Teoria das Estruturas II (1)

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FACULDADES ESTACIO DE SÁ 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: CCE0371 – TEORIA DAS ESTRUTURAS II 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
2017-B
CCE0371 – Teoria das Estruturas II 
 
Faculdades ESTÁCIO SC 2 
 
UNIDADE 1: DEFORMAÇÃO EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
1.1 INTRODUÇÃO 
Todo elemento estrutural submetido a carregamentos externos incluindo seu peso 
próprio, é solicitada a suportar tais carregamentos ao mesmo tempo que tem seu eixo 
longitudinal deformado e tal curva é chamada de curva de deflexão. 
O cálculo de deflexões é uma parte importante da análise e do projeto estrutural, 
as deflexões algumas vezes são calculadas de modo a se verificar que elas estão dentro 
do limite tolerável das deformações. 
A deflexão “” é o deslocamento na direção “y” 
1.2 DEFLEXÃO DE UMA VIGA SUJEITA A FORÇAS TRANSVERSAIS 
Determinar a equação da curva de deflexão e também encontrar deflexões em 
pontos específicos ao longo do eixo da viga. 
Estruturas estaticamente indeterminadas o número de reações excede as 
equações de equilíbrio. 
1.2.1 Equações Diferenciais da Curva de Deflexão 
Considere uma viga engastada com um carregamento concentrado atuando para 
cima na extremidade livre. 
 
Figura 1 – Curva de deflexão de uma viga engastada. (Gere, 2003) 
 
a) Considerações: O plano xy é um plano de simetria da viga e todos os carregamentos atuam 
nesse plano (plano de flexão). O material segue a Lei de Hooke e consideramos somente 
deformações devido à flexão pura. 
b) Deflexão () - É o deslocamento na direção y de qualquer ponto no eixo da viga, como 
apresenta a Figura 1b. Como y é positivo para cima, então “" é positivo. 
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Vamos considerar a curva de deflexão como mostra a Figura 2. 
 
 
Figura 2 – Curva de deflexão de uma viga. (Gere, 2003) 
 
✓ Podemos observar que quando a flexão na viga acontece: 
• Temos uma deflexão em cada ponto ao longo do eixo da viga 
• E uma rotação em cada ponto ao longo do eixo da viga 
✓ Ângulo de rotação (θ) - É o ângulo entre o eixo x e a tangente à curva de deflexão como 
mostrado no ponto m1, da Figura 2b. 
Obs: θ é positivo no sentido anti-horário, (Ângulo de inclinação = Ângulo de declive) 
 
✓ Ângulo de rotação em m2 = θ + dθ 
dθ - Aumento no ângulo conforme nos movemos do ponto m1 para o ponto m2. 
 
✓ Ângulo entre as linhas normais às tangentes = dθ 
 
✓ Ponto de interseção entre as normais as tangentes = O’ (Centro de curvatura) 
 
• ρ - Raio de curvatura – Distância de O’ à curva e é dado pela seguinte expressão 
ds = ρ. Dθ Eq. 1 
 
• dθ é dado em radianos e ds é a distância ao longo da curva de deflexão entre os 
pontos m1 e m2. 
 
A curvatura é dada por: 
 
𝑘 = 
1
𝜌
=
𝑑𝜃
𝑑𝑠
 Eq. 2 
 
 
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A convenção de sinal para a curvatura é apresentada na Figura 3 
 
Figura 3 – Convenção de sinal para a curvatura. (Gere, 2003) 
 
A inclinação da curva de deflexão é a primeira derivada d/dx. 
Geometricamente, a inclinação da curva de deflexão é o incremento “d” na deflexão 
(conforme vamos do ponto m1 para o ponto m2) dividindo pelo incremento “dx” na distância ao 
longo do eixo x. 
Como d e dx são infinitesimais tem-se que: 
𝑑
𝑑𝑥
= tan 𝜃  𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑑
𝑑𝑥
 Eq. 3 
 
De modo similar tem-se: 
 
𝑑x
𝑑𝑠
= cos 𝜃  𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑑x
𝑑𝑠
 Eq. 4 
 
Notamos que quando os eixos x e y têm as direções como mostradas na Fig. 2b a 
inclinação d/dx é positiva quanto a tangente à curva inclina-se para cima à direita. Essas 
equações são válidas para vigas de qualquer material, visto elas estarem baseadas em 
considerações geométricas. 
1.2.2 Vigas com Pequenos Ângulos de Rotação 
As Estruturas encontradas na vida diária, tais como: edifícios, automóveis, aeronaves, 
navios e etc. 
Essas estruturas sofrem pequenas variações na forma enquanto estão em serviço e não 
são percebidas por um observador casual. Dessa forma, a curva de deflexão da maioria das 
vigas e colunas tem ângulos de rotação muito pequenos, deflexões muito pequenas e curvaturas 
muito pequenas. 
De acordo com a Figura 2, se o ângulo de rotação é muito pequeno, a curva de deflexão 
é quase horizontal. Dessa forma tem-se que: 
ds ≈ dx → cosθ = 1 Eq. 5 
Assim a curvatura, pode ser dada por: 
 
