Questões das torneiras

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31) Uma torneira enche um tanque em 4 horas. O tanque pode ser esvaziado em 6 horas. Se abrirmos a torneira e esvaziarmos o tanque, simultaneamente, em quanto tempo ele ficará cheio? 
a) 12 horas     b) 10 horas          c) 6 horas          d) 2 horas
Resolução: 
Dados:
Tempo de enchimento: 4h
Tempo de esvaziamento: 6h.
Pergunta-se: tempo para encher o tanque se as duas torneiras forem abertas:
Veja abaixo um desenho esquemático de nosso problema:
A vazão é dada por:
A vazão de entrada será igual ao volume do tanque divido pelo tempo de enchimento do tanque, ou seja:
A vazão de saída será igual ao volume do tanque dividido pelo tempo de esvaziamento do tanque, ou seja:
A vazão líquida, ou seja, a vazão que encherá o tanque será dada pela diferença entre a vazão de entrada e a vazão de saída, chamaremos essa vazão de Ql
Substituindo os valores do tempo de enchimento (Te = 4h) e do tempo de esvaziamento (Ts = 6h), teremos:
A vazão líquida é também dada por:
Igualando as duas equações (lembre-se que os volumes considerados são os mesmo), teremos:
Resposta: o tempo total de enchimento, com as duas torneiras abertas, será igual a 12h.
32) Um reservatório é constituído por cinco torneiras e dois ralos que conseguem enchê-lo e esvaziá-lo, completamente, em: 2 horas; 3 horas; 4 horas; 6horas; 8 horas; 12 horas e 24 horas, respectivamente. Se abrirmos, simultaneamente, todo o conjunto, em que tempo ele ficará totalmente cheio? 
a) 3h 12 min     b) 2h 24 min     c) 1h 48 min     d) 48 min 
Resolução:
Veja abaixo o croqui de nosso problema:
A vazão (Q) é dada por:
Para a torneira 1 temos que a vazão será (QT1):
Para as torneiras 2, 3, 4 e 5 serão:
Para os ralos 1 e 2 as vazões serão:
A vazão que encherá o tanque, quando todas as torneiras estiverem abertas e também os ralos, será a dada pela diferença da soma das vazões das torneiras, menos a soma das vazões dos ralos. Chamaremos essa vazão de vazão líquida (QL). Matematicamente temos:
QT (a vazão total das torneiras) será igual a soma de todas as vazões das torneiras. QR (vazão total dos ralos) será igual a soma das vazões dos ralos, assim:
A vazão líquida é dada pela relação entre o volume e o tempo de enchimento:
Substituindo o valor de QL teremos:
Transformando horas em minutos teremos:
Resposta: o tempo para encher o reservatório, com todas as torneiras e ralos abertos, será de 48 minutos.
  
33) Para fazer o balanço de uma empresa foram designados 4 técnicos. Sozinhos, o primeiro levaria 15 horas para fazer o serviço; o segundo, 20; o terceiro, 30; e o quarto, 60. Depois de quatro horas de trabalho, em conjunto, os dois primeiros foram retirados dessa tarefa. Qual deverá ser o tempo dos dois últimos para terminar o balanço? 
a) 6 h e 40 min      b) 1 h e 10 min     c) 5 h e 30 min     d) 7 h e 50 min     e) n.d.a. 
Resolução:
Podemos pensar este problema, como se fosse um reservatório que seria enchido por 4 torneiras, essas torneiras seriam o serviço dos técnicos e o reservatório seria o balanço a ser realizado, Veja abaixo o croqui de nosso problema:
Esse serviço seria realizado, inicialmente, com todos os técnicos trabalhando, logo, seria como se todas as torneiras estivessem abertas. Cada técnico tem a sua parcela de vazão (trabalho), que será assim quantificada, quando cada um faz o trabalho sozinho:
Técnico 1:
Onde:
15 = corresponde ao tempo que o técnico 1 realiza o balanço se trabalhasse sozinho;
S = representa a tarefa que deve ser realizada (o balanço).
Para os demais, ou seja, técnicos 2, 3 e 4, respectivamente:
Chamaremos de Q’ a “vazão” para as 2 horas em que os 4 técnicos trabalharam juntos. Essa vazão será dada por:
Essa vazão também é dada por:
Onde:
S1 = é a parcela do serviço que foi realizada com os 4 técnicos trabalhando;
T1 = é o tempo em que os 4 técnicos trabalharam ao mesmo tempo, esse tempo é igual a 4 horas.
Substituindo esse tempo em (3) teremos:
Igualando a equação (2) com a equação (4) teremos:
A “vazão” para o trabalho dos técnicos 3 e 4, após as duas horas de trabalho conjunto, será dada por:
Essa “Vazão” também pode ser determinada por:
Onde:
S-S1 = será o restante do balanço que deve ser executado pelos técnicos que ficaram trabalhando;
T2 = tempo de execução do restante do balanço.
Para determinarmos T2, devemos igualar as equações (6) e (7):
Substituindo a equação (5) em (8) teremos:
Agora só resta transformar 0,67 horas em minutos:
Temos então que o T2 será igual a 6h40min.
Resposta: os 2 técnicos restantes levarão 6h40minutos para realizar o restante do balanço.
Resultado: letra a.