Mecânica dos Sólidos 3

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Mecânica dos Sólidos
UNIDADE 4
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MECÂNICA DE SÓLIDOS
GUIA DA UNIDADE IV
Para início de conversa
Caro (a) estudante, vamos dar continuidade ao estudo da nossa disciplina. Acredito que ao longo da nossa 
jornada acadêmica você adquiriu conhecimentos de extrema importância para seu futuro profissional. 
Conto com sua participação e determinação em nossa IV unidade.
orientações da disciPlina
Olá estudante, seja bem-vindo à nossa IV unidade!
Iniciaremos este guia estudando o equilíbrio de corpos sólidos, depois recorreremos 
às equações de equilíbrio da estática para impor as condições de equilíbrio, lembrando que um corpo 
sólido para se encontrar em equilíbrio deve satisfazer as condições de equilíbrio de translação e de 
rotação, ok?
Gostaria de lembrar a importância da leitura do seu livro texto. Ele irá nortear seus estudos. Você ainda 
tem à sua disposição a nossa biblioteca virtual para acessar e fazer novas pesquisas. 
Ao final da nossa unidade, coloque em prática seu conhecimento e responda as atividades e os fóruns 
avaliativos.
Preparado (a)? Espero que sim!
Guarde essa ideia
O equilíbrio de translação é imposto com a equação de força, ou seja, Fr = 0 (Força 
resultante igual a zero) e o equilíbrio de rotação é satisfeito pela equação de momento, 
portanto escrevemos MR = 0 (Momento resultante igual a zero).
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eQuilíBrio de corPos sÓlidos
Diagramas de corpo livre para equilíbrio em três dimensões. Veremos quais são os cálculos necessários 
para se considerar o equilíbrio durante a ação de forcas tridimensionais. Para isso, conheceremos o 
diagrama de corpo livre e o que é preciso para desenhá-lo.
leitura comPlementar
Agora caro (a) aluno (a), peço que faça a leitura da página 96 a 106 e acompanhe a 
resolução dos exercícios.
E aí, fez a leitura recomendada? Ótimo, pois agora começaremos o estudo das treliças. 
estudo das treliças
Caro (a) aluno (a), antes de contextualizar o estudo das treliças recomendo que você faça a leitura do 
seu livro texto da página 109 a 115. Em seguida, retorne a leitura do seu guia.
E aí, fez a leitura recomendada? Ok.
introduçÃo a treliça Plana
Imagina-se que o arquiteto italiano Andrea palladio (1508 – 1580) tenha sido o primeiro a usar treliças 
modernas, embora a base de seus projetos seja desconhecida. Ele pode ter recuperado alguns projetos 
romanos e provavelmente dimensionou os elementos das treliças utilizando algumas regras práticas 
(talvez antigas regras romanas). 
Os muitos escritos de Palladio sobre arquitetura incluíam descrições detalhadas e desenhos de treliças de 
madeira muito semelhantes às usadas nos dias de hoje. 
Depois dessa época, as treliças foram esquecidas por cerca de 200 anos, até serem reintroduzidas pelo 
projetista suíço Ulric Grubermann.
você saBia?
Mas afinal, o que é uma treliça? Uma treliça é uma estrutura formada por um grupo 
de elementos dispostos na forma de um ou mais triângulos. Por ser admitido que os 
elementos estejam ligados entre si por pinos lisos (sem atrito), o triângulo é a única 
forma estável.
Frequentemente, os engenheiros projetistas ficam preocupados com a seleção de uma treliça ou de uma 
viga para vencer um determinado vão. Não havendo outro aspecto a ser considerado, provavelmente a 
decisão irá se fundamentar no aspecto econômico. 
Se for escolhida uma treliça para vencer um determinado vão, quase sempre será usada a menor 
quantidade de material, entretanto, o custo de fabricação e montagem de uma treliça será provavelmente 
maior do que o necessário para uma viga. 
