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Universidade do Estado do Amazonas Escola Superior de Tecnologia 1 a Lista de Exercícios de Cálculo 2 Engenharia Ciclo Básico 1. Determine o domínio das funções vetoriais: a) 𝑟(𝑡) = (√4 − 𝑡2, 𝑒−3𝑡, ln(𝑡 + 1)) b) 𝑟(𝑡) = 𝑡−2 𝑡+2 𝑖 + sen 𝑡 𝑗 + ln(9 − 𝑡2) �⃗⃗� 2. A posição de uma partícula no plano 𝑥𝑦, no tempo 𝑡, é dada por 𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡, 𝑦(𝑡) = 𝑡𝑒𝑡. a) Escrever a função vetorial 𝑓(𝑡) que descreve o movimento dessa partícula. b) Onde se encontrará a partícula em 𝑡 = 0 e em 𝑡 = 2? 3. O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma lagoa pode ser expresso pela função vetorial 𝑟(𝑡) = 1−cos 𝑡 𝑚 𝑖 + (2𝑡 + 𝑡−sen 𝑡 𝑚 )𝑗, onde 𝑚 é a massa do besouro. Determinar a posição do besouro no instante 𝑡 = 0 e 𝑡 = 𝜋. 4. Esboçar a trajetória de uma partícula 𝑃, sabendo que seu movimento é descrito por: a) 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑖 + (2𝑡2 − 1)𝑗 b) 𝑓(𝑡) = 2 𝑡 𝑖 + 2 𝑡+1 𝑗, 𝑡 > 0 c) 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑗 + 4𝑡2�⃗⃗� d) 𝑓(𝑡) = ln 𝑡 𝑖 + 𝑡𝑗 + �⃗⃗�, 𝑡 > 0 e) 𝑓(𝑡) = (2𝑡 − 1, 𝑡 + 2) f) 𝑓(𝑡) = (𝑒𝑡 cos 𝑡 , 𝑒𝑡 sen 𝑡), 𝑡 ≥ 0 g) 𝑓(𝑡) = (𝑡, cos 𝑡 , sen 𝑡), 𝑡 ≥ 0 h) 𝑓(𝑡) = (𝑡, 𝑡, 𝑡2), 𝑡 ≥ 0 5. Sejam 𝑓(𝑡) = (𝑡, sen 𝑡 , 2) e �⃗�(𝑡) = (3, 𝑡, 𝑡2). Calcule: a) 𝑓(𝑡) ∙ �⃗�(𝑡) c) 𝑒−𝑡𝑓(𝑡) b) 𝑓(𝑡) − 2�⃗�(𝑡) d) 𝑓(𝑡) × �⃗�(𝑡) 6. Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável. a) lim𝑡→−2 ( 𝑡3+4𝑡2+4𝑡 (𝑡+2)(𝑡−3) 𝑖 + 𝑗) b) lim𝑡→2 1 𝑡−2 [(𝑡2 − 4)𝑖 + (𝑡 − 2)𝑗] c) lim𝑡→1 [ √𝑡−1 𝑡−1 𝑖 + (𝑡 − 1)𝑗 + (𝑡 + 1) �⃗⃗�] d) lim 𝑡→1 𝑓(𝑡), onde 𝑓(𝑡) = ( √𝑡−1 𝑡−1 , 𝑡2, 𝑡−1 𝑡 ) e) lim 𝑡→0 𝑓(𝑡), onde 𝑓(𝑡) = ( tg 3𝑡 𝑡 , 𝑒2𝑡−1 𝑡 , 𝑡3) f) lim 𝑡→2 𝑟(𝑡), onde 𝑟(𝑡) = 𝑡3−8 𝑡2−4 𝑖 + cos 𝜋 𝑡 𝑡−2 𝑗 + 2𝑡 �⃗⃗� 7. Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados. a) 𝑓(𝑡) = { |𝑡−3| 𝑡−3 𝑖 + 𝑡2𝑗, 𝑡 ≠ 3 0, 𝑡 = 3 em 𝑡 = 0 e 𝑡 = 3. b) 𝑓(𝑡) = { 𝑡 𝑠𝑒𝑛 1 𝑡 𝑖 + cos 𝑡 𝑗, 𝑡 ≠ 0 𝑗, 𝑡 = 0 em 𝑡 = 0 c) 𝑓(𝑡) = { 𝑡 𝑖 + √𝑡+2−√2 𝑡 𝑗, 𝑡 ≠ 0 √2 𝑗, 𝑡 = 0 em 𝑡 = 0 d) 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑖 − cos 𝑡 𝑗 + �⃗⃗� em 𝑡 = 0 8. Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais: a) 𝑓(𝑡) = �⃗� 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + �⃗⃗� cos 𝑡 em [0, 2𝜋], onde �⃗� = 𝑖 e �⃗⃗� = 𝑖 + 𝑗 b) ℎ⃗⃗(𝑡) = 𝑒−𝑡 𝑖 + ln 𝑡 𝑗 + cos 2𝑡 �⃗⃗� c) �⃗�(𝑡) = (𝑡2 + 1, 2−𝑡2 𝑡2−2𝑡+1 , 1 √𝑡 ) 9. Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel 𝑃(𝑥, 𝑦), quando o parâmetro 𝑡 varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens: a) 𝑥=2 cos 𝑡 𝑦=2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 0≤𝑡≤2𝜋 b) 𝑥=4 cos 𝑡 𝑦=4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑧=2, 0≤𝑡≤2𝜋 c) 𝑥=2+4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦=3−2 cos 𝑡, 0≤𝑡≤2𝜋 d) 𝑥=𝑡+1 𝑦=𝑡2+4 𝑧=2, −∞ < 𝑡 <+∞ 10. Obter a equação cartesiana das seguintes curvas: a) 𝑟(𝑡) = ( 1 2 𝑡, 3𝑡 + 5) b) 𝑟(𝑡) = (𝑡 − 1, 𝑡2 − 2𝑡 + 2) c) 𝑟(𝑡) = (𝑠2 − 1, 𝑠2 + 1, 2) 11. Determinar o centro e o raio das seguintes circunferências, e depois escrever uma equação vetorial para cada uma: a) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0 b) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0 c) 𝑥2 + 𝑦2 + 5𝑦 − 2 = 0 12. Identificar as curvas a seguir e parametrizá-las. Esboçar o seu gráfico: a) 2𝑥2 + 2𝑦2 + 5𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 b) 2𝑥2 + 5𝑦2 − 6𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0 c) 𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 = 0 d) 𝑥2 − 8𝑦 + 4 = 0 13. Determinar uma representação paramétrica da reta que passa pelo ponto 𝐴, na direção do vetor �⃗⃗�, onde a) 𝐴 (1, 1 2 , 2) e �⃗⃗� = 2𝑖 − 𝑗 b) 𝐴(0, 2) e �⃗⃗� = 5𝑖 − 𝑗 c) 𝐴(√2, 2, √3) e �⃗⃗� = 5𝑖 − 3�⃗⃗� 14. Determinar uma representação paramétrica da reta que passa pelos pontos 𝐴 e 𝐵, sendo: a) 𝐴(2, 0, 1) e 𝐵(−3, 4, 0) b) 𝐴 (𝜋, 𝜋 2 , 3) e 𝐵(𝜋, −1, 2) 15. Determinar uma representação paramétrica da reta representada por: a) 𝑦 = 5𝑥 − 1, 𝑧 = 2 b) 2𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 = 1, 3𝑥 − 2𝑦 − 5𝑧 = 1 c) 2𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 4, 𝑦 − 𝑥 = 4 16. Encontrar uma equação vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies: a) O cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4 e a superfície 𝑧 = 𝑥𝑦; b) O cone 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 e o plano 𝑧 = 1 + 𝑦; c) O paraboloide 𝑧 = 4𝑥2 + 𝑦2 e o cilindro parabólico 𝑦 = 𝑥2; d) O plano 𝑦 = 𝑥 e o paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2. 17. Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais: a) 𝑓(𝑡) = cos3 𝑡 𝑖 + tan 𝑡 𝑗 + sin2 𝑡 �⃗⃗� b) �⃗�(𝑡) = sin 𝑡 cos 𝑡 𝑖 + 𝑒−2𝑡𝑗 c) ℎ⃗⃗(𝑡) = 5𝑡−2 2𝑡+1 𝑖 + ln(1 − 𝑡2) 𝑗 + 5�⃗⃗� 18. Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado: a) 𝑓(𝑡) = (𝑡, 𝑡2, 𝑡3), 𝑃(−1, 1, −1) b) �⃗�(𝑡) = (𝑡, 𝑒𝑡), 𝑃(1, 𝑒) c) ℎ⃗⃗(𝑡) = (sin 𝑡 , cos 𝑡 , 𝑡), 𝑃(1, 0, 𝜋/2) 19. Mostrar que a curva definida por 𝑓(𝑡) = ( 1 2 sin 𝑡 , 1 2 cos 𝑡 , √3 2 ) está sobre a esfera unitária com centro na origem. Determinar um vetor tangente a essa curva no ponto 𝑃 (0, 1 2 , √3 2 ). 20. Determinar dois vetores unitários, tangentes à curva definida pela função dada, no ponto indicado. a) 𝑓(𝑡) = (𝑒𝑡, 𝑒−𝑡, 𝑡2 + 1); 𝑃(1, 1, 1) b) �⃗�(𝑡) = ( 1 2 𝑡, √𝑡 + 1, 𝑡 + 1) ; 𝑃(1, √3, 3) 21. A posição de uma partícula em movimento no plano, no tempo t, dada por 𝑥(𝑡) = 1 2 (𝑡 − 1) 𝑦(𝑡) = 1 4 (𝑡2 − 2𝑡 + 1) a) Escrever a função vetorial 𝑓(𝑡) que descreve o movimento dessa partícula. b) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração. 22. Se 𝑟(𝑡) é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula é perpendicular a 𝑟(𝑡). a) 𝑟(𝑡) = (cos 3𝑡 , sin 3𝑡) b) Do item a), mostrar que o vetor aceleração tem sentido oposto ao do vetor posição. 23. Mostrar que, quando uma partícula se move com velocidade constante, os vetores velocidade e aceleração são ortogonais. 24. Seja 𝑟(𝑡) = 𝑎 cos 𝑤𝑡 𝑖 + 𝑏 sin 𝑤𝑡 𝑗, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑤 são constantes não nulas. Mostrar que 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 = −𝑤2𝑟. 25. Dados 𝑓(𝑡) = 𝑡 𝑗 + 𝑡2�⃗⃗� e �⃗�(𝑡) = 𝑡2 𝑗 − 𝑡 �⃗⃗�, determinar: a) (𝑓(𝑡) × �⃗�(𝑡))′ b) (𝑓(𝑡) ∙ �⃗�(𝑡))′ 26. Sejam 𝑓(𝑡) uma função real duas vezes derivável e �⃗� e �⃗⃗� vetores constantes. Mostrar que se �⃗�(𝑡) = �⃗� + �⃗⃗�𝑓(𝑡), então �⃗�′(𝑡) × �⃗�"(𝑡) = 0⃗⃗. 27. Suponha que 𝑟: ℝ → ℝ3 seja duas vezes derivável e que, para todo 𝑡 ≥ 0, ‖𝑟(𝑡)‖ = √𝑡. a) Prove que 𝑑𝑟 𝑑𝑡 ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = −𝑟 ∙ 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 em [0, +∞[. b) Seja 𝜃 o ângulo entre 𝑟 e 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 . Conclua que 𝜋 2 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. 