AD2 GP 1 2014 gabarito (1)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AD2 – Gabarito – 2014.1
Questa˜o 1 [1,4 pt]: Um trape´zio ABCD esta´ inscrito em uma circunfereˆncia. O lado AB = l4 e´
o lado do quadrado inscrito e o lado CD = l5 e´ o lado do penta´gono regular inscrito. Determine os
aˆngulos desse quadrila´tero.
Dica: Dois casos a considerar: centro da circunfereˆncia entre as bases e exterior a base.
Soluc¸a˜o:
Temos duas soluc¸o˜es para esse problema.
1) Suponha que O seja o centro da circunfereˆncia entre as bases. Como AB = l4, enta˜o m(
_
AB) =
90◦ =
360◦
4
e CD = l5, enta˜o m(
_
CD) = 72◦ =
360◦
5
.
AB//CD pois ABCD e´ trape´zio inscrito, enta˜o
m(
_
AD) = m(
_
BC) = x
Da´ı 90◦ + x+ 72◦ + x = 360◦ ⇒ 2x = 198◦
⇒ x = 99◦
Logo m(Ĉ) = m(D̂) =
90◦ + 99◦
2
=
189◦
2
= 94◦30′.
E m(Â) = m(B̂) =
72◦ + 99◦
2
=
171◦
2
= 85◦30′.
2) Suponha que O seja o centro da circunfereˆncia exterior as bases.
Como AB = l4, enta˜o m(
_
AB) = 90◦ =
360◦
4
e m(
_
AEB) = 360◦ − 90◦ = 270◦ e CD = l5, enta˜o
m(
_
CD) = 72◦ =
360◦
5
.
AB//CD pois ABCD e´ trape´zio inscrito, enta˜o
m(
_
AD) = m(
_
BC) =
90◦ − 72◦
2
= 9◦
Temos m(AD̂C) =
9◦ + 270◦
2
=
279◦
2
m(AD̂C) = 139◦30′ = m(BĈD).
E m(BÂD) = m(AB̂C) =
72◦ + 9◦
2
=
81◦
2
= 40◦30′.
Geometria Plana– Gabarito AD2 2
Questa˜o 2 [1,4 pt]: Considere as seguintes afirmac¸o˜es sobre um quadrila´tero convexo.
i) Se as diagonais se interceptam em seus respectivos pontos me´dios, enta˜o o quadrila´tero e´ um
retaˆngulo.
ii) Se as diagonais se interceptam perpendicularmente em seus respectivos pontos me´dios, enta˜o
o quadrila´tero e´ um losango.
iii) Se as diagonais se interceptam perpendicularmente e sa˜o congruentes, enta˜o o quadrila´tero e´
um quadrado.
Verifique se as afirmac¸o˜es i), ii) e iii) sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando.
Soluc¸a˜o:
i) Falsa pois o paralelogramo tem as diagonais se interceptando em seus respectivos pontos me´dios
e na˜o e´ um retaˆngulo.
ii) Verdadeira, esta afirmac¸a˜o e´ um resultado do estudo de quadrila´teros. Observe que um qua-
drado e´ um losango.
iii) Falsa pois considere a figura onde as diagonais se interceptam perpendicularmente e sa˜o congru-
entes e o quadrila´tero na˜o e´ um quadrado. Nesse caso e´ uma pipa.
Questa˜o 3 [1,4 pt]: Seja ABCD um retaˆngulo cujos lados tem as seguintes medidas AB = CD = 6
cm e AD = BC = 1, 2 cm. Se M e´ o ponto me´dio de AB, enta˜o calcule o raio da circunfereˆncia
determinada pelos pontos C,M e D.