𝑘 = 
1
𝜌
=
𝑑𝜃
𝑑𝑥
 Eq. 6 
Uma vez que tanθ ≈ θ, quando θ é pequeno, tem-se o seguinte: 
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𝜃 ≈ tan 𝜃 = 
𝑑
𝑑𝑥
 Eq. 7 
 
Derivando-se a expressão (Eq. 7) em relação a x tem-se: 
 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
=
𝑑2
𝑑𝑥2
 Eq. 8 
 
Combinando a Eq. 8 com a equação Eq. 6, é válida para uma viga de qualquer material, 
com a condição de que as rotações sejam pequenas. 
 
𝑘 = 
1
𝜌
=
𝑑2
𝑑𝑥2
 Eq. 9 
 
 Se o material é elástico e linear e segue a Lei de Hooke, a curvatura é dada por: 
 
𝑘 = 
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
 Eq. 10 
 
Onde: M é o momento fletor e EI é a rigidez a flexão da viga. Combinando a Eq. 9 e a 
Eq. 10, produz-se a equação diferencial da curva de deflexão básica de uma viga. 
𝑑2
𝑑𝑥2
 =
𝑀
𝐸𝐼
 Eq. 11 
 
Essa equação pode ser integrada em cada caso particular para se obter a deflexão “”, 
com a condição de que o momento fletor M e a rigidez a flexão “EI” sejam conhecidos e que são 
funções de x. 
Equações adicionais podem ser obtidas a partir das relações entre o momento fletor “M”, 
a esforço cortante “V” e a intensidade da carga distribuída “q”, como a seguir: 
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −𝑞 → 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉 Eq. 12 
 
As convenções de sinais para essas grandezas são mostradas na Figura (4). 
 
 
Figura 4 - Convenções de sinais para momento fletor M, força cortante V e intensidade q da carga 
distribuída. 
 
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1.2.3 Vigas Não-Prismáticas 
No caso de uma viga não prismática conde a rigidez a flexão EIx é variável. A Eq. 11, 
torna-se 
 𝐸𝐼𝑋 
𝑑2
𝑑𝑥2
 = 𝑀 Eq. 13 
 
Diferenciando ambos os lados da Eq. 13 e usando as Eqs. 12 obtém-se: 
𝑑
𝑑𝑥
 (𝐸𝐼𝑥 
𝑑2
𝑑𝑥2
) =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= −𝑞 Eq. 14 
 
𝑑2
𝑑𝑥2
 (𝐸𝐼𝑥 
𝑑2
𝑑𝑥2
) =
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −𝑞 Eq. 14 
 
 
1.2.4 Vigas Prismáticas 
No caso de uma viga prismática (EI constante), as equações diferenciais tornam-se: 
𝐸𝐼𝑋 
𝑑2
𝑑𝑥2
 = 𝑀 𝐸𝐼𝑋 
𝑑3
𝑑𝑥3
 = 𝑉 𝐸𝐼𝑋 
𝑑4
𝑑𝑥4
 = −𝑞 Eq. 15 
 
 
𝑑
𝑑𝑥
 ≡ ′ 
𝑑2
𝑑𝑥2
 ≡ ′′ 
𝑑3
𝑑𝑥3
 ≡ ′′′ 
𝑑4
𝑑𝑥4
 ≡ ′′′′ Eq. 16 
 
 
𝑀 ≡ 𝐸𝐼′′ 𝑉 ≡ 𝐸𝐼′′′ −𝑞 ≡ 𝐸𝐼′′′′ Eq. 17 
 
Iremos nos referir a essas equações como a equação do momento fletor, a equação 
do esforço cortante e a equação do carregamento, respectivamente. 
1.3 DEFLEXÕES POR INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOMENTO FLETOR 
A equação do momento fletor é a primeira equação que iremos utilizar, uma vez que esta 
equação é de segunda ordem, duas integrações são exigidas: 
1ª Integração → inclinação ′ = 
𝑑
𝑑𝑥
 
 
2ª integração → deflexão  
 
✓ Procedimentos: 
1. Escrever asequações para os momentos fletores da viga; 
2. Para cada região da viga substituímos as expressões para M na equação diferencial da 
elástica e integramos para obter a inclinação ’; 
3. Integramos cada equação da inclinação para obter . 
✓ Observações: Cada integração produz uma constante de integração. 
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As constantes de integração são obtidas a partir de condições relativas as inclinações e 
deflexões. As condições classificam-se em três categorias. 
✓ Condições de contorno: relativas às inclinações e deflexões nos apoios das vigas, como 
exemplifica a Figura 5 e a Figura 6. 
 
