Notas de aula ENG 114

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPTo DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
 
ENG 114 - HIPERESTÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentação do Curso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROFa. MÔNICA CRISTINA CARDOSO DA GUARDA 
 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA – Plano do Curso 1 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA 
PLANO DE CURSO - 2°°°° Semestre de 2015 
 
 
PROGRAMA DA DISCIPLINA 
 
 
1. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
1.1. Determinação Geométrica 
1.2. Diagramas de Esforços Solicitantes 
1.3. Princípio dos Trabalhos Virtuais 
1.4. Cálculo de Deslocamentos e Rotações 
 
2. PROCESSO DOS ESFORÇOS 
2.1. Estruturas Submetidas a Ações Diretas 
2.2. Estruturas Submetidas a Variação de Temperatura 
2.3. Estruturas Submetidas a Recalques de Apoios 
2.4. Estruturas com Apoios Elásticos 
2.5. Simplificações Devidas à Simetria 
 
3. PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS 
3.1. Estruturas Submetidas a Ações Diretas 
3.2. Estruturas Submetidas a Variação de Temperatura 
3.3. Estruturas Submetidas a Recalques de Apoios 
3.4. Estruturas com Apoios Elásticos 
 
4. PROCESSO DE CROSS 
 
 
METODOLOGIA DE AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM 
A avaliação da aprendizagem, de acordo com o Regulamento do Ensino de Graduação e do Regimento Geral, será 
realizada a partir: 
• da apuração da freqüência às aulas, 
• da atribuição de notas aos alunos em três avaliações parciais, correspondentes a provas escritas e 
individuais. 
• Será considerado aprovado o aluno que obtiver nota final, resultante da média ponderada das avaliações 
parciais, igual ou superior a cinco, sem aproximação de decimais, de acordo com o Artigo 71 do Regimento 
Geral da UFBA. Os pesos das avaliações são apresentados a seguir. 
DATAS DAS AVALIAÇÕES: 
Primeira Avaliação: 25/02/2016 (Peso 2) 
Segunda Avaliação: 12/04/2016 (Peso 4) 
Terceira Avaliação: 02/06/2016 (Peso 4) 
Segunda Chamada: 06/06/2016 
 
OBSERVAÇÕES: 
1. Só será computada a presença do aluno que assistir aula na turma em que estiver regularmente matriculado, ou 
seja, cujo nome constar da caderneta. 
2. Nas avaliações podem ser utilizadas calculadoras científicas, programáveis e alfanuméricas (HP, Casio, etc). Não 
é permitido o uso de notebook, ultrabook, netbook, tablet (ou similar). NÃO É PERMITIDO O PORTE DE 
CELULAR NA SALA DE AULA NOS DIAS DAS AVALIAÇÕES. 
3. O aluno que faltar às avaliações e entrar com o pedido de segunda chamada na Secretaria da Escola 
Politécnica, apresentando justificativa de acordo com o Regulamento do Ensino de Graduação e de Pós-
Graduação da UFBA, e no prazo determinado por este, poderá fazer outra avaliação com o mesmo assunto da 
avaliação que faltar, e em horário determinado a critério da professora (Data: 06/06/2016). 
 
 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA – Plano do Curso 2 
PROGRAMAÇÃO DAS AULAS 
 
* Datas sujeitas a alterações 
 
BIBLIOGRAFIA 
SORIANO, H. L.; LIMA, S.S. Análise de Estruturas: Método das Forças e Métodos dos Deslocamentos. Vol.2, 
Editora Ciência Moderna, Rio de Janeiro. 
SOUZA, J. C. A. O.; ANTUNES, H. M. C. C. Processos Gerais da Hiperestática Clássica. Universidade de São Paulo 
– Escola de Engenharia de São Carlos. 
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. Vols. 1, 2 e 3. Editora Globo, Rio de Janeiro. 
 
No. DIA DATA* ASSUNTO
1 Terça 12/jan Apresentação do curso / Determinação geométrica
2 Quinta 14/jan Cálculo de reações de apoio / Esforços sol icitantes: Cálculo e traçado de diagramas
3 Terça 19/jan Cálculo de reações de apoio / Esforços sol icitantes: Cálculo e traçado de diagramas
4 Quinta 21/jan Princípio dos Trabalhos Virtuais: Considerações iniciais e exemplos
5 Terça 26/jan Não haverá aula (?)
6 Quinta 28/jan Princípio dos Trabalhos Virtuais: Estruturas fletidas usuais
7 Terça 02/fev Princípio dos Trabalhos Virtuais: Estruturas fletidas usuais
8 Quinta 04/fev Recesso da carnaval
9 Terça 09/fev Recesso da carnaval
10 Quinta 11/fev Recesso da carnaval
11 Terça 16/fev Princípio dos Trabalhos Virtuais: Estruturas fletidas usuais
12 Quinta 18/fev Princípio dos Trabalhos Virtuais: Treliça
13 Terça 23/fev Princípio dos Trabalhos Virtuais: Estruturas fletidas com barras simples
14 Quinta 25/fev PRIMEIRA AVALIAÇÃO (PESO 2)
15 Terça 01/mar Processo dos esforços: Considerações iniciais
16 Quinta 03/mar Processo dos esforços: Estruturas fletidas submetidas a ações externas
17 Terça 08/mar Processo dos esforços: Estruturas fletidas submetidas a ações externas
18 Quinta 10/mar Processo dos esforços: Estruturas fletidas submetidas a ações externas
19 Terça 15/mar Processo dos esforços: Estruturas fletidas submetidas a variação de temperatura
20 Quinta 17/mar Processo dos esforços: Estruturas fletidas submetidas a var. de temp./recalque de apoio
21 Terça 22/mar Processo dos esforços: Estruturas fletidas submetidas a recalque de apoio
22 Quinta 24/mar Não haverá aula
23 Terça 29/mar Processo dos esforços: Estruturas sobre apoios elásticos
24 Quinta 31/mar Processo dos esforços: Estruturas sobre apoios elásticos
25 Terça 05/abr Processo dos esforços: Treliças
26 Quinta 07/abr Processo dos Esforços: Simplificações devidas à simetria/Exercício
27 Terça 12/abr SEGUNDA AVALIAÇÃO (PESO 4)
28 Quinta 14/abr Processo dos deslocamentos: Considerações iniciais
29 Terça 19/abr Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a ações externas
30 Quinta 21/abr Não haverá aula
31 Terça 26/abr Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a ações externas
32 Quinta 28/abr Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a ações externas
33 Terça 03/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas sobre apoios elásticos
34 Quinta 05/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a variação de temperatura
35 Terça 10/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a variação de temperatura
36 Quinta 12/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a variação de temperatura
37 Terça 17/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a recalques de apoio
38 Quinta 19/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a recalques de apoio
39 Terça 24/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a recalques de apoio
40 Quinta 26/mai Não haverá aula
41 Terça 31/mai Processo de Cross: Considerações iniciais e exemplos em vigas
42 Quinta 02/jun TERCEIRA AVALIAÇÃO (PESO 4)
43 Segunda 06/jun SEGUNDA CHAMADA
2
ª 
U
N
ID
A
D
E
3
ª 
U
N
ID
A
D
E
1
a.
 U
N
ID
A
D
E
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 - HIPERESTÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª. UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENG 114 Hiperestática Introdução 1 
 
1 EELLEEMMEENNTTOOSS FFUUNNDDAAMMEENNTTAAIISS DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS 
1.1 INTRODUÇÃO 
“As estruturas são constituídas de um elemento ou de um conjunto de elementos ligados entre si e 
externamente ao solo, de tal forma que o sistema assim formado seja estável. A estrutura é, portanto, um 
sistema adequado para receber solicitações externas e encaminhá-las até seus vínculos externos”. 
 
Os elementos que constituem uma estrutura são chamados elementos estruturais. 
1.2 CLASSIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
Classificação de acordo com as dimensões principais dos elementos. 
1.2.1 ELEMENTO DE BARRA 
Quando duas dimensões são pequenas em relaçãoà terceira. 
 
l
h
b
 
1.2.2 ELEMENTO DE SUPERFÍCIE 
Quando uma dimensão é muito menor que as outras duas. 
l
h
b
 
Os elementos de superfície são divididos em: 
· Placa: as ações atuam perpendicularmente ao plano da superfície. 
 
b @ h < l 
b @ l > h 
 
ENG 114 Hiperestática Introdução 2 
 
· Chapa: as ações atuam paralelamente ao plano da superfície. 
 
 
· Casca: elemento de superfície com curvatura não nula de seu plano 
 
1.2.3 ELEMENTO DE BLOCO 
Não há dimensão preponderante sobre as outras. 
b
l
h
 
1.3 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS 
Função dos elementos que a compõem. 
1.3.1 ESTRUTURAS LINEARES 
São aquelas formadas por elementos de barras. Podem ser planas ou espaciais. 
b @ h @ l 
 
ENG 114 Hiperestática Introdução 3 
 
 
 
1.3.2 ESTRUTURAS DE SUPERFÍCIE 
Formadas por elementos de superfície. 
1.3.3 ESTRUTURAS DE VOLUME 
Formadas por elementos de bloco. 
1.4 ESTRUTURAS LINEARES PLANAS 
São aquelas formadas por barras cujos eixos estão situados no mesmo plano. 
Alguns exemplos: 
§ Vigas 
§ Pórticos 
§ Treliças 
§ Grelhas 
§ Arcos 
OBS: 
O elemento de barra pode apresentar desempenhos distintos no conjunto da estrutura: 
§ Ele pode suportar ações transversais ao seu eixo, e, com isso, transmitir momentos fletores e esforços 
cortantes, sendo chamado, neste caso, de chapa. 
§ Ele pode transmitir apenas esforços axiais, sendo chamado, neste caso, de barra simples, ou 
simplesmente barra 
 
 
ENG 114 Hiperestática Introdução 4 
 
12
3
4
i
c
 
2 VVIINNCCUULLAAÇÇÃÃOO DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS LLIINNEEAARREESS PPLLAANNAASS 
2.1 INTRODUÇÃO 
Como as estruturas podem ser formadas por vários elementos ligados entre si e exteriormente com o solo, 
essas ligações são chamadas vínculos. 
 