Soluc¸a˜o: Considere o retaˆngulo conforme enunciado e M ponto me´dio de AB. Seja O e´ o centro
da circunfereˆncia de raio r que passa pelos pontos C,M e D, enta˜o para encontrar o raio observe
que OD = OM = OC = r:
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Geometria Plana– Gabarito AD2 3
AM = MB = 3. Temos que ∆ODC e´ iso´sceles pois OD = OC. M ′ e´ ponto me´dio de CD. Da´ı
OM ′ e´ altura do triaˆngulo ODC em relac¸a˜o a CD. OC = r, M ′C = 3 e OM ′ = r − 1, 2. Como
o triaˆngulo OM ′C e´ retaˆngulo , pelo Teorema de Pita´goras, vem
r2 = (r − 1, 2)2 + 32 ⇒ r2 = r2 − 2, 4r + 1, 44 + 9 ⇒ 2, 4r = 10, 44
r =
10, 44
2, 4
⇒ r = 4, 35
Questa˜o 4 [1,4 pt]: Na figura a seguir temos dois triaˆngulos equila´teros ABC e A′B′C ′ que pos-
suem o mesmo circuncentro, tais que AB//A′B′, AC//A′C ′ e BC//B′C ′. Se a medida dos lados
do triaˆngulo ABC e´ igual a 3
√
3 cm e a distaˆncia entre os lados paralelos mede 3 cm, determine a
medida das bissetrizes do triaˆngulo A′B′C ′.
Soluc¸a˜o: Seja a figura com os dados do enunciado.
Como ∆ABC e ∆A′B′C ′ sa˜o equila´teros temos que o
circuncentro e´ igual ao baricentro e e´ igual o incentro.
Seja AH1 e AH
′
1 as alturas dos triaˆngulos e G o circuncentro.
Como o lado do triaˆngulo ABC tem medida l = 3
√
3 cm, enta˜o
AH1 =
l
√
3
2
=
3
√
3 · √3
2
=
9
2
Assim GH1 =
1
3
· AH1 = 1
3
· 9
2
=
3
2
. Como GH ′1 = GH1 +H1H
′
1 =
3
2
+ 3 =
3 + 6
2
=
9
2
.
E A′G = 2 · GH ′1 = 2 ·
9
2
= 9. As bissetrizes do triaˆngulo ABC sa˜o iguais as alturas do triaˆngulo
ABC, enta˜o
A′H ′1 = A′G+GH
′
1 = 9 +
9
2
=
27
2
Questa˜o 5 [1,4 pt]: No triaˆngulo ABC o comprimentos dos lados AB, BC e CA, nesta ordem,
sa˜o nu´meros inteiros consecutivos. A altura relativa a BC divide este lado em dois segmentos de
comprimento m e n, m > n. Calcule o valor de m− n.
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Geometria Plana– Gabarito AD2 4
Soluc¸a˜o: Seja ∆ABC com os dados do enunciado, com lados de medidas x, x+ 1 e x+ 2 .
Seja h a altura relativa a BC. Como os triaˆngulos ABH e AHC
sa˜o retaˆngulos podemos usar o Teorema de Pita´goras. Assim
x2 = n2 + h2 ⇒ h2 = x2 − n2 (1)
(x+ 2)2 = h2 +m2 (2)
m+ n = x+ 1 (3)
Substituindo (2) em (1) vem
(x+ 2)2 = x2 − n2 +m2 ⇒ (x+ 2)2 − x2 = m2 − n2.
Resolvendo
x2 + 4x+ 4− x2 = m2 − n2 ⇒ 4(x+ 1) = m2 − n2
Substituindo (3), vem
4(m+ n) = m2 − n2 ⇒ 4(m+ n) = (m+ n)(m− n)
Como m+ n > 0 enta˜o m− n = 4.
Obs: Alternativamente podemos resolver da seguinte forma:
(x+2)2−x2 = m2−n2 ⇒ (x+2+x)(x+2−x) = (m+n)(m−n)⇒ (2x+2)2 = (m+n)·(m−n)
De (3), ou seja, m+ n = x+ 1 vem: 4(x+ 1) = (x+ 1)(m− n)⇒ m− n = 4, pois x+ 1 > 0
Questa˜o 6 [1,6 pt]: Num trape´zio ABCD, cuja base maior e´ AB = b e a base menor e´ CD = b′,
b > b′, os lados na˜o paralelos sa˜o AD = a e BC = c. Prolongam-se os lados AD e BC que se
cortam em O, trac¸a-se a bissetriz do aˆngulo AÔB que corta CD em E e AB em F .
i) Calcule os segmentos OA, OB, OC e OD.
ii) Mostre que
ED
EC
=
FA
FB
iii) Determine a medida dos segmentos FA e EC.
