RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS

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“Somos  o  que  fazemos,  mas  somos  principalmente,  o  que  fazemos  para  mudar  o  que  somos” 
Eduardo Galeano 
 
LÓGICA 
 
A Lógica é uma ciência de índole matemática e fortemente ligada à Filosofia. Já que o pensamento é a 
manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer algumas regras 
para que essa meta possa ser atingida. Assim, a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, 
ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. A aprendizagem da lógica não constitui um fim 
em si. Ela só tem sentido enquanto meio de garantir que nosso pensamento proceda corretamente a fim de 
chegar a conhecimentos verdadeiros. Podemos, então, dizer que a lógica trata dos argumentos, isto é, das 
conclusões a que chegamos através da apresentação de evidências que a sustentam. O principal organizador da 
lógica clássica foi Aristóteles, com sua obra chamada Órganon. Ele divide a lógica em formal e material. 
Um sistema lógico é um conjunto de axiomas e regras de inferência que visam representar formalmente o 
raciocínio válido. Diferentes sistemas de lógica formal foram construídos ao longo do tempo quer no âmbito estrito 
da Lógica Teórica, quer em aplicações práticas na computação e em Inteligência artificial. 
Tradicionalmente, lógica é também a designação para o estudo de sistemas prescritivos de raciocínio, ou 
seja, sistemas que definem como se "deveria" realmente pensar para não errar, usando a razão, dedutivamente e 
indutivamente. A forma como as pessoas realmente raciocinam é estudado noutras áreas, como na psicologia 
cognitiva. 
Como ciência, a lógica define a estrutura de declaração e argumento e elabora fórmulas através das quais 
estes podem ser codificados. Implícita no estudo da lógica está a compreensão do que gera um bom argumento e 
de quais os argumentos que são falaciosos. 
A lógica filosófica lida com descrições formais da linguagem natural. A maior parte dos filósofos assumem 
que a maior parte do raciocínio "normal" pode ser capturada pela lógica, desde que se seja capaz de encontrar o 
método certo para traduzir a linguagem corrente para essa lógica. 
 
RACIOCÍNIO 
O Raciocínio é uma operação lógica, discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou mais 
proposições, para concluir através de mecanismos de comparações e abstrações, quais são os dados que levam 
às respostas verdadeiras, falsas ou prováveis. 
Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este considerado 
instrumento puramente teórico e dedutivo, que prescinde de dados empíricos. 
Logo, resumidamente o raciocínio pode ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos 
processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do 
pensamento. 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO-DEDUTIVO 
 
Como vimos, a dedução é uma inferência que parte do universal para o mais particular. Assim considera-
se que um raciocínio lógico é dedutivo quando, de uma ou mais premissas, se conclui uma proposição que é 
conclusão lógica da(s) premissa(s). A dedução é um raciocínio de tipo mediato, sendo o silogismo uma das suas 
formas clássicas. 
Iniciaremos com a compreensão das seqüências lógicas, onde você deve deduzir, ou até induzir, qual a lei 
de formação das figuras, letras, símbolos ou números, a partir da observação dos termos dados. 
HUMOR LÓGICO 
 
Aulas 1 e 2 
 
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SEQUÊNCIAS LÓGICAS 
 
As seqüências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas de se 
estabelecer uma seqüência, o importante é que existam pelo menos três elementos que caracterize a lógica de 
sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua lógica. 
Algumas seqüências são bastante conhecidas e todo aluno que estuda lógica deve conhecê-las, tais como 
as progressões aritméticas e geométricas, a série de Fibonacci, os números primos e os quadrados perfeitos. 
 
SEQUÊNCIA DE NÚMEROS 
 
 Progressão Aritmética 
 Soma-se constantemente um mesmo número. 
 2 5 8 11 14 17 
 
 Progressão Geométrica 
 Multiplica-se constantemente um mesmo número. 
 2 6 18 54 162 486 
 
 Incremento em Progressão 
 O valor somado é que está em progressão. 
 1 2 4 7 11 16 
 
 
 Série de Fibonacci 
 Cada termo é igual a soma dos dois anteriores. 
 1 1 2 3 5 8 13 
 
 Números Primos 
 Naturais que possuem apenas dois divisores naturais. 
 2 3 5 7 11 13 17 
 
 Quadrados Perfeitos 
 Números naturais cujas raízes são naturais. 
 1 4 9 16 25 36 49 
 
+3 +3 +3 +3 +3 
x3 x3 x3 x3 x3 
+1 +2 +3 +4 +5 
 
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SEQUÊNCIA DE LETRAS 
 As seqüências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, você deve 
escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para 
entender a lógica proposta. 
 A C F J O U 
 Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão. 
 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU 
 
 B1 2F H4 8L N16 32R T64 
 Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 1, 3, 1, 3 e 1 posições. 
 ABCDEFGHIJKLMNOPQRST 
 
SEQUÊNCIA DE PESSOAS 
 Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão em 
uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º,...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, ficando 
para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º,...). Sendo assim, a seqüência se repete a cada seis 
termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição. 
 
 
 
 
 
 
SEQUÊNCIA DE FIGURAS 
 Esse tipo de seqüência pode seguir o mesmo padrão visto na seqüência de pessoas ou simplesmente 
sofrer rotações, como nos exemplos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
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INVESTIGAÇÃO: VERDADES E MENTIRAS 
 
INVESTIGANDO 
 
As questões de investigações estão presentes na maioria das provas de raciocínio lógico, mas cada edital 
descreve esse tipo de questão de maneira diferente. Podemos dizer que essas questões tratam do entendimento 
da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios, deduzindo novas 
informações a partir de relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura 
daquelas relações. 
Uma investigação é um processo de construção do conhecimento que tem como metas principais gerar 
novos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento pré-existente. É basicamente um processo 
de aprendizagem tanto do indivíduo que a realiza quanto da sociedade na qual esta se desenvolve. A 
investigação, no sentido de pesquisa, pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas 
pela busca de um conhecimento. 
As questões de investigação são muito interessantes e prazerosas de se fazer. No enunciado, são dadas 
pistas que associadas a hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a conclusões diretas, 
sem precisar supor. O primeiro passo então, é perceber se precisaremos ou não supor alguma coisa, ou seja, se 
todas as informações são verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas as informações forem verdadeiras, não 
haverá necessidade de hipóteses, mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer 
suposisções para chegarmos as conclusões. 
 
IDENTIFICANDO CADA CASO 
 
Existem basicamente três casos de questões de investigações. Todos eles procuram deduzir novas 
informações, com base nas informações fornecidasno enunciado. 
Para resolver questões de investigação, devemos inicialmente identificar o caso e seguir os procedimentos 
peculiares a cada um deles. 
 
 1º CASO - Somente Verdades: ORDENAÇÃO. 
Esse tipo de questão dá apenas informações verdadeiras, que nos permite colocar em ordem 
pessoas, objetos, datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que 
devem ser seguidas. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada, permitirá 
identificar o item correto a ser marcado. 
 
EXEMPLO: 
Alysse é mais velha que Bruna, que é mais nova que Carol, mas esta não é a mais velha de todas. 
 
CONCLUSÕES: 
Sejam A, B e C as respectivas idades de Alysse, Bruna e Carol, então 
 A > B e C > B 
Como “Carol não é a mais velha”, podemos ordenar as idades das meninas da seguinte forma: 
 A > C > B 
 
 2º CASO - Somente Verdades: DEDUÇÕES. 
Como todas as informações dadas são verdadeiras, o que será importante é saber organizar as 
informações em uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das 
informações de uma determinada pessoa e as linhas tratam das características dessas pessoas. 
O que devemos fazer é preencher a tabela cruzando as informações de cada uma das pessoas, 
iniciando pelas informações diretas e posteriormente deduzindo as outras. 
 
EXEMPLO: 
Alysse, Bruna e Carol fazem aniversário no mesmo dia, mas não têm a mesma idade, pois 
nasceram em três anos consecutivos. Uma delas é Psicóloga, a outra é Fonoaudióloga e a mais 
nova é Terapeuta. Bruna é a mais nova e têm 25 anos. Carol é a mais velha e não é Psicóloga. 
 
CONCLUSÕES: 
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir. 
 A B C 
 
 Profissão 
 Idade 
Aulas 3 a 5 
 
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Como  “Bruna  é  a  mais  nova  e   têm  25  anos”,  e  que   “a  mais  nova  é  Terapeuta”,  deduzimos  que  
Bruna é Terapeuta. Logo podemos preencher os seguintes dados na tabela. 
 A B C 
 
 Profissão T 
 Idade 25 
 
Como  “Carol  é  a  mais  velha  e  não  é  Psicóloga”,  deduzimos  que  Carol  é  Fonoaudióloga  e  têm  27  
anos,   já   que   “as   três   nasceram   em   anos   consecutivos”   e   “a   mais   nova   tem   25   anos”.   Logo  
podemos acrescentar as seguintes informações na tabela. 
 A B C 
 
 Profissão T F 
 Idade 25 27 
 
Por exclusão, deduz-se que Alysse têm 26 anos e é Psicóloga. Assim, temos a tabela totalmente 
preenchida. 
 A B C 
 
 Profissão P T F 
 Idade 26 25 27 
 
 3º CASO - Verdades e Mentiras: HIPÓTESES, CONFIRMAÇÕES E REJEIÇÕES. 
Esse último caso requer maior atenção, pois existem verdades e mentiras envolvidas no 
enunciado e através da análise das hipóteses chegaremos às devidas conclusões. Por exemplo, quando 
um delegado procurar descobrir quem é o verdadeiro culpado entre três suspeitos, ele lança mão de 
hipóteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de 
informação que ele possui, a fim de confirmar ou rejeitar a hipótese. 
 
EXEMPLO: 
Alysse, Bruna e Carol são suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vovó. Quando 
perguntadas sobre o fato, declararam o seguinte: 
 – ALYSSE:  “Foi  a  Bruna  que  comeu”   
 – BRUNA:  “Alysse  está  mentindo” 
 – CAROL:  “Não  fui  eu” 
Sabendo que apenas uma delas está dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo, 
descubra quem comeu o bolo. 
 