 
Figura 5 - Condições de contorno em apoio simples. 
 
 
 
Figura 6 – Condições de contorno no engaste (Apoio fixo) 
 
✓ Condições de continuidade - Ocorrem em pontos em que as regiões de integração se 
encontram como o ponto C da Figura 7. 
 
Figura 7 - Condições de continuidade no ponto C. 
 
✓ Condições de simetria – Por exemplo, se uma viga simples suporta uma carga uniforme 
em todo o seu comprimento, sabemos antecipadamente que a inclinação da curva de 
deflexão no ponto médio precisa ser zero. 
Ao se determinar as constantes de integração, substitui-se nas expressões das deflexões 
e inclinações e se obtém as expressões finais para a curva de deflexão. 
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 Exercícios: 
 
1. A viga em balanço, mostrada na figura, está submetida a uma carga vertical P na 
extremidade. Determinar a equação da linha elástica, sendo EI constante. 
 
 
 
2. A viga simplesmente apoiada, mostrada na figura, está submetida a uma carga 
vertical P na extremidade. Determinar seu deslocamento máximo, sendo EI 
constante. 
 
 
3. A viga mostrada na figura, está submetida a uma carga vertical P na extremidade. 
Determinar o deslocamento em C, considerar EI constante. 
 
 
 
4. Determinar a equação da linha elástica, a inclinação no ponto A e a deflexão no ponto 
C, Considerar EI constante. 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4 MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS 
A equação diferencial (Eq. 18). Satisfaz os dois requisitos necessários para aplicação do 
primeiro princípio da superposição de efeitos, ou seja, a carga q(x) relaciona-se linearmente à 
deflexão ν(x) e supõe-se que ela não altere significativamente a geometria original da viga ou do 
eixo. Como resultado, as deflexões de uma série de cargas separadas que atuam sobre uma 
viga podem ser superpostas. 
 𝐸𝐼𝑋 
𝑑4
𝑑𝑥4
 = −𝑞(𝑥) Eq. 18 
Por exemplo ν1 for a deflexão de uma carga e ν2 a deflexão de outra, a deflexão total para 
ambas as cargas atuando juntas é a soma algébrica ν1 + ν2. Usando os resultados tabelados 
para vários carregamentos de viga, como mostrado nas Tabela 1 (ANEXO 1), é possível 
determinar a inclinação e o deslocamento em um ponto de uma viga sujeitas a diversos 
carregamentos diferentes adicionando algebricamente os efeitos de seus vários carregamentos. 
1.5 VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
1.5.1 Método da Integração Direta 
Este método requer duas integrações diretas da equação diferencia Eq. 11, uma vez que 
o momento interno M da viga é expresso em função da posição “x”. se a viga for estaticamente 
indeterminada, no entanto, M também poderá ser expresso, em termos das reações 
redundantes desconhecidas. Depois de integrarmos essa equação duas vezes, teremos duas 
constantes de integração e as reações redundantes para determinar. Apesar disso, as incógnitas 
são sempre determinadas pelas condições de contorno e/ou continuidade do problema. 
 
𝑑2
𝑑𝑥2
 =
𝑀
𝐸𝐼
 Eq. 11 
 A viga da figura 8a, por exemplo, tem uma reação redundante, que pode ser Ay, MA ou By 
(Figura 8b). Uma vez que tal reação seja escolhida, o momento interno M será escrito em termos 
dela e, ao integrar a relação momento-deslocamento, poderemos então determinar as duas 
constantes de integração e a reação redundante pelas três condições de contorno ν = 0 em x = 
0, dν/dx = 0 em x = 0 e ν = 0 em x = L. 
 
 
Figura 8 
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1.5.2 Método da Superposição de Efeitos 
Quando uma estrutura tem comportamento elástico-linear (linearidade física e 
geométrica) pode-se considerar que os efeitos produzidos por várias causas podem ser obtidos 
combinando-se os efeitos produzidos pelas causas atuando individualmente. 
O princípio enunciado acima é conhecido como princípio de superposição dos efeitos e, 
na prática, pode ser aplicado quando o comportamento da estrutura é elástico-linear, ou seja: 
a) O material segue a Lei de Hooke (comportamento elástico-linear); 
b) Deslocamentos e deformações nos pontos da estrutura são pequenos (linearidade 
geométrica); 
c) Não existe interação entre efeitos de força axial e momento fletor nas barras (linearidade 
geométrica); 
d) A disposição das barras e de vínculos é tal que se pode formular o equilíbrio na posição inicial 
da estrutura indeformada. 
Como causas incluem-se forças e momentos externos aplicados, deslocamentos de 
apoio, gradientes de temperatura, e quaisquer carregamentos em geral. Como efeitos 
entendem-se reações de apoio, deslocamentos, tensões e deformações. 
O método da superposição de efeitos foi usado anteriormente para resolver 
carregamentos redundantes. Primeiramente temos a identificar as reações de apoio 
redundantes, removendo-as da viga, obtemos assim a denominada viga primária, que é 
estaticamente determinada e estável e está sujeita apenas a uma carga externa. Se 
adicionarmos a essa viga uma sucessão de vigas apoiadas de maneira semelhante, de cada 
qual carregada com uma reação redundante separada, então, pelo princípio de superposição de 
efeitos, obtemos a viga carregada real. Finalmente, para resolver as reações redundantes, 
escreveremos as condições de compatibilidade que existem nos apoios em que cada reação 
redundante atua. Como as forças redundantes, as outras reações de viga são então 
determinadas pelas três condições de equilíbrio. 
Consideremos a viga mostrada na figura 9a. Se escolhermos a reação By no vínculo de 
primeiro género como redundante, a viga primária será como mostra a figura 9b e a viga com a 
reação redundante By atuando sobre ela será como mostra a figura 9c. O deslocamento no apoio 
de primeiro género deve ser nulo e, como o deslocamento do ponto B na viga é νB e By provoca 
deslocamento ν’B do ponto B para cima, escreveremos a equação de compatibilidade em B 
como: 
-νB + ν’B = 0 (+↑) 
 
 
 
 
 
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Figura 9. 
 
Exercícios: 
 
1. Determinar as reações nos apoios A e B e depois desenhar os diagramas de esforço 
cortante e momento fletor, considerar EI constante. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
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c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
1.5.3 Correspondência entre Força e Deslocamento 
Um conceito importante e muito útil em análise estrutural é o de correspondência entre 
força e deslocamento. Considera-se que força e deslocamento são correspondentes quando: 
• São de mesma natureza, isto é, uma força corresponderá a um deslocamento linear, e um 
momento a um deslocamento angular (rotação); 
• Estão localizados no mesmo ponto da estrutura; 
• Têm mesma direção e mesmosentido considerado como positivo. 
Por exemplo na Fig.10, a força vertical P na extremidade livre da viga em balanço 
corresponde ao deslocamento vertical “Δ” neste mesmo ponto e ambos são considerados 
positivos quando estiverem dirigidos para baixo, sentido adotado como positivo neste caso. O 
momento M aplicado naquela mesma extremidade livre corresponde à rotação “θ” da 
extremidade e como têm o mesmo sentido (horário) terão o mesmo sinal. Caso os sentidos 
sejam contrários obviamente os sinais serão contrários. O sentido positivo pode ser arbitrado no 
início da análise e deve ser mantido a partir de então. 
 
P correspondente a Δ 
M correspondente a θ 
Figura 10 – Correspondência entre força e deslocamento. 
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A relação de correspondência é diferente da relação de causa. No exemplo, “Δ” e “θ” são 
ambos causados pela ação conjunta de P e M. Assim na Fig.10, parte do deslocamento “Δ” é 
causado pela força P e parte pelo momento M, o mesmo raciocínio vale para a rotação “θ”. Por 
meio do conceito de correspondência entre força e deslocamento pode-se estabelecer um 
sistema de coordenadas (sistema referência) ao longo da estrutura, relacionando estas 
grandezas às suas direções e sentidos e aos respectivos pontos de ocorrência. 
1.6 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (PTV) 
1.6.1 Trabalho Virtual 
Diz-se virtual algo que não é real, imaginário portanto. Um deslocamento virtual ou uma 
força virtual são, respectivamente, um deslocamento imaginário ou uma força imaginária, 
arbitrariamente impostos sobre um sistema estrutural. 
O trabalho virtual pode ser considerado como o trabalho produzido em uma das duas 
situações abaixo relacionadas: 
• Trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual; 
• Trabalho realizado por forças virtuais durante um deslocamento real. 
Pode-se considerar aqui como deslocamento virtual um deslocamento provocado por 
alguma outra ação que não o sistema de carregamento em questão atuante na estrutura. Força 
virtual, da mesma forma, pode ser considerada uma outra força qualquer que não seja a que 
está provocando o deslocamento real. 
Portanto, na expressão do trabalho virtual, a força e o deslocamento envolvidos (virtual e 
real ou vice-versa) têm uma relação de correspondência, mas nunca de causalidade. 
1.6.2 Princípio dos Trabalhos Virtuais para Corpos Rígidos 
Seja um corpo rígido sujeito a um sistema de forças reais Pi constantes e integralmente 
aplicadas a um corpo rígido conforme mostrado na Fig. 11. Se ele é submetido a um 
deslocamento virtual δv, sendo δvi as componentes do deslocamento virtual correspondentes aos 
Pi. 
 