Podem ser distinguidos três tipos de vínculos: 
§ Articulação entre chapas : ligação interna que une as chapas. 
§ Articulação entre barras : ligação interna que une as barras (nó). 
§ Apoios : ligação entre a estrutura e o solo (vínculos externos). 
 
Os elementos estruturais mais os vínculos devem formar um conjunto estável, sendo os vínculos 
responsáveis por restringir o movimento da estrutura. 
 
São três os movimentos possíveis nas estruturas lineares planas (graus de liberdade ): 
§ Uma rotação 
§ Duas translações 
2.2 REPRESENTAÇÃO DOS TIPOS DE VÍNCULOS 
Os vínculos são caracterizados pelo número de graus de liberdade retirados da estrutura. 
2.2.1 APOIO MÓVEL 
Permite a rotação e uma translação, retirando, portanto, um grau de liberdade da estrutura. 
 
2.2.2 APOIO FIXO 
Permite somente a rotação, restringindo, portanto, as duas translações. 
 
2.2.3 ARTICULAÇÃO ENTRE CHAPAS 
Restringe deslocamentos entre as chapas, permitindo rotações relativas entre elas. 
 
 
 
 
 
 
Seja uma articulação onde c chapas se encontram. Supondo-se uma das chapas 
fixa, a articulação retira dois graus de liberdade de cada uma das (c-1) chapas, 
em relação àquela suposta fixa. O número total de graus de liberdade retirados 
da estrutura por esse tipo de vínculo é, então, igual a 2(c-1). 
ENG 114 Hiperestática Introdução 5 
 
2.2.4 ENGASTE FIXO 
Impede todos os movimentos no plano, retirando três graus de liberdade da estrutura. 
 
2.2.5 ENGASTE MÓVEL 
Impede o giro e um movimento, retirando, assim, dois graus de liberdade da estrutura. 
 
3 DDEETTEERRMMIINNAAÇÇÃÃOO GGEEOOMMÉÉTTRRIICCAA DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS 
3.1 INTRODUÇÃO 
As relações entre o número de vínculos e o número de elementos que constituem uma estrutura devem 
satisfazer certas condições para que esta tenha sua posição determinada no plano. O estudo dessas relações 
denomina-se determinação geométrica. 
 
As estruturas podem ser classificadas, do ponto de vista geométrico, da seguinte forma: 
 
 Se be = bn ® a estrutura é geometricamente determinada. 
Se be > bn ® a estrutura é geometricamente superdeterminada. 
Se be < bn ® a estrutura é geometricamente indeterminada ou móvel. 
 
Sendo: 
be = número de barras simples e de barras vinculares existentes na estrutura; 
c = número de chapas (ou barras gerais); 
n = número de nós 
bn = número de barras necessárias para que a estrutura em estudo seja determinada. 
3.2 DEFINIÇÕES 
São apresentadas a seguir algumas definições necessárias à determinação geométrica das estruturas lineares 
planas. 
3.2.1 CHAPAS (BARRAS GERAIS) 
Função geométrica: definir distâncias entre todos os seus pontos: 
ENG 114 Hiperestática Introdução 6 
 
l
l
l
l
1
2
3
 
 
Função estática: transmitir todos os esforços. 
3.2.2 BARRAS SIMPLES (BARRAS) 
Função geométrica: definir a distância entre seus pontos extremos: 
l
 
Função estática: transmitir apenas esforços axiais. 
3.2.3 NÓS 
Encontro de barras simples 
Nó
b
b b
 
3.2.4 ARTICULAÇÃO 
Encontro de barras e chapas ou só de chapas 
Articulação
c
b b c
c
Articulação
c
 
3.2.5 BARRAS VINCULARES 
Correspondem aos graus de liberdade impedidos pelos vínculos internos e externos. 
a) Engaste fixo 
Corresponde a três barras vinculares 
 
 
 
ENG 114 Hiperestática Introdução 7 
 
b) Apoio fixo 
Corresponde a duas barras vinculares 
 
c) Apoio móvel 
Corresponde a uma barra vincular 
 
d) Engaste móvel 
Corresponde a duas barras vinculares 
 
3.2.6 CHAPA TERRA 
Apoio de todas as estruturas 
3.3 ESTRUTURAS ELEMENTARES 
3.4 2.1 TRELIÇA 
Estrutura composta apenas de barras simples e nós, com carga aplicada somente nos nós. 
 ® bn = 2n 
 
Exemplo: Tem-se: 
 
 
 
 Þ Barras efetivamente existentes 
be = 11 + 4 = 15 n = 7 bn = 2 x 7 = 14 
 à Barras vinculares 
 
 
be = 15 > bn = 14 ® Treliça superdeterminada 
 
Grau: 
g = be – bn = 15 – 14 = 1 ® 1 x superdeterminada 
ENG 114 Hiperestática Introdução 8 
 
3.4.1 ESTRUTURAS COMPOSTAS DE APOIOS E CHAPAS 
Transmitem todos os esforços 
 ® bn = 3c 
Exemplo: 
 
Tem-se: 
 
 be = 5 c = 1 n = 0 bn = 3c = 3 x 1 = 3 
 
be = 5 > bn = 3 ® Estrutura superdeterminada 
 
Grau: 
g = be – bn = 5 – 3 = 2 ® Estrutura 2 x superdeterminada 
 
3.4.2 ESTRUTURAS COMPOSTAS DE APOIOS, BARRAS, CHAPAS E NÓS 
 ® bn = 3c + 2n 
 
Exemplo 1 
 
Tem-se: 
 
 
be = 2 + 3 = 5 c = 1 n = 1 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 1 = 5 
 
be = bn = 5 ® Estrutura determinada 
 
 
 
 
 
ENG 114 Hiperestática Introdução 9 
 
Exemplo 2 
 
Tem-se: 
 
be = 1 + 5 = 6 c = 2 n= 0 bn = 3c + 2n = 3 x 2 + 2 x 0 = 6 
 
be = bn = 6 ® Estrutura determinada 
 
OBS.: 
§ Articulação entre duas chapas ® 2 barras vinculares 
 
§ Articulação entre c chapas ® 2 (c – 1) barras vinculares 
 
Voltando ao exemplo anterior, tem-se: 
 
be = 9 c = 3 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 3 + 2 x 0 = 9 
 
be = bn = 9 ® Estrutura determinada 
 
Exemplo 3: 
 
 
be = 3 c = 1 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 0 = 3 
 
be = bn = 3 ® Estrutura determinada 
 
ENG 114 Hiperestática Introdução 10 
 
Exemplo 4: 
 
 
be = 6 c = 1 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 0 = 3 
 
be = 6 > bn = 3 ® Estrutura superdeterminada 
 
Grau: 
gh = be – bn = 6 – 3 = 3 ® Estrutura 3 x superdeterminada 
 
3.5 CASOS EXCEPCIONAIS 
3.5.1 BARRAS VINCULARES PARALELAS 
Móvel
 
 be = 3 c = 1 n = 0 bn = 3c = 3 
 
 be = bn = 3 ® Estrutura determinada 
 
Þ A estrutura é móvel 
 
 
ENG 114 Hiperestática Introdução 11 
 
3.5.2 DIREÇÃO DAS BARRAS VINCULARES PASSANDO POR UM PONTO 
Móvel
 
 be = 9 + 3 = 12 c = 0 n = 6 bn = 2n = 12 
 
 be = bn = 12 ® Estrutura determinada 
 
 Þ A estrutura é móvel 
3.6 DETERMINAÇÃO ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS 
As estruturas podem ser classificadas, do ponto de vista estático, da seguinte forma: 
 
 Se be = bn ® a estrutura é isostática. 
Se be > bn ® a estrutura é hiperestática. 
Se be < bn ® a estrutura é hipostática. 
 
 
4 TTEEOORRIIAA LLIINNEEAARR DDAA EELLAASSTTIICCIIDDAADDEE DDEE 11aa OORRDDEEMM 
((MMÉÉTTOODDOO CCLLÁÁSSSSIICCOO)) 
Admite-se que os deslocamentos da estrutura são muito pequenos e, até um certo nível de solicitação, os 
materiais tenham comportamento elástico e sem fenômenos significativos de ruptura. Com essas hipóteses, 
tem-se como conseqüência, a proporcionalidade entre causa e efeito, implicando na superposição de efeitos. 
4.1 HIPÓTESES GERAIS DO MÉTODO CLÁSSICO 
a) Validade da Lei de Hooke 
§ O material é considerado elástico e linear. 
§ As tensões (s ou t) são diretamente proporcionais às deformações específicas. 
e=s E 
g=t G 
b) Validade das hipóteses de Bernouilli 
§ As seções transversais planas permanecem planas após a deformação. 
ENG 114 Hiperestática Introdução 12 
 
§ As tensões em uma determinada seção transversal podem ser substituídas por suas resultantes 
(esforços internos). 
§ As tensões são diretamente proporcionais aos esforços internos. 
Flexão simples: M
I
y=s 
Cisalhamento devido à flexão: V
I b
sM=t 
Compressão ou tração: N
S
1=s 
c) Continuidade da estrutura com a deformação 
§ Em um ponto b qualquer, a tangente à sua esquerda coincide com a tangente à sua direita. 
§ Os nós contínuos são supostos indeformáveis; os ângulos entre as barras se mantêm na estrutura 
deformada 
A B C
D E
fA
Af
fB
Bf
Bf
b
 
d) As condições de equilíbrio são computadas na posição indeformada 
B
A
C
A
B
Q
C
Q
l d (Q)l
M = QlA M = Q [l + d(Q)] A
 
