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Apostila desenho

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TTEECCNNOOLLOOGGIIAA EEMM AAUUTTOOMMAAÇÇÃÃOO IINNDDUUSSTTRRIIAALL 
DDEESSEENNHHOO TTÉÉCCNNIICCOO
PPrrooffaa.. KKaattiiaa CCaannddiioottoo 
Quais as diferenças entre 
o desenho técnico e o desenho artístico? 
O desenho técnico é um tipo de representação gráfica utilizado por profissionais de uma mesma área, 
como, por exemplo, na mecânica, na marcenaria, na eletricidade. 
Os artistas transmitiram suas idéias e seus sentimentos de maneira pessoal. Um artista não tem o 
compromisso de retratar fielmente a realidade. 
 
Desenho técnico, ao contrário do artístico, deve transmitir com exatidão todas as características do 
objeto que representa. 
Para conseguir isso, o desenhista deve seguir regras estabelecidas previamente, chamadas de normas 
técnicas. Assim, todos os elementos do desenho técnico obedecem a normas técnicas, ou seja, são 
normalizados. Cada área ocupacional tem seu próprio desenho técnico, de acordo com normas específicas. 
No desenho técnico apresentado anteriormente, as representações foram feitas por meio de 
traços,símbolos, números e indicações escritas, de acordo com normas técnicas. 
No Brasil, a entidade responsável pelas normas técnicas é a ABNT - Associação Brasileira de 
Normas Técnicas. 
Como é elaborado um desenho técnico? 
O engenherio ou projetista planeja a peça (imagina como a peça deve ser) e depois representa a idéia 
na forma de esboço (desenho técnico à mão livre) - pode sofrer alterações. 
Depois de aprovado, o desenho será executado pelo desenhista técnico. 
O desenho técnico definitivo, também chamado de desenho para execução, contém todos os 
elementos necessários à sua compreensão. 
O desenho para execução, que tanto pode ser feito na prancheta como no computador, deve atender 
rigorosamente a todas as normas técnicas que dispõem sobre o assunto. 
 
 
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O que um profissional precisa de saber? 
O desenho técnico mecânico chega pronto às mãos do profissional que vai executar a peça. Esse 
profissional deve ler e interpretar o desenho técnico para que possa executar a peça. 
Quando o profissional consegue ler e interpretar corretamente o desenho técnico, ele é capaz de 
imaginar exatamente como será a peça, antes mesmo de executá-la. Para tanto, é necessário conhecer as 
normas técnicas em que o desenho se baseia e os princípios de representação da geometria descritiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A apresentação gráfica dos desenhos foi mudando de qualidade com o passar dos anos. 
A evolução da tecnologia nos trouxe papéis mais variados, com melhor qualidade e durabilidade, 
instrumentos de desenho com maior precisão e que a cada dia que passava se adaptavam à maior exigência 
da velocidade e precisão que as indústrias buscavam. 
Os desenhos traçados à grafite foram dando lugar à tinta nanquim que oferecia maior resistência ao 
manuseio e maior contraste e perfeição nas cópias heliográficas ( cópias azuis para a divulgação dos 
desenhos ). 
Todo esse processo exigia um grande número de profissionais altamente treinados e 
comprometidos com a velocidade que o progresso e concorrência industrial exigiam. 
A velocidade de obtenção de resultados , a ausência de tempo para retrabalhos e os novos estudos 
foram decisivos para a mudança que o mundo em todas as suas áreas começava a buscar... 
 
o computador. 
 
 
 
 
 
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CAD – Computer Aided Design 
 
Computer Aided Design (CAD), ou desenho auxiliado por computador, é o nome genérico de 
sistemas gerenciados por computadores (software) utilizados pela engenharia, geologia, arquitetura e 
design para facilitar o projeto e desenho técnicos. 
Consistem estes sistemas numa série de ferramentas para construção de entidades geométricas planas 
(como linhas, curvas, polígonos) ou mesmo objetos tridimensionais (cubos, esferas, etc.). 
Também deve haver ferramentas para relacionar essas entidades ou esses objetos, por exemplo:criar 
um arredondamento entre duas linhas ou subtrair as formas de dois objetos tridimensionais para obter um 
terceiro. 
Uma divisão básica entre os softwares CAD é feita com base na capacidade do programa em 
desenhar apenas em 2 dimensões ou criar modelos tridimensionais também, sendo estes últimos 
subdivididos ainda em relação a que tecnologia usam como modelador 3D. 
 