Figura 11 – Trabalho virtual realizado por forças reais. 
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𝛿𝑊 = 𝑃1 𝛿𝑣1 + 𝑃2 𝛿𝑣2 + 𝑃3 𝛿𝑣3 
𝛿𝑊 = ∑ 𝑃𝑖 𝛿𝑣𝑖
3
𝑖=1
 Eq. 19 
 
Todas as grandezas virtuais serão denotadas pela letra δ precedendo a grandeza, por 
exemplo, δv significa deslocamento virtual e δF força virtual. 
Na Fig.21, considerando-se vi deslocamentos reais (provocados por um sistema de 
forças real) e δPi um sistema de forças virtuais (não são elas que provocam vi), tem-se uma 
expressão análoga para o trabalho virtual. 
 
𝛿𝑊 = ∑ 𝑃𝑖 𝛿𝑣𝑖
3
𝑖=1
 Eq. 20 
 
a) Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Rígidos 
“Se é aplicado um deslocamento virtual a um corpo rígido sujeito a um sistema de forças 
em equilíbrio, o trabalho virtual total realizado pelas forças é igual a zero”. Na Fig. 11 se o sistema 
de forças Pi estiver equilibrado, tem-se: 
𝛿𝑊 = ∑ 𝑃𝑖 𝛿𝑣𝑖
3
𝑖=1 = 0 Eq. 21 
 
 
A recíproca também é verdadeira, ou seja: 
“Se o trabalho virtual total realizado por um sistema de forças reais atuando em um corpo 
rígido quando ele é submetido a um deslocamento virtual é igual a zero, o sistema de forças 
está em equilíbrio”. 
1.6.3 Princípio dos Trabalhos Virtuais para Corpos Deformáveis 
Nos corpos deformáveis, pontos do interior do corpo podem mover-se uns em relação 
aos outros sem violar as condições de restrição. Portanto, neste caso, tanto as forças externas 
quanto as internas (esforços solicitantes) realizam trabalho. 
Genericamente, uma estrutura como a mostrada abaixo pode sofrer deformações 
deformando-se de forma compatível, isto é, sem apresentar descontinuidades e respeitando-se 
a vinculação nos apoios. 
 
Figura 12 – Estrutura sujeita a deformações. 
O elemento de barra dx estará sujeito, também genericamente, a resultantes de tensão 
representadas aqui pelos esforços solicitantes. 
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q = Força externa genérica; 
V = Esforço cortante; 
N = Força normal; 
M = Momento fletor; 
T = Momento de torção. 
Figura 13 – Esforços solicitantes num elemento infinitesimal. 
 
A deformação da estrutura provoca deslocamentos relativos entre as seções transversais 
externas do elemento, mostradas a seguir (figura 14): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 – Deformações provocadas pelos carregamentos. 
 
Nas ilustrações anteriores, devem ser notadas as seguintes relações de 
correspondência: 
N ↔ dδ (ESFORÇO AXIAL) 
dδ = deslocamento relativo entre as seções extremas do elemento de barra na direção do 
eixo da barra. 
 
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M ↔ dθ (MOMENTO FLETOR) 
dθ = rotação relativa entre as seções extremas do elemento de barra no plano da mesma. 
V ↔ dλ (ESFORÇO CORTANTE) 
dλ = deslocamento relativo no plano da barra entre as seções extremas do elemento de 
barra na direção perpendicular ao eixo) 
T ↔ dφ (MOMENTO TORÇOR) 
dφ = rotação relativa entre as seções extremas do elemento em torno do eixo da barra. 
Portanto, existe um trabalho real interno produzido por estes esforços que, no caso de 
comportamento elástico linear é dado por pela integral do trabalho infinitesimal sobre cada 
elemento de barra dx. No caso das estruturas de comportamento elástico linear, este trabalho 
interno é a energia de deformação total que é igual ao trabalho realizado pelas forças externas 
durante o processo de deformação da estrutura. Todo o trabalho realizado pelo carregamento 
real é armazenado como energia de deformação e pode ser recuperado se o carregamento for 
removido. 
O trabalho interno total (energia de deformação) será: 
𝑊𝑖𝑛𝑡. = 
1
2
 [ ∫ 𝑁 𝑑𝛿 + ∫ 𝑀 𝑑𝜃 + ∫ 𝑉 𝑑𝜆 + ∫ 𝑇 𝑑𝜙 
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟
] Eq. 22 
 