Para pequenos vãos, o custo total de vigas (custo de material mais o custo de fabricação e montagem) 
seguramente será menor, mas à medida que os vãos se tornarem maiores, os custos mais altos de 
fabricação e montagem das treliças serão muito compensados pela redução do peso total do material 
usado. 
???
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Uma vantagem adicional de uma treliça é que, para a mesma quantidade de material, ela pode apresentar 
maior rigidez do que uma viga com o mesmo vão.
Palavras do Professor
Caro (a) aluno (a), quando calcularmos os esforços nas barras de uma treliça, admitiremos as seguintes 
hipóteses:
Hipótese Para Análise de treliças:
1. Os elementos das treliças são ligados entre si por meio de pinos lisos (sem atrito). Na realidade, 
poucas treliças usam conexões com pinos, e não existem pinos lisos sem atrito. Uma conexão 
com grande número de parafusos ou solda é muito diferente de um pino liso.
2. Os elementos das treliças são retilíneos. Se não fossem retilíneos, as forças axiais fariam com 
que surgissem momentos fletores atuantes nas barras.
3. O deslocamento da treliça é pequeno. As cargas atuantes fazem com que os elementos da 
treliça sofram alteração de comprimento, o que por sua vez faz com que a treliça se deforme. As 
deformações em uma treliça não são de valor suficiente para causar mudanças significativas na 
forma e nas dimensões globais da treliça.
4. As cargas são aplicadas exclusivamente nos nós. Os elementos são montados de forma que as 
cargas e as reações são aplicadas exclusivamente nos nós (juntas ou conexões) da treliça.
O exame de treliça de telhado e de pontes mostrará que essa última hipótese é geralmente verdadeira. 
Vigas pilares e elementos de alavancas ligam-se diretamente aos nós das treliças de edifício com treliças 
de telhados.
Cálculo dos esforços nas barras de uma treliça
Caro (a) aluno (a), aqui passaremos a estudar os métodos para calcular os esforços nas barras de uma 
treliça e utilizaremos dois métodos que são bastante eficazes.
método dos nós
Pode-se passar uma seção imaginária em torno de um nó de uma treliça, independentemente de sua 
posição, isolando-o completamente do restante da estrutura. O nó torna-se um corpo livre em equilíbrio 
sob as forças a ele aplicadas. 
As equações de equilíbrio aplicáveis, , , podem ser aplicadas ao nó, para determinar 
as forças desconhecidas aplicadas às barras.
exemPlos de aPlicações
01) determine as forças que atuam em todos os elementos da treliça mostrada na figura e indique se 
os elementos estão sob tração ou compressão.
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Solução: 
Cálculo das reações de apoio.
Somatório das forças no eixo x igual a zero.
- Ha + 3 = 0 
Ha = 3 kn
Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A igual a zero e arbitrando o sentido anti-horário 
positivo.
Como as forças VA e HA não causam momento no ponto A temos:
vc x 4 – 3 x 2 = 0
4vc = 6
vc = 6/4
vc = 1,5 kn
Somatório das forças no eixo y igual a zero.
5
va + vc = 0
va + 1,5 = 0
va = -1,5 kn (o sinal negativo indica que o sentido de va é para baixo)
Somatório das forças no eixo y igual a zero.
nó c
Somatório das forças no eixo x igual a zero.
fcB sen (45) – fcd cos (30) = 0
fcB x 0,71 – fcd x 0,87 = 0
fcB x 0,71 = fcd x 0,87 
fcB = (fcd x 0,87) / 0,71
fcB = 1,23 fcd (equação i)
Somatório das forças no eixo y igual a zero.
fcd sen (30) – fcB cos (45) + 1,5 = 0
fcd sen (30) = fcB cos (45) – 1,5 
fcd x 0,5 = 0,71 fcB – 1,5 (equação ii)
Substituindo a equação (FCB = 1,23 FCD: Equação I), na equação II, temos:
0,5 fcd = 0,71 (1,23 fcd) – 1,5
0,5 fcd = 0,87 fcd – 1,5
0,5 fcd – 0,87 fcd = - 1,5 
-0,37 fcd = - 1,5
6
fcd = 4,05 kn (tração)
Voltando a equação I.
fcB = 1,23 fcd
fcB = 1,23 x 4,05
fcB = 4,98 kn ( compressão )
v
nó d.
