). (10) = 30 
 Entretanto, como em um determinado passo multiplicamos a linha 3 por 
3 para poder escalonar a matriz, então o determinante dessa matriz está 
multiplicado por 3, assim, para sabermos o determinante da matriz 
original, temos que dividir esse determinante por 3. 
Logo, 𝑑𝑒𝑡 (𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙) =
30
3
= 10 
 Como não houve troca de linhas, o determinante não muda de sinal. 
 
Relembrando 
A eliminação de Gauss é um método, segundo o qual é permitido 
efetuar 3 tipos de operações: 
1) trocar linhas de lugar; 
2) multiplicar uma linha por um número qualquer não-nulo; 
3) somar a uma linha, outra linha multiplicada por um número 
qualquer não nulo. 
 
Na eliminação de Gauss, o determinante: 
 muda de sinal quando trocamos as linhas de lugar, tantas vezes 
quantas forem as trocas; 
 quando multiplicamos as linhas o determinante fica 
multiplicado por esse número. É preciso ver todas as 
multiplicações que foram feitas no escalonamento. 
Exercícios: 
1. Calcule o determinante das matrizes utilizando o 
escalonamento: 
 
a. 𝐻 = [
3 0 1 0
−2 0 2 0
0 1 0 1
0 −1 0 1
] R: det (H) = - 16 
 
b. 𝐽 = [
2 −1 0 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1
0 0−1 2
] R: det (J) = 5 
 
Resolução: 
𝑎. [
3 0 1 0
−2 0 2 0
0 1 0 1
0 −1 0 1
] 
𝐿2 = 3𝐿2 + 2 𝐿1 
𝐿4 = 𝐿4 + 𝐿3
[
3 0 1 0
0 0 8 0
0 1 0 1
0 0 0 2
] 𝐿2 ↔ 𝐿3 [
3 0 1 0
0 1 0 1
0 0 8 0
0 0 0 2
] 
 Det (H escalonada) = (3).(1).(8).(2) = 48 
 Como houve a multiplicação de uma linha por 3, então: 
 Det (H) = (3).(1).(8).(2) = 
48
3
= 16 
 Como houve uma troca de linha: det (H)= - 16 
 
𝑏. [
2 −1 0 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1
0 0 −1 2
] 𝐿2 = 2𝐿2 + 𝐿1 [
2 −1 0 0
0 3 −2 0
0 −1 2 −1
0 0 −1 2
] 𝐿3 = 3𝐿3 + 𝐿2 [
2 −1 0 0
0 3 −2 0
0 0 4 −3
0 0 −1 2
] 𝐿4 = 4𝐿4 + 𝐿3 [
2 −1 0 0
0 3 −2 0
0 0 4 −3
0 0 0 5
] 
 Det (J escalonada) = (2).(3).(4).(5) = 120 
 Como houve a multiplicação de uma linha por 2, uma linha por 3, e outra 
linha por 4, então: Det (J) = 
120
24
= 5 
 Como não houve uma troca de linha: det (J)= 5 
 
2. Descubra os valores de x, y e z no sistema dado, pelo método do 
escalonamento: {
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 3
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 7
 
 
a. Para primeira equação escolhemos a equação cujo coeficiente da primeira incógnita seja não 
nulo e se possível igual a 1 ou a – 1: 
{
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 7
 
b. Anulamos os coeficientes da 1ª incógnita nas demais equações: 
 {
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 3 
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 7
 → −3 𝐿1 
 
{
−3𝑥 − 3𝑦 + 6𝑧 = −9 
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 7 
 → −3 𝐿1 + 𝐿2 
 
{
𝑥 + 𝑦 − 2 𝑧 = 3 
 − 4 𝑦 + 7𝑧 = −4
 2 𝑥 + 3 𝑦 − 𝑧 = 7
 
 
{
− 2𝑥 − 2 𝑦 + 4𝑧 = −6 
 − 4 𝑦 + 7𝑧 = −4
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 7
 → −2 𝐿1 + 𝐿3 
 L1 . (-2) 
 
{
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 3 
 − 4 𝑦 + 7𝑧 = −4
 𝑦 + 3𝑧 = 1
 → 𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑎 𝐿3 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝐿2 
 
{
 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 3 
 𝑦 + 3𝑧 = 1
 −4 𝑦 + 7𝑧 = −4
 → 4 𝐿2 
 
{
 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 3 
 4 𝑦 + 12𝑧 = 4
 −4 𝑦 + 7𝑧 = −4
 → 𝐿2 + 𝐿3 
{
 𝑥 + 𝑦 − 2 𝑧 = 3 
 𝑦 + 3 𝑧 = 1
 19 𝑧 = 0
 
 
Logo, x = 2 y = 1 e z = 0 
A solução do sistema é: S= {(2, 1, 0)} 
 
3. Escalone e resolva os sistemas: 
a. {
2 𝑥 + 2𝑦 = 4
𝑥 − 3 𝑦 = 6
 S= {(3 , - 1)} 
b. {
4 𝑥 − 2𝑦 = 34
𝑥 + 6 𝑦 = 2
 S= {(8 , - 1)} 
c. {
 𝑥 + 𝑦 = −4
3𝑥 − 2 𝑦 = 3
 S= {(-1 , - 3)} 
d. {
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1
 S= {(1, 2,-2)} 
Resoluções: 
1. Escalone e resolva os sistemas: 
a. {
2 𝑥 + 2𝑦 = 4
𝑥 − 3 𝑦 = 6
 
{
 𝑥 − 3𝑦 = 6
2𝑥 + 2𝑦 = 4
 L1(-2) + L2  {
𝑥 − 3𝑦 = 6
 8𝑦 = −8
 S = {(3 , - 1)} 
b. {
4 𝑥 − 2𝑦 = 34
𝑥 + 6 𝑦 = 2
 
{
 𝑥 + 6𝑦 = 2
4𝑥 − 2𝑦 = 34
 L1(-4) + L2  {
𝑥 + 6𝑦 = 2
 −26𝑦 = 26
 S = {(8 , - 1)} 
c. {
 𝑥 + 𝑦 = −4
3𝑥 − 2 𝑦 = 3
 
{
 𝑥 + 𝑦 = −4
3𝑥 − 2𝑦 = 3
 L1(-3) + L2  {
𝑥 + 𝑦 = −4
 −5𝑦 = 15
 S = {(-1 , - 3)} 
d. {
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1
 {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
−𝑦 = −2
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1
 
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1
−𝑦 = −2
 {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
 𝑦 + 𝑧 = 0
−𝑦 = −2
 S = {(1, 2,-2)} 
 
Referências Bibliográficas 
 
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. 
 
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 
 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. 
KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: 
Prentice-Hall, 1998. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. 
 L1 troca com a L2 
 L1 (-2) + L2 
 L2 troca com a L3 
 
 L1 (-1) + L2