 
Pelo Princípio da Conservação da Energia, o trabalho das forças internas é igual ao 
trabalho das forças externas: 
𝑊𝑒𝑥𝑡. = 𝑊𝑖𝑛𝑡. Eq. 23 
 
 
a) Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Deformáveis 
“Quando a uma estrutura deformável, em equilíbrio sob a ação de um sistema de 
carregamento, é dada uma pequena deformação virtual compatível, o trabalho virtual realizado 
pelas forças externas (carregamento) é igual ao trabalho virtual realizado pelas forças internas 
(esforços solicitantes)”. 
Chamando δWext o trabalho virtual das forças externas e δWint o trabalho virtual das forças 
internas, tem-se de acordo com o referido princípio: 
𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡. = 𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡. Eq. 24 
 
OBS: 
Os deslocamentos ou deformações virtuais devem ser compatíveis com as condições de 
contorno geométricas (apoios) e não devem violar a continuidade das deformações da estrutura. 
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Considerando a estruturaseguinte: 
 
 
δv = elástica virtual 
(ponto genérico). 
 
Figura 14 – Deformações provocadas pelos carregamentos. 
 
Onde: 
P e M: força e momento externos 
VC e θB: deslocamentos correspondentes a P e M, originados da deformação (real) causada pelo 
carregamento (P e M) 
δVc e δθB: deslocamentos virtuais correspondentes a P e M, impostos após a deformação real da 
estrutura . Não são provocados por P e M, mas sim da deformação virtual. 
Neste caso, o trabalho virtual externo será: 
𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡. = 𝑃 𝛿 𝑉𝑐 + 𝑀 𝛿 𝜃𝐵 
 
OBS: 
notar que as reações de apoio não realizam trabalho, pois os deslocamentos virtuais 
correspondentes são nulos. 
A deformação virtual imposta provoca deslocamentos virtuais das seções transversais, 
correspondentes aos esforços solicitantes reais atuantes nestas seções. Portanto, conforme 
figuras anteriores, o trabalho virtual das forças internas realizado ao longo de todo o 
comprimento da estrutura pode ser expresso por: 
𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡. = ∫(𝑉 + 𝑑𝑉). 𝑑𝜆̅̅̅̅ + ∫(𝑀 + 𝑑𝑀). 𝑑𝜃 ̅̅ ̅̅ 
𝐵
𝐴
𝐵
𝐴
 Eq. 25 
pois, na viga em questão, os dois únicos esforços solicitantes existentes são V e M. Na 
expressão acima e para o que se segue, dλ , dθθ , dδ , dφ representam as deformações virtuais 
de um elemento de barra dx, associadas à deformação virtual imposta na barra. 
Aplicando o PTV, no equilíbrio tem-se δWext = δWint, portanto, 
𝑃. 𝛿𝑉 + 𝑀. 𝛿𝜃 = ∫(𝑉 + 𝑑𝑉). 𝑑𝜆̅̅̅̅ + ∫(𝑀 + 𝑑𝑀). 𝑑𝜃 ̅̅ ̅̅ 
𝐵
𝐴
𝐵
𝐴
 Eq. 26 
A expressão geral para estruturas deformáveis planas, considerando-se a existência dos 
quatro esforços solicitantes (N, M, V, T) e um carregamento externo qualquer, será: 
𝑊𝑒𝑥𝑡. = ∫(𝑁 + 𝑑𝑁). 𝑑𝛿̅̅̅̅ + ∫(𝑀 + 𝑑𝑀). 𝑑𝜃̅̅̅̅ + ∫(𝑉 + 𝑑𝑉). 𝑑𝜆̅̅̅̅ + ∫(𝑇 + 𝑑𝑇). 𝑑𝜙̅̅ ̅̅ Eq. 27 
 
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Desprezando-se os produtos de dois infinitésimos, tem-se: 
𝑊𝑒𝑥𝑡. = ∫ 𝑁 . 𝑑𝛿̅ + ∫ 𝑀 . 𝑑 𝜃 + ∫ 𝑉 . 𝑑𝜆 + ∫ 𝑇 . 𝑑�̅� + Eq. 28 
 
δWext terá uma expressão para cada caso, genericamente: 
 
𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡 = ∑ 𝑃𝑖 𝛿𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
 Eq. 29 
 
b) Princípio das Forças Virtuais para Corpos Deformáveis 
De forma análoga ao PTV para deslocamentos virtuais, tem-se o Princípio das Forças 
Virtuais, que pode ser enunciado como: 
“Se a um corpo deformável que sujeito a deslocamentos reais provocados por um sistema 
de forças em equilíbrio é aplicado um sistema equilibrado de forças virtuais, o trabalho virtual 
externo (produzido pelas forças virtuais externas quando ocorrem os deslocamentos reais) é 
igual ao trabalho virtual interno (produzido pelos esforços virtuais internos quando ocorrem as 
deformações reais das barras)”. 
𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡. = 𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡. ( 𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡.𝑒 𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡. são trabalhos complementares) 
 