28. Seja 𝑟 definida em ℝ, com valores em ℝ3, e duas vezes derivável. Prove que se 𝑟(𝑡) × 𝑑𝑟 𝑑𝑡 (𝑡) for constante em ℝ, então 𝑟(𝑡) × 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 (𝑡) = 0⃗⃗ em ℝ. 29. Suponha ‖�⃗�(𝑡)‖ ≠ 0 para todo 𝑡. Faça �⃗⃗�(𝑡) = �⃗⃗�(𝑡) 𝑣(𝑡) onde 𝑣(𝑡) = ‖�⃗�(𝑡)‖. Prove que: a) �⃗⃗� e 𝑑�⃗⃗� 𝑑𝑡 são ortogonais; b) �⃗� = 𝑣 𝑑�⃗⃗� 𝑑𝑡 + 𝑑𝑣 𝑑𝑡 �⃗⃗�. 30. Determine 𝑟 = 𝑟(𝑡) sabendo que a) 𝑑�⃗⃗� 𝑑𝑡 = 𝑡 𝑖 + 2 �⃗⃗� e 𝑟(0) = 𝑖 + 𝑗 b) 𝑑�⃗⃗� 𝑑𝑡 = sen 𝑡 𝑖 + cos 2𝑡 𝑗 + 1 𝑡+1 �⃗⃗�, 𝑡 ≥ 0, e 𝑟(0) = 𝑖 − 𝑗 + 2 �⃗⃗� 31. Calcule: a) ∫ [𝑡 𝑖 + 𝑒𝑡 𝑗]𝑑𝑡 1 0 b) ∫ [3 𝑖 + 2 𝑗 + �⃗⃗�]𝑑𝑡2 1 c) ∫ ( 4 1+𝑡2 𝑗 + 2𝑡 1+𝑡2 �⃗⃗�) 𝑑𝑡 1 0 d) ∫ (3 sen2 𝑡 cos 𝑡 𝑖 + 3 sen 𝑡 cos2 𝑡 𝑗 + 2 sen 𝑡 cos 𝑡)𝑑𝑡 𝜋/2 0 32. Verificar quais das seguintes curvas são suaves: a) 𝑟(𝑡) = 𝑡3𝑖 + 𝑡2𝑗, 𝑡 ∈ [−1, 1] b) 𝑟(𝑡) = 𝑡3𝑖 + 𝑡2𝑗, 𝑡 ∈ [ 1 2 , 1] c) 𝑟(𝑡) = (3 cos3 𝑡 , 3 sin3 𝑡), 𝑡 ∈ [ 𝜋 6 , 𝜋 3 ] 33. Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas: a) 𝑟(𝑡) = (𝑒𝑡 cos 𝑡 , 𝑒𝑡 sin 𝑡 , 𝑒𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 b) 𝑟(𝑡) = (2𝑡3, 2𝑡, √6𝑡2), 0 ≤ 𝑡 ≤ 3 c) 𝑥 = 𝑡3, 𝑦 = 𝑡2, 1 ≤ 𝑡 ≤ 3 d) Hélice circular 𝑟(𝑡) = (2 cos 𝑡 , 4𝑡, 2 sin 𝑡) de 𝑃0(2, 0, 0) a 𝑃1(0, 2𝜋, 2) e) Um arco da cicloide 𝑟(𝑡) = 2(𝑡 − sin 𝑡)𝑖 + 2(1 − cos 𝑡)𝑗 f) 𝑟(𝑡) = (𝑡 sin 𝑡 , 𝑡 cos 𝑡) para 𝑡 ∈ [0, 𝜋] g) 𝑟(𝑡) = (𝑡 cos 𝑡 , 𝑡 sin 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋] h) 𝑟(𝑡) = (𝑒−𝑡 cos 𝑡 , 𝑒−𝑡 sin 𝑡 , 𝑒−𝑡), 𝑡 ∈ [0, 1] i) 𝑟(𝑡) = (2𝑡 − 1, 𝑡 + 1), 𝑡 ∈ [1, 2] 34. Escrever a função comprimento de arco de: a) 𝑟(𝑡) = (sin 𝑡 2 , cos 𝑡 2 , 2𝑡) b) 𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑡2) c) 𝑟(𝑡) = (cos3 𝑡 , sin3 𝑡 , 3 4 cos 2𝑡) d) 𝑟(𝑡) = (cos 2𝑡 , sin 2𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝜋] 35. Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: a) 𝑟(𝑡) = (√2 cos 𝑡 , √2sin 2𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋] b) 𝑟(𝑡) = (2𝑡, 2 3 √8𝑡3, 𝑡2) , 𝑡 ∈ [0, 3] c) 𝑟(𝑡) = (etcos 𝑡 , etsin 𝑡 , 𝑒𝑡) d) Hipocicloide 𝑟(𝑡) = (𝑎 cos3 𝑡 , 𝑎 sin3 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝜋 2 ]
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