 
Nas estruturas usuais d (Q) é muito pequeno e pode ser desprezado. Portanto, MA = Q l 
 
e) Os esforços internos são sempre diretamente proporcionais às ações externas 
 
ENG 114 Hiperestática Introdução 13 
 
4.2 SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS 
A proporcionalidade entre o efeito E e sua causa C implica diretamente na validade da superposição dos 
efeitos, isto é, para diversas causas C1, C2, C3, ... , Cn, tem-se: 
)C(E)C(E)C(E)C(E)CCCC(E n321n321 +×××+++=+×××+++ 
 
ENG 114 Hiperestática Cálculo de Reações 1 
 
1 CCÁÁLLCCUULLOO DDEE RREEAAÇÇÕÕEESS 
1.1 REAÇÕES EXTERNAS E INTERNAS 
As reações externas, existentes nos apoios (esforços nas barras vinculares), bem como as reações internas, 
existentes nas ligações (vínculos), e barras simples dessa estrutura, são necessários à determinação dos 
esforços solicitantes nos elementos que compõem a estrutura. 
Tais reações externas e internas são calculadas utilizando-se as equações de equilíbrio da Estática: 
 0FH =å 
 0FV =å 
 0M =å 
Seja a estrutura apresentada a seguir. 
 
d
0,5a
cb
0,5a
2 d
0,5c
P
p1
p2
Q = p c1 1
2Q = 
p d2
2
3
d
3
A
B
D
C
E
 
 
Fazendo a determinação geométrica, tem-se: 
 
be = 1 + 5 = 6 c = 2 n = 0 bn = 3c = 6 
 Þ be = bn 
 
Logo, a estrutura é determinada ou isostática, sendo o número de incógnitas igual ao número de equações de 
equilíbrio. Desta forma, o número de reações a serem calculadas é igual a seis, que é o número total de barras 
existentes na estrutura. Dessas barras, três são externas (barras vinculares) e três são internas (barras da 
articulação entre as chapas ABC e BCD, mais a barra simples AD). Portanto, devem ser calculadas seis 
reações, sendo três externas e três internas. 
ENG 114 Hiperestática Cálculo de Reações 2 
 
1.2 RECOMENDAÇÕES PARA O CÁLCULO DAS REAÇÕES 
§ As cargas distribuídas podem ser substituídas por suas respectivas cargas concentradas equivalentes 
(Q1 e Q2, da figura anterior), cujos valores são numericamente iguais às “áreas das superfícies de 
carregamento” e os pontos de aplicação estão situados nos centros de gravidades dessas superfícies. 
§ Sempre que possível, as reações externas devem ser calculadas em primeiro lugar. 
§ Somente após terem sido esgotadas as possibilidades de cálculo das reações externas, é que as chapas 
da estrutura devem ser separadas entre si, para o cálculo das reações internas e das possíveis reações 
externas ainda não calculadas. 
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 1 
1 EESSFFOORRÇÇOOSS SSOOLLIICCIITTAANNTTEESS EEMM EESSTTRRUUTTUURRAASS PPLLAANNAASS 
1.1 INTRODUÇÃO 
Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços solicitantes que atuam em uma seção qualquer, equilibram as 
ações externas que agem à esquerda ou à direita desta seção, conforme indicado na figura abaixo. Nas 
estruturas planas, com carregamento agindo no seu plano, são três os esforços solicitantes: 
 
§ Momento fletor (M) 
§ Esforço cortante (V) 
§ Esforço normal (N) 
R2 3R
M
N
V
S
R1
S
R2
R1
R3
S
N
M
V
 
1.2 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES 
1.2.1 CONVENÇÃO DE SINAIS 
a) Esforço Normal 
Considera-se positivo o esforço normal que provoca tração no trecho que atua. 
Tração Þ N(+)
Compressão Þ N(-)
 
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 2 
b) Momento Fletor 
O diagrama de momentos fletores deve ser desenhado com as cotas marcadas do lado das fibras 
tracionadas, em relação ao eixo longitudinal de cada trecho. 
 
Compressão
Tração
Tração nas fibras inferiores
M Tração nas fibras superioresM
Compressão
Tração
 
 
Costuma-se considerar positivo o momento que traciona as fibras inferiores, e negativo o momento 
que traciona as fibras superiores. 
 
c) Esforço Cortante 
É considerado positivo o esforço cortante que provoca, junto com a resultante das ações atuantes à 
direita ou à esquerda de uma seção, um binário no sentido horário. 
 
R = P/21
V
S
l
P
l/2
P
V
R = P/22
V
R = P/21
l/2
R = P/22
l
V
P
S
P
V
R = P/21 R = P/22 R = P/21 R = P/22
V
V
V
P P
V(-)V(+) 
 
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 3 
1.2.2 RELAÇÕES ENTRE CARGA, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR 
Sendo a carga, o esforço cortante e o momento fletor funções de x, abscissa ao longo da estrutura, para 
um elemento de comprimento infinitesimal dx, em equilíbrio sob o efeito da carga p = p(x), e dos 
esforços solicitantes M = M(x) e V = V(x), pode-se estabelecer: 
p = p(x)
x
l
x + dx
 
M(x)
V(x) V(x) + dV(x)
p = p(x)
M(x) + dM(x)
dx
P = p(x) dx
O
 
 
å = 0Fv 
0dV(x)][V(x)dx )x(p)x(V =--- 
0)x(dVdx )x(p =-- 
Þ 
dx
)x(dV
)x(p =- (1) 
 
å = 0MO 
0)]x(dM)x(M[
2
dx
dx )x(pdx )x(V)x(M =+--+ 
Desprezando-se os infinitesimais de segunda ordem: 
 0)x(dM)x(V =- 
Þ 
dx
)x(dM
)x(V = (2) 
 Derivando a eq.(2) em relação a x, tem-se 
 
2
2
dx
)x(Md
dx
)x(dV
= (3) 
 E, substituindo-se a eq.(3) na eq.(1), obtém-se: 
 
2
2
dx
)x(Md
)x(p =- (4) 
Portanto, sempre que se conhecer a função p(x), a eq.(4) pode ser resolvida para M(x), e, por 
diferenciação, o esforço cortante V(x) pode ser determinado. 
 
 
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 4 
1.2.3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DOS MOMENTOS FLETORES 
Integrando-se a eq.(4) duas vezes, encontra-se: 
 
1C x)x(pdx
)x(dM
+-= (5) 
 
21
2
Cx C
2
x
 )x(p)x(M ++-= (6) 
 
As constantes de integração C1 e C2 podem ser determinadas através das condições de apoio. Vale 
lembrar que a eq.(4) só é válida nos trechos sem carga concentrada aplicada. 
 
Considerando-se p(x) = constante = p, de acordo com as eqs (5) e (2), tem-se: 
 
1Cx pdx
)x(dM
+-= 
 1Cx p)x(V +-= ® Equação de uma reta (7) 
 
E, a partir da eq.(6), encontra-se: 
 
 21
2
Cx C
2
x p
)x(M ++-= ® Equação de uma parábola do 2° grau (8) 
 
A análise das equações (7) e (8) permite que se possam prever as formas que os diagramas dos 
esforços M e V irão assumir, conforme tabela abaixo: 
 
Forma do Diagrama 
Tipo de Carga 
Esforço Cortante V(x) Momento Fletor M(x) 
p(x) = 0 
Constante Linear 
p(x) = constante 
Linear Parábola de 2º grau 
p(x) = a x + b 
Parábola de 2º grau Parábola cúbica 
 
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 5 
OBSERVAÇÕES: 
 
1) Essa análise é válida nos trechos onde a carga p é contínua. Havendo cargas concentradas, que 
representam descontinuidades de carregamento, essa análise só é válida nos trechos 
compreendidos entre essas cargas. 
 
2) Pela eq.(2) observa-se que quando o esforço cortante se anula, a função momento passa por um 
extremo, que é de máximo, já que a derivada segunda dessa função é negativa. 
 
0
dx
)x(dM
)x(V == 
)x(p
dx
)x(Md
2
2
-= 
 
3) É válida a superposição de efeitos, e, portanto, de seus diagramas nos trechos sujeitos à ação de 
cargas concentradas. 
 