Classificação dos softwares de CAD: 
Low end - basicamente funções elementares de 2D 
Middle end - funções de desenvolvimento tridimensional de superfícies em wireframe (estrutura de arames) 
High end - com competência na construção de sólidos obtendo: 
- centro de gravidade 
- massa 
- propriedades físicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAE – Computer Aided Engineering 
 
Os sistemas CAE (Computer Aided Engineering), ou seja, engenharia assistida por computador,atua 
na área de cálculos de engenharia onde são realizadas as atividades do tipo análise estrutural por elementos 
finitos, análise de escoamento, tensões, entre outros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAM – Computer Aided Manufacturing 
 
Por sua vez, a sigla CAM (Computer Aided Manufacturing - Fabricação Assistida por Computador) 
refere-se a todo e qualquer processo de fabricação controlado por computador. Sua origem remonta-se ao 
desenvolvimento das máquinas controladas numericamente (CN) no final dos anos 40 e inicio dos 50. 
Quando estas máquinas começaram a ser controladas por computador, no fim dos anos 50 início dos 60, 
surgiu o termo CNC. 
CNC são as iniciais de Computer Numeric Control (Controle Numérico Computadorizado). 
É um controlador numérico que permite o controle de máquinas e é utilizado principalmente em 
Centros de Usinagem. Permite o controle simultâneo de vários eixos, através de uma lista de movimentos 
escrita num código específico. Na década de 40 foi desenvolvido o NC (Controle Numérico) que evoluiu 
posteriormente para o CNC. A utilização de CNC's permite a produção de peças complexas com grande 
precisão, especialmente quando associado a programas de CAD/CAM. Atualmente a sigla (CNC) engloba 
diversos processos automáticos de fabricação, tais como; fresamento, torneamento, oxicorte, corte a Laser, 
entre outros. 
 
 
 
 
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DMU – Digital “mock-up” 
 
O digital “mock-up” (DMU) é a visualização, simulação e análises de complexos dados em sistema 
CAD 3D em um modelo virtual. A utilização desse sistema em um ambiente de desenvolvimento de 
produtos permite a utilização da engenharia virtual, ou seja, a utilização de um modelo virtual do produto. 
Assim todos os envolvidos no desenvolvimento do produto podem realizar simulações de forma realística no 
computador,eliminando desta forma os primeiros protótipos físicos do produto, o que resulta em um produto 
de menor custo. 
Para que as áreas pudessem enxergar os projetos sem a aquisição de workstations caras, foram 
criados softwares para o conceito do digital mockup (DMU) utilizando o conceito Tesselation (redução do 
tamanho do arquivo simplificando e reduzindo a complexidade dos elementos construídos).“ O Desenhista que não conhecesse os conceitos básicos de 
construção e interpretação de desenhos não conseguiria 
desenhar nada em qualquer sistema CAD”. 
 
 
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Materiais e instrumentos de uso em desenho técnico 
 
 
 
Materiais e instrumentos de uso em desenho técnico 
 
LAPISEIRA TRADICIONAL 
Devido ao seu grafite relativamente espesso, ela facilita o traçado de diversos pesos de linhas nítidos. O 
principiante deve manter a ponta bem afiada até desenvolver habilidade de girar a lapiseira enquanto 
desenha. 
LAPISEIRA MECÂNICA ( 0,3 mm, 0,5mm, 0,7mm e 0,9mm ) 
Utiliza uma mina de grafite, que não necessita ser apontada. Ela é utilizada para o traçado de linhas nítidas e 
finas se você girá-la suficientemente enquanto desenha. Para linhas relativamente espessas e fortes, você tem 
que usar uma série de linhas, ou uma lapiseira com minas de grafite mais espessas. 
Estão disponíveis lapiseiras que utilizam minas de 0,3 mm, 0,5mm, 0,7mm e 0,9mm, principalmente. 
O ideal é que a lapiseira tenha uma ponta de aço, com a função de proteger o grafite da quebra quando 
pressionado contra o esquadro no momento do traçado. 
 
 
 
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Classificação do grafite por letras e a combinação números e letras 
A classificação mais comum é H ( Hard ) para o grafite duro e B ( Brand ou Black ) para grafite 
macio. Esta classificação precedida de números dará a gradação que vai de 6B (muito macio) a 9H (muito 
duro), sendo HB ( Hard / Brand ) a gradação intermediária.O grafite F (Firm) é duro, mas tem grau de 
dureza um pouco abaixo do H (hard). 
Alguns exemplos: 
4H duro e denso 
Indicado para lay-outs precisos 
Não indicado para desenhos finais 
Não use com a mão pesada – produz sulcos no papel de desenho e fica difícil de apagar; 
Não copia bem. 
2H médio duro 
Grau de dureza mais alto, utilizado para desenhos finais; 
Não apaga facilmente se usado com muita pressão. 
F ou H médio 
Excelente peso de mina para uso geral; 
Para lay-outs, esboços, artes finais e letras. 
HB macio 
Para traçado de linhas densas, fortes e de letras; 
Requer controle para um traçado de linhas finas; 
Facilmente apagável; 
Copia bem; 
Tende a borrar com muito manuseio. 
 