Somatório das forças no eixo x igual a zero.
4,05 cos (30) – fda cos (30) = 0
fda cos (30) = 4,05 cos (30) 
fda = 4,05 kn (tração)
Somatório das forças no eixo y igual a zero.
fdB – 4,05 sen (30) – fda sen (30) = 0
fdB = 4,05 x 0,5 + 4,05 x 0,5
fdB = 4,05 kn (tração)
7
Somatório das forças no eixo y igual a zero.
4,98 x cos (45) – fBa cos (45) – 4,05 = 0
fBa cos (45) = - 4,05 + 4,98 x cos (45)
fBa (0,71) = 
02) determine as forças que atuam em todos os elementos da treliça mostrada na figurae indique se 
os elementos estão sob tração ou compressão. 
Solução:
Somatório das forças no eixo x igual a zero.
- Ha + 3 = 0 
Ha = 3 kn
Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A igual a zero e arbitrando o sentido anti-
horário positivo.
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Como as forças VA e HA não causam momento no ponto A, temos:
ve x 4 – 10 x 4 – 4 x 2 – 3 x 1,5 = 0
ve x 4 = 10 x 4 + 4 x 2 + 3 x 1,5 
4 ve = 40 + 8 + 4,5
4ve = 52,5
ve = 52,5/4
ve= 13, 12 kn
Somatório das forças no eixo y igual a zero.
va + ve – 10 – 4 – 8 = 0
va + 13,12 – 10 – 4 – 8 = 0
va + 13,12 – 22 = 0
va - 8,88 = 0
va = 8,88 kn
03) determine as forças que atuam nos elementos CD e CB da treliça mostrada na figura e indique se 
os elementos estão sob tração ou compressão. Dados: P1 = 2kN e P2 = 1,5kN.
dica
Neste exercício iremos resolver a treliça sem que haja necessidade de calcular as 
reações nos apoios. Começaremos pelo nó C.
Construção do diagrama de corpo livre do nó C.
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Somatório das forças no eixo x igual a zero.
fcd – fcB x cos (30) = 0
fcd = 0,87 fcB
Somatório das forças no eixo y igual a zero.
fcB sen (30) – 1,5 = 0
fcB x 0,5 = 1,5
fcB = 1,5/0,5
fcB = 3 kn (tração)
, mas fcd = 0,87 fcB
fcd = 0,87 x 3 
fcd = 2,61 k n (compressão)
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método das seções 
Para utilizar este método, efetuamos o corte imaginário em uma seção da treliça e daí utilizaremos as 
equações de equilíbrio de um corpo rígido. Fique atento (a) ao exemplo:
exemPlo
05) Através do método das seções, determine as forças nos elementos BC, HC e HG para a treliça da 
ponte e indique se eles estão sob tração ou compressão.
Solução:
Cálculo das reações de apoio.
-va x 12 + 12 x 9 + 14 x 6 + 18 x 3 = 0
- 12 va = - 12 x 9 - 14 x 6 - 18 x 3
va = ( 12 x 9 + 14 x 6 + 18 x 3 ) / 12
va = 30,5 kn
No método das seções faremos um corte imaginário na treliça interceptando os elementos os quais 
desejamos analisar (no caso os elementos BC, HC e HG). 
E para facilitar os cálculos, consideraremos a seção à esquerda da treliça.
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Aplicando as equações de equilíbrio temos:
- 30,5 x 9 +12 x 6 + 14 x 3 – f3 x 3 = 0
3 f3 = - 30,5 x 9 + 12 x 6 +14 x 3
f3 = (- 30,5 x 9 + 12 x 6 +14 x 3) /3
f3 = (-274,5 + 72 + 42) / 3
f3 = - 53,5 kn ( tração )
30,5 – 12 – 14 – f2 cos (45) = 0
f2 cos (45) = 30,5 – 12 – 14
f2 cos (45) = 4,5 
f2 = ( 4,5 ) / ( cos (45 ) )
f2 = 6,34 kn (compressão) 
– f1 – f2 cos (45) – f3 = 0
– f1 – 6,34 (0,71) – (-53,5) = 0
f1 = 53,5 – 6,34 x (0,71) 
f1 = 50 kn (compressão)
centro de massa
Um movimento complicado de um sistema de objetos pode ser simplificado determinando um ponto 
especial do sistema.