4) Tudo que é válido para o esforço cortante também o é para o esforço normal. 
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Chapas Inclinadas 1 
EESSFFOORRÇÇOOSS SSOOLLIICCIITTAANNTTEESS EEMM CCHHAAPPAASS IINNCCLLIINNAADDAASS 
Em uma chapa (barra geral) inclinada podem atuar carregamentos em direções diversas. Também neste caso, a 
variação dos esforços solicitantes pode ser indicada em diagramas, utilizando como eixo das abscissas o 
próprio eixo da chapa, e representando segundo o eixo das ordenadas, a intensidade dos esforços, seção por 
seção. São apresentados a seguir, os diagramas de esforços solicitantes para os principais tipos de 
carregamento uniformemente distribuído que podem atuar nas estruturas. 
1. CARGA ACIDENTAL 
p
L
h
l
a a
a
p l
p l
 cos
 a p l 
sen
 a
p l
2
p l
2
p l
2
cos
 a
cos
 a
p l
2
sen
 a
p l
2
sen
 a
2
p l
a
a
p l
 co
s a
l / c
os
 a
p co
s a
=
2
=
p l
 sen
 a
l / c
os
 a
p co
s a
 sen
 a
8
p l
M =max
2
cos ap l
2
cos a
2
p l (+)
(-)V
M
p l sen a
2
N
(+)
(-)
sen a
2
p l
 
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Chapas Inclinadas 2 
2. AÇÃO DO VENTO 
p
L
h
l
a
a
p h
2
sen
 a
sen
 a
2 l
p h
8
p h
M =max
2
sen ap h
2
sen a
2
p h (+)
(-)V
M
N
(+)
p h
 sen
 a
a
p h
a p
 h c
os 
a
p h
2 l
p h
2
2p h
2 l
p h
 sen
 a
p h
 cos
 a
sen
 a
2
p h
2
sen
 a)
2 l
h
p h
 (co
s a
 + 
h
p h
 (co
s a
 + 
sen
 a)
2 l
p h
2 l
2 sen
 a
sen
 a c
os 
a
l
p h
cos
 
a
p h
l
2
 
 
 
 
 
 
 
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Chapas Inclinadas 3 
3. PESO PRÓPRIO 
p
L
h
l
a a
a
p l
p l
p l
p l
2
tg ap l
2
tg a
2
p l a
a
p co
s a
p se
n a
8 cos a
p l
M =max
2
p l
2
2
p l (+)
(-)V
M
p l tg a
2
N
(+)
(-)
tg a
2
p l
cos a
sen
 a
cos
 a
2 cos a
p l
2 cos a
p l
2
p l
 
 
 
 
 
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 1 
1 PPRRIINNCCÍÍPPIIOO DDOOSS TTRRAABBAALLHHOOSS VVIIRRTTUUAAIISS 
1.1 INTRODUÇÃO 
Seja uma estrutura linear qualquer com suas vinculações definidas. 
Seja um estado de forças (a) agindo nessa estrutura, com forças externas em equilíbrio com os esforços 
internos. 
F1
F2 F3 F4
F5
l
(a)
 
 
Seja um estado de deslocamentos (b) sobre a mesma estrutura, com deslocamentos e deformações virtuais 
(isto é, hipotéticos e infinitesimais), geometricamente compatíveis com as vinculações, mas sem qualquer 
relação obrigatória com o estado de forças (a). 
l
(b)
Dl
 
Pelo PTV: 
O trabalho virtual externo, das forças externas de (a), com os deslocamentos de (b), é igual ao trabalho 
virtual interno realizado pelos esforços internos de (a) com as deformações de (b), ou seja: 
å å= INTEXT TT 
1.2 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
Seja um estado de deslocamento (b) real, mas com deslocamentos pequenos o suficiente para que em estados 
de forças que venham a ser criados sobre a estrutura, possam ser considerados na posição inicial. 
(b)
s
ds
B d = ?B
 
ENG 114 HiperestáticaPrincípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 2 
 As deformações que surgem na seção transversal de um elemento ds da estrutura são: 
 
ds
dub
dvb
dfb
 
 
Para se calcular o deslocamento dB cria-se um estado de forças (a), conveniente, com uma força externa 
unitária na direção de dB e com um sentido assumido para ele. 
(a)
s
B
P = 1
 
 
Em s os esforços solicitantes causados pela força unitária são Na, Va e Ma. 
 
Impondo-se, então, o estado de deslocamento (b) ao estado de forças (a), tem-se, pelo Princípio dos 
Trabalhos Virtuais (å å= INTEXT TT ) 
 
ò òò f++=d×
est
b
est
ab
est
abaB d Mdv Vdu N1 
1.3 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM TRELIÇAS PLANAS 
1.3.1 INTRODUÇÃO 
Para a resolução de uma treliça deve-se: 
Ø Calcular as reações de apoio 
Ø Calcular os esforços normais nas barras, utilizando-se: 
· Equilíbrio de nó 
· Processo de Ritter 
· Processo gráfico Carmona 
Em algumas treliças não é possível o cálculo das reações de apoio sem que antes seja aplicado o equilíbrio de 
nó ou o processo de Ritter. 
dub = deformação por esforço normal 
 
dvb = deformação por esforço cortante 
df b = deformação por momento fletor (rotação) 
 
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 3 
 
Com o intuito de facilitar a determinação dos esforços normais nas barras de uma treliça, apresentam-se, a 
seguir, características da geometria e do carregamento que permitem a obtenção direta destes esforços. 
Sendo Pi as cargas externas aplicadas nos nós e Fi os esforços normais nas barras, têm-se: 
 
1º. Nó Característico: Nó formado por duas barras, sem carregamento externo e com a assumindo qualquer 
valor: 
a
1
2
F1
F2
 
 
2º. Nó Característico: Nó formado por duas barras, com carregamento externo na direção de uma ou das 
duas barras e com a assumindo qualquer valor: 
a
1
2
F1
F2P1
2P
a
 
3º. Nó Característico: Nó formado por três barras, sendo duas na mesma direção, sem carregamento externo 
e com a assumindo qualquer valor: 
1
3
F1
2F F32
a
 
4º. Nó Característico: Nó formado por três barras, sendo duas na mesma direção, com carregamento externo 
na direção da barra (1) e com a assumindo qualquer valor: 
a
1
3
F1
P1
2F F3
2 a
 
F1 = 0 
 
F2 = 0 
 
 
Para a = p Þ F1 = F2 
F1 = P1 
 
F2 = P2 
F1 = 0 
 
F2 = F3 
F1 = P1 
 
F2 = F3 
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 4 
1.3.2 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS 
Treliça plana é uma estrutura formada por barras articuladas em suas extremidades, com cargas externas 
agindo no plano da estrutura e aplicadas em seus nós. 
 
· Esforços solicitantes: somente N (M e V = 0) 
· Deformações: somente du (dv e df = 0) 
 
Portanto, pelo PTV: 
 
ò=
est
baEXT du NT 
 
onde: 
Na = esforço axial causado pela força unitária (estado de forças) 
dub = deformação axial causada pelo agente externo (estado de deslocamentos) 
 
Sendo a força axial Na constante por barra, tem-se: 
 
òå=
i
ii
0
b
i
aEXT duNT
l
 
 
ii b
i
aEXT NT lD= å 
 
sendo que 
iblD pode ser causado por qualquer agente externo (carga, variação de temperatura, etc). 
 
Para a situação muito freqüente, de se ter o estado de deslocamento (b) provocado por cargas, 
iblD pode 
ser calculado pela Lei de Hooke, e em função do esforço axial: 
 
 
S E
N
 E
S
N
 E
ii
ib
b
i
b
i
i
b i
i
ii
l
l
l
l
=DÞ
D
=Þe=s 
 
onde: 
 
ibN = esforço axial atuante em cada barra, e causado pelo agente externo 
 il = comprimento da barra 
 iE = módulo de deformação longitudinal 
 iS = área da seção transversal da cada barra 
 
Tem-se, então, pelo PTV: 
 
å=
i ii
i
baEXT S E
NNT
ii
l
 
 
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 5 
No caso do estado de deslocamento (b) ser provocado por uma variação uniforme de temperatura DT, o valor 
de 
iblD pode ser obtido a partir de: 
 T ibi ll Da=D 
E, pelo PTV, tem-se então: 
iii
i
aEXT T NT i lDa= å 
1.4 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS FLETIDAS 
Estruturas Fletidas Usuais : 
· Carregamento contido no plano da estrutura 
· Esforços solicitantes: N, V e M 
· Deformações: dub, dvb, ? b 
 
Exemplos: Vigas, pórticos, arcos, etc 
 
Pelo PTV, tem-se: 
 ò òò f++=
est
b
est
ab
est
abaext d Mdv Vdu NT 
Pela Resistência dos Materiais sabe-se: 
 
ds
dub
dvb
dfb
Nb
Vb
bM
 
Portanto, pelo PTV, obtém-se: 
ò òò ++=
est est
ba
est
baba
ext ds EI
MM
ds 
GS
VV c
ds 
ES
NN
T 
ds
ES
N
du bb = 
 
 
ds
GS
cV
dv bb = 
 
 
 
ds
EI
M
d bb =f 
 
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 6 
1.5 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS FLETIDAS 
CAUSADOS POR VARIAÇÃO DA TEMPERATURA 
Nas estruturas isostáticas, a variação de temperatura não provoca esforços solicitantes, já que a estrutura 
pode se expandir sem restrição. 
Seja a barra reta, representada abaixo, submetida a uma variação de temperatura DTs, na sua face superior, e 
DTi, na face inferior, com DTi > DTs, e variação linear ao longo da altura h da seção transversal. Logo, no 
eixo x, que passa pelos centróides das seções transversais, tem-se a variação de temperatura DT. 
 
l
ds
h
x
 
Considerando a barra livre e sem vínculos externos, ela se expande longitudinalmente e flete com curvatura 
voltada para cima. A deformação transversal não é relevante. 
DT
DT
s
i
 
Sendo a o coeficiente de dilatação térmica, a deformação de um trecho de comprimento infinitesimal ds é 
ilustrada a seguir. 
du
ds a DT dsi
a DT dss
b
dfb
h
2
h
2
 
Esta deformação se deve ao deslocamento na direção do eixo longitudinal dub, e a rotação das seções 
transversais df b, que valem: 
( )
2
ds T ds T 
ds T du sisb
Da-Da
+Da= 
 
( )ds TT 
2
du sib D+D
a
=Þ 
 ou, 
ds T du b Da= 
 com, 
( )
2
TT
T si
D+D
=D 
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 7 
 E, para a flexão, tem-se: 
 
( )
2
h
2
ds T ds T 
d
si
b
Da-Da
=f 
 
( )ds T T 
h
d sib D-D
a
=fÞ 
 
Assim, seja um estado de deslocamento (b) real, causado por variação de temperatura. 
(b)
s
ds
B d = ?B
 
 
Seja um estado de força conveniente (a), para o cálculo de dB 
(a)
s
B
P = 1
 
 
Impondo-se o estado de deslocamento (b) ao estado de forças (a), pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais 
(å å= INTEXT TT ), tem-se: 
 
ò òò f++=d
est
b
est
ab
est
abaB d Mdv Vdu N 
( ) ( )ò òò úû
ù
êë
é D-D
a
+×+úû
ù
êë
é D+D
a
=d
est
si
est
a
est
asiaB ds TTh
 M0 Vds TT
2
 N 
( ) ( )ò òD-D
a
+D+D
a
=dÞ
est est
asiasiB dsM TT h
 dsN TT 
2
 
Sendo ò dsNa e ò dsMa as áreas dos diagramas de esforços normais e de momentos fletores, 
respectivamente, devidos ao estado de força conveniente. 
 