Tipo e acabamento do papel (grau de aspereza): 
Quanto mais áspero um papel, mais duro deve ser o grafite que você usar. 
Atualmente é mais prático o uso da lapiseira mecânica. 
Recomendamos a de 0,5mm e a de 0,9mm, com grafite HB ou B. 
As lapiseiras apresentadas são instrumentos capazes de produzir desenhos de qualidade. Sua preferência 
pessoal é uma questão de OPÇÃO e de HABILIDADE PESSOAL. 
 
 
 
 
 
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BORRACHA 
Sempre use borracha macia, compatível com o trabalho para evitar danificar a superfície do desenho. Evite o 
uso de borrachas para tinta, que geralmente são mais abrasivas para a superfície de desenho. 
ESCALÍMETRO 
Instrumento destinado à marcação de medidas, na escala do desenho. Pode ser encontrado com duas 
gradações de escalas, mas a mais utilizada e recomendável em arquitetura é o que marca as escalas de 1:20, 
1:25, 1:50, 1:75, 1:100 e 1:125. Não deve ser utilizado para o traçado de linhas. 
COMPASSO 
É o instrumento que serve para traçar circunferências ou arcos de circunferência. O compasso serve para o 
traçado de círculos de quaisquer raios. Deve oferecer um ajuste perfeito, não permitindo folgas. 
Usa-se o compasso da seguinte forma: aberto com o raio desejado, fixa-se a ponta seca no centro da 
circunferência a traçar e, segurando-se o compasso pela parte superior com os dedos indicador e polegar, 
imprime-se um movimento de rotação até completar a circunferência. 
ESQUADROS 
É o conjunto de duas peças de formato triangular-retangular, uma com ângulos de 45º e outra com ângulos 
de 30º e 60º (obviamente, além do outro ângulo reto 90º). São denominados de “jogo de esquadros” quando 
são de dimensões compatíveis, ou seja, o cateto maior do esquadro de 30°/60° tem a mesma dimensão da 
hipotenusa do esquadro de 45. Utilizados para o traçado de linhas verticais, horizontais e inclinadas, sendo 
muito utilizado em combinação com a régua paralela. 
Com a combinação deste “jogo de esquadros” torna-se possível traçar linhas com outros ângulos 
conhecidos. Os esquadros devem ser de acrílico e sem marcação de sua gradação. 
 
COMPOSIÇÃO DE ÂNGULOS – ESQUADROS DE 45° E 30°/60° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TRANSFERIDOR 
Para obter a medida aproximada de um ângulo traçado em um papel, utilizamos um instrumento 
denominado transferidor, que contém um segmento de reta em sua base e um semicírculo na parte superior 
marcado com unidades de 0 a 180. Alguns transferidores possuem a escala de 0 a 180 marcada em ambos os 
sentidos do arco para a medida do ângulo sem muito esforço. 
Para medir um ângulo, coloque o centro do transferidor (ponto 0) no vértice do ângulo, alinhe o 
segmento de reta OA (ou OE) com um dos lados do ângulo e o outro lado do ângulo determinará a medida 
do ângulo, como mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NBR 10068 - Folha de desenho - Layout e dimensões 
Esta Norma padroniza as características dimensionais das folhas em branco e pré-impressas a serem 
aplicadas em todos os desenhos técnicos. Também apresenta o layout da folha do desenho técnico com 
vistas a: 
- posição e dimensão da legenda; 
- margem e quadro; 
- marcas de centro; 
- sistema de referência por malhas; 
- marcas de corte. 
 