 
Figura 15 – Estrutura com deformações reais e carga virtual. 
Onde: 
P e M: força e momento externos reais 
δQ: força virtual 
v1, v2, θ : deslocamentos reais correspondentes a δQ, P, M (provocados por P e M). 
Tem-se então, neste caso, para o trabalho virtual externo, δWext = δQ ⋅ v1. A expressão 
para o trabalho virtual interno é a mesma anterior, sendo que, aqui, os esforços solicitantes são 
virtuais (provocados pela força virtual δQ) e os deslocamentos são reais (provocados por P e M): 
𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡. = ∫(�̅� + 𝑑�̅�). 𝑑𝜆̅̅̅̅
𝐵
𝐴
+ ∫(�̅� + 𝑑�̅�). 𝑑𝜃̅̅̅̅
𝐵
𝐴
 Eq. 30 
Generalizando e desprezando os produtos de dois infinitésimos, tem-se a mesma uma 
expressão análoga à anterior para o PTV: 
𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡. = ∫ �̅� . 𝑑𝛿 + ∫ �̅� . 𝑑𝜃 + ∫ �̅� . 𝑑𝜆 + ∫ �̅� . 𝑑𝜙 + Eq. 31 
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Aqui também, δWext terá uma expressão para cada caso. Genericamente: 
𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡 = ∑ 𝛿𝑄𝑖 𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
 Eq. 32 
Nota-se que, como nenhuma restrição foi feita ao comportamento da estrutura, o PTV é 
aplicável a estruturas de comportamento elástico linear ou não-linear. 
1.7 MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA (MCU) 
A particularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (forças virtuais) na qual se 
considera a força virtual (ou forças virtuais) com valor unitário é conhecida como Método da 
Carga Unitária (MCU). Também conhecido como Método do Trabalho Virtual, Método da Carga 
Substituta e Método de Maxwell-Mohr, o MCU pode ser utilizado para calcular deslocamentos 
(devidos a deformações reais causadas pelo carregamento) em estruturas isostáticas. 
Como o MCU é uma sistematização do PTV, sua formulação geral pode ser utilizada em 
estruturas de comportamento elástico linear e não-linear. 
Seja calcular um determinado deslocamento Δ, por exemplo o deslocamento vertical no 
ponto C, em uma estrutura isostática sujeita a um sistema de cargas qualquer. 
 
Δ = deslocamento vertical 
do ponto C (real) 
 
Figura 16 – Estrutura sujeita a carga real. 
Pelo MCU, considera-se um outro sistema de carregamento atuando sobre a mesma 
estrutura constituído de uma carga virtual unitária P correspondente ao deslocamento provocado 
Δ, 
 
�̅� = força virtual unitária 
correspondente a Δ 
 
Figura 17 – Estrutura sujeita a carga virtual unitária. 
CCE0371 – Teoria das Estruturas II 
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Tem-se, pelo PTV, δWext = δWint. O trabalho virtual neste caso é devido a forças virtuais 
e deslocamentos reais. 
O trabalho virtual externo será: 
𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝑃 . Δ = 1 𝑥 Δ = Δ 
O trabalho virtual interno será, como visto anteriormente, 
𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡. = ∫ �̅� 𝑑𝛿 + ∫ �̅� 𝑑𝜃 + ∫ �̅� 𝑑𝜆 + ∫ �̅� 𝑑𝜙 
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟
 Eq. 33 
Sendo �̅�, �̅�, 𝑉,̅ �̅� os esforços solicitantes devidos à carga unitária P, e dδ, dθ, dλ, dφ as 
deformações elementares reais devidas ao carregamento prescrito. 
Igualando-se: 
𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 (𝑃𝑇𝑉) 
Têm-se 
Δ = ∫ 𝑛 𝑑𝛿 + ∫ 𝑚 𝑑𝜃 + ∫ 𝑣 𝑑𝜆 + ∫ 𝑡 𝑑𝜙 
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟
 Eq. 34 
Sendo válida para estruturas de comportamento elástico linear ou não-linear. 
Os deslocamentos dδ, dθ, dλ e dφ são provocados por carregamento externos em geral, 
bem como por variação de temperatura, recalques de apoio, modificações impostas na 
montagem; isto é, qualquer tipo de solicitação externa real que produza deformações na 
estrutura. 
Nas análises cotidianas em geral, admite-se que a estrutura apresente comportamento 
elástico-linear, isto é, estrutura constituída de material elástico-linear seguindo Lei de Hooke 
(σ = E.ε), apresentando linearidade geométrica. As cargas externas produzem tensões, 
representadas aqui por suas resultantes, os esforços solicitantes reais N, M, V, T e deformações 
reais dδ, dθ, dλ e dφ relacionadas entre si pelas expressões: 
𝑑𝛿 = 
𝑁
𝐸𝐴
 𝑑𝑥 𝑑𝜃 = 
𝑀
𝐸𝐼
 𝑑𝑥 𝑑𝜆 = 𝑓𝑠
𝑉
𝐺𝐴
 𝑑𝑥 𝑑𝜙 = 
𝑡
𝐺𝐽
 𝑑𝑥 Eq. 35 
Sendo: 
E = módulo de elasticidade longitudinal, 
G = módulo de elasticidade transversal, 
A = área da seção transversal, 
I = momento de inércia da seção transversal, 
J = constante de torção da seção transversal, 
fs = fator de forma para cisalhamento; depende da forma da seção transversal e leva em conta 
a distribuição da tensão de cisalhamento na seção. 
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As grandezas seguintes presentes nos denominadores da Eq.35, são relacionadas 
abaixo com a respectiva nomenclatura: 
EA = módulo de rigidez à deformação axial; 
EI = módulo de rigidez à flexão; 
GA = módulo de rigidez aocisalhamento; 
GJ = módulo de rigidez à torção; 
Substituindo-se as expressões das deformações nos elementos de barra, dadas pela 
Eq.35, na equação geral do MCU (Eq.34), tem-se: 
Δ = ∫
𝑛𝑁
𝐸𝐴
 𝑑𝑥 + ∫
𝑚𝑀
𝐸𝐼
 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓𝑆 
𝑣𝑉
𝐺𝐴
 𝑑𝑥 + ∫
𝑡𝑇
𝐺𝐽
 𝑑𝑥 
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟
 Eq. 36 
 