 
ENG 114 HiperestáticaPrincípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 8 
1.6 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM PÓRTICOS COM BARRAS 
SIMPLES (ATIRANTADOS) 
Para pórticos com barras simples as parcelas dos deslocamentos correspondentes aos esforços normais e 
cortantes só serão desprezadas na parte da estrutura submetida à flexão. Na parte submetida a esforços 
normais não é prudente desprezar a contribuição deste esforço. Logo, pelo PTV, tem-se: 
 ò ò f+=
flexão sem
b
flexão com
abaEXT d Mdu NT 
Assim, para os pórticos com barras simples submetidos a forças externas, de acordo com o exposto 
anteriormente, tem-se: 
 òò +=
flexão sem
ba
flexão com
ba
ext ds ES
NN
 ds 
EI
MM
T 
 
Exemplo : Calcular o deslocamento vertical da articulação B do pórtico apresentado a seguir. 
 Dados: E = 2000 kN/cm2 Et = 21000 kN/cm2 
 I = 50000cm4 St = 3 cm2 
A
10 kN/m
C
4 m3 m 4 m 3 m
1 m
2 m
B
E, I
E , St t
E, I
 
a) Determinação geométrica 
be = 2 + 2 + 1 +1 = 6 
c = 2 be = bn ? Estrutura isostática 
bn = 3c + 2n = 3 × 2 = 6 
b) Estado de deslocamento (b) 
Reações: 
AV = 52,5 kN
30 kN
40 kN
CV = 17,5 kN
BV = 17,5 kN
V = 17,5 kNB
AH = 0
H = 40,83 kNB
BH = 40,83 kN
N = 40,83 kNt N = 40,83 kNtNt
Nt
 
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 9 
C
B
30,8
4
29,16
20
11,25
M (kNm)b
N (kN)b + 40,83
A
 
c) Estado de força conveniente (a) 
A
1
C
B
 
Reações: 
C
AV = 0,5 CV = 0,5
V = 0,5B
AH = 0
BH = 1,167
N = 1,167t N = 1,167tN t
N t
1
H = 1,167B
BV = 0,5
 
A C
B
0,833
0,83
3
M (m)a
N a 1,167
 
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 10 
d) Cálculo de dVB 
 
tt
tba
i 0
baB SE
 NN
 ds MM 
EI
1
V
i ll
+=d å ò 
Parcela da flexão: 
 ( ) ( ) +úû
ù
êë
é -×××--×××=d 833,025,11
3
1
606,3833,084,30
3
1
3,606V EI 'B 
 ( ) ( )úû
ù
êë
é -×××+-×××+ 833,020
3
1
123,4833,084,30
3
1
123,4 
 úû
ù
êë
é ×××+úû
ù
êë
é ×××+ 833,016,29
3
1
606,3833,016,29
3
1
123,4 
( )
cm 0,378m 00378,0
100,51020
766,37
V 
47
'
B -=-=
×××
-
=d 
Parcela do esforço normal: 
 cm 059,1m 01059,0
100,3101,2
1483,40167,1
V 
48
''
B ==
×××
××
=d
-
 
Deslocamento vertical da articulação B: 
0,681cm 1,059 378,0VVV ''B
'
BB =+-=d+d=d 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação Geométrica 1 
Exercícios 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA - T01 
 
 
Fazer a determinação geométrica das estruturas apresentadas a seguir. 
 
1. 
 
2. 
 
3. 
 
4. 
 
5. 
 
6. 
 
7. 
 
8. 
 
Determinação Geométrica 2 
Exercícios 
9. 
 
10. 
 
11. 
 
12. 
 
13. 
 
14. 
 
Determinação Geométrica 3 
Exercícios 
15. 
 
 
16. 
 
17. 
 
18. 
 
19. 
 
20. 
 
21. 
 
22. 
 
23. 
 
 
24. 
 
Determinação Geométrica 4 
Exercícios 
25. 
 
26. 
 
27. 
 
28. 
 
29. 
 
Determinação Geométrica 5 
Exercícios 
30. 
 
31. 
 
32. 
 
33. 
 
34. 
 
35. 
 
 
 
 
 
Respostas da Lista de Exercícios - Determinação Geométrica 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA - ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA 
 
 
Respostas da Lista de Exercícios - Determinação Geométrica 
 
Determinada
Determinada
Determinada
1 x Superdeterminada
Determinada
Determinada
Determinada
Indeterminada
Determinada
Indeterminada
Determinada
Determinada
Determinada
Determinada
Determinada
Determinada
4 x Superdeterminada
Determinada
Determinada
Determinada
Determinada
Indeterminada
3 x Superdeterminada
Indeterminada
1 x Superdeterminada
Indeterminada
Determinada
Indeterminada
Determinada
Determinada
3 x Superdeterminada
1 x Superdeterminada
Determinada
3 x Superdeterminada
Indeterminada
33
34
35
29
30
31
32
25
26
27
28
21
22
23
24
17
18
19
20
13
14
15
16
9
10
11
12
5
6
7
8
1
2
3
4
Questão Resposta
 
Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 1 
Exercícios 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA 
 
Calcular as reações e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as estruturas apresentadas a seguir. 
 
1. 
 
60 kN
20 kN/m
2,0 m
2,0 m 2,0 m2,0 m
A B
 
 
2. 
 
60 kN
1,0 m1,0 m
A B
0,5 m0,5 m
1,0 m
0,5 m
10 kN
20 kN
5 kN
150 kNm
 
 
3. 
 
A
B
5 kN/m
20 kN
20 kN
C
4,0 m 2,0 m2,0 m
4,0 m
 
 
Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 2 
Exercícios 
4. 
A
10
 k
N
/m
3,0 m1,0 m
4,0 m
4,0 m
4,0 m
30 kN
B C D
E
F
 
 
5. 
A
12 kN/m
4,0 m
3,0 m
3,0 m
8 kN
B C
D
6 kN
2,0 m
 
 
6. 
A
E
10 kN/m
40 kN
C
4,0 m 4,0 m
3,0 m
4,0 m
10 kN/m
B
D
1,5 m
 
Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 3 
Exercícios 
7. 
D
20 kN/m
4,0 m
3,0 m 7,0 m
A
B C
20
 kN
/m
 
8. 
 
5 kN/m
20 kN
2,0 m 1,0 m2,0 m1,0 m
1,5 m
2,0 m
A
B
C
D
E
 
 
9. 
4,0 m
4,0 m 4,0 m
A
B
10
 k
N
/m
4,0 m
20 kNm
20 kNm
C
D
E
10 kN/m
 
Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 4 
Exercícios 
10. 
A E
B D
C
3,0 m 3,0 m
1,5 m
3,0 m
20 kN/m
20 kN
10 kN
/m
 
 
11. 
10 kN/m
2,0 m 3,0 m
2,0 m
A
B
E
C
F
D
3,0 m
2,0 m
20 kN/m
 
12. 
10 kN/m
4,0 m 3,0 m
2,0 m
A B C
D
2,0 m
10 kN/m
20 kN
 
Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 5 
Exercícios 
13. 
3,0 m
5,0 m 5,0 m
A
E
5,0 m
F
D
B
G
40 kN
C
10 kN/m
 
 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 1 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 
 
1) 
 
Reações de Apoio 
 
Momentos Fletores 
 
Esforços Cortantes 
 
Esforços Normais 
 
 
 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 2 
2) 
 
Reações de Apoio 
 
 
Momentos Fletores 
 
 
Esforços Cortantes 
 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 3 
Esforços Normais 
 
3) 
 
Reações de Apoio 
 
Momentos Fletores 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 4 
Esforços Cortantes 
 
Esforços Normais 
 
4) 
 
Estrutura Reações de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 5 
 Momentos Fletores Esforços Cortantes 
 
Esforços Normais 
 
5) 
Estrutura Reações de Apoio 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforçossolicitantes 6 
 Momentos Fletores Esforços Cortantes 
 
Esforços Normais 
 
 
6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 7 
Reações de Apoio 
 
Momentos Fletores 
 
 
Esforços Cortantes 
 
Esforços Normais 
 
 
7) 
 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 8 
Reações de Apoio 
 
Momentos Fletores 
 
Esforços Cortantes 
 
Esforços Normais 
 
8) 
 
Reações de Apoio 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 9 
 
Momentos Fletores 
 
Esforços Cortantes 
 
Esforços Normais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 10 
9) 
 
 
 
 
 
 
 
Reações de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 11 
Momentos Fletores 
 
Esforços Cortantes 
 
Esforços Normais 
 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 12 
10) 
Estrutura Reações de Apoio 
 
Momentos Fletores Esforços Cortantes 
 
Esforços Normais 
 
11) 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 13 
Reações de Apoio 
 
Momentos Fletores 
 
Esforços Cortantes 
 
Esforços Normais 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 14 
12) 
 
 
Reações de Apoio 
 
Momentos Fletores 
 
Esforços Cortantes 
 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 15 
Esforços Normais 
 
 
13) 
 
 
Reações de Apoio 
 
 
 
 
 
 
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 16 
Momentos Fletores 
 
 
Esforços Cortantes 
 
 
Esforços Normais 
 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
Exercícios 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA – T01 
 
Exercícios 
 
1. Para a estrutura apresentada a seguir, pede-se: 
a) Calcular as reações externas e internas. 
b) Traçar os diagramas de momentos fletores, de esforços cortantes e de esforços normais. 
c) Calcular o deslocamento vertical da articulação C 
Dados: E = 21000 kN/cm2 I = 40500 cm4 
 
10 kN/m
A E
B D
C
3,0 m 3,0 m
1,5 m
3,0 m
20 kN/m
20 kN
 
cm65,9
CV
=d 
2. Para a estrutura apresentada a seguir, pede-se: 
a) Calcular as reações externas e internas. 
b) Traçar os diagramas dos esforços solicitantes (momentos fletores, esforços cortantes e esforços normais). 
c) Calcular o deslocamento vertical do ponto D. 
Dados: E = 2500 kN/cm2 
 Seção transversal retangular para todos os elementos, com b = 20 cm e h = 60 cm. 
 