Estas prescrições se aplicam aos originais, devendo ser seguidas também às cópias. 
Na aplicação desta Norma é necessário consultar: 
NBR 8402 - Execução de caracteres para escrita em desenhos técnicos 
NBR 8403 - Aplicação de linhas em desenhos - Tipos de linhas - Larguras das linhas 
 
 
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Seleção e designação de formatos 
O original deve ser executado em menor formato possível, desde que não prejudique 
a sua clareza. 
A escolha do formato no tamanho original e sua reprodução são feitas nas séries mostradas a seguir. 
As folhas de desenhos podem ser utilizadas tanto na posição horizontal como na vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deste formato básico, designado por A0 (A zero), deriva-se a série "A" pela bipartição ou pela 
duplicação sucessiva, conforme mostrado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Formato especial 
Sendo necessário um formato fora dos padrões estabelecidos, recomenda-se a escolha dos formatos de tal 
maneira que a largura ou o comprimento corresponda ao múltiplo ou mubmúltiplo ao do formato padrão. 
Nota: Nas dimensões das folhas pré-impressas, quando não recortadas, deve haver um 
excesso de 10 mm nos quatro lados. 
Legenda 
A posição da legenda deve estar dentro do quadro para desenho detal forma que contenha a identificação do 
desenho (número de registro, título, origem, etc.); deve estar situado no canto inferior direito, tanto nas 
folhas posicionadas horizontalmente como verticalmente. 
A direção da leitura da legenda deve corresponder à do desenho. Por conveniência, o número de registro do 
desenho pode estar repetido em lugar de destaque, conforme a necessidade do usuário. 
A legenda deve ter 178 mm de comprimento, nos formatos A4, A3 e A2, e 175 mm nos formatos A1 e A0. 
Margem e quadro 
Margens são limitadas pelo contorno externo da folha e quadro. O quadro limita o espaço para o desenho. 
As margens esquerda e direita, bem como as larguras das linhas, devem ter as dimensões constantes (veja 
tabela na folha anterior). 
A margem esquerda serve para ser perfurada e utilizada no arquivamento. 
 
 
 
 
 
 
Marcas de centro 
Nas folhas de formatos de série "A" devem ser executadas quatro marcas de centros. Estas marcas devem ser 
localizadas no final das duas linhas de simetria (horizontal e vertical) à folha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sistema de referência por malhas 
Permite a fácil localização de detalhes nos desenhos, edições, modificações, etc. 
Devem ser executadas com traço de 0,5 mm de largura no mínimo, começando do contorno interno da folha 
recortada e estendendo-se aproximadamente 0,5 mm, além do quadro. A tolerância da posição de ± 0,5 mm 
deve ser observada para as marcas. O número de divisões deve ser determinado pela complexidade do 
desenho e deve ser par. O comprimento de qualquer lado do retângulo da malha deve ter mais de 25 mm e 
no máximo 75 mm, e deve ser executado com traços contínuos de 0,5 mm de largura no mínimo. Os 
retângulos das malhas devem ser designados por letras maiúsculas ao longo de uma margem e os numerais 
ao longo de outra margem. 
Os numerais devem iniciar no canto da folha oposto à legenda no sentido da esquerda para direita e devem 
ser repetidos no lado correspondente. As letras e os numerais devem estar localizados nas margens, 
centralizados no espaço disponível, e as letras escritas em maiúsculo de acordo com a NBR 8402. 
Se o número das divisões exceder o número de letras do alfabeto, as letras de referência devem ser repetidas 
(exemplo: AA, BB, etc.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marcas de corte 
Estas marcas servem para guiar o corte da folha de cópias e são executadas na forma de um 
triângulo retângulo isósceles com 10 mm de lado , ou com dois pequenos traços de 2 mm de 
largura em cada canto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Associação Brasileira de Normas Técnicas - ABNT. 
 
NBR 8403 - Aplicação de linhas em desenhos - Tipos de linhas - Larguras das linhas 
Descrição da Norma - Fixa tipos e o escalonamento de larguras de linhas para uso em desenhos técnicos e 
documentos semelhantes. 
Tipos de linhas e traços - As linhas de um desenho normalizado devem ser regulares, legíveis (visíveis) e 
devem possuir contraste umas com as outras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESCALA DO DESENHO 
 
Como o desenho técnico é utilizado para representação de máquinas, equipamentos, prédios 
e até unidades inteiras de processamento industrial, é fácil concluir que nem sempre será possível 
representar os objetos em suas verdadeiras grandezas. 
Assim, para viabilizar a execução dos desenhos, os objetos grandes precisam ser representados com 
suas dimensões reduzidas, enquanto os objetos, ou detalhes, muito pequenos necessitarão de uma 
representação ampliada. 
Para evitar distorções e manter a proporcionalidade entre o desenho e o tamanho real do objeto 
representado, foi normalizado que as reduções ou ampliações devem ser feitas respeitando uma razão 
constante entre as dimensões do desenho e as dimensões reais do objeto representado. 
A razão existente entre as dimensões do desenho e as dimensões reais do objeto é chamada 
de escala do desenho. 
É importante ressaltar que, sendo o desenho técnico uma linguagem gráfica, a ordem da razão nunca 
pode ser invertida, e a escala do desenho sempre será definida pela relação existente entre as dimensões 
lineares de um desenho com as respectivas dimensões reais do objeto desenhado. 
 
