Prova_1

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Engenharia Mecânica 
 
 Profa. Me. Samanta Santos da Vara Vanini 
Prova 1 – 1a Etapa 
Nome:______________________________Turma:____Data:_______Peso: 4,0 Nota:____ 
Obs.: Todas as questões devem ter desenvolvimento para serem consideradas. 
Todas as respostas devem estar escritas a caneta. 
 
1) O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores 
AB
 e 
AD
, sendo M e 
N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Desenhe os seguintes 
vetores: 
a) 
1
2
BM DC
 b) 
AN BC
 
 
2) Provar que os pontos A (5,1,5), B (4,3,2) e C (-3,-2,1) são vértices de um 
triângulo retângulo. 
 
3) Determinar o vetor 
v
, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições 
1. 10v v 
 e 
2. 5v v  
, sendo 
 1 2,3, 1v  
 e 
 2 1, 1,2v  
. 
 
4) Sejam os pontos A (1,2,-1), B (-1,0,-1) e C (2,1,2). Determine o pé da altura 
do triângulo relativa ao vértice A. 
 
5) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 
2a b
 e 
b a
, 
sendo 
 3, 1, 2a   
 e 
 1,0, 3b  
. 
 
6) Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A (3,2,1) e 
uma diagonal de extremidades B (1,1,-1) e C (0,1,2). 
 
7) Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo A (1,0,0), B(0,1,0), C (0,0,1) e 
D (4,2,7). 
 
8) Determinar o vetor 
v
, sabendo que 
5v 
, 
v é ortogonal ao eixo Oz, 
. 6v w 
e 
2 3w j k 
. 
 
9) Dados os vetores 
( 1,2,1)u  
 e 
(0, 1,3)v  
, calcule o versor do vetor 
2u v
. 
 
10) Dados os vetores 
a
 e 
b
 que formam entre si um ângulo de 60o e sabendo 
que 
5a 
 e 
12b 
 , determine 
a b .
 
 
 
 
 
Fórmulas: 
 
2 2 2
2. .u v u u v v   
 
 
2 2 2
2. .u v u u v v   
 
 
 , ,pV u v w
 
 
 1 , ,
6
tV AB AC AD
 
 
1
2
A AB x AC 
 
 
. 0u v 
 
 
1 2 1 2 1 2. . . .u v x x y y z z  
 
 
.
cos
.
u v
u v
 
 
 
2 2 2v x y z  
 
 
v
u
v

 
 
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
 
 
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
, ,
x y z
u v w x y z
x y z
 
 
( , , )
, ,
v x y z x y z
u
v v v v v
 
   
 
 
 
 
.
. .
.
v
u v
proj u v
v v
 
  
 
 
 
2 2 2cos cos cos 1     
 
 
1 1 1
2 2 2
i j k
u xv x y z
x y z
 
cos
cos
cos
x
v
y
v
z
v






 
 
. .axb a b sen
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
1. a) BM + MD = BD b) AN + NM = AM 
 
2. AB . BC = 0, ângulo reto em B 
 
3. v = (-1,4,0) 
 
4. H (5/19, 8/19, 5/19) 
 
5. x (1,7/3,1/3) ou x (3,7,1) 
 
6. √74 u.a. 
 
7. 2 u.v. 
 
8. (4,3,0) ou (-4,3,0) 
 
9. (-2/√30, 5/√30, -1/√30) 
 
10. √109