4,0 m
8,0 m3,0 m3,0 m
A
50 kN 60 kN
20 kN/m
B
C
D E F
4,0 m4,0 m
4,0 m
 
 m202,0
DV
=d 
Princípio dos Trabalhos Virtuais: Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas 1 
Exercícios 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA 
 
Exercícios 
 
1. Para a estrutura apresentada a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes e calcular o 
deslocamento horizontal do ponto E. Sabe-se que além do carregamento indicado na figura, a barra CE 
sofre um acréscimo uniforme de temperatura de 60 oC. 
Dados: Estrutura fletida: E = 3000 kN/cm2 I = 270000 cm4 α = 10-5/ºC h = 60 cm 
 Barra simples: E = 21000 kN/cm2 φ = 20 mm α = 1,2 ×10-5/ºC 
 
4 m2 m 1 m 1,5 m1,5 m
80 kN
4,0 m
4,0 m
A
20 kN/m
4,0 m
4,0 m
60 kN
B C D
E
F
 
Resposta: δδδδH = 0,0376m 
 
2. Para a estrutura apresentada a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes e calcular o 
deslocamento vertical do ponto F. 
Dados: Estrutura fletida: E = 3000 kN/cm2 Seção transversal = 



=
=
cm70h
cm15b
 
Barra simples: E = 21000 kN/cm2 φ = 20 mm 
 
 Resposta: δδδδV = 0,03m 
Princípio dos Trabalhos Virtuais: Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas 2 
Exercícios 
A
20 kN/m
4,0 m
4,0 m
60 kN
B C D
E F
80 kN
4,0 m
4,0 m
80 kN
G
2,0 m2,0 m 2,0 m 3,0 m 2,0 m
 
 
3. Para a estrutura apresentada a seguir, pede-se: 
a) Calcular as reações externas e internas. 
b) Traçar os diagramas dos esforços solicitantes. 
c) Calcular a rotação do apoio F causada pelo carregamento indicado na figura e por uma variação 
de temperatura de ∆Ti = 18 oC e ∆Ts = 45 oC. 
Dados: E = 2500 kN/cm2 I = 360000 cm4 α = 10 -5 / oC h = 60 cm 
4,0 m
20 kN/m
E
A
3,0 m
B
F
4,5 m
1,5 m
80 kN
2,0 m
C
D
3,0 m
60 kN
2,0 m
100 kNm
 
 
 Resposta: φφφφf = 0,028410 rad 
Esforços Normais em Barras de Treliças 1 
Exercícios 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA 
 
 
Calcular os esforços normais nas barras das treliças apresentadas a seguir. 
 
 
1. 
 
 
1,5 m
30 kN
1,5 m 1,5 m 1,5 m
1,5 m
1,5 m
 
 
 
 
2. 
 
 
40 kN80 kN
30 kN
60 kN
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
8,0 m
4,0 m
4,0 m
 
 
 
 
 
Esforços Normais em Barras de Treliças 2 
Exercícios 
3. 
 
30 kN
2,0 m3,0 m 3,0 m2,0 m
4,0 m
4,0 m
60 kN
 
 
4. 
 
20 kN20 kN
1,8 m1,8 m 1,8 m1,8 m
2,4 m
2,4 m
 
 
5. 
20 kN20 kN
2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m
2,0 m
 
 
Esforços Normais em Barras de Treliças 3 
Exercícios 
6. 
 
30 kN
4,0 m
4,0 m
3,0 m 3,0 m 3,0 m3,0 m
20 kN 20 kN
 
7. 
 
100 kN
4,0 m
4,0 m
6,0 m 3,0 m
4,0 m
80 kN 60 kN
6,0 m6,0 m
3,0 m
40 kN
 
 
Esforços Normais em Barras de Treliças 4 
Exercícios 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA 
 
 
RESULTADOS 
 
 
 
1. 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esforços Normais em Barras de Treliças 5 
Exercícios 
3. 
 
4. 
 
 
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esforços Normais em Barras de Treliças 6 
Exercícios 
6. 
 
 
7. 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA 
 
Exercício 
 
 
Para a treliça apresentada na figura abaixo, pede-se: 
 
a) O deslocamento vertical do nó 6, positivo se para baixo; 
b) O deslocamento relativo entre os nós 4 e 5, positivo se de aproximação; 
c) A rotação da barra 9-10, positiva se horária; 
d) A rotação relativa entre as barras 1-3 e 1-4, positiva no sentido de aumentar o ângulo. 
 
Dados: E = 21000 kN/cm2 
Os valores entre parênteses correspondem às áreas das seções transversais das barras (cm2). 
 
 
30 kN 30 kN 30 kN 30 kN 30 kN
400400 400 400
30
0
1 (12) (12) (12) (12)
(3) (4) (4) (3)
(1
0)
(6
)
(6
)
(6
)
(1
0)
(5) (3)
(3) (5)
3 5 7 9
2
4 6 8
10
 
 
 
 
a) Estado de deslocamento (b) 
N b 
 
30 kN 30 kN 30 kN 30 kN 30 kN
1 (-60) (-80) (-80) (-60)
(0) (60) (60) (0)
(-
75
)
(-
 4
5)
(-
30
)
(-
 4
5)
(-
75
)(75)
(25) (25
)
(75
)
3 5 7 9
2
4 6 8
10
 
 
 
 
 
 
b) Estado de força conveniente para o cálculode dVB (Na1) 
 
1 (-0,667) (-1,333) (-1,333) (-0,667)
(0) (0,667) (0,667) (0)
(-
0,
50
)
(-
0,
50
)
(0
)
(-
0,
50
)
(-
0,
50
)(0,833)
(0,833) (0,8
33)
(0,8
33)
3 5 7 9
2
4 6 8
10
1
 
 
c) Estado de força conveniente para o cálculo de d rel 4,5 
1 (0) (-0,80) (0) (0)
(0) (-0,80) (0) (0)
(0
)
(-
0,
60
)
(-
0,
60
)
(0
)
(0
)
(0) (1,00)
(0) (0)
3 5 7 9
2
4 6 8
10
1
1
 
 
d) Estado de força conveniente para o cálculo de f 9-10 
1 (0,0833) (0,1667) (0,1667) (0,2500)
(0) (-0,0833) (-0,250) (-0,3333)
(0
,0
62
5)
(0
)
(-0,1042)
(-0,1042) (0,1
042
)
(0,1
042
)
3 5 7 9
2
4 6 8
10
1
(0
,0
62
5)
(-
0,
06
25
)
(-
0,
06
25
)
1/3
1/3
 
e) Estado de força conveniente para o cálculo de f rel 1-3,1-4 
1 (0) (0) (0) (0)
(0) (0) (0) (0)
(0
)
(0
,2
5)
(0
)
(0
)
(0
)
(-0,15)
(0)
(0) (0)
3 5 7 9
2
4 6 8
10
0,20
0,20
0,25 0,25
1
1
 