DIMENSÃO DO DESENHO : DIMENSÃO REAL DO OBJETO 
(Unidade do papel : Unidade da peça) 
Para facilitar a interpretação da relação existente entre o tamanho do desenho e o tamanho real do 
objeto, pelo menos um dos lados da razão sempre terá valor unitário, que resulta nas seguintes 
possibilidades: 
1 : 1 para desenhos em tamanho natural – Escala Natural 
1 : n > 1 para desenhos reduzidos – Escala de Redução 
n > 1 : 1 para desenhos ampliados – Escala de Ampliação 
A norma NBR 8196 da ABNT recomenda, para o Desenho Técnico, a utilização das seguintes 
escalas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A indicação é feita na legenda dos desenhos utilizando a palavra ESCALA, seguida dos valores da 
razão correspondente. 
Quando, em uma mesma folha, houver desenhos com escalas diferentes daquela indicada na legenda, 
existirá nos respectivos desenhos a identificação das escalas utilizadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho de um punção de bico em tamanho natural. 
Desenho de uma agulha de injeção duas vezes maior que seu tamanho natural. 
Desenho de um eixo de vagão de trem vinte vezes menor que seu tamanho natural. 
 
 
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Escala de medidas angulares: 
Seja qual for a escala utilizada, as medidas angulares não sofrem redução ou ampliação. 
Observação: 
Os ângulos das peças permanecem sempre com as mesmas aberturas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONCEITOS DE GEOMETRIA 
PONTO 
O que caracteriza um ponto é a sua posição no espaço. Com o aparecimento da geometria analítica, passou a 
ser possível referir essa posição através de coordenadas. 
RETA 
É um conjunto infinito de pontos alinhados de tal forma que os segmentos com extremidades em dois 
quaisquer desses pontos têm sempre a mesma inclinação. 
PLANO 
É um objeto geométrico infinito a duas dimensões. Pode ser definido de várias formas equivalentes. Um 
plano no espaço pode ser definido das seguintes formas: dando 3 pontos não colineares (um número 
qualquer de pontos são colineares se todos estiverem sobre uma mesma reta), dando uma reta do plano e um 
ponto do ponto exterior a ela, dando duas retas do plano. 
SEGMENTO DE RETA 
Um segmento de reta orientado AB é um segmento de reta que tem início em A e final em B. 
 
 
 
SEMI-RETAUma semi-reta orientada AB é a parte de uma reta que tem início em A, passa por B e se prolonga 
indefinidamente. 
 
 
 
O CONCEITO DE ÂNGULO 
Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retas orientadas) a 
partir de um ponto comum. A intersecção entre os dois segmentos (ou semi-retas) é denominada vértice do 
ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos (ou semi-retas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REPRESENTAÇÃO DE UM ÂNGULO 
Podem ser usadas três letras, por exemplo ABC para representar um ângulo, sendo que a 
letra do meio B representa o vértice, a primeira letra A representa um ponto do primeiro segmento de reta 
(ou semi-reta) e a terceira letra C representa um ponto do segundo segmento de reta (ou semi-reta). 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS CONSECUTIVOS 
Dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do 
outro ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ÂNGULOS ADJACENTES 
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, não têm pontos internos comuns. 
Na figura em anexo, AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. 
 
 
ÂNGULOS OPOSTOS PELOS VÉRTICES 
Consideremos duas retas concorrentes cuja intersecção seja o ponto O. Estas retas determinam quatro 
ângulos. Os ângulos que não são adjacentes são opostos pelo vértice. 
Na figura acima, AÔB e CÔD são ângulos opostos pelo vértice e também AÔD e BÔC são ângulos opostos 
pelo vértice. 
 
 
 
 
Na figura acima, AÔB e CÔD são ângulos opostos pelo vértice e também AÔD e BÔC são ângulos opostos 
pelo vértice. 
Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como: reto, agudo, obtuso e raso. 
 
ÂNGULO AGUDO 
Ângulo cuja medida é maior do que 0 graus e menor do que 90 graus. 
 
ÂNGULO RETO 
Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90º. Assim os seus 
lados estão localizados em retas perpendiculares. 
 
ÂNGULO OBTUSO 
É um ângulo cuja medida está entre 90 graus e 180 graus. 
 