CONCLUSÕES: 
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir. 
 ANÁLISE DAS AFIRMAÇÕES 
 HIPÓTESES A B C 
 
 A foi quem comeu 
 B foi quem comeu 
 C foi quem comeu 
 
Como Alysse (A) disse   “Foi   a   Bruna   que   comeu”,   ela   só   estará   dizendo   a   verdade   caso   (na  
hipótese de) Bruna tenha realmente comido, caso contrário estará mentindo, logo analisando essa 
afirmação, temos: 
 A B C 
 
 A comeu F 
 B comeu V 
 C comeu F 
 
Como Bruna  (B)  disse  que  “Alysse  está  mentindo”,  temos  que  Bruna  só  estará  mentindo  no  caso  
(na hipótese de) de Alysse falar a verdade, caso Alysse esteja mentindo então Bruna estará 
falando a verdade, ou seja, as colunas 1 e 2 terão valores lógicos contrários, logo temos: 
 A B C 
 
 A comeu F V 
 B comeu V F 
 C comeu F V 
 
 
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Finalmente,   como  Carol   disse  que   “Não   fui   eu”,   temos  que  ela  só  estará  mentindo  no  caso   (na  
hipótese de) dela ser a culpada, caso contrário estará dizendo a verdade, logo temos: 
 A B C 
 
 A comeu F V V 
 B comeu V F V 
 C comeu F V F 
 
Agora é o momento de aceitar ou refutar as hipóteses. Foi dito no enunciado que apenas uma das 
meninas diz a verdade, então com base nisso devemos identificar a única linha que tem apenas 
uma única afirmação verdadeira. Observe que apenas na terceira linha, ou seja, apenas no caso 
de Carol ter comido o bolo, teremos duas garotas mentindo e apenas uma dizendo a verdade. 
Portanto, podemos afirmar que a 3ª hipótese foi aceita e as outras duas foram rejeitadas. 
Conclusão, Carol comeu a última fatia do bolo. 
 
HIPÓTESE 
 
Uma hipótese é uma teoria provável mas não demonstrada, uma suposição admissível. Na matemática, é 
o conjunto de condições para poder iniciar uma demonstração. Surge no pensamento científico após a recolha de 
dados observados e na conseqüência da necessidade de explicação dos fenômenos associados a esses dados. É 
normalmente seguida de experimentação, que pode levar à verificação (aceitação) ou refutação (rejeição) da 
hipótese. Assim que comprovada, a hipótese passa a se chamar teoria, lei ou postulado. 
 
EXEMPLO DO 1º CASO - VERDADES: ORDENAÇÕES 
 
01. Em um prédio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor. Sabe-se que Heitor não mora no 1º andar, Erick 
mora acima de Todos, Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor, Determine quem mora no 2º andar. 
a) Heitor 
a) Erick 
d) Fred 
e) Giles 
 
SOLUÇÃO: 
Com base nas informações fornecidas no enunciado, vamos ordenar os moradores. 
Inicialmente  como  “Erick  mora  acima  de  todos”,  então  ele  mora  no  4º  andar. 
Como  “Fred  mora  acima  de  Heitor”  e  “Heitor  não  mora  no  1º  andar”,  então  Heitor  tem  que  morar  no  2º  andar  e  
Fred no 3º andar, para satisfazer essas condições. 
Por  exclusão,  Giles  mora  no  1º  andar,  o  que  satisfaz  a  condição  de  “morar  abaixo  de  Fred”. 
 
OBS.: 
É importante  diferenciar  “em  cima”, “acima”,  “em  baixo”  e  “abaixo”.  Por  exemplo,  se  Geovanne  mora  no  10º  andar  
de um prédio, outro morador que more: 
 EM CIMA, mora no andar imediatamente acima, ou seja, no 11º andar. 
 ACIMA, mora em um andar superior, não necessariamente em cima. 
 EM BAIXO, mora no andar imediatamente abaixo, ou seja, no 9º andar. 
 ABAIXO, mora em um andar inferior, não necessariamente em baixo. 
 
EXEMPLOS DO 2º CASO - VERDADES: DEDUÇÕES 
 
02. (IPAD) Luciano, Cláudio e Fernanda são três estudantes de Filosofia. Sabe-se que um deles estuda Frege, o 
outro Kant e o terceiro Wittgenstein. Sabe-se ainda que: 1) Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos; 2) 
Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas não ambos; 3) Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas 
não ocorrem as duas opções simultaneamente; 4) Fernanda ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos. 
Luciano, Cláudio e Fernanda estudam respectivamente: 
a) Kant, Wittgenstein e Frege. 
b) Kant, Frege e Wittgenstein. 
c) Wittgenstein, Kant e Frege. 
d) Frege, Kant e Wittgenstein. 
e) Frege, Wittgenstein e Kant. 
 
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SOLUÇÃO: 
Do enunciado, podemos organizar as informaçõesna tabela a seguir: 
 
 Luciano Cláudio Fernanda 
Frege 
Kant 
Wittgenstein 
 
De acordo com cada premissa podemos eliminar (X) os cruzamentos incorretos: 
 
1)  Se  “Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos”,  então  “Luciano  não  estuda  Frege” 
 
 Luciano Cláudio Fernanda 
Frege F 
Kant 
Wittgenstein 
 
2) Se  “Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas  não  ambos”,  então  “Cláudio  não  estuda  Kant” 
 
 Luciano Cláudio Fernanda 
Frege F 
Kant F 
Wittgenstein 
 
3) Se  “Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos”,  então  “Cláudio estuda 
Wittgenstein”  pois  já  tínhamos  concluído  que  “Luciano não estuda Frege” 
 
 Luciano Cláudio Fernanda 
Frege F 
Kant F 
Wittgenstein F VERDADE F 
Como  “Luciano  não  estuda  nem  Frege,  nem  Wittgenstein”  então  por  exclusão  “ele  estuda  Kant”.  Nesse  caso  resta  
apenas  que  “Fernanda  estuda  Frege” 
 
 Luciano Cláudio Fernanda 
Frege F VERDADE 
Kant VERDADE F 
Wittgenstein F VERDADE F 
 
 
02. Três crianças – Astolfo, Belarmino e Cleosvaldo – brincavam, cada qual, com um único tipo de brinquedo. 
Considere as seguintes informações: 
 Os brinquedos são: Falcon, Playmobil e Atari; 
 As idades dos três são: 11, 8 e 6; 
 Astolfo não brincava com um Falcon e nem com o Atari; 
 A criança que tem 11 anos, brincava de Atari; 
 Cleosvaldo tem menos de 8 anos. 
Com base na informações dadas, é correto afirmar que 
a) Belarmino tem 11 anos. 
b) Astolfo tem 11 anos. 
c) Belarmino brincava com um Falcon. 
d) Cleosvaldo brincava com um Atari. 
e) Astolfo não tem 8 anos. 
 
SOLUÇÃO: 
Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir: 
 
 ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDO 
IDADE 
BRINQUEDO 
 
 
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Sabendo  que  “Astolfo  brincava  com  um  Playmobil”  e  que  “Cleosvaldo  tem  6  anos”,  temos: 
 
 ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDO 
IDADE 6 
BRINQUEDO Play 
 
Como  “A  criança  que  tem  11  anos,  brincava  de  Atari”,  apenas  Belarmino  se  encaixa,  logo 
 
 ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDO 
IDADE 11 6 
BRINQUEDO Play Atari 
 
Por exclusão, temos 
 
 ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDO 
IDADE 8 11 6 
BRINQUEDO Play Atari Falcon 
 
 
 
03. Três amigas, Anna, Bruna e Camila, encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é 
preto, e o de outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Anna está 
com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos. Camila está com 
sapatos azuis. Desse modo, 
a) o vestido de Bruna é azul e o de Anna é preto. 
b) o vestido de Bruna é branco e seus sapatos são pretos. 
c) os sapatos de Bruna são pretos e os de Anna são brancos. 
d) os sapatos de Anna são pretos e o vestido de Camila é branco. 
e) o vestido de Anna é preto e os sapatos de Camila são azuis. 
 
SOLUÇÃO: 
Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir: 
 
 ANNA BRUNA CAMILA 
VESTIDO 
SAPATOS 
 
Sabendo  que  “Camila está com sapatos azuis”,  temos: 
 
 ANNA BRUNA CAMILA 
VESTIDO 
SAPATOS Az 
 
Sabendo  que  “Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos”,  então  Anna  tem  que  ter  sapatos  brancos 
 
 ANNA BRUNA CAMILA 
VESTIDO 
SAPATOS Br Az 
 
Como  “Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”,  temos 
 
 ANNA BRUNA CAMILA 
VESTIDO Br 
SAPATOS Br Az 
 
Por exclusão, deduz-se  que  Bruna  está  com  sapatos  pretos  e  sabendo  que   “somente Anna está com vestido e 
sapatos de mesma cor”,  temos 
 
 ANNA BRUNA CAMILA 
VESTIDO Br Az Pr 
SAPATOS Br Pr Az 
 
 
 
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EXEMPLOS DO 3º CASO – VERDADES E MENTIRAS: HIOPÓTESES 
 
04. Quando a mãe de Aurismar, Belomar, Cleosmar e Denysmar, chega em casa, verifica que seu vaso preferido 
havia sido quebrado. Interrogados pela mãe, eles fazem as seguintes declarações: 
 "Mãe, o Bel foi quem quebrou" – disse Auri 
 "Como sempre, o Denys foi culpado" – disse Bel 
 "Mãe, sou inocente" – disse Cleo 
 “Claro  que  o  Bel está mentindo" – disse Denys 
Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, diga quem quebrou o vaso. 
a) Aurismar 
b) Belomar 
c) Cleosmar 
d) Denysmar 
e) Nenhum deles 
 
SOLUÇÃO: 
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, onde serão analisadas as declarações mediante as hipóteses: 
 
 ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES 
HIPÓTESES AURI BEL CLEO DENYS 
AURI 
BEL 
CLEO 
DENYS 
Analisaremos as declarações de cada criança, de acordo com as hipóteses dos culpados. No caso do Auri, ele 
estaria falando a verdade no caso do Bel realmente ser o culpado, ou seja, ele mente (F) na hipótese de outra 
pessoa ser o culpado, logo: 
 
 ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES 
HIPÓTESES AURI BEL CLEO DENYS 
AURI F 
BEL V 
CLEO F 
DENYS F 
 
Analisando a declaração de Bel, vemos que apenas no caso de Denys ter sido o culpado ele estaria dizendo a 
verdade, então para qualquer outra hipótese de culpado ele mente (F), logo temos: 
 
 ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES 
HIPÓTESES AURI BEL CLEO DENYS 
AURI F F 
BEL V F 
CLEO F F 
DENYS F V 
 
Como Cleo se declara inocente, apenas na hipótese dele ser o culpado, sua declaração é dita como falsa (F), em 
todas as demais hipóteses ele realmente seria inocente, logo: 
 
 ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES 
HIPÓTESES AURI BEL CLEO DENYS 
AURI F F V 
BEL V F V 
CLEO F F F 
DENYS F V V 
 
 
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Nesse caso, sempre a declaração de Denys tem valor lógico contrário ao de Bel, pois eles se contradizem, então 
Denys só irá mentir no caso dele ser o culpado, ou seja: 
 
 ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES 
HIPÓTESES AURI BEL CLEO DENYS 
AURI F F V V 
BEL V F V V 
CLEO F F F V 
DENYS F V V F 
 
Observe que somente na hipótese de Cleo ser o culpado é que apenas uma das declarações se torna verdadeira 
(V), sendo então três falsas (F). Como somente Denys diz a verdade, a terceira hipótese é a única aceita, sendo 
então Cleosmar declarado o culpado. 
 
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DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
QUANTIFICADORES 
 
São elementos que transformam as sentenças abertas em proposições. 
Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de uma sentença precisa assumir 
para que esta sentença torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposição. 
 
TIPOS DE QUANTIFICADORES 
a) Quantificador existencial: 
É   o   quantificador   que   indica   a   necessidade   de   “existir pelo menos um”   elemento   satisfazendo   a  
proposição dada para que esta seja considerada verdadeira. 
É indicado pelo  símbolo  “ ”,  que  se  lê  “existe”,  “existe  um”  ou  “existe  pelo  menos  um”. 
 
EXEMPLO: 
(p) x R / x 3 
(q) Existe dia em que não chove. 
 
b) Quantificador universal: 
É  o  quantificador  que   indica  a   necessidade  de   termos   “todos”   os  elementos  satisfazendo  a  proposição 
dada para que esta seja considerada verdadeira. 
É  indicado  pelo  símbolo  “ ”,  que  se  lê  “para todo”  ou  “qualquer que seja”. 
 
EXEMPLO: 
(m) x R x 5 (Lê-se:  “para  todo  x  pertencente  aos  reais,  tal  que  x  é  maior  ou  igual  a  5”) 
(n) Qualquer que seja o dia, não choverá. 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
NOMENCLATURA UTILIZADA 
 - conjunto dos números reais 
* - conjunto dos números reais não nulos 
+ - conjunto dos números reais não negativos 
*
+ - conjunto dos números reais positivos 
Q - conjunto dos números racionais 
Q* - conjunto dos números racionais não nulos 
Z - conjunto dos números inteiros 
Z+ - conjunto dos números inteiros não negativos 
Z* - conjunto dos números inteiros não nulosN - conjunto dos números naturais 
N* - conjunto dos números naturais não nulos 
 - conjunto vazio 
 - símbolo de união entre dois conjuntos 
 - símbolo de intersecção entre dois conjuntos 
 - símbolo de pertinência entre elemento e conjunto 
 - símbolo de inclusão entre dois conjuntos 
 - qualquer que seja 
 
Aulas 6 e 7 
 
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UNIÃO ( ) 
 
União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, ou ao 
conjunto B ou a ambos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTERSEÇÃO ( ) 
Interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a 
ambos os conjuntos dados. 
 
 
 
 
 
 
 
DIFERENÇA ( – ) ou COMPLEMENTAR 
 Diferença entre os conjuntos A e B, nesta ordem, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, 
porém, não pertencem a B. O conjunto A – B também é chamado de complementar de B e em A, pois é o que 
falta para B completar o conjunto A. 
 
 
 
 
 
 
 
COMPLEMENTAR EM RELAÇÃO AO UNIVERSO 
 O complementar de A, é o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que não pertencem ao 
conjunto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIFERENÇA ENTRE UNIÃO E INTERSEÇÃO 
 A diferença o conjunto união e o conjunto interseção de A e B, resulta nos elemento que pertencem a somente 
um desses conjuntos, ou seja, pertencem somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B. 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÕES: 
1o. A B = B A 
2o A = A 
3o A A = A 
4o (A B) C = A (B C) 
5o n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 
 
EX.: “Pessoas que são 
atletas (A), mas não são 
baianos (B)” 
EX.: “Pessoas que são atletas 
(A) ou baianos (B)” 
(o  “ou”  não  é  excludente, 
portanto isso significa que o 
conjunto união abrange os 
elementos que fazem parte de 
pelo menos um dos conjuntos) 
CONCLUSÕES: 
1o A B = B A 
2o A = 
3o A A = A 
4o (A B) C = A (B C) 
 
 
EX.: “Pessoas que são 
atletas (A) e são 
baianos (B)” 
B
 
A
 
A B 
A B 
B
 
A
 
A – B 
B
 
A
 
EX.: “Pessoas que não são 
atletas  (A)” 
(Dentre todos os envolvidos, 
podendo ser, ou não, 
baianos) 
EX.: “Pessoas que ou são 
atletas (A), ou são baianos (B)” 
(O  “ou...ou”  é  excludente)   
(A B) - (A B) 
B
 
A
 
CA = A 
B
 
A
 
 
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CONJUNTOS LÓGICOS 
 
NENHUM 
Não existe interseção entre os conjuntos. 
 
EX.: 
A:  “Nenhum  soldado  é  covarde” 
 
 
 
 
 
 
 
ALGUNS 
Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos, mas nem todos. 
 
EX.: 
B:  “Alguns  soldados  são  covardes” 
 
 
 
 
 
 
 
TODOS 
Um dos conjuntos é subconjunto do outro. 
 
EX.: 
C:  “Todos  os  soldados  são  covardes” 
 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
 Uma proposição é chamada de composta quando é formada a partir de outras proposições mais simples 
(p, q, r, ...) mediante o uso de: 
 modificadores (~) 
 conectivos ( e ) 
 condicionais ( e ). 
 
TAUTOLOGIA 
Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia, ou seja, uma proposição logicamente 
verdadeira, quando tem o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições 
parciais usadas na sua elaboração. Ex.: p q:  “No  concurso  João  foi  aprovado  ou  reprovado” 
 
CONTRADIÇÃO 
Dizemos que uma proposição composta é uma contradição, ou seja, uma proposição logicamente falsa, 
quando tem o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua 
elaboração. Ex.: p q:  “Sophia  nasceu  em  Fortaleza  e  em  São  Paulo” 
 
CONTINGÊNCIA 
Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando ela pode ter os valores lógico 
verdadeiro ou falso. 
COVARDES SOLDADOS 
COVARDES SOLDADOS 
COVARDES SOLDADOS 
OBS.: 
A negação da premissa A será: 
 ~A:  “Não  é  verdade  que  nenhum  soldado  é  covarde” 
ou então 
 ~A:  “Existe  pelo  menos  um  soldado  covarde” 
OBS.: 
A negação da premissa B será: 
 ~B:  “Não  é  verdade  que  alguns  soldados  são  covardes” 
ou então 
 ~B:  “Nenhum  soldado  é  covarde” 
OBS.: 
A negação da premissa C será: 
 ~C:  “Não  é  verdade  que  todos  os  soldado  são  covardes” 
ou então 
 ~C:  “Existe  pelo  menos  um  soldado  que  não  é  covarde” 
 
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EXEMPLOS 
 
01. (IPAD) Supondo que “todos os cientistas são objetivos e que alguns filósofos também o são”, podemos 
logicamente concluir que: 
a) não pode haver cientista filósofo. 
b) algum filósofo é cientista. 
c) se algum filósofo é cientista, então ele é objetivo. 
d) alguns cientistas não são filósofos. 
e) nenhum filósofo é objetivo. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Dadas as premissas: 
 A:  “todos os cientistas são objetivos” 
 B:  “alguns filósofos são objetivos” 
Sejam 
 O – Objetivos 
 C – Cientistas 
 F – Filósofos 
Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa  forma,  temos  que  “se  algum  filósofo  é  cientista”  ele   fica de acordo com o 2º ou 3º diagrama, o que implica 
necessariamente  que  “esse  filósofo  será  objetivo”,  pois  “todo  cientista  é  objetivo”. 
Resposta: C 
 
02. (IPAD) Supondo que cronópios e famas existem e que nem todos os cronópios são famas, podemos concluir 
logicamente que: 
a) nenhum cronópio é fama. 
b) não existe cronópio que seja fama. 
c) todos os cronópios são famas. 
d) nenhum fama é cronópio. 
e) algum cronópio não é fama. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Dada a premissa: 
 A:  “Nem  todos os cronópios são famas” 
Sejam 
 C – Cronópios 
 F – Famas 
Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes diagramas possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos  concluir  que  “Se  nem  todo  cronópio  é  fama,  então  necessariamente existe pelo menos um cronópio que 
não  é  fama”. 
Resposta: E 
 
03. (IPAD) Em um país estranho sabe-se que as pessoas estão divididas em dois grupos: o grupo dos que têm 
uma idéia original e o grupo dos que têm uma idéia comercializável. Sabe-se também que 60% das pessoas têm 
uma idéia original e apenas 50% têm idéias comercializáveis. Podemos afirmar que: 
O 
C F 
O 
C F 1o 2o 3o 
O 
F C 
C F 1o 2o C F 
 
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a) 15% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis. 
b) 10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis. 
c) 30% das pessoas têm idéias comercializáveis, mas não originais. 
d) 70% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis. 
e) 65% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis. 
 
SOLUÇÃO: 
Sejam 
 A – grupo dos que têm uma idéia original ; 
 B – grupo dos que têm uma idéia comercializável; 
Como todas as pessoas (100%) estão em pelo menos um dos grupos (A ou B), temos: 
 
 
 
 
 
Sabendo que 
 n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 
 100% = 60% + 50% – x 
 x = 10% 
portanto 
 10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis 
Resposta: B 
 
04. É verdade que "Alguns A são R" e que "nenhum G é R" então é necessariamente verdade que: 
a) Alguns A não é G. 
b) Algum A é G. 
c) Nenhum A é G. 
d) Algum G é A. 
e) Nenhum G é A. 
 
SOLUÇÃO: 
Sabe-se que todos os A que também são R, não podem ser G, pois nenhum G é R, então existem alguns A que 
nunca serão G. 
Resposta: A 
 
OBS.: 
Os outros itens estão errados por que podem ser verdade ou não, dependendo de como for o diagrama. Mas 
como não se pode garantir que G e A têm interseção ou não, nada se pode afirmar. 
 
05. Supondo que “Nenhum advogado foi reprovado” e que “Alguns bancários   foram   reprovados”, podemos 
logicamente concluirque: 
a) não pode haver advogado bancário. 
b) algum advogado é bancário. 
c) nenhum advogado é bancário. 
d) todos os advogados são bancários. 
e) alguns bancários não são advogados. 
 
SOLUÇÃO: 
Do enunciado temos os possíveis diagramas: 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, percebemos que nas duas   possibilidades   “alguns bancários não são advogados”,   pois   aqueles  
bancários que foram reprovados, jamais poderão ser advogados, pois nenhum destes foi reprovado. 
Resposta: E 
 
A 
B 
R 1o 2o A 
B 
R 
A B 
x 50% – x 60% – x 
 
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ALGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 
 
INTRODUÇÃO 
 
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. 
Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George 
Boole, matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas 
para representar proposições e suas inter-relações. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, 
cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica. 
 
LÓGICA MATEMÁTICA 
 
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas 
como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes: 
 
 PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo 
alternativa. 
 PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. 
 
Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa 
possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para 
proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ). 
As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u, ... 
De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito" , "3 + 5" , "x é um número 
real" , "x + 2 = 7", etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico 
definido (verdadeiro ou falso). 
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu 
valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0. 
 p: "a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V ) 
 q: "3 + 5 = 2" ( F ) 
 r: "7 + 5 = 12" ( V) 
 s: "a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si = (n – 2).180º ( V ) 
 t: "O Sol é um planeta" ( F ) 
 w: "Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F ) 
 
SENTENÇA ABERTA: Não pode ser atribuído um valor lógico 
 EX.: 
 “Alguém  está  nascendo  nesse  exato  momento”  →  Pode  ser  Verdadeiro  (V)  ou  Falso  (F),  não  se  pode  
 afirmar. 
 
SENTENÇA FECHADA: Pode ser atribuído um valor lógico V ou F. 
 EX.: 
 “O  professor  Pedro  Evaristo  ensina  Matemática”  →  Sentença  Verdadeira  (V) 
 “A  soma  2  +  2  é  igual  a  5”  →  Sentença  Falsa  (F) 
 
SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES) 
 
 não 
 e 
 Ou 
 se ... então 
 se e somente se 
 tal que 
 Implica 
 Equivalente 
 Existe 
 existe um e somente um 
 qualquer que seja 
 
Aulas 8 a 10 
 
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O MODIFICADOR NEGAÇÃO 
 
Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p ou p. (Lê-se "não p" ). 
 
EXEMPLOS: 
p:  “2  pontos  distintos  determinam  uma  única  reta”  (V) 
~p:  “2  pontos  distintos  não  determinam  uma  única  reta”  (F) 
 
q:  “João  é  magro” 
~q:  “João  não  é  magro” 
~q:  “Não  é  verdade  que  João  é  magro” 
 
s:  “Fernando é  honesto” 
s:  “Fernando não  é  honesto” 
s:  “Não  é  verdade  que  Fernando é  honesto” 
s:  “Fernando é  desonesto” 
 
OBS.: 
Duas negações equivalem a uma afirmação, ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p. 
 
p:  “Diego  dirige  bem” 
~p:  “Diego  não  dirige  bem” 
~(~p):  “Não  é  verdade  que  Diego  não  dirige  bem” 
 
ESTRUTURAS E OPERAÇÕES LÓGICAS 
 
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos , , e , dando origem 
ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos 
então formar as seguintes proposições compostas: p q, p q, p q, p q. 
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir: 
 
 CONJUNÇÃO: p q (lê-se "p e q" ) 
 DISJUNÇÃO: p q (lê-se "p ou q") 
 CONDICIONAL: p q (lê-se "se p então q") 
 BI-CONDICIONAL: p q (lê-se "p se e somente se q") 
 
Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, como determinaremos os valores 
lógicos das proposições compostas acima? Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também 
conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE. 
 
 
IMPORTANTE: 
Afirmação e negação 
sempre possuem valores 
lógicos contrários! 
 
 Se A é V, então ~A é F 
 
 Se A é F, então ~A é V 
 
A ~A 
 
V F 
 
F V 
 
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CONJUNÇÃO (E) 
 
 
 
 
 
A conjunção só será verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B também for 
verdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjunção toda torna-se falsa. 
 
EXEMPLO: 
Analise  a  afirmação:  “Nesse  final  de  semana  estudarei  raciocínio  lógico  e  informática”.   
A:”Estudar  raciocínio  lógico”   
B:”Estudar  informática” 
 
TABELA VERDADE 
A B A B 
V V V 
F V F 
F F F 
V F F 
 
CONCLUSÕES: 
 Só existe uma possibilidade para o fim de semana. Para que a afirmação seja verdadeira, deverei estudar 
raciocínio lógico e informática. 
 
Observe que a afirmação é falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas. 
 
 
 
A B 
“Premissa  A  e  premissa  B” 
 
 
Premissa A Premissa B 
Se (V) Então (V) 
 
Premissa A Premissa B 
Então (V) Se (V) 
 
 
A B (lê-se “Premissa A e premissa  B”) 
LINK: 
ANÁLISE PARTINDO DA 
“PREMISSA  A”  SENDO  (V) 
ANÁLISE PARTINDO DA 
“PREMISSA  B”  SENDO  (V) 
 
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DISJUNÇÃO NÃO-EXCLUDENTE (OU) 
 
 
 
 
 
 PREMISSAS NÃO EXCLUDENTES: são aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso 
o  “ou”  significa  dizer  que  pelo  menos  uma  das  premissas  deverá  ser  verdadeira.  Nesse  caso  o  “ou”  significa  
que pelo menos uma das premissas é verdadeira. 
 
EXEMPLO: 
Analise  a  afirmação:  “Este  final  de  semana  irei  à  praia  ou  ao  cinema”. 
A:”Irei  à  praia” 
B:”Irei  ao  cinema”   
 
TABELA VERDADE 
A B A B 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
CONCLUSÕES: 
 Sabendo que ele foi à praia, conclui-se que ele pode ter ido ou não ao cinema. 
 Sabendo que ele não foi à praia, conclui-se que certamente foi ao cinema. 
 Sabendo que ele foi ao cinema, conclui-se que ele pode ter ido ou não à praia. 
 Sabendo que ele não foi ao cinema, conclui-se que certamente foi à praia. 
 
Observe  que,  nesse  caso,  o  “ou”  significa  que  eu  irei  a  “pelo  menos”  um  desses  lugares  no  fim  de  semana  (o  fim  
de semana é longo e nada impede de ir aos dois lugares). 
 
 
 
A v B 
“Premissa  A  ou  premissa  B” 
 
Premissa A Premissa B 
Se (V) Então (V) ou (F) 
 
Premissa A Premissa B 
Se (F) Então (V) 
 
Premissa A Premissa B 
Então (V) Se (F) 
 
Premissa A Premissa B 
Então (V) ou (F) Se (V) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LINK: 
ANÁLISE PARTINDO DA 
“PREMISSA  A”  SENDO  (V)  OU  (F) 
ANÁLISE PARTINDO DA 
“PREMISSA  B”  SENDO  (V)  OU  (F) 
A B (lê-se “Premissa A ou premissaB”) 
 
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DISJUNÇÃO EXCLUDENTE (OU...OU) 
 
 
 
 
 
Quando estamos trabalhando com disjunções, devemos analisar inicialmente se as premissas são excludentes ou 
não excludentes. 
 
 PREMISSAS EXCLUDENTES: são aquelas que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o 
“ou”   significa   dizer   que   exatamente   uma   das   premissas   deverá   ser   verdadeira.   Caso   seja   usado   “ou...ou”,  
devemos entender que se trata de disjunção excludente. 
 
EXEMPLO: 
Analise a afirmação:  “Felipe  nasceu  ou  em  Fortaleza,  ou  em  São  Paulo”.   
A:”Felipe  nasceu  em  Fortaleza” 
B:”Felipe  nasceu  em  São  Paulo”   
 
TABELA VERDADE 
A B A B 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
CONCLUSÕES: 
 Sabendo que ele nasceu em Fortaleza, conclui-se que não nasceu em São Paulo. 
 Sabendo que ele não nasceu em Fortaleza, conclui-se que nasceu em São Paulo. 
 Sabendo que ele nasceu em São Paulo, conclui-se que não nasceu em Fortaleza. 
 Sabendo que ele não nasceu em São Paulo, conclui-se que nasceu em Fortaleza. 
 
Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo, pois fica claro que 
ninguém pode nascer em dois lugares ao mesmo tempo. Então, a afirmação só será verdadeira, se exatamente 
um das duas premissas for verdadeira. 
 
 
 
A v B 
“Ou  premissa  A,  ou  premissa  B” 
(Premissas excludentes) 
 
Premissa A Premissa B 
Se (V) Então (F) 
 
Premissa A Premissa B 
Se (F) Então (V) 
 
Premissa A Premissa B 
Então (V) Se (F) 
 
Premissa A Premissa B 
Então (F) Se (V) 
 
 
A B (lê-se “Ou premissa A, ou premissa  B”) 
ANÁLISE PARTINDO DA 
“PREMISSA  A”  SENDO  (V)  OU  (F) 
ANÁLISE PARTINDO DA 
“PREMISSA  B”  SENDO (V) OU (F) 
LINK: 
 
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CONDICIONAL (SE ... ENTÃO) 
 
 
 
 
 
Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira, então a premissa B será necessariamente 
verdadeira também, mas a recíproca não é válida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B seja 
verdadeira. 
 
EXEMPLO: 
Analise  a  afirmação:  “Se  eu  receber  dinheiro  na  sexta-feira  então  irei  a  praia  no  fim  de  semana”.   
A:”Receber  dinheiro  na  sexta-feira”   
B:”Ir  a  praia  no  fim  de  semana” 
 
TABELA VERDADE 
A B A B 
V V V 
F V V 
F F V 
V F F 
 
CONCLUSÕES: 
 Sabendo que eu recebi dinheiro, conclui-se que necessariamente fui à praia. 
 Sabendo que eu não recebi dinheiro, conclui-se que eu posso ter ido ou não à praia. 
 Sabendo que eu fui à praia, conclui-se que eu posso ter recebido ou não o dinheiro. 
 Sabendo que eu não fui à praia, conclui-se que necessariamente eu não recebi o dinheiro. 
 
Observe que a afirmação só será falsa, se eu receber o dinheiro e mesmo assim não for à praia. 
 
 
A B 
“Se  premissa  A,  então  premissa  B” 
 
Premissa A Premissa B 
Se (V) Então (V) 
 
Premissa A Premissa B 
Se (F) Então (V) ou (F) 
 
Premissa A Premissa B 
Então (F) Se (F) 
 
Premissa A Premissa B 
Então (V) ou (F) Se (V) 
 
Do quadro acima podemos concluir que A B é equivalente a 
~B ~A 
“Se  não  for  verdadeira  a  premissa  B,  então  não  será  verdadeira  a  premissa  A” 
 
 
A B (lê-se “Se  premissa  A,  então  premissa  B”) 
ANÁLISE PARTINDO DA 
“PREMISSA  A”  SENDO  (V)  OU  (F) 
ANÁLISE PARTINDO DA 
“PREMISSA  B”  SENDO  (V)  OU  (F) 
LINK: 
 
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OBS.: 
 A é condição suficiente para que B ocorra 
 B é condição necessária para que A ocorra 
 ~B é condição suficiente para que ~A ocorra 
 ~A é condição necessária para que ~B ocorra 
 
CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer) 
 
CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não ocorra, A não ocorre) 
 
RESUMINDO: 
Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para quem fica do lado direito. 
 
 
 
 
 
 
Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para quem fica do lado esquerdo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO! 
Algumas maneiras diferentes  de  escrever  a  proposição  “Se  A  então  B”: 
 
 A B ~B ~A 
 p:  “Se  chover  então  irei  ao  shopping” 
 p:  “Se  chover,  irei  ao  shopping” 
 p:  “Chovendo,  irei  ao  shopping” 
 p:  “Quando  chove,  vou  ao  shopping” 
 p:  “Sempre  que  chove,  vou  ao  shopping” 
 p: “Toda  vez  que  chove,  vou  ao  shopping” 
 p:  “Caso  chova,  irei  ao  shopping” 
 p:  “Chover  implica  em  ir  ao  shopping” 
 p:  “Chover  é  condição  suficiente  para  ir  ao  shopping” 
 p:  “Ir  ao  shopping  é  condição  necessária  para  chover” 
 p:  “Se  não  for  ao  shopping  então não  choveu” 
 p:  “Não  chover  é  condição  necessária  para  não  ir  ao  shopping” 
 p:  “Não  ir  ao  shopping  é  condição  suficiente  para  não  chover” 
 
LINK: 
LINK: 
A B ~B ~A 
A é SUFIENTE para B ~B é SUFIENTE para ~A 
A B ~B ~A 
B é NECESSÁRIO para A ~A é NECESSÁRIO para ~B 
 
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BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE) 
 
 
 
 
Nessas condições, fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da premissa B também ser. Fica ainda 
implícito que a recíproca é válida, ou seja, a premissa B também só será verdadeira no caso da premissa A 
também ser. 
 
EXEMPLO: 
Analise  a  afirmação:  “Irei  a  praia  no fim de semana, se e somente se eu receber dinheiro na sexta-feira”.   
A:”Ir  a  praia  no  fim  de  semana” 
B:”Receber  dinheiro  na  sexta-feira”   
 
TABELA VERDADE 
A B A B 
V V V 
F V F 
F F V 
V F F 
 
CONCLUSÕES: 
 Sabendo que eu recebi dinheiro, conclui-se que certamente fui à praia. 
 Sabendo que eu não recebi dinheiro, conclui-se que eu não fui à praia. 
 Sabendo que eu fui à praia, conclui-se que é porque eu recebi o dinheiro. 
 Sabendo que eu não fui à praia, conclui-se que certamente eu não recebi o dinheiro. 
 
Observe que a afirmação só será verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lógico. 
 
 
A B 
“Premissa  A,  se  e  somente  se  Premissa  B” 
 
Premissa A Premissa B 
Se (V) Então (V) 
 
Premissa A Premissa B 
Se (F) Então (F) 
 
Premissa A Premissa B 
Então (F) Se (F) 
 
Premissa A Premissa B 
Então (V) Se (V) 
 
Do quadro acima podemos concluir que A B é equivalente a 
~A ~B 
“Premissa  ~A,  se  e  somente  se  Premissa  ~B” 
 
OBS.: 
 A é condição necessária e suficiente para que B ocorra 
 B é condição necessária e suficiente para que A ocorra 
A B (lê-se  “Premissa  A,  se  e  somente  se  a  premissa  B”) 
LINK: 
ANÁLISE PARTINDO DA 
“PREMISSA  A”  SENDO  (V)  OU  (F) 
ANÁLISE PARTINDO DA 
“PREMISSA  B”  SENDO  (V)  OU  (F) 
 
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TABELA VERDADE 
 
Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por (0) ou (F) quando falsa e (1) 
ou (V) quando verdadeira. Podemos construir a seguinte tabela simplificada: 
 
 TABELA VERDADE 
 
 
 
 
 
 
 
Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que: 
 a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. 
 a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. 
 a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. 
 a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais. 
 
EQUIVALÊNCIAS 
 
Duas proposições são equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos na tabela verdade, ou 
ainda, quando podem substituir uma à outra sem perda do sentido lógico. 
O importante nesse caso é nãoconfundir implicação com equivalência. Por exemplo, dizer  que  A:“João  é  
rico”  implica  em  dizer  que  B:“João  não  é  pobre”,  no  entanto,  dizer  B:“João  não  é  pobre”  não  implica  em  dizer  que  
A:“João  é  rico”,  portanto  A  e  B  não  são  equivalentes,  mas  podemos  afirmar  que  A  implica  em  B  (A   B). Por outro 
lado,  se  P:”João  é  honesto”  então  implica  que  Q:”João  não  é  desonesto”  e  de  forma  recíproca  se  Q:”João  não  é  
desonesto”   então   implica   que   P:”João   é   honesto”,   portanto   nesse   caso   P   e   Q   são   equivalentes   pois   uma  
proposição implica na outra (P Q). 
 
 A B = ~B ~A 
Ex.: 
 “Se  chover  então  irei  ao  shopping”   “Se  não  for  ao  shopping  então  não  choveu” 
 “Se  eu  receber  dinheiro,  viajarei”   “Se  eu  não  viajar  então  não  recebi  dinheiro” 
 “Caso  não  faça  sol,  irei  entrarei  na  internet”   “Se  eu  não  entrei  na  internet  então  fez  sol” 
 
 A B = B A = (A B) (B A) 
Ex.: 
 “Se  e  somente  se  fizer  sol  então  irei  à  praia”   “Se  e  somente  se  for  à  praia  então  fez  sol” 
 “Se  e  somente  se  receber  dinheiro,  viajarei”   “Se  receber  dinheiro,  viajo  e  se  viajar  então  eu  recebi” 
 “Se  e  somente  se  passar,  festejarei”   “Se  passar  então  festejo  e  se  festejar  é  por  que  passei” 
 
 A B = (A B) (~A ~B) 
Ex.: 
 “Se  e  somente  se  passar,  festejarei”   “Ou  passo  e  festejo,  ou  não  passo  e  não  festejo” 
 “Se  e  somente  se  sentir  fome  então  comerei”   “Ou  senti  fome  e  comi,  ou  não  senti  fome  e  não  comi” 
 
NEGAÇÕES (~) ou ( ) 
 
A negação de uma proposição (A) é outra proposição (~A) que possui sempre valor lógico contrário, ou 
seja, sempre que A for verdadeiro então ~A é falso e quando A for falso então ~A é verdadeiro. 
É comum o aluno confundir antônimo com negação! Mas cuidado, são coisas diferentes. Por exemplo, 
“rico”  e  “pobre”  são  antônimos,  mas  “João  é  pobre”  não  é  a  negação  de  “João  é  rico”,  afinal  se  João não for rico 
não  quer  dizer  que  seja  pobre,  quer  dizer  apenas  que  “João  não  rico”.  Mas  existe  caso  em  que  o  antônimo  é  a  
negação, tais como: culpado e inocente, honesto e desonesto, vivo e morto, dentre outros. 
 
TABELA VERDADE 
A ~A 
V F 
F V 
 
Ex.: 
p q p q p q p q p q 
V V V V V V 
V F F V F F 
F V F V V F 
F F F F V V 
 
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 A: “Aline  é  bonita” ~A:  ”Aline  não  é  bonita”   (não significa que ela é feia) 
 B:  “Kleyton  é  alto” ~B:  ”Kleyton  não  é  alto”   (não significa que ele é baixo) 
 C:  “Daniel  é  magro” ~C:  “Daniel  não  é  magro” (não significa que ele é gordo) 
 E:  “Karol  foi  aprovada” ~D:  “Karol  foi  reprovada” (nesse caso, reprovado significa não aprovado) 
 F:  “Lia  é  culpada” ~F:  “Lia  é  inocente” (nesse caso, inocente significa não culpado) 
 
 
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 
 
Sejam p, q e r três proposições simples e quaisquer, onde V é uma proposição verdadeira e F uma proposição 
falsa. São válidas as seguintes propriedades: 
 
LEIS IDEMPOTENTES 
 p p = p 
 Ex.: 
 “Eu  não  minto  e  só  falo  a  verdade”   “Eu  falo  a  verdade” 
 
 p p = p 
 Ex.: 
 “Ou  choverá  ou  cairá  água  do  céu”   “Choverá” 
 
LEIS COMUTATIVAS 
 p q = q p 
 Ex.: 
 “Estudarei  lógica  e  informática”   “Estudarei  informática  e  lógica” 
 
 p q = q p 
 Ex.: 
 “Estudarei  lógica  ou  informática”   “Estudarei  informática  ou  lógica” 
 
LEIS DE IDENTIDADE 
 p V = p (Se uma das premissas for necessariamente V, então o valor lógico dependerá da premissa p) 
 Ex.: 
 “Amanhã  vai  chover  e  o  Sol  é  amarelo”  (Pode  ser  V  ou  F,  depende  se  choverá  ou  não) 
 
 p F = F (Se uma das premissas for necessariamente F, então o valor lógico será sempre F) 
 Ex.: 
 “Amanhã  vai  chover  e  a  lua  é  quadrada”  (Será  F,  independe  de  chover  ou  não) 
 
 p V = V (Se uma das premissas for necessariamente V, então o valor lógico será sempre V) 
 Ex.: 
 “Amanhã  choverá  ou  o  Sol  é  amarelo”  (Será  V,  independe  de  chover  ou  não) 
 
 p F = p 
 Ex.: 
 “Amanhã  vai  chover  ou  a  lua  é  quadrada”  (Pode  ser  V  ou  F,  depende  se  choverá  ou  não) 
 
 
LEIS COMPLEMENTARES 
 ~(~p) = p (duas negações equivalem a uma afirmação) 
 Ex.: 
 “Não  é  verdade  que  Monyke  não  é  bonita”   “Monyke  é  bonita” 
 
 p ~p = F 
 Ex.: 
 “Irei  ao  cinema  e  não  irei  ao  cinema”  (F) 
 
 p ~p = V 
 Ex.: 
 “Ou  irei  ao  cinema  ou  não  irei  ao  cinema”  (V) 
 
 
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 ~V = F (a negação de uma verdade é sempre falsa) 
 Ex.: 
 “Não  é  verdade  que  o  Sol  é  amarelo”  (F) 
 
 ~F = V (a negação de uma mentira é sempre verdade) 
 Ex.: 
 “Não  é  verdade  que  a  Lua  é  quadrada”  (V) 
 
LEIS ASSOCIATIVAS 
 (p q) r = p (q r) 
 Ex.: 
 “Sophia  é  linda  e  inteligente,  além  de  ser  muito  legal”   “Sophia  é  linda,  além  de  inteligente  e  muito  legal” 
 
 (p q) r = p (q r) 
 Ex.: 
 “Irei  a  praia  ou  ao  cinema,  ou  irei  jogar”   “Ou  Irei  a  praia,  ou  irei  ao  cinema  ou  jogar” 
 
LEIS DISTRIBUTIVAS 
 p (q r) = (p q) (p r) 
 Ex.: 
 “Estudarei  hoje  e  no  fim  de  semana,  ou  irei  ao  cinema  ou  irei  a  praia”   “Ou  estudarei  hoje  e  no  fim  de  
 semana  irei  ao  cinema,  ou  estudarei  hoje  e  no  fim  de  semana  irei  à  praia” 
 
 p (q r) = (p q) (p r) 
 Ex.: 
 “Ou  viajarei  hoje  ou  no  fim  de  semana  irei  ao  cinema  e  à  praia”   “Viajarei  hoje  ou  irei  ao  cinema  no  fim  
 de semana, e viajarei hoje ou no fim  de  semana  irei  à  praia” 
 
LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN 
Todas as propriedades a seguir podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades. 
 ~(p q) = ~p ~q 
A conjunção só é verdade se as duas proposições forem verdades, portanto se não é verdade (p q) é por 
que pelo menos uma das proposições é falsa (não precisa que as duas sejam falsas). 
 
 Ex: 
 Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"? 
 A negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo". 
 
 Ex.: 
 “Não  é  verdade  que  Ribamar  é  carioca  e alto”   “Ribamar  não  é  carioca  ou Ribamar  não  é  alto” 
 
TABELA VERDADE 
p q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~q 
V V V F F F F 
V F F V F V V 
F V F V V F V 
F F F V V V V 
 
 ~(p q) = ~p ~q 
A disjunção não-excludente é verdade se pelo menos uma das duas proposições for verdadeira, portanto se 
não é verdade (p q) é por que as proposições têm que ser falsas. 
 
 Ex: 
 Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado"? 
 A negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado". 
 
 
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 Ex.: 
 “Não  é  verdade  que  Rosélia  foi  à  praia  ou ao  cinema”   “Rosélia  não  foi  à  praia  e não  foi  ao  cinema” 
 
TABELA VERDADE 
p q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~q 
V V V F F F F 
V F V F F V F 
F V V F V F F 
F F F V V V V 
 
 ~(p q) = p ~q 
O condicional (p q) só é falso se p for verdade e que q for falso, portanto se não é verdade (p q) é por 
que as proposições p e ~q têm que ser verdadeiras. 
 
Ex.: 
 Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então aprendo"? 
 A negação procurada é: "Eu estudo e não aprendo" 
 
 Ex.: 
 “Não  é  verdade  que  se  Milena  receber  dinheiro  então  viajará”   “Milena  recebe  dinheiro  e  não  viaja” 
 
TABELA VERDADE (1) 
p q p q ~(p q) 
V V V F 
V F F V 
F V V F 
F F V F 
 
TABELA VERDADE (2) 
p q ~q p ~q 
V V F F 
V F V V 
F V F F 
F F V F 
 
Observando as últimas colunas das tabelas verdades (1) e (2), percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas 
apresentam a seqüênciaF V F F, o que significa que ~(p q) = p ~q . 
 
TAUTOLOGIAS 
 
Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia, ou seja, uma proposição logicamente 
verdadeira, quando tem o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições 
parciais usadas na sua elaboração. 
Ex.: p q:  “No  concurso  João  foi  aprovado  ou  reprovado” 
 
CONSIDERE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA: 
s: (p q) (p q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer. 
 
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Vamos construir a TABELA VERDADE da proposição s considerando-se o que já foi visto até aqui, 
teremos: 
 
p q p q p q (p q) (p q) 
V V V V V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F F V 
 
Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição 
composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. 
 
Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: 
 p: O Sol é um planeta (valor lógico F) 
 q: A Terra é um planeta plano (valor lógico F), 
Podemos concluir que a proposição composta 
s: "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta 
 plano" é uma proposição logicamente verdadeira. 
 
 
 
Será apresentado a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmente 
construindo as respectivas tabelas verdades: 
Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, 
são TAUTOLOGIAS: 
1. (p q) p 
2. p (p q) 
3. [p (p q)] q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens") 
4. [(p q) ~q] ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens") 
Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente 
são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V. 
 
NOTAS: 
 as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência. 
 como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre 
falsa, ou seja, uma contradição. 
 
CONTRADIÇÃO 
 
Dizemos que uma proposição composta é uma contradição, ou seja, uma proposição logicamente falsa, 
quando tem o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua 
elaboração. 
Ex.: 
p q:  “Sophia  nasceu  em  Fortaleza  e  em  São  Paulo” 
p ~p:”Amanhã  choverá  e  amanhã  não  choverá” 
 
Opostamente a tautologia, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta e verificarmos 
que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO. 
 
EXEMPLO: 
A proposição composta t: p ~p é uma contradição, senão vejamos: 
 
p ~p p ~p 
V F F 
F V F 
 
Portanto, uma contradição nunca poderá ser verdadeira. 
 
LINK: 
 
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PROPOSIÇÃO COMPOSTA QUALQUER OU CONTINGÊNCIA 
 
Nesse caso, as proposições compostas  que  não  são  nem  “Tautologia”  nem  “Contradição”  são  chamadas  
de  “Contingência”,  ou  seja,  podem  assumir  valor  lógico  (V)  ou  (F),  dependendo  das  demais  proposições  simples. 
 
 
EXEMPLO: 
Construindo a tabela verdade da proposição composta t: (p q) r, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2n linhas. 
 
 
p q r (p q) (p q) r 
V V V V V 
V V F V V 
V F V F V 
V F F F F 
F V V F V 
F V F F F 
F F V F V 
F F F F F 
 
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EXEMPLO 
 
01. Todos acreditam que:   “Cão que late, não morde”.  Considerando verdadeira essa afirmação, então pode-se 
concluir que: 
a) Um cão pode latir e mesmo assim me morder. 
b) Se um cão não latir irá morder. 
c) Se um cão não morder é por que ele latiu. 
d) Se um animal latir e morder, ele não é um cão. 
e) Todos os animais que não mordem são cães. 
 
SOLUÇÃO: 
Se todo cão que late, não morde, então se um animal latir ele pode ser um cão, pois caso contrário ele não teria 
mordido. 
Se um cão latir e morder, fará com que a afirmação fique falsa. 
 
02. Aponte  o  item  abaixo  que  mostra  a  negação  de  “Rosélia  viajará  para  Londres  ou  comprará  uma  casa”. 
a) Não é verdade que Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa 
b) Rosélia não viajará para Londres ou não comprará uma casa 
c) Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa 
d) Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa 
e) Rosélia não viajará para Londres e comprará uma casa 
 
SOLUÇÃO: 
Sabemos que a negação de A B é 
 ~(A B) = ~A ~B 
 
Portanto, as possíveis negações para “Rosélia  viajará  para  Londres  ou  comprará  uma  casa”,  são 
 ~(A B): “Não  é  verdade  que  Rosélia  viajará  para  Londres  ou  comprará  uma  casa” 
Ou então 
 ~A ~B: “Rosélia  não  viajará  para  Londres  e  não  comprará  uma  casa” 
 
03. Sabendo  que  “Chover  em  Guaramiranga  é  condição  suficiente  para  fazer  frio”, podemos logicamente concluir 
que a única afirmação falsa é: 
a) Se chover em Guaramiranga então fará frio. 
b) Se não fizer frio em Guaramiranga é porquê não choveu. 
c) choveu em Guaramiranga e não fez frio. 
d) Sempre que chove em Guaramiranga, faz frio. 
e) Faz frio em Guaramiranga é condição necessária para chover. 
 
SOLUÇÃO: 
A proposição composta dada, é equivalente a 
 A B  :  “Se  chover  em  Guaramiranga  então  faz  frio” 
Portanto, sua negação será 
 ~(A B) = A ~B 
Ou ainda 
 ~(A B):  “Não  é  verdade  que  se  chover  em  Guaramiranga  então  faz  frio”   
Que por sua vez equivale a 
 A ~B:  “Choveu  em  Guaramiranga  e  não  fez  frio” 
 
04. Sabendo  que  “Sempre  que  um  parlamentar  é  bom  um  bom  político,  ele  é  honesto”  e   “Se  um  parlamentar  é  
honesto,  ele  é  um  bom  político”.  Então,  de  acordo  com  essas  afirmações,  podemos  dizer  que: 
a) Os políticos são sempre honestos 
b) Toda pessoa honesta é político 
c) Se e somente se um parlamentar for honesto, será um bom político. 
d) Todo parlamentar é bom político e honesto 
e) Se e somente se uma pessoa for honesta, será um parlamentar. 
 
SOLUÇÃO: 
Observe a equivalência a seguir 
 (A B) (B A) = A B 
A situação dada é bi-condicional, logo 
 “Se somente se um parlamentar for honesto, será um bom político” 
 
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05. Dizer que: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logicamente equivalente a dizer que: 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 
 
SOLUÇÃO: 
Para resolver essa questão lembre-se que a negação do condicional A B é 
 ~(A B) = A ~B 
Logo 
 ~(~(A B)) = ~(A ~B) 
Ou ainda, 
 A B = ~A v B 
Nesse caso, as proposições abaixo são equivalentes 
 ~BB v AA = BB AA 
 
VERIFICAÇÃO ATRAVÉS DA TABELA VERDADE 
Dado 
 AA v ~BB: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" 
 
TABELA VERDADE 
AA ~BB AA v ~BB 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Observe, que apenas a premissa composta 
 BB AA: "Se Bernardo é engenheiro, então André é artista" 
tem os mesmos valores lógicos de AA v ~BB. Onde ~BB é a negação de BB, logo eles terão valores lógicos 
contrários. 
 
TABELA VERDADE 
AA BB BB AA 
V F V 
V V V 
F F V 
F V F 
 
 
 
 
 
 
 
LINK: 
NEGAÇÕES 
~(A B) = ~A v ~B 
~(A v B) = ~A ~B 
~(A v B) = (A B) v (~A ~B) 
~(A v B) = A B 
~(A B) = A v B 
~(A B) = A ~B 
EQUIVALÊNCIAS 
A B = (A B) v (~A ~B) 
A B = (A B) (B A) 
A B = B A 
A B = ~B ~AA B = ~(A ~B) = ~A v B 
A = ~(~A) 
 
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ARGUMENTAÇÃO 
INTRODUÇÃO 
 
 A análise de um conjunto de proposições requer conhecimento da álgebra das proposições visto nas aulas 
anteriores,  sobretudo  os  “links”  apresentados  para  cada  conectivo  estudado:  “ou”   ,  “ou...ou”   ,  “e”   ,  “se...então”  
 e  “se  e  somente  se”   . 
 Tudo consiste em organizar as proposições (de preferência usando linguagem simbólica), localizar um 
ponto de partida através de uma proposição simples dada (ou de uma hipótese) e a partir daí, através de um 
“efeito  dominó”,  deduzir  todos  os  valores  lógicos  (V  ou  F)  das outras proposições simples, admitindo que todas as 
proposições compostas são verdadeiras. 
 
INFERÊNCIA 
 
Inferência, do latim inferre, é o mesmo que dedução. Em lógica, inferência é a passagem, através de 
regras válidas, do antecedente ao conseqüente de um argumento. 
A inferência é, portanto, um processo pelo qual se chega a uma proposição, afirmada na base de uma ou 
outras mais proposições aceitas como ponto de partida do processo. 
Então, inferir significa deduzir. 
 
PREMISSA 
 
Num silogismo (raciocínio ou conexão de idéias), as premissas são os dois juízos que precedem a 
conclusão e dos quais ela decorre como conseqüente necessário - antecedentes - de que se infere a 
conseqüência. Nas premissas, o termo maior (predicado da conclusão) e o menor (sujeito da conclusão) são 
comparados com o termo médio e assim temos premissa maior e premissa menor segundo a extensão dos seus 
termos. 
 O silogismo é estruturado do seguinte modo: 
 Todo homem é mortal (premissa maior) 
 – homem é o sujeito lógico, e fica à frente da cópula; 
 – é representa a cópula, isto é, o verbo que exprime a relação entre sujeito e predicado; 
 – mortal é o predicado lógico, e fica após a cópula. 
 Sócrates é homem (premissa menor) 
 Sócrates é mortal (conclusão) 
Há palavras que ajudam a identificar as premissas (indicadores das premissas), como: se, caso, quando, 
porque, desde que, pois que, como, dado que, tanto mais que, pela razão de que. 
Podemos então dizer que as premissas são as proposições que, em uma argumentação, precedem a 
conclusão. 
 
CONCLUSÃO 
A conclusão de um argumento é aquela que se afirma com base nas outras proposições desse mesmo 
argumento, e, por sua vez, essas outras proposições que são enunciadas como prova ou razões para aceitar a 
conclusão são as premissas desse argumento. 
Proposição é normalmente usado para expressar o significado de uma sentença ou oração declarativa. 
Note que "proposição" e "enunciado" não são sinônimos, mas no contexto lógico são usados em sentido quase 
idêntico 
Oportuno esclarecer que "premissa" e "conclusão" são termos relativos, uma só proposição pode ser 
premissa num argumento e conclusão noutro. Isoladamente, nenhuma proposição é uma premissa ou uma 
conclusão. "Só é premissa quando ocorre como pressuposição num argumento ou raciocínio. Só é conclusão 
quando ocorre num argumento em que se afirma decorrer das proposições pressupostas nesse argumento". 
Deste modo premissa e conclusão são termos relativos, como empregador e empregado, dependem do contexto: 
empregador para a sua doméstica, empregado para a empresa que trabalha. 
Frequentemente, a conclusão é apresentada (enunciada) primeiro, seguindo-se-lhe as premissas 
propostas em seu apoio. Mas pode corretamente estar no final do argumento ou intercalada entre as premissas. 
Palavras como: portanto, daí, logo, assim, consequentemente, segue-se que, podemos inferir, podemos 
concluir, são indicadores da conclusão. 
 
Aulas 11 e 12 
 
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ARGUMENTO 
 
Argumento é uma linha de raciocínio utilizada em um debate para defesa de um ponto de vista. O 
argumento é o elemento básico para a fundamentação de uma teoria. 
O argumento exprime com freqüência o conceito geral de prova. Chama-se argumento porque estimula a 
mente e a ilumina para intuir a verdade e dar-lhe a sua adesão. 
No mínimo, um argumento envolve duas proposições: uma premissa (ou mais) e uma conclusão. Para se 
distinguir um argumento correto de um incorreto é preciso, antes de mais, reconhecer quando os argumentos 
ocorrem e identificar as suas premissas e conclusões. 
 
EXEMPLO: 
 “Todo  homem  é  mortal” 
 “Eu  sou  um  homem” 
 “Eu  sou  mortal” 
 
EXEMPLO: 
 “Se  eu  receber  dinheiro,  viajo” 
 “Se  eu  viajar,  fico  feliz” 
 “Recebi  dinheiro” 
 “Estou  feliz” 
 
EXEMPLO: 
 “Caso  não  chova,  irei  a  praia” 
 “Caso  vá  à  praia,  bronzeio” 
 “Se  não  chover,  bronzeio” 
 
PROVA 
 
A palavra prova no processo, bem como em outros ramos das ciências, pode assumir diferentes 
conotações. Tanto o é que possui vários sentidos tanto na linguagem popular quanto no uso técnico, e dentre 
eles, o dos juristas. Em direito, prova é qualquer evidência factual que ajude a estabelecer a verdade de algo. 
Prova é todo meio destinado a convencer o juiz, seu destinatário, a respeito da verdade de um fato levado 
a juízo. 
O vocábulo prova serve também para nomear os elementos fornecidos ao juiz, pela atividade probatória, 
para que este, com eles, reconstrua mentalmente aqueles fatos relevantes. 
 
ANALOGIA 
Uma analogia é uma relação de equivalência entre duas outras relações. 
As analogias têm uma forma de expressão própria que segue o modelo: A está para B, assim como C está 
para D. Por exemplo, diz-se que: "Os patins estão para o patinador, assim como os esquis estão para o 
esquiador". Ou seja, a relação que os patins estabelecem com o patinador é idêntica à relação que os esquis 
estabelecem com o esquiador. 
A maior parte das pessoas achará a analogia dos esquis/patins verdadeira. No entanto, é extremamente 
difícil estabelecer de forma rigorosa porque é que é verdadeira. Normalmente, as analogias são fluidas e uma 
análise mais detalhada poderá revelar algumas imperfeições na comparação. Afinal, esquiar e patinar são 
atividades parecidas, mas não são exatamente iguais. 
Em matemática foi desenvolvida uma versão mais formal de analogia, o isomorfismo. 
PREMISSAS 
CONCLUSÃO 
ARGUMENTAÇÃO 
PREMISSAS 
CONCLUSÃO 
ARGUMENTAÇÃO 
PREMISSAS 
CONCLUSÃO 
ARGUMENTAÇÃO 
 
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DEDUÇÃO 
 
Raciocinar dedutivamente, é partir de premissas gerais, em busca de uma verdade particular. 
 
Exemplo: 
 O Ser humano é imperfeito; 
 Eu sou um ser humano; 
 Logo, eu sou imperfeito; 
 
Exemplo: 
 Todo mamífero tem um coração; 
 Todos os cavalos são mamíferos; 
 Logo, todos os cavalos têm coração; 
 
INDUÇÃO 
 
Os “indutivistas” acreditavam que as explicações para os fenômenos advinham unicamente da observação 
dos fatos. Então, raciocinar indutivamente é partir de premissas particulares, na busca de uma lei geral, universal. 
 
EXEMPLO: 
Sabe-se que: 
 O ferro conduz eletricidade 
 O ferro é metal 
 O ouro conduz eletricidade 
 O ouro é metal 
 O cobre conduz eletricidade 
 O cobre é metal 
Logo os metais conduzem eletricidade. 
 
EXEMPLO: 
 Todos os cavalos até hoje observados tinham um coração; 
 Logo, todos os cavalos tem um coração; 
 
O princípio de indução não pode ser uma verdade lógica pura, tal como uma tautologia ou um enunciado 
analítico, pois se houvesse um princípio puramente lógico de indução, simplesmente não haveria problema de 
indução, uma vez, que neste caso todas as inferências indutivas teriam de ser tomadas como transformações 
lógicas ou tautológicas, exatamente como as inferências no campo da Lógica Dedutiva. 
 
 
EXEMPLO 
 
01. Dadas as seguintes premissas 
 Caso não chova no fim de semana, irei a praia 
 Quando vou à praia,como caranguejo 
 Sempre que como caranguejo, tomo refrigerante 
 Esse fim de semana não choveu 
Então a conclusão será que nesse fim de semana 
a) Comi caranguejo e tomei refrigerante 
b) Não comi caranguejo e tomei refrigerante 
c) Comi caranguejo e não tomei refrigerante 
d) Não comi caranguejo e não tomei refrigerante 
 
SOLUÇÃO: 
Representando por siglas as proposições, torna-se mais fácil a representação simbólica. 
 CH: "Chover no fim de semana" 
 P: "Irei a praia" 
 CC: "Comer caranguejo" 
 R: "Tomar refrigerante" 
 
Então, do enunciado, podemos escrever as proposições em linguagem simbólica da seguinte forma: 
 
 ~CH P 
 
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 P CC 
 
 CC R 
 
 ~CH 
 
Partindo  da  proposição  simples  "Não  choveu  no  fim  de  semana"  (~CH),  segue  por  “efeito  dominó”  a  seqüência  
conclusiva representada pelas setas. 
 
~CH P 
 V V 
 
 P CC 
 V V 
 
 CC R 
 V V 
 
~CH 
 V 
 
 
1 
2 
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4 
6 
5 
 
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03. Um advogado usou as proposições a seguir, para argumentar a inocência de seu cliente. 
 Se João não estava na cidade então ele é inocente 
 Se João estava na cidade então almoçou na casa da mãe no domingo 
 Ou João almoçou na casa da mãe no domingo, ou visitou Ana na cidade vizinha 
 Se e somente se João recebeu dinheiro na sexta-feira, visitou Ana na cidade vizinha 
 De acordo com seu extrato, João recebeu dinheiro na sexta-feira 
Tomando como verdadeiras todas as proposições, o júri concluiu que: 
a) João é inocente e não visitou Ana 
b) João é inocente e visitou Ana 
c) João é culpado e não visitou Ana 
d) João é culpado e visitou Ana 
e) O júri não conseguiu chegar a uma conclusão 
 
SOLUÇÃO: 
Sejam 
 JC: "João estava na cidade " 
 I: "Inocente" 
 AM: "almoçou com a mãe" 
 VA: " visitou Ana" 
 RD: "Recebeu dinheiro" 
 
Então, do enunciado, podemos escrever as proposições em linguagem simbólica da seguinte forma: 
 
 ~JC I 
 
 JC AM 
 
 AM VA 
 
 RD VA 
 
 RD 
 
Partindo  da  proposição  simples  "João  recebeu  dinheiro"  (RD),  segue  por  “efeito  dominó”  a  seqüência  conclusiva  
representada pelas setas. 
 
 ~JC I 
 V V 
 
 JC AM 
 F F 
 
 AM VA 
 F V 
 
 RD VA 
 V V 
 
 RD 
 V 
 
Portanto, João é inocente, não almoça com a mãe e visita Ana na cidade vizinha. 
 
RESPOSTA: Item B 
 
04. (IPAD) Se Ludwig entende de Lógica, então há um rinoceronte na sala. Se há um rinoceronte na sala, então 
Bertrand não entende de Lógica. Se Bertrand não entende de Lógica, então George é culpado. Mas George não é 
culpado. Logo: 
a) Há um rinoceronte na sala e Ludwig não entende de Lógica. 
b) Bertrand entende de Lógica e não há um rinoceronte na sala. 
c) Há um rinoceronte na sala e Bertrand não entende de Lógica. 
d) Bertrand não entende de Lógica, mas Ludwig entende. 
e) Não há um rinoceronte na sala e Ludwig entende de Lógica. 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
EFEITO DOMINÓ: 
 1. Transferindo a informação inicial; 
 2. Como ele recebeu dinheiro, tem que ter ido visitar Ana; 
 3. Transferindo essa informação; 
 4. No  “ou...ou”,  somente  uma  das  afirmações  é  verdadeira,  logo  AM  é  F;; 
 5. Transferindo essa informação; 
 6. Se  “JC”  fosse  V,  então  “AM”  tinha  que  ser  V,  logo  “JC”  é  F;; 
 7. A negação sempre tem valor lógico contrário; 
 8. Transferindo essa informação; 
 
 
 
 
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SOLUÇÃO: 
 
Sejam 
 LL RS  :  “Ludwig entende de Lógica, então há um rinoceronte na sala” 
 RS ~BL  :  “Se há um rinoceronte na sala, então Bertrand não entende de Lógica” 
 ~BL GC  :  “Se Bertrand não entende de Lógica, então George é culpado” 
 
Sabendo  que  “George não é culpado”  é  V,  então  GC  é F, segue então 
 
 ~BL GC 
 F F 
 
 RS ~BL 
 F F 
 
 LL RS 
 F F 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
01. Sabe-se que ou João é rico, ou Maria não é bonita. Sabe-se ainda que ou Maria é bonita ou José é 
carpinteiro. Ora, José não é carpinteiro. Logo: 
a) Maria não é bonita 
b) João não é rico 
c) José é rico 
d) José não é rico 
e) Maria é bonita 
 
02. Se João é rico, Maria é bonita. Se Maria é bonita, José é carpinteiro. Ora, José não é carpinteiro. Logo: 
a) Maria é bonita 
b) João é rico 
c) José é rico 
d) João não é rico 
e) Maria é rica 
 
03. Se Ana não é advogada, então Sandra é secretaria. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. 
Ora, Paula é professora, portanto: 
a) Ana é advogada 
b) Sandra é secretária 
c) Ana é advogada ou Paula não é professora 
d) Ana é advogada e Paula é professora 
e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária. 
 
04. Receber dinheiro é condição suficiente para eu viajar. Viajar é condição suficiente para eu ficar feliz. 
Fazer uma boa ação é condição necessária para eu ficar feliz. Sabendo que eu recebi dinheiro, então: 
a) Estou feliz e fiz uma boa ação. 
b) Estou feliz, mas não fiz uma boa ação. 
c) Não estou feliz, mas fiz uma boa ação. 
d) Não estou feliz e não fiz uma boa ação. 
 
05. (ESAF) Ou A=B, ou B=C, mas não ambos. Se B=D, então A=D. Ora, B=D. Logo: 
a) B C 
b) B A 
c) C = A 
d) C = D 
e) D A 
 
GABARITO 
01. E 02. D 03. B 04. A 05. A 
Conclusões: 
 
Como  ~BL  é  F,  então  BL  é  V,  logo  “Bertrand  entende  de  lógica” 
 
Como  RS  é  F,  então  ~RS  é  V,  logo  “Não  há  um  rinoceronte  na  sala” 
1 
2 
3 
4 
5 
 
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 EXERCÍCIOS 
 
01. Observe a seqüência de figuras desenhadas: 
 
 
 
Procure entender a lógica dessa seqüência e aponte qual será a 100ª figura. 
a) b) c) d) e) 
 
 
 
02. Considere a seqüência de figuras: 
 
 
 
 
 
Mantendo a mesma lei de formação, a 1ª figura é igual à 
a) 11ª figura 
b) 12ª figura 
c) 13ª figura 
d) 14ª figura 
e) 15ª figura 
 
03. (FCC) Em cada linha do quadrado abaixo, as figuras foram desenhadas obedecendo a um mesmo 
padrão de construção. 
 
Segundo esse padrão, a figura que deverá substituir corretamente o ponto de interrogação é 
a) b) c) d) e) 
 
04. (FCC) José decidiu nadar no clube, regularmente, de quatro em quatro dias. Começou a fazê-lo em um 
sábado; nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte, depois no domingo e assim por diante. Nesse 
caso, na centésima vez em que José for nadar, qual será o dia da semana? 
a) terça 
b) quarta 
c) quinta 
d) sexta 
e) sábado 
 
05. (FCC) Regina e Roberto viajaram recentemente e voltaram três dias antes do dia depois do dia de antes 
de amanhã. Hoje é terça-feira. Em que dia Regina e Roberto voltaram? 
a) quarta 
b) quinta 
c) sexta 
d) sábado 
e) domingo 
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4 
. . . 
Aulas 13 e 14 
 
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06. (FCC) Se b
a é o sexto termo da seqüência de frações irredutíveis 
3
1 , 
3
7 , 
15
7 , 
15
31 , 
63
31 ,... . Se ela está 
logicamente estruturada, então a+b é igual a: 
a) 190 
b) 182 
c) 178 
d) 202 
 
07. (FCC) Considere que os números que compõem a seqüência (414, 412, 206, 204, 102, 100,...) obedecem 
a um lei de formação. A soma do nono e décimo termos dessa seqüência é igual. 
a) 98 
b) 72 
c) 58 
d) 46 
e) 38 
 
08. (FCC) Os termos da seqüência (2, 5, 8, 4, 8, 12, 6, 11, 16, ...) são obtidos através de uma lei de 
formação. Determine a soma do décimo e do décimo segundo termos dessa seqüência, obtidos segundo 
essa lei. 
a) 28 
b) 29 
c) 30 
d) 31 
e) 32 
 
09. (FCC) Segundo um determinado