Pelo PTV ® l
ES
NN
T ba
i
ext S= 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Class. Barra l S E Nb 3 x 6 4 x 5 7/8 Na1 Na2 Na3 Na4 9 x 10 9 x 11 9 x 12 9 x 13
1-3 4,00 0,0012 2,10E+08 -60,0 -240,0 2,52E+05 -9,52E-04 -0,667 0,000 0,08333 0,000 6,35E-04 0,00E+00 -7,94E-05 0,00E+00
3-5 4,00 0,0012 2,10E+08 -80,0 -320,0 2,52E+05 -1,27E-03 -1,333 -0,800 0,16670 0,000 1,69E-03 1,02E-03 -2,12E-04 0,00E+00
5-7 4,00 0,0012 2,10E+08 -80,0 -320,0 2,52E+05 -1,27E-03 -1,333 0,000 0,16670 0,000 1,69E-03 0,00E+00 -2,12E-04 0,00E+00
7-9 4,00 0,0012 2,10E+08 -60,0 -240,0 2,52E+05 -9,52E-04 -0,667 0,000 0,25000 0,000 6,35E-04 0,00E+00 -2,38E-04 0,00E+00
2-4 4,00 0,0003 2,10E+08 0,0 0,0 6,30E+04 0,00E+00 0,000 0,000 0,00000 0,000 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
4-6 4,00 0,0004 2,10E+08 60,0 240,0 8,40E+04 2,86E-03 0,667 -0,800 -0,08333 0,000 1,91E-03 -2,29E-03 -2,38E-04 0,00E+00
6-8 4,00 0,0004 2,10E+08 60,0 240,0 8,40E+04 2,86E-03 0,667 0,000 -0,25000 0,000 1,91E-03 0,00E+00 -7,14E-04 0,00E+00
8-10 4,00 0,0003 2,10E+08 0,0 0,0 6,30E+04 0,00E+00 0,000 0,000 -0,33330 0,000 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
1-2 3,00 0,0010 2,10E+08 -75,0 -225,0 2,10E+05 -1,07E-03 -0,500 0,000 0,06250 0,000 5,36E-04 0,00E+00 -6,70E-05 0,00E+00
3-4 3,00 0,0006 2,10E+08 -45,0 -135,0 1,26E+05 -1,07E-03 -0,500 -0,600 0,06250 0,250 5,36E-04 6,43E-04 -6,70E-05 -2,68E-04
5-6 3,00 0,0006 2,10E+08 -30,0 -90,0 1,26E+05 -7,14E-04 0,000 -0,600 0,00000 0,000 0,00E+00 4,29E-04 0,00E+00 0,00E+00
7-8 3,00 0,0006 2,10E+08 -45,0 -135,0 1,26E+05 -1,07E-03 -0,500 0,000 -0,06250 0,000 5,36E-04 0,00E+00 6,70E-05 0,00E+00
9-10 3,00 0,0010 2,10E+08 -75,0 -225,0 2,10E+05 -1,07E-03 -0,500 0,000 -0,06250 0,000 5,36E-04 0,00E+00 6,70E-05 0,00E+00
1-4 5,00 0,0005 2,10E+08 75,0 375,0 1,05E+05 3,57E-03 0,833 0,000 -0,10420 -0,150 2,98E-03 0,00E+00 -3,72E-04 -5,36E-04
3-6 5,00 0,0003 2,10E+08 25,0 125,0 6,30E+04 1,98E-03 0,833 1,000 -0,10420 0,000 1,65E-03 1,98E-03 -2,07E-04 0,00E+00
6-7 5,00 0,0003 2,10E+08 25,0 125,0 6,30E+04 1,98E-03 0,833 0,000 0,10420 0,000 1,65E-03 0,00E+00 2,07E-04 0,00E+00
8-9 5,00 0,0005 2,10E+08 75,0 375,0 1,05E+05 3,57E-03 0,833 0,000 0,10420 0,000 2,98E-03 0,00E+00 3,72E-04 0,00E+00
S 0,01987 0,00179 -0,00169 -0,00080
d VB d rel 4,5 F 9-10 Frel 1-3,1-4
(m) (m) (rad) (rad)
D
ia
go
na
l
B
an
zo
 S
up
er
io
r
B
an
zo
 I
nf
er
io
r
M
on
ta
nt
e
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA - ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Para as estruturas apresentadas a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes (momentos fletores, 
esforços cortantes e esforços normais). 
 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B
15 kN/m
E G
4 m 2 m
3 m
D
3 m
F
C
50 kN
1,5 m
3 m
60 kNm
2 m
1/27
2/27
3/27
4/27
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 kN/m
B
1
5
 k
N
/m
80 kN
2 m4 m 2 m
3 m
6 m
60°
A
C ED
F
5/27
6/27
7/27
8/27
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 m3 m 3 m
2 m
4 m
A
C ED
20 kN/m
F G
20 kN/m
B
1
5
 kN
/m
9/27
10/27
11/27
12/27
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 m4 m
2,5 m
4,5 m
A
B
D
E
C
F
90 kN
1,5 m
1
5
 k
N
/m
50 kN
3
0
 kN
/m
3 m
3 m
13/27
14/27
15/27
16/27
17/27
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 kN/m
E G
4 m 2 m
3 m
D
3 m
F
C
50 kN
1,5 m
3 m
60 kNm
2 m
A
B
18/27
19/27
20/27
monicaguarda
Line
monicaguarda
Text Box
167,64
21/27
6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 m3 m
3 m
4 m
A B
D
E
C
F
18 kN/m
2 m
2 m
1,5 m1,5 m
10 kN
10 kN
15 kN/m
30 kNm
15 kN
22/27
23/27
24/27
25/27
26/27
27/27
 1 of 18
 
 2 of 18
 
 3 of 18
 
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 5 of 18
 
 6 of 18
 
 7 of 18
 
 8 of 18
 
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 10 of 18
 
 11 of 18
 
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 18 of 18
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 - HIPERESTÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Processo dos Esforços 1 
 
PROCESSO DOS ESFORÇOS 
 
1 INTRODUÇÃO 
Em uma estrutura hiperestática, as condições de equilíbrio não são suficientes para a determinação 
dos esforços internos e das reações de apoio. Existem infinitas possibilidades de se obter o equilíbrio, daí a 
necessidade de se gerar equações adicionais(condições de compatibilidade ou de coerência de 
deslocamentos) para resolver o problema. 
O Processo dos Esforços se caracteriza por procurar determinar esforços em número igual ao grau de 
hiperestaticidade da estrutura. Conhecidos esses esforços, chamados de incógnitas hiperestáticas, a partir das 
condições de equilíbrio, se determinam os esforços internos e as reações de apoio. 
2 DESENVOLVIMENTO 
Seja uma estrutura com grau de hiperestaticidade igual a n e submetida a uma ação externa qualquer 
(problema real). Pelo Processo dos Esforços, retira-se n vínculos para se obter uma estrutura isostática. 
Como o problema real não pode alterado, devem ser adicionados os esforços correspondentes aos vínculos 
retirados F1, F2, ... , Fj, ... , Fn, que são as incógnitas hiperestáticas. 
O problema real (r) é agora um conjunto de ações em uma estrutura isostática (ação externa qualquer 
mais cada uma das incógnitas hiperestáticas Fj). Pela superposição de efeitos, esse problema real pode ser a 
soma da ação externa (problema 0), mais a superposição dos problemas correspondentes à aplicação de cada 
um dos Fj separadamente (problema 1, problema 2, ... , problema j, ..., problema n). 
 
1 j n
1F jF nF
 
 
O valor de Fj pode ser colocado em evidência e superposto a um problema (j) correspondente a uma 
força unitária na direção e sentido de Fj. 
Processo dos Esforços 2 
1
j n
1
1
n
1 j
1
F1 jF nF
X F1
jX F
nX F
(1)
(0)
(r)
(j)
(n)
@
+
+
+
+
+
 
Assim, 
 )n(F)j(F)1(F)0()r( nj1 +×××++×××++= (1) 
e, 
)n(EF)j(EF)1(EF)0(EE nj1 +×××++×××+×+= (2) 
Sabe-se do problema real (r) que os vínculos retirados existem, isto é, os deslocamentos na direção 
dos vínculos retirados são conhecidos, nulos ou não. 
Sendo d jk o deslocamento na direção e sentido de Fj no problema (k) qualquer, pelas condições de 
compatibilidade ou de coerência de deslocamentos, tem-se: 
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
d+×××+d+×××+d+d=d
d+×××+d+×××+d+d=d
d+×××+d+×××+d+d=d
nnnnjj1n10nnr
jnnjjj1j10jjr
n1nj1j11110r1
FFF
 
FFF
 
FFF
M
M
 (3) 
Pelo Teorema da Reciprocidade dos Deslocamentos (ou Teorema de Maxwell), sabe-se que: 
 kjjk d=d 
Processo dos Esforços 3 
Os deslocamentos d jr são definidos no problema real (r) e conhecidos d jk podem ser determinados 
pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais. Portanto, pode-se resolver o sistema de equações (Eq.3) e determinar 
as incógnitas hiperestáticas F1, ..., Fj, ... ,Fn. E com a solução do problema real (r), que consiste na solução 
de uma estrutura isostática, obtém-se os esforços internos e as reações de apoio da estrutura hiperestática, 
utilizando-se a eq.(2) 
 
Exemplo: Resolver a viga da figura abaixo, com grau de hiperestaticidade igual a 2. 
p
 
Retirando-se os vínculos internos correspondentes à força vertical, tem-se: 
1
1
F1 2F
X F1
2X F
(1)
(0)
(r)
(2)
@
+
p
d10 20d
d2111d
d2212d
@
+
 
 
 
De acordo com os vínculos retirados, as condições de compatibilidade de deslocamentos são: 
î
í
ì
=d
=d
0
0
r2
r1 Þ 
î
í
ì
=d+d+d=d
=d+d+d=d
0FF
0FF
22221120r2
12211110r1 
Calculando-se os d jk utilizando-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais e resolvendo-se o sistema de 
equações determinam-se as incógnitas hiperestáticas F1 e F2. Então, a partir da eq.(2), podem ser obtidos os 
esforços internos e as reações de apoio da estrutura hiperestática. 
 
Estruturas Sobre Apoios Elásticos 1 
 
ESTRUTURAS SOBRE APOIOS ELÁSTICOS 
1 APOIOS ELÁSTICOS DISCRETOS 
a) APOIO EM MOLA (Equivale estaticamente a um apoio móvel) 
 Um apoio é dito elástico quando, sob a ação de uma força F, sofre um deslocamento d na direção 
desta força. 
P
l
A B
 
 O apoio em mola, representado pelo apoio B da figura acima, é definido numericamente pela 
constante r (constante de mola), que representa a razão entre a força aplicada na mola e o deslocamento 
nela produzido por esta força. r é constante, por se considerar comportamento linear, e é chamado de 
rigidez da mola. 
 
d
=
F
r (1) 
 na qual, F é a força absorvida pelo apoio e d é o deslocamento sofrido pelo apoio 
 
b) ENGASTE ELÁSTICO (Equivale estaticamente a um engaste perfeito) 
 Um engaste é dito elástico quando, sob a ação de um momento M, sofre uma rotação ? . Ele é 
representado como indicado no apoio B da figura abaixo. 
P
l
A B
 
 O engaste elástico é definido pela constante de engastamento elástico R, ou rigidez da mola. R é 
dado por: 
 
q
=
M
R (2) 
 na qual, M é o momento absorvido pelo engaste e q é a rotação sofrida pelo engaste. 
2 TRABALHO INTERNO DOS APOIOS ELÁSTICOS 
a) APOIO EM MOLA 
 Seja Fa uma força virtual (estado de força conveniente) e d b um deslocamento real (estado de 
deslocamento) de um apoio em mola. Pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, o trabalho interno é dado 
por: 
 
r
FF
FW baba =d= 
Estruturas Sobre Apoios Elásticos 2 
Já que, a partir de (1), tem-se que: 
 
r
Fb
b =d 
b) ENGASTE ELÁSTICO 
 Seja Ma um momento virtual (estado de força conveniente) e qb uma rotação real (estado de 
deslocamento) de um engaste elástico. Pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, o trabalho interno é dado 
por: 
 
R
MM
MW baba =q= 
Já que, a partir de (2), tem-se que: 
 
R
Mb
b =q 
OBSERVAÇÕES 
a) O apoio elástico estaticamente equivalente ao apoio fixo é resultante da associação de duas molas 
P
l
A B
 
b) Pode-se ter um apoio totalmente elástico 
P
l
A B
 
c) Associação entre apoio rígido e apoio elástico 
 
 Apoio Rígido Apoio Elástico 
 
 
 
 
Simplificações Devidas à Simetria 1 
SIMPLIFICAÇÕES DEVIDAS À SIMETRIA 
 
1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 No caso de estruturas simétricas, com carregamento simétrico ou antimétrico, é possível se fazer 
algumas simplificações que podem implicar na diminuição do número de incógnitas hiperestáticas, ou 
mesmo reduzir a estrutura de tal forma que se possa calcular uma estrutura muito menor que a original. 
1.1 Estrutura Simétrica com Carregamento Simétrico 
l1 2l 1l
q
q
l1l 2 l1
F1 F1
@
@
l
q
l1 2
@
q
l1
F1
/ 2
/ 2l2
(r)
(r)
(s)
(s)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificações Devidas à Simetria 2 
1.2 Estrutura Simétrica com Carregamento Antimétrico 
1l
q
F1
F1
@
@
ll1 2
@
l1
F1
/ 2
/ 2l2
(r)
(r)
(a)
(a)
l / 22
l1 l2 / 2
q
q
q
l l/ 22 1
l1 l / 22
q
q 
1.3 Estrutura Simétrica com Carregamento Qualquer 
 O carregamento real (r) de uma estrutura simétrica pode ser colocado como a soma de um 
carregamento simétrico (s) e um carregamento antimétrico (a) 
q
(r)
P P
M
M
P/2 q
P
M/2
(s)
M/2
P/2
q/2 q/2
P/2
q/2
M/2
q/2
P/2
M/2
(a)
M
=
+
 
Simplificações Devidas à Simetria 3 
2 ALGUMAS REGRAS PARA A REDUÇÃO DA ESTRUTURA 
2.1 Plano de Simetria Perpendicular a uma Barra 
 Os esforços internos, no plano de simetria, podem ser classificados como simétricos e antimétricos. 
Esforços simétricos: M e N 
Esforços antimétricos:V 
M
V
N
M
N
V 
 Regras: 
· No problema simétrico são nulos os esforços antimétricos no plano de simetria. 
· No problema antimétrico são nulos os esforços simétricos no plano de simetria. 
· No plano de simetria são nulos os deslocamentos correspondentes aos esforços não nulos do 
problema simétrico ou antimétrico: 
 
 Problema Esforços não nulos Deslocamentos nulos Apoio Equivalente 
 Simétrico M e N f e dH Engaste móvel 
 Antimétrico V dV Apoio móvel 
 
2.2 Plano de Simetria Contendo o Eixo de uma Barra 
Estrutura espacial 
 
2.3 Grau de Hiperestaticidade das Estruturas Reduzidas 
 Numa estrutura simétrica submetida a um carregamento qualquer, a soma dos graus de 
hiperestaticidade da estrutura simétrica reduzida com o grau de hiperestaticidade da estrutura antimétrica 
reduzida é igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura original. 
3 EXEMPLO 
Traçar o diagrama de momentos fletores para o pórtico abaixo. EI = cte. 
4,0 m 4,0 m
3,
0 
m
3,
0 
m
20 kN/m
(r)
 
Simplificações Devidas à Simetria 4 
 Esquema de solução: 
4,0 m 4,0 m
3,
0 
m
3,
0 
m
4,0 m 4,0 m
3,
0 
m
3,
0 
m
4,0 m 4,0 m
3,
0 
m
3,
0 
m
20 kN/m
10 kN/m
10 kN/m
10 kN/m
(r)
(s)
(a)
=
+
 
 
 
Simplificações Devidas à Simetria 5 
a) Parte Simétrica 
4,0 m
3,
0 
m
3,
0 
m
10 kN/m
 
 
· Estrutura básica e esquema da solução: 
10 kN/m
F1
2F
(r)
(0)
10 kN/m
=
1
x F (1)+
1
+1 x F (2)2
 
 
 
î
í
ì
=
-=
kNm 80,0F
kNm 6,25F
2
1 
Simplificações Devidas à Simetria 6 
b) Parte Antimétrica 
10 kN/m
3,
0 
m
3,
0 
m
4,0 m
 
· Estrutura básica e esquema da solução: 
10 kN/m
F1
(r) (0)
10 kN/m
=
1
x F (1)+ 1
 
kNm 1,7F1 = 
· Diagramas de momentos fletores: 
Parte simétrica (kNm) 
26,8
25,6
20
25,6
26,8
0,8
20
 
Simplificações Devidas à Simetria 7 
Parte antimétrica (kNm) 
7,1
7,1
20
7,1
7,1
7,1
7,1
20
 
Diagrama final (kNm) 
33,9
18,5
40
32,7
19,7
0,8
 
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas 1 
Exercícios 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA 
 
Calcular as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as vigas apresentadas a seguir. 
 
1) 
20 kN/m
6 m 5 m4 m
 
2) 
10 kN/m
5 m 5 m4 m
3,5 m 2 m 5 m1,5 m 2 m
40 kN 40 kN
50 kNm
 
3) 
6 m 6 m4 m
6 m 2 m 2 m2 m
50 kN
15 kN/m
60 kN 60 kN
2 m 2 m
 
 
4) 
6 m 5 m4 m
6 m 2 m 2 m
75 kN
20 kN/m
4 m 2 m
75 kN
4 m
3 m
 
 
Lista de Exercícios – Processo dos Esforços aplicado às Vigas 
 
1) Estrutura 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
 
2) Estrutura 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
3) Estrutura 
 
Reações de apoio: 
 
 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
 
4) Estrutura 
 
Reações de apoio: 
 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 
Exercícios 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA 
 
Calcular as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as vigas apresentadas a seguir. 
Observar que elas estão submetidas, além do carregamento ilustrado, a variação de temperatura Considerar os 
seguintes dados: E = 2500 kN/cm2, I = 360000 cm4, a =10-5/ ºC e h = 60 cm 
 
1) 
20 kN/m
6 m 5 m4 m
DTi = 16 Co DTi = 22 Co DTi = 18 Co
DTs = 40 Co
oDTs = 40 C DTs = 40 Co
 
2) 
10 kN/m
5 m 5 m4 m
3,5 m 2 m 5 m1,5 m 2 m
40 kN 40 kN
50 kNmDT = 60 Ci
o
DT = 20 Cs
o DT = 20 Cos DT = 20 Cs
o
DT = 60 Ci
o DT = 60 Ci
 
3) 
6 m 6 m4 m
6 m 2 m 2 m2 m
50 kN
15 kN/m
60 kN 60 kN
2 m 2 m
DT = 45 Cs o
DT = 15 Ci o DT = -5 Ci o oDT = 15 Ci
DT = 15 Cs o DT = 60 Cs o
 
4) 
6 m 5 m4 m
6 m 2 m 2 m
75 kN
20 kN/m
4 m 2 m
75 kN
4 m
3 m
DT = 25 Ci o
sDT = 25 Co
DT = 25 Ci o DT = 15 Ci o DT = 40 Ci o
oDT = 40 CsDT = 40 Cos DT = 15 Cos
 
 
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 1 
Exercícios 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 – HIPERESTÁTICA 
 
Calcular as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as vigas apresentadas a seguir. 
Observar que elas estão submetidas, além do carregamento ilustrado, a variação de temperatura Considerar os 
seguintes dados: E = 2500 kN/cm2, I = 360000 cm4, a =10-5/ ºC e h = 60 cm 
 
Resultados 
 
1) Somente a ação da variação de temperatura 
 
Reações de apoio: 
 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
Somente a ação das cargas externas 
 
 
Reações de apoio: 
 
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 2 
Exercícios 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
 
Ação conjunta da variação de temperatura e das cargas externas 
 
Reações de apoio: 
 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
 
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 3 
Exercícios 
2) Somente a ação da variação de temperatura 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
 
 
Somente a ação das cargas externas 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
 
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 4 
Exercícios 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
 Ação conjunta da variação de temperatura e das cargas externas 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 5 
Exercícios 
3) Somente a ação da variação de temperatura 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
 
 Somente a ação das cargas externas 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
 
 
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 6 
Exercícios 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
 
 Ação conjunta da variação de temperatura e das cargas externas 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 7 
Exercícios 
Diagrama de momentos fletores: 
 
 
 
4) Somente a ação da variação de temperatura