ÂNGULO RASO 
Ângulo que mede exatamente 180º, os seus lados são semi-retas opostas. 
Neste caso os seus lados estão localizados sobre uma mesma reta. 
 
 
 
 
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Dois ângulos são denominados: 
 
Complementares: se a soma de suas medidas é igual a 90º e 
neste caso, um ângulo é o complemento do outro. 
 
 
Suplementares: se a soma de suas medidas é igual a 180º e 
neste caso, um ângulo é o suplemento do outro. 
 
 
Replementares: se a soma de suas medidas é igual a 360º e 
neste caso, um ângulo é o replemento do outro. 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma 
distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. 
Círculo 
É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma 
distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da 
circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. 
No gráfico abaixo, a circunferência é a linha preta que envolve a região cinza, enquanto o círculo é toda a 
região cinza reunida com a circunferência. 
Raio Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com 
uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto 
qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC 
são raios. 
 
Corda Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades 
pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas. 
 
Diâmetro Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da 
circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta 
AC é um diâmetro. 
 
 
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Reta secante 
Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta 
a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também 
que é a reta que contém uma corda. 
 
 
Reta tangente 
Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a 
circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como 
ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura abaixo, o ponto 
P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma 
reta tangente à circunferência. 
 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS 
Reta tangente comum 
Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há 
duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa. 
 
 
 
 
 
 
Circunferências concêntricas 
Duas ou mais circunferências com o mesmo centro 
mas com raios diferentes são circunferências concêntricas. 
 
Circunferências tangentes 
Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma 
reta no mesmo ponto de tangência. 
 
 
 
 
 
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Circunferências secantes 
São aquelas que possuem somente dois pontos 
distintos em comum. 
 
TRIÂNGULOS E SUA CLASSIFICAÇÃO 
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez 
seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: 
vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes. 
 
 
 
 
Altura 
É um segmento de reta traçado a partir de um 
értice de forma a encontrar o lado oposto ao 
vértice formando um ângulo reto. 
BH é uma altura do triângulo. 
Mediana 
É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. 
BM é uma mediana. 
 
Bissetriz 
É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo A 
está dividido ao meio e neste caso E = C. 
 
Ângulo Interno 
É formado por dois lados do triângulo. Todo triângulo possui 
três ângulos internos. 
 
Ângulo Externo 
É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento 
do lado adjacente(ao lado). 
 
 
 
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CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS QUANTO À MEDIDA DOS LADOS 
Triângulo Equilátero 
Os três lados têm medidas 
iguais. m(AB)=m(BC)=m(CA) 
Triângulo Isósceles 
Dois lados têm a mesma 
medida. m(AB)=m(AC) 
Triângulo Escaleno 
Todos os três lados têm 
medidas diferentes. 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS QUANTO ÀS MEDIDAS DOS ÂNGULOS 
Triângulo Acutângulo 
Todos os ângulos internos são 
agudos, isto é, as medidas dos 
ângulos são menores do que 
90º. 
Triângulo Obtusângulo 
Um ângulo interno é obtuso, 
isto é, possui um ângulo com 
medida maior do que 90º. 
 
Triângulo Retângulo 
Possui um ângulo interno reto 
( 90 graus ). 
 
 
 
MEDIDAS DOSÂNGULOS DE UM TRIÂNGULO 
Ângulos Internos 
Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos ângulos 
internos desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os 
ângulos. 
 A soma dos ângulos internos de qualquer 
 triângulo é sempre igual a 180 graus,isto é: 
a + b + c = 180º 
Ângulos Externos 
Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam 
os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos. Todo ângulo externo de um 
triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo. 
 
 A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo 
é sempre igual a 360 graus, isto é: A + B + C = 360º 
 
 
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QUADRILÁTEROS E SUA CLASSIFICAÇÃO 
Quadrilátero é um polígono com quatro lados e os principais quadriláteros são: quadrado, retângulo, 
losango, trapézio e trapezóide. 
No quadrilátero ao lado, observamos alguns elementos geométricos: 
Os vértices são os pontos: A, B, C e D. 
Os lados são os segmentos AB, BC, CD e DA. 
Observação: 
Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer, obtemos sempre 
dois triângulos e como a soma das medidas dos ângulos internos de um 
triângulo é 180 graus, concluímos que a soma dos ângulos internos de um 
quadrilátero é igual a 360 graus. 
CLASSIFICAÇÃO DOS QUADRILÁTEROS 
Paralelogramo 
É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num paralelogramo, os ângulos opostos são 
congruentes. Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais: 
Losango: 4 lados congruentes 
( iguais ) 
 
Retângulo: 4 ângulos retos 
( 90 graus ) 
 
Quadrado: 4 lados 
congruentes ( iguais ) 
e 4 ângulos retos. 
 
