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Cálculo Numérico – Profa. Simone Tomazzoni 2014 Página | 1 Aproximação de funções A tabela a seguir apresenta a concentração de oxigênio dissolvido em água como uma função da temperatura para uma concentração de cloreto de 10 g/l Tabela 1: Concentração de oxigênio em função da temperatura T( o C) 0 5 10 15 c (g/l) 14,6 12,8 11,3 10,1 Considere que você deseja obter um valor para a concentração que não se encontra na tabela. Nesse caso você teria que aproximar, ou seja, você teria que estimar um valor para concentração desejada com base nas temperaturas que a determinam. Existem duas classes de métodos para aproximação de dados: interpolação e ajuste. A distinção entre elas está em considerarmos, ou não, a existência de erros nos dados. No primeiro caso, consideramos que os dados são precisos e, portanto pode-se exigir que a curva de aproximação passe pelos pontos dados. No segundo caso, são considerados possíveis erros introduzidos na obtenção dos dados. (a) (b) Figura 1: (a) Ajuste e (b) Interpolação Em ambos os casos, deseja-se aproximar f por outra função g mais apropriada, ou seja: f(x) g(x) Na maioria das vezes, tem-se as seguintes situações: -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 9 10 11 12 13 14 15 16 temperatura (°C) co nc en tr aç ão ( g/ l) -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 9 10 11 12 13 14 15 16 temperatura (°C) co nc en tr aç ão ( g/ l) Cálculo Numérico – Profa. Simone Tomazzoni 2014 Página | 2 i) deseja-se avaliar quantitativamente, valores de uma função f que é conhecida em apenas alguns pontos base. ii) deseja-se substituir uma função f de difícil tratamento, por uma função g de manuseio mais simples; (a) (b) Figura 2: (a) a expressão de f é desconhecida e (b) f é de difícil tratamento Problemas como esses surgem em muitas áreas da matemática, da engenharia e das ciências em geral. Dentro da matemática, a interpolação desempenha papel essencial no próprio cálculo numérico. Nesse exemplo particular, citamos o cálculo de valores de funções complicadas, como as funções transcendentes, a integração numérica e as soluções de equações diferenciais. Interpolação Dado um conjunto de pontos, geralmente chamado conjunto de dados, (xk, f(xk)), k = 1, 2,..., n. A interpolação consiste em construir uma função, dita função interpoladora, que forneça uma estimativa para os valores de f(x) em um intervalo I que contenha esses pontos, sendo x xk. As funções interpoladoras mais comuns são formadas por combinações lineares de funções simples, escolhidas de uma classe de funções. 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ... ( )n ng x a g x a g x a g x Dentre as classes mais usadas se encontram os monômios 0 1 2, , ,..., nx x x x , as funções trigonométricas ( ),cos( )sen nx nx e as exponenciais 0 1, ,..., nb x b xb xe e e . Dessa forma, combinando monômios de grau até n, obtém-se funções interpoladoras polinomiais, ou seja, Cálculo Numérico – Profa. Simone Tomazzoni 2014 Página | 3 0 1( ) ( ) ... n nf x g x a a x a x Combinando-se funções trigonométricas, têm-se funções interpoladoras na forma 0 1 2 0 1 2( ) ( ) ( ) (2 ) ... ( ) cos( ) cos(2 ) ... cos( )n nf x g x a a sen x a sen x a sen nx b b x b x b nx Já as funções interpoladoras exponenciais são da forma 0 1 0 1( ) ( ) nb x b xb x nf x g x a e a e a e Interpolação Polinomial O uso de interpolações polinomiais tem a facilidade de reduzir os cálculos à aritmética elementar e é apoiado pelo Teorema de Weierstrass. Teorema da aproximação de Weierstrass Se f é contínua em um intervalo fechado [a, b], para todo ε > 0 existe um polinômio p(x) tal que, para todo x [a, b], temos |f(x) – p(x)| < ε. Consideremos (n+1) pontos distintos: x0, x1, ..., xn, chamados nodos da interpolação, e os valores de f(x) nesses pontos f(x0), f(x1), ...,f(xn). Uma forma de interpolação de f(x) consiste em obter um determinado polinômio pn(x), de grau n, de modo que 0 1( ) ( ) ... n n nf x p x a a x a x que satisfaça 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n p x f x p x f x p x f x Figura 3. Interpretação geométrica para n = 5 Cálculo Numérico – Profa. Simone Tomazzoni 2014 Página | 4 Note que, escolhido um polinômio interpolador de ordem n, para definir pn completamente é preciso determinar os coeficientes a0, a1,...,an. Interpolação Linear e quadrática Exemplo 1. Considere que se queira determinar um polinômio interpolador de grau n = 1 para o primeiro e último dado da Tab. 1. Exemplo 2. Considere que se queira determinar um polinômio interpolador de grau n = 2 para os três primeiros dados da Tab. 1. De um modo geral, dados n + 1 pontos de f(x), é possível construir um polinômio interpolador empregando a abordagem dos exemplos 1 e 2. Neste caso, a resolução do problema consiste em resolver o sistema linear 2 0 00 0 0 2 1 11 1 1 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 k k k k n nn n n a fx x x a fx x x a fx x x a fx x x Embora esta abordagem forneça uma maneira fácil de realizar a interpolação, ele possui uma séria deficiência. A matriz dos coeficientes, chamada matriz de Vandermonde, é muito mal condicionada, ou seja, suas soluções são muito sensíveis a erros de arredondamento. Mais ainda, o mau condicionamento cresce com a ordem da matriz. Como consequência, há abordagens alternativas que não apresentam essa deficiência: os polinômios de Lagrange e Newton, entre outras. Cálculo Numérico – Profa. Simone Tomazzoni 2014 Página | 5 Interpolação exemplos 1 e 2 – MATLAB (usando o comando polyfit) >> t=[0 15] t = 0 15 >> c=[14.6 10.1] c = 14.6000 10.1000 >> p1=polyfit(t,c,1) p1 = -0.3000 14.6000 P1(t) = -0.3t + 14.6 >> t=[0 5 10] t = 0 5 10 >> c=[14.6 12.8 11.3] c = 14.6000 12.8000 11.3000 >> p2=polyfit(t,c,2) p2 = 0.0060 -0.3900 14.6000 P2(t) = 0.006t2 – 0.39t + 14.6 Gráfico Para construir os gráficos dos polinômios p1 e p2 juntamente com os nodos: >> tn=[0 5 10 15]; >> c=[14.6 12.8 11.3 10.1]; >> t=-2:.01:16; >> p1=-0.3.*t+14.6; % ou p1 = polyval(p1,t) >> p2=0.006.*t.^2 - 0.39.*t + 14.6; % ou p2 = polyval(p2,t) >> plot(tn,c,'o',t,p1,t,p2),grid -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 9 10 11 12 13 14 15 16 Nodos p1 p2 Cálculo Numérico – Profa. Simone Tomazzoni 2014 Página | 6 Exercícios 1. Os dados a seguir para a densidade do gás nitrogênio em função da temperatura foram obtidos com alta precisão. Use polinômios de Lagrange de grau 1 e 2 para fazer uma estimativa da densidade em uma temperatura de 330 K. Construa uma figura com os dados da tabela e com os polinômios p1 e p2, simultaneamente. Para fazer a escolha dos nodos empregados em cada interpolação sugere-se que construa o gráfico dos nodos. Tabela 2: Densidade do nitrogênio em função da temperatura T(K) 200 250 300 350 400 450 d (g/l) 1,71 1,37 1,14 0,97 0,85 0,76 2. Dados os pontos (-1, 1), (1, 3), (2, -1) e (3, -4