que é a expressão do MCU para estruturas de comportamento elástico-linear sujeita a 
um sistema de cargas externas qualquer. 
Em resumo, o cálculo de um deslocamento de uma estrutura isostática feito através do 
MCU pode ser sistematizado nas seguintes etapas (estrutura elástica-linear sujeita a cargas) 
1. FASE L, quando a estrutura dada é submetida ao carregamento real especificado que 
produz o deslocamento Δ. Determinam-se os esforços solicitantes devidos ao 
carregamento real: N, M, V, T. 
2. FASE U, quando aplica-se à estrutura descarregada uma carga unitária virtual 
correspondente ao deslocamento procurado e calculam-se os esforços solicitantes 
virtuais devidos a este novo carregamento: n, m, v, t. 
3. Substituem-se os esforços das fases L e U na expressão do MCU, em seguida integra-
se a contribuição de cada esforço ao longo de toda a estrutura e no final somam-se todas 
as contribuições para a obtenção do deslocamento procurado Δ. 
A respeito da expressão do MCU podem ser feitas algumas observações: 
a) Os esforços virtuais n, m, v, t devem ter dimensão de força (ou momento) por unidade 
de carga para que se obtenha Δ com dimensão de comprimento linear (ou rotação). 
1Δ = [ ∫ ] ∴ Δ = [ ∫ ] ÷ 1 Eq. 37 
b) Devem ser usadas as mesmas convenções de sinal para os esforços solicitantes das 
fases L e U. Assim, por exemplo, se é adotada a convenção de força normal 
considerando esforço de tração (N) com sinal positivo na Fase L, na Fase U deve-se 
adotar tração com sinal positivo na determinação de “n”. Consequentemente, o 
deslocamento Δ terá sempre como sentido positivo o sentido arbitrado para a carga 
unitária virtual. 
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c) A contribuição das deformações devidas a alguns esforços solicitantes no cálculo dos 
deslocamentos pode ser desprezada, em certas circunstâncias, visando reduzir 
trabalho de cálculo manual. Nesse sentido, o efeito das deformações devidas à força 
cortante costuma ser desprezado na determinação dos deslocamentos de vigas, 
pórticos planos e grelhas, por ter em geral uma influência secundária em comparação 
com as deformações decorrentes do momento fletor. Da mesma forma, a 
desconsideração da deformação axial das barras devida à força normal na análise de 
pórticos planos costumava ser adotada. Estas simplificações são encontradas com 
muita frequência nos textos clássicos de Estática e Análise Estrutural. Entretanto, 
atualmente, com os recursos computacionais disponíveis, estas simplificações podem 
e devem ser evitadas, principalmente no caso de análise de estruturas de grande 
responsabilidade, ou com grande número de barras, ou ainda quando não for possível 
se assegurar a adequação deste tipo de simplificação. A disponibilidade de modernos 
programas computacionais que incorporam todas estas deformações na análise tornam 
totalmente dispensáveis estas simplificações e eliminam quaisquer dúvidas na precisão 
dos resultados decorrentes de sua aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
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A N E X O S
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ANEXO 1 
 
Tabela 1a – Inclinações e Deslocamentos em Vigas Simplesmente Apoiadas 
 
 
 
 
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Tabela 1b – Inclinações e Deslocamentos em Vigas em Balanço 
 
 
 
 
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