 
 
 
Trapézio 
É o quadrilátero que tem apenas dois lados opostos paralelos. 
 
Os trapézios recebem nomes de acordo 
com os triângulos que têm características 
semelhantes. 
 
Retângulo: dois ângulos retos. 
 
 
 
Isósceles: lados não paralelos 
congruentes. 
 
 
Escaleno: lados não paralelos 
diferentes. 
 
 
 
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MANEJO DOS INSTRUMENTOS 
EXERCÍCIOS 
 
1. Uso dos esquadros, escala e compasso 
Por um dado ponto central do papel, traçar uma reta horizontal e outra 
vertical. 
Tomando sobre as mesmas, a partir do ponto de encontro, para todos os 
lados, um comprimento de 5cm e traçar um quadrado. 
Sobre o seu lado inferior e na metade superior do lado esquerdo, marcar 
com a escala distâncias de 1cm. 
Traçar todas as horizontais deslizando um esquadro sobre outro e depois 
as verticais reposicionando os esquadros. 
 
2. Entrelaçado 
Traçar um quadrado de 10cm de lado. 
Dividir a compasso seus lados esquerdo e inferior, em sete partes iguais. 
Pelas divisões, traçar retas horizontais e verticais. 
Apagar, com a borracha, as partes desnecessárias. 
 
 
3. Traçado de linhas curtas 
Traçar um quadrado de 10cm de lado. 
Traçar suas diagonais com um esquadro de 45o e marcar sobre estas, com 
a escala, sucessivamente, a partir de sua intercessão, a distância de 1cm. 
Completa-se com o esquadro de 45o, fazendo de cada vez um quadrante. 
 
 
4. Circunferências concêntricas 
Traçar uma linha horizontal no centro do espaço destinado ao desenho, e 
marcar sobre ele oito raios para oito circunferências concêntricas, 
afastadas de 0,6cm. 
Ao descrevê-las, as menores serão traçadas em primeiro lugar. 
 
 
 
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CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS 
EXERCÍCIOS 
 
1. Bissetriz 
Semi-reta que divide um ângulo 
em dois ângulos congruentes. 
 
 
 
 
Posicionar a ponta seca do 
compasso no vértice e fazer uma 
abertura qualquer, interceptando 
os lados. Posicionar a ponta seca 
nas intercepções dos lados e 
traçar os arcos. Ligar as 
intercecções dos arcos ao vértice. 
 
 
 
 
2. Mediatriz 
A mediatriz de um segmento de 
reta AB é a reta perpendicular ao 
segmento passando por seu 
ponto médio M. 
 
 
 
 
 
 
 
Posicionar a ponta seca do 
compasso em cada extremidade 
da reta e fazer um arco com uma 
abertura qualquer. Ligar as 
intercecções dos arcos. 
3. Mediana de um 
triângulo 
É a reta que liga um vértice deste 
triângulo ao ponto médio do lado 
oposto a este vértice. 
Abaixo as três medianas do 
triângulo. 
 
 
 
 
 
Proceder com o método de 
obtenção da mediatriz, 
encontrando cada mediatriz dos 
lados. Ligar os vértices às suas 
mediatrizes. 
 
 
4. Traçar a reta perpendicular ao segmento de reta AB 
passando pelo ponto C 
Dados: ponto C e segmento de reta AB. 
Posicionar a ponta seca do compasso no ponto C e fazer a abertura 
para que o arco traçado corte o segmento de reta AB em dois 
pontos ( D e E ). 
Posicionar a ponta seca do compasso no ponto D e fazer a abertura 
até o ponto E traçando um arco. 
Repetir o procedimento começando agora pelo ponto E. 
Traçar a reta passando pelo cruzamento dos arcos e ponto C. 
 
 
 
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5. Traçar a reta perpendicular à extremidade do segmento de reta AB 
Dado: Segmento de reta AB 
Posicionar a ponta seca do compasso na extremidade do 
segmento de reta AB, fazer uma abertura qualquer e traçar um 
arco obtendo o ponto C. 
Posicionar a ponta seca do compasso no ponto C mantendo a 
mesma abertura anterior e traçar um arco obtendo o ponto D no 
cruzamento com o arco desenhado. 
Posicionar a ponta seca do compasso no ponto D mantendo a 
mesma abertura anterior e traçar um arco obtendo o ponto E no arco desenhado. 
Posicionar a ponta seca do compasso no ponto E mantendo a mesma abertura anterior e traçar um arco 
obtendo o ponto F no arco desenhado. Traçar a reta passando pelo ponto F e a extremidade A. 
 