Soluc¸a˜o: Considere o trape´zio ABCD com os dados do enunciado:
AB = b, CD = b′, AD = a e BC = c, b > b′,
i) Como AB//DC, pelo teorema fundamental temos que
∆ODC ∼ ∆OAB, enta˜o:
OD
OA
=
OC
OB
=
DC
AB
⇒ OA− a
OA
=
OB − c
OB
=
b′
b
(1)
enta˜o
OA− a
OA
=
b′
b
⇒ (OA− a)b = OA · b′ ⇒ OA(b− b′) = ab ⇒ OA = ab
b− b′
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Geometria Plana– Gabarito AD2 5
De maneira ana´loga,
OB − c
OB
=
b′
b
⇒ (OB − c)b = OB · b′ ⇒ OB(b− b′) = bc ⇒ OB = bc
b− b′
OD
OA
=
b′
b
⇒ OD = OA · b
′
b
⇒ OD = ab
b− b′ ·
b′
b
=
ab′
b− b′
OC
OB
=
b′
b
⇒ OC = OB · b
′
b
⇒ OC = bc
b− b′ ·
b′
b
=
b′c
b− b′
ii) Como a bissetriz do aˆngulo AÔB que corta CD em E e AB em F , Pelo Teorema da Bissetriz
interna vem
EC
ED
=
OC
OD
De maneira ana´loga
FB
FA
=
OB
OA
Como ∆ODC ∼ ∆OAB, de (1),
OD
OA
=
OC
OB
⇒ OC
OD
=
OB
OA
=
bc
b−b′
ab
b−b′
=
c
a
Da´ı
EC
ED
=
FB
FA
=
c
a
(2)
Obs: Alternativamente, podemos concluir
EC
ED
=
FB
FA
=
OB −OC
OA−OD =
c
a
iii) Vamos calcular as medidas dos segmentos FB, FA, EC e ED.
De (2) temos
FB
FA
=
c
a
⇒ FB = c
a
· FA, enta˜o
b = FB + FA =
c
a
· FA+ FA ⇒ ba = (c+ a)FA ⇒ FA = ba
c+ a
De maneira ana´loga
b′ = EC + ED =
c
a
· EC + EC ⇒ b′c = (c+ a)EC ⇒ EC = b
′c
c+ a
Questa˜o 7 [1,4 pt]: Seja um paralelogramo ABCD e as retas AH perpendicular sobre BC e CK
perpendicular sobre AB. Mostre que AH ·BC = CK · AB.
Soluc¸a˜o: Considere o paralelogramo ABCD e as retas AH ⊥ BC e CK ⊥ AB:
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Geometria Plana– Gabarito AD2 6
Temos que ∆ABH ∼ ∆BCK, pois{
AĤB = CK̂B = 90◦
AB̂H = KB̂C (aˆngulo comum)
Logo
AH
CK
=
AB
BC
⇒ AH ·BC = CK · AB
Questa˜o 8[boˆnus 0,7 pt]: Mostre que as paralelas aos lados de um triaˆngulo trac¸adas pelo bari-
centro G dividem cada lado em treˆs partes iguais.
Soluc¸a˜o:Seja o triaˆngulo ABC, G o baricentro e Mo ponto me´dio de BC.
GE//BC e GD//AB
Note que as paralelas BC e GE dividem AM na raza˜o
GM
AM
=
1
3
Temos ainda que
EC
AC
=
1
3
, pois ∆AGE ∼ ∆AMC
De forma similar
AD
AC
=
1
3
logo
DE
AC
=
1
3
e AD = DE = AC
De forma ana´loga, podemos concluir o mesmo para os lados AB e BC.
Portanto as paralelas aos lados de um triaˆngulo trac¸adas pelo baricentro G dividem cada lado em
treˆs partes iguais.
Obs: A nota ma´xima desta avaliac¸a˜o e´ 10,0(dez).
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