Aproximação de funções

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Profa. Simone Tomazzoni 
 A tabela a seguir apresenta a concentração de 
oxigênio dissolvido em água como uma função da 
temperatura para uma concentração de cloreto de 
10 g/l 
 
 Considere que você deseja obter um valor para a 
concentração que não se encontra na tabela. Nesse 
caso você teria que aproximar, ou seja, você teria 
que estimar um valor para concentração desejada, 
com base nas temperaturas que a determinam. 
 Existem duas classes de métodos para 
aproximação de dados: interpolação e ajuste. 
 
 A distinção entre elas está em considerarmos, ou 
não, a existência de erros nos dados. 
 
 No primeiro caso, consideramos que os dados são 
precisos e, portanto pode-se exigir que a curva de 
aproximação passe pelos pontos dados. No 
segundo caso, são considerados possíveis erros 
introduzidos na obtenção dos dados. 
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
9
10
11
12
13
14
15
16
temperatura (°C)
co
nc
en
tr
aç
ão
 (
g/
l)
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
9
10
11
12
13
14
15
16
temperatura (°C)
co
nc
en
tr
aç
ão
 (
g/
l)
Figura 1: À esquerda: ajuste e à direita, interpolação. 
 Em ambos os casos, deseja-se aproximar f por 
outra função g mais apropriada, ou seja: 
 f(x)  g(x) 
 Na maioria das vezes, tem-se as seguintes 
situações: 
 a) deseja-se avaliar quantitativamente, valores de 
uma função f que é conhecida em apenas alguns 
pontos base. 
 b) deseja-se substituir uma função f de difícil 
tratamento, por uma função g de manuseio mais 
simples; 
 
 
 
 
 
Figura 2: À esquerda, a expressão de f é desconhecida e 
à direita, f é de difícil tratamento 
 
 Problemas como esses surgem em muitas áreas da 
matemática, da engenharia e das ciências em geral. 
 
 Dentro da matemática, a interpolação desempenha 
papel essencial no próprio cálculo numérico. 
 
 Nesse exemplo particular, citamos o cálculo de 
valores de funções complicadas, como as funções 
transcendentes, a integração numérica e as 
soluções de equações diferenciais. 
 
 
 O exemplo mais simples de aproximação por 
mínimos quadrados é ajustar uma reta a um 
conjunto de pares de observação (x1, y1), (x2, y2), ..., 
(xn, yn) 
 
 A expressão matemática do ajuste por uma reta é: 
 
 
 Onde r é o erro ou resíduo entre o modelo e a 
observação, dado por: 
0 1y a a x r  
0 1r y a a x  
 
 Uma estratégia é minimizar a soma dos quadrados 
dos resíduos entre o valor de y medido e o valor de 
y calculado com o modelo linear: 
2 2 2
, ,mod 0 1
1 1 1
( ) ( )
n n n
r i i medido i elo i i
i i i
S r y y y a a x
  
       
 
 Para determinar os valores de a0 e a1 que 
minimizam a soma dos quadrados dos resíduos, a 
equação apresentada é derivada com relação a 
cada coeficiente: 










n
i
iii
r
n
i
ii
r
xaayx
a
S
xaay
a
S
1
10
1
1
10
0
)(2
)(2
 
 Igualando as derivadas a zero será obtido um Sr 
mínimo. As equações podem ser expressas como: 
0
0
1
2
1
1
0
1
1
1
1
0
1






n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
n
i
i
xaxaxy
xaay
 
 As equações podem ser expressas coo um sistema 
de duas equações lineares, ditas equações 
normais: 
0 1
1 1
2
0 1
1 1 1
 
 
n n
i i
i i
n n n
i i i i
i i i
n a x a y
x a x a y x
 
  
  
   
  

           
 
  
 
 As equações do sistema podem ser resolvidas 
simultaneamente através das expressões abaixo: 
2
11
2
111
1













n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xxn
yxyxn
a
xaya 10 
 Ajuste uma reta aos valores de x e y para os dados 
apresentados na tabela a seguir: 
 
 O procedimento dos mínimos quadrados pode ser 
estendido para ajustar dados por um polinômio de 
maior grau. Por exemplo, suponha que se queira 
ajustar um polinômio de segundo grau: 
 
 
 Nesse caso, a soma dos quadrados dos resíduos é: 
2
0 1 2y a a x a x r   



n
i
iiir xaxaayS
1
22
210 )(
 
 Seguindo o mesmo procedimento usado para 
ajuste por uma reta, toma-se a derivada de Sr com 
relação a cada um dos coeficientes do polinômio: 















n
i
iiii
r
n
i
iiii
r
n
i
iii
r
xaxaayx
a
S
xaxaayx
a
S
xaxaay
a
S
1
2
210
2
2
1
2
210
1
1
2
210
0
)(2
)(2
)(2
 
 As equações apresentadas são igualadas a zero e 
reorganizadas para determinar o sistema linear de 
equações normais: 
2
0 1 2
1 1 1
2 3
0 1 2
1 1 1 1
2 3 4 2
0 1 2
1 1 1 1
 + 
 
 
n n n
i i i
i i i
n n n n
i i i i i
i i i i
n n n n
i i i i i
i i i i
n a x a x a y
x a x a x a y x
x a x a x a y x
  
   
   
    
     
   
      
        
     
     
        
     
  
   
   
 Ajustar um polinômio de segundo grau aos 
dados da tabela a seguir: 
 É conhecido que a força de tensão do plástico 
aumenta em função do tempo quando ele é tratado 
com calor. São coletados os seguintes dados: 
 
 
 
 
 Ajuste uma reta a esses dados e use a equação 
encontrada para determinar a força de tensão para 
o instante 32 minutos. Construa o gráfico dos 
dados e da reta ajustada. 
Tempo 10 15 20 25 40 50 55 60 75 
Força de tensão 5 20 18 40 33 54 70 60 78 
 Alguns modelos não lineares podem ser 
linearizados para obter a curva de ajuste, 
conforme os exemplos a seguir. 
 
 
 
 
 
Modelo Curva Forma linear 
Y = A0+ A1X 
Exponencial 
 
 
 
 
Potência simples 
 
 
Racional 
 
1
0
a x
y a e
1
0
a
y a x
0 1
x
y
a a x


0 1log( ) log( )y a a x 
0 1log( ) log( ) log( )y a a x 
0 1
1 1
a a
y x
 
 Determinar os parâmetros a e b, para o ajuste de 
 aos dados apresentados na figura. 
 
bxy ae
x 10 20 30 40 50 60 70 80 
y 25 70 340 550 810 1320 1840 2450 
 Use o método dos mínimos quadrados para ajustar 
(a) uma reta, (b) uma potência simples, (c) uma 
parábola e (d) uma equação racional para o 
conjunto de dados a seguir. Construa um gráfico 
dos dados e de todas as curvas. Qual das curvas se 
ajusta melhor aos dados? 
 
 x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 
y 17 24 31 33 37 37 40 40 42 41