6. Traçar uma reta paralela à reta “ r “ passando pelo ponto A 
Dados: Reta “ r “ e ponto A 
Posicionar a ponta seca do compasso no ponto A e traçar um arco qualquer 
cortando a reta “ r “ em B. 
Posicionar a ponta seca do compasso no ponto B , fazer a abertura até o ponto 
A e traçar um arco cortando a reta “ r “ em C. 
Posicionar a ponta seca do compasso no ponto C, pegar a distância ao ponto A. 
Posicionar a ponta seca do compasso no ponto B e traçar um arco cruzando com o arco existente achando o 
ponto D. Traçar a reta entre os pontos A e D ( reta paralela à reta “ r “ ) 
 
7. Dividir o segmento de reta AB em qualquer número de partes iguais. 
Exemplo : 10 partes iguais 
Dado: Segmento de reta AB e quantidade de divisões 
Traçar uma reta “r” passando pelo ponto A (qualquer inclinação e 
comprimento). 
Com um compasso ou uma escala marcar na reta “r” o número de partes a 
dividir o segmento AB (qualquer medida desde que sejam iguais). 
Ligar a última marca de divisão feita na reta “r” ao ponto B. 
Usando como referência esta última reta desenhada, traçar retas paralelas nas demais divisões marcadas na 
reta “r”. 
 
 
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PPrrooffaa.. KKaattiiaa CCaannddiioottoo8. Traçar a bissetriz de um ângulo qualquer desconhecendo-se seu vértice 
Dados: Retas “ r “ e “ s “ 
Traçar a reta “ t “ qualquer, cruzando as retas “ r “ e “ s “,achando 
os pontos A e B. 
Traçar dois arcos com centro em A e B. 
Achar as bissetrizes dos ângulos CAD / DAE / FBG / GBH 
Marcar os pontos M e N no cruzamento das bissetrizes. 
Traçando a reta entre os pontos M e N encontramos a bissetriz 
entre as retas “r” e “s”. 
 
 
9. Concordar o segmento AB com um arco de raio “ r “ 
Dado: Segmento de reta AB e raio “ r “ 
Traçar uma reta “s“ perpendicular ao ponto A. 
Com um compasso ou uma escala marcar na reta “s“ o ponto C 
correspondente ao centro do raio “ r “ ( usar a medida dada para o raio ). 
Posicionar a ponta seca do compasso no ponto C e abrir o compasso até o 
ponto A traçando o arco. 
 
 
10. Concordar a reta “s“ , paralela ao segmento AB com um arco 
Dados: Reta “s“ e segmento de reta AB 
Traçar a reta “t“ perpendicular às retas paralelas passando pelo 
ponto A. 
Marcar o ponto C na reta “s“. 
Traçar a mediatriz do segmento de reta AC e no cruzamento com 
a reta perpendicular “t“ marcar o ponto D. 
Posicionar a ponta seca do compasso no ponto D, abrir o 
compasso até um dos pontos A ou C e traçar o arco. 
 
 
 
 
 
 
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11. Concordar as retas “s“ e “t“ convergentes no ponto A com um arco de raio r 
Dados: Retas “s“ e “t“ e o raio “r“ 
Marcar aleatoriamente com o compasso nas reta “s“ e “t“pontos com 
a medida do raio “r“ dado ( no exemplo 4 pontos B / C / D / E ). 
Traçar as retas tangentes aos arcos traçados (paralelas às retas “s“ e “t“). 
No cruzamento destas retas marcar o ponto F que será o centro do 
raio “r“ de concordância das duas retas. 
 
 
 
12. Traçar o arco de circunferência passando por três pontos 
Dados: Pontos A , B e C 
Traçar retas ligando os pontos A e B / B e C. 
Achar as mediatrizes dos segmentos de reta AB e BC. 
No cruzamento das mediatrizes marcar o ponto O que será o 
centro da circunferência. 
Posicionar a ponta seca do compasso no ponto O , abrir o 
compasso até um dos pontos A , B ou C e traçar o arco. 
 
 
 
13. Achar o centro de uma circunferência qualquer 
Dados: Circunferência qualquer 
Traçar duas retas secantes “ t “ e “ s “ à circunferência ( a reta 
secante corta a circunferência em dois pontos). 
Traçar as mediatrizes dos segmentos de reta AB e BC. 
O cruzamento das mediatrizes ( ponto O ) indica o centro da 
circunferência.

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