O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se: 
1) Toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto;
2) Todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.
Para formas geométricas regulares o centro de massa (CM) coincide com seu centro de simetria.
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Fonte: Autor, 2015
localiZaçÃo do centro de massa
sistema de Partículas:
	
  
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corpos rígidos
Um corpo é composto de uma série infinita de partículas de tamanho diferenciado, e assim, se o corpo 
estiver localizado dentro de um campo gravitacional, então cada uma das partículas terá um peso dW.
Esses pesos formarão um sistema de forças aproximadamente paralelas, e a resultante desse sistema é 
o peso total do corpo, que passa por um único ponto chamado centro de gravidade, G.
Aplicando o Princípio dos Momentos em relação ao eixo y: 
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Momento do peso elementar = xdW
Somatório dos momentos dos pesos elementares = ʃ xdW
Momento da força gravitacional resultante = W
 
 
centro de massa
dica
Importante para estudar a resposta dinâmica ou movimento acelerado de um corpo.
Enquanto o campo gravitacional for tratado como uniforme e paralelo, o centro de massa de um corpo 
coincide com o seu centro de gravidade.
centro de massa versus centro de Gravidade
Palavras do Professor
Não tem sentido falar do centro de gravidade de um corpo que seja retirado do campo gravitacional da 
Terra, pois nenhuma força gravitacional atuaria nele, entretanto, o corpo ainda teria o seu centro de 
massa particular.
centróide ou centro Geométrico
Propriedade puramente geométrica do corpo, independente da massa do corpo.
Quando a massa específica do corpo é uniforme, o centro de massa coincide com o centro geométrico. 
Fique atento (a) ao exemplo:
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exemPlo
01) localize o centróide do segmento de fio circular mostrado na figura abaixo. 
01) Resolução
Escolher o eixo x como eixo de simetria, faz com que a coordenada y do centróide seja 0.
 
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02) determine a distância desde a base de um triângulo de altura h até o centróide de sua área.
Por semelhança de triângulo temos:
Substituindo a equação II na equação I obtemos:
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cálculo do elemento de Área da
03) determine a localização do centro de massa do cilindro mostrado na figura, se sua 
densidade varia diretamente com a sua distância a partir de sua base, ou seja, ρ = 200z kg/m³. 
Observando a simetria do sólido em relação ao eixo Z, concluímos que:
	
  
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corPos comPostos
Um corpo composto consiste em um conjunto de corpos de formas “mais simples” que podem ser 
retangulares, triangulares, semicirculares, etc. 
Esse corpo frequentemente pode ser segmentado ou dividido em suas partes constituintes e, contanto 
que o peso e a localização do centro de gravidade de cada uma dessas partes sejam conhecidos, 
podemos eliminar a necessidade de integração para obter o centro de gravidade do corpo como um todo.
Como podemos considerar um número finito de pesos: 
Quando o corpo tem densidade constante, o centro de gravidade coincide com o centróide do corpo.
 
O centróide para linhas, áreas e volumes compostos, pode ser encontrado utilizando as relações análogas 
às equações anteriores, no entanto os Ws são substituídos por L, A e V.
Palavras do Professor
Prezado (a) aluno (a), chegamos ao final da nossa IV unidade e espero ter colaborado de maneira positiva 
para seu aprendizado. 
Não deixe de acessar o ambiente e responder as atividades e os fóruns. Não se esqueça que eles possuem 
critérios avaliativos na composição da sua média. 
Em caso de dúvidas, não perca tempo e pergunte ao seu tutor!
Sucesso sempre!