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Capítulo 3 – Equações Diferenciais 
 
1. Resolva a equação diferencial 
 
 
 
 
 
 . 
 
Usando a técnica da equação característica, temos: 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
Como , temos: 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
2. Resolva a equação diferencial 
 
 
 
 
 
 . 
 
Usando a técnica da equação característica, temos: 
 
 
 
 
 √( ) 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
Como , vem: 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
3. Resolva a equação diferencial não-homogênea ( ), onde α é 
uma constante. 
 
Usando a técnica da equação característica para equação diferencial homogênea 
associada, , temos: 
 
 
 
Como r é complexo, temos: 
 
 ( ) ( ( ) ( )) 
 
 ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) 
 
Na equação não-homogênea, temos ( ) ( ), assim podemos ter um 
função do tipo: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Para segunda derivada, temos: 
 
 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
Substituindo na equação dada, temos: 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Assim, podemos fazer: 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em ( ), temos: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
Como ( ) ( ) ( ), temos: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
4. 
a) Mostre que ( ) 
 e ( ) 
 são soluções da equação 
 . 
 
A equação dada é do tipo Euler-Cauchy, então, podemos tentar uma solução do tipo 
 , em é a raiz da equação característica que pode ser obtida por: 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 √( ) 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
b) Obtenha a solução do problema de valor inicial {
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
Como ( ) 
 e ( ) 
 , temos: 
 
 
 
Assim, fazendo a substituição ( ) na equação, vem: 
 
 
 
Derivando a equação , temos: 
 
 
Fazendo a substituição ( ) , vem: 
 
 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
 
{
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
5. Oscilador Harmônico Simples. Uma mola presa ao teto tem em sua extremidade uma 
massa m que está oscilando. 
a) A partir da segunda lei de Newton 
 
 
 , onde k é a constante elástica da 
mola, mostre que a posição da massa em função do tempo é dada por 
 ( ) ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a equação característica será dada por: 
 
 √ 
 
Daí, temos: 
 
 ( ) 
 
Usando a fórmula de Euler, podemos escrever esta equação na forma: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
b) A massa é puxada do repouso a uma distância de para baixo da posição de 
equilíbrio e solta em seguida. Considerando ( ) e que 
 
 
 , mostre que, 
a partir do resultado obtido em (a), ( ) 
 
Como em ( ) (1ª condição), temos: 
 
 ( ) ( ) 
 
E como 
 
 
 (2ª condição), vem: 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 
Logo, 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )