Material complementar de Amostragem

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Conceitos de amostragem
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ESTATÍSTICA APLICADA À GEOGRAFIA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ – UFPI
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
CURSO DE LICENCIATURA EM GEOGRAFIA
DISC.: ESTATÍSTICA APLICADA À GEOGRAFIA
PROF. MAX BRANDÃO DE OLIVEIRA
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Roteiro
 CONCEITOS GERAIS
 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
 AMOSTRAGEM POR CONCLOMERADOS
 CÁLCULO DO TAMANHO AMOSTRAL
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Conceitos gerais
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Conceitos Gerais
• Estatística Descritiva ou Dedutiva : trata da apuração,
apresentação, análise e interpretação dos dados
observados (descreve as amostras ou a população);
• Estatística Indutiva ou Inferência Estatística: método
que parte do particular para o geral, ou seja, o processo
pelo qual são feitas generalizações para a população, à
partir da amostra.
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População:
É a totalidade dos elementos de características comuns,
pertencentes a um universo sobre o qual se deseja
estabelecer conclusões ou exercer ações. Ela pode ser
finita ou infinita.
Conceitos Gerais
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Tipos de População:
a) Finita
É a população onde se consegue contar todos os
elementos que a formam, ou seja, possui um número
limitado de elementos.
Ex.: Número de trabalhadores entre 2010 e 2013 na FSA;
Número de alunos matriculados na disciplina em 2014.2.
Conceitos Gerais
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Tipos de População:
a) Infinita
Não se consegue contar todos os elementos que a
formam. Geralmente está associada à processos, e o
número de observações tende a ser infinito.
Ex.: Um técnico de laboratório pesando um certo material,
poderia, em cada pesagem, obter uma leitura de certo modo
diferente.
Jogadas sucessivas de uma moeda.
Conceitos Gerais
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Amostra:
É um subconjunto, uma parte selecionada da totalidade
de observações abrangidas pela população, através do
qual se faz um juízo ou inferência sobre as características
da população.
Conceitos Gerais
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Exemplos:
a) Estudo sobre o conteúdo se ferro natural exportado por um
navio.
População: Todo o minério de ferro a ser exportado.
Amostra: Parte do minério a ser exportado.
b) Estudo sobre os alunos matriculados na disciplina Prob. e
Est. na FSA, 2014.2.
População: Alunos matriculados em Prob. e Est.
Amostra: 50% dos alunos matriculados em Prob. e Est.,
escolhidos aleatoriamente.
Conceitos Gerais
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Exemplos:
c) Estudo da situação socioeconômica dos habitantes de
Teresina, com renda entre 1 e 5 salários mínimos, 2014.
População: Habitantes de Teresina com renda entre 1 e 5
salários mínimos.
Amostra: 20% dos habitantes de Teresina com renda entre 1 e
5 salários mínimos, escolhidos ao acaso.
Conceitos Gerais
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Amostragem:
É a técnica de extrair amostras de uma população.
Existem 2 tipos de amostragem Probabilística e Não
Probabilística.
Conceitos Gerais
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Amostragem Probabilística:
Uso de técnicas que usam mecanismos aleatórios de
seleção dos elementos da amostra, atribuindo a cada um
deles uma probabilidade, conhecida a priori, de pertencer
à amostra.
Conceitos Gerais
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Amostragem Não Probabilística:
• Amostras intencionais, onde os elementos são
selecionados com o auxílio de especialistas;
• Amostras de voluntários, como ocorre com alguns
testes sobre novos remédios.
Conceitos Gerais
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Consideremos uma pesquisa para estudar os salários de
500 funcionários de uma grande empresa. Seleciona-se
36 indivíduos, e anota-se os seus salários.
a) Qual a variável observada?
b) Quem é a população?
c) Quem é a amostra?
Conceitos Gerais
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Parâmetros:
São as características da população, os quais são valores
fixos e ordinariamente desconhecidos.
É importante ficar bem claro que uma população é estudada em
termos de observações de características nos indivíduos, e não em
termos de pessoas ou objetos em si.
Conceitos Gerais
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Estimativas:
São as características da população, os quais são valores
fixos e ordinariamente desconhecidos.
É importante ficar bem claro que uma população é estudada em
termos de observações de características nos indivíduos, e não em
termos de pessoas ou objetos em si.
Conceitos Gerais
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Amostragem Aleatória Simples - AAS
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AAS
• Para se realizar esse tipo de amostragem enumeram-se todos os
elementos da população alvo
• Sorteiam-se n elementos dessa sequência através de um
dispositivo aleatório qualquer
• Esse tipo de amostragem pode ser realizado com reposição ou
sem reposição
• Para realizar esse tipo de amostragem a população deve ser
uniforme internamente ou homogênea
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AAS
• A homogeneidade é difícil de ser determinada,
• Com reposição:𝑁𝑛 amostras possíveis
• Sem reposição: 𝑁𝑛 amostras possíveis
• Exemplo: Seja a população formada por N = 3 elementos, {A, B,
C}. Selecionaremos uma amostra de tamanho n = 2
• Sem reposição, temos 3² = 9
• Com reposição, temos 3
2
= 3
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Amostragem Sistemática (AS)
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Amostragem Sistemática (AS)
• É uma simplificação da AAS
• Neste caso o primeiro elemento é sorteado e os demais são
retirados em uma progressão aritmética, com uma
determinada razão r, ate completar o total de elementos da
amostra (n)
• Para isso a população deve estar disposta de tal forma que se
consiga sistematizar a forma de obter as unidades amostrais
• Exige uma determinada homogeneidade da população
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Amostragem Sistemática (AS)
• Exemplo: Uma determinada região possui 10.000 plantas 
de eucaliptos. Obter uma amostra de 50 plantas (n=50)
• A razão é r = 10.000/50 = 200
• Sorteia-se o primeiro elemento da amostra
• Com razão 200, o demais elementos são amostrados
• Ou seja, se sorteou-se o elemento 20, a amostra será 
{20, 220, 420, 620, ..., 9.820 }
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Amostragem Estratificada (AE)
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Amostragem Estratificada (AE)
• População é constituída de subpopulações (estratos)
que são homogêneos internamente
• Podendo ser heterogêneos de estrato para estrato
• A amostragem deve ser realizada fazendo com que
todos os estratos populacionais sejam representados
na amostra final obtida
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Amostragem Estratificada (AE)
• Para especificar número de elementos por estrato que irá
compor a amostra, são considerados três métodos:
uniforme, proporcional e ótima
• Esses métodos dependem basicamente do tamanho dos
estrados populacionais e de sua variabilidade
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Amostragem Estratificada (AE)
• Uniforme:
• De K estratos retiram-se amostras de mesmo tamanho
• Usada quando os estratos populacionais possuem
aproximadamente o mesmo tamanho (freqüência)
• O tamanho amostral do i-ésimo estrato é dado por
𝑛𝑖 =
𝑛
𝑘
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Amostragem Estratificada (AE)
• 𝑛𝑖 é o tamanho do i-ésimo estrato
• 𝑛 é o tamanho da amostra completa
• K é a quantidade de estratos
• Exemplo: Considere uma situação fictícia de uma em
que se pretende amostrar n = 50 propriedades de uma
população com N = 500 propriedades rurais,
distribuídas em relação ao tamanho de suas áreas
conforme Tabela 1
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Amostragem Estratificada (AE)
Tabela 1: Número de propriedades amostradas 
uniformemente de uma população estratificada pela área
Áreas (ha)
Número de 
propriedades
Tamanho 
amostral
0 ⊢ 2 100 10
2 ⊢ 5 98 10
5 ⊢ 10 104 10
10 ⊢ 20 102 10
20 ⊢ 40 96 10
Total 500 50
Fonte: Ferreira (1996)
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Amostragem Estratificada (AE)
• Proporcional:
• Esse tipo de amostragem é realizado quando os
tamanhos dos estratos populacionais são distintos
• O estrato 𝑖 fornece uma quantidade 𝑛𝑖 de elementos,
proporcional ao tamanho 𝑁𝑖 populacional do
respectivo estrato, formando a amostra de tamanho 𝑛
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Amostragem Estratificada(AE)
• O tamanho do estrato i (i = 1,2, ..., K) é dado por
𝑛𝑖 =
𝑁𝑖
𝑁
𝑛
• Exemplo: Considere outra situação em uma outra
região que se pretendia caracterizar o padrão
tecnológico da agricultura utilizada
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Amostragem Estratificada (AE)
• Exemplo (continuação): Conforme o caso anterior uma
amostra de n = 50 elementos deve ser extraída da
população de N = 1.000 propriedades existentes e
distribuída conforme as áreas apresentadas na Tabela 2
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Amostragem Estratificada (AE)
Tabela 2: Número de propriedades amostradas proporcionalmente 
de uma população estratificada quanto à área
Áreas (ha)
Número de 
propriedades
Tamanho 
amostral
0 ⊢ 2 500 25
2 ⊢ 5 320 16
5 ⊢ 10 100 5
10 ⊢ 20 50 3
20 ⊢ 40 30 1
Total 1.000 50
Fonte: Ferreira (1996)
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Amostragem Estratificada (AE)
• Ótima:
• São considerados o tamanho e a variabilidade de cada
estrato populacional para a extração da amostra
• De cada estrato retira-se uma quantidade 𝑛𝑖 de
elementos
• É proporcional ao tamanho (𝑁𝑖) e ao desvio padrão
populacional do respectivo estrato (𝜎𝑖)
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Amostragem Estratificada (AE)
• Então, 𝑛𝑖 é dado por
𝑛𝑖 =
𝑁𝑖𝜎𝑖𝑛
 𝑖=1
𝑘 𝑁𝑖𝜎𝑖
• A obtenção de informações sobre a população é
otimizada, pois no estrato que houver menor variação
haverá uma menor quantidade de elementos
amostrados
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Amostragem Estratificada (AE)
• Necessidade de conhecer o desvio padrão
populacional em cada estrato, para a variável
estratificadora é a principal dificuldade
• A variabilidade da variável estratificadora que tem
influência direta na variável resposta alvo da pesquisa
pode ser usada
• Usam-se amostras piloto para estimar a variabilidade
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Amostragem por Conglomerado (AC)
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Amostragem por Conglomerado (AC)
• A população apresenta uma subdivisão natural de
grupos menores (denominados conglomerados)
• sorteia-se um número suficiente desses grupos (ou
conglomerados)
• Dentro dos conglomerados selecionam-se todos os
elementos do conglomerado sorteia-se parte dos
elementos para compor a amostra ou
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Amostragem por Conglomerado (AC)
• Esse tipo de amostragem tem menor custo que os
anteriores
• Na AC, os conglomerados são internamente
heterogêneos e homogêneos entre si
• Exemplo: Estimar o número de cabeças de gados de
certa região. Sorteiam-se alguns municípios dessa
região e dentro deles algumas propriedades para
compor a amostra
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Cálculo do tamanho amostral
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Cálculo do tamanho amostral
• Dados os procedimentos para realizar a amostragem, é
agora necessário saber calcular o tamanho amostral 𝑛
• Podemos obter o tamanho amostral em dois cenários
1. População finita (se conhece o tamanho da
população N)
2. População infinita (se desconhece N)
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Cálculo do tamanho amostral
1. População infinita
• Obtemos 𝑛 em função de
𝑛 =
𝑍𝛼/2𝜎
𝜀
2
• Onde 𝜀 é o erro máximo de estimativa que se deseja
cometer
• Quanto maior esse erro, menor o 𝑛 e vice-versa
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Cálculo do tamanho amostral
• 𝜎 é o desvio padrão populacional
• Quanto maior esse desvio, maior o 𝑛 e vice-versa
• 𝑍𝛼/2 é o quantil referente ao nível de significância 𝛼
• Obtemos esse valor utilizando a tabela da normal padrão
• Os principais valores de 𝛼 são 1%, 5% e 10% e seus respectivos
quantis são 2,57; 1,96 e 1,64
• Veja que quanto maior a confiança (1 − 𝛼) e menor o nível de
significância 𝛼, maior o tamanho da amostra e vice-versa
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Cálculo do tamanho amostral
• Exemplo: Um administrador deseja estimar a renda
média para o primeiro ano de trabalho de um bacharel
em administração. Quantos valores de renda devem
ser tomados, se desejar ter 95% de confiança e em
que a média amostral esteja a menos de R$500,00 da
verdadeira média populacional? Suponha que 𝜎 = R$
6250,00
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Cálculo do tamanho amostral
• Solução:
• Como 𝛼 = 5%, 𝑍0.05/2 = 1,96
• O erro de estimativa 𝜀 = 600
• Assim,
𝑛 =
1,96 𝑥 6.250
600
2
= 416,84 → 417
• Seriam necessárias 417 pessoas
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Cálculo do tamanho amostral
• Outra forma de calcular o 𝑛 é com base na proporção
𝑛 =
𝑍 𝛼 2
2 𝑝(1 − 𝑝)
𝜀2
• 𝑍𝛼/2 e 𝜀 têm o mesmo significado
• 𝑝 é a proporção populacional de indivíduos de que
pertencem à categoria de interesse
• Quando 𝑝 for desconhecido, usamos 𝑝 = 0,5 , pois
expressa a maior variabilidade
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Cálculo do tamanho amostral
• Exemplo: Um estatístico deseja saber o tamanho da
amostra (n) necessário para determinar a proporção
da população atendida por uma Unidade de Saúde.
Não foi feito um levantamento prévio da proporção
amostral e, portanto, seu valor é desconhecido.
Deseja-se ter 90% de confiança e o erro máximo de
estimativa de ±5% (ou 0,05). Quantas pessoas
necessitam ser entrevistadas?
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Cálculo do tamanho amostral
• Solução:
• Como 𝛼 = 5%, 𝑍0.05/2 = 1,96
• O erro de estimativa 𝜀 = 0,03 e 𝑝 = 0,5
• Assim,
𝑛 =
1,962 𝑥 0,25
0,032
= 1067,11 → 1068
• Se 𝜀 = 0,05 → 𝑛 =
1,962 𝑥 0,25
0,052
= 384,16 → 385
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Cálculo do tamanho amostral
2. População finita
• Quando se conhece o tamanho populacional, usamos
𝑛 =
𝑁𝜎2𝑍 𝛼 2
2
𝑁 − 1 𝜀2 + 𝜎2𝑍 𝛼 2
2
• Com base na proporção,
𝑛 =
𝑁𝑝(1 − 𝑝)𝑍 𝛼 2
2
𝑁 − 1 𝜀2 + 𝑝(1 − 𝑝)𝑍 𝛼 2
2
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Cálculo do tamanho amostral
• Os parâmetros empregados são equivalentes ao caso
quando a população é infinita
• Perceba que ambos os casos são semelhantes,
bastando substituir 𝜎2 por 𝑝(1 − 𝑝)
• Em comum, o tamanho populacional é desconhecido
• Destaca-se a importância de antes de calcular o
tamanho amostral, é importante planejar a
amostragem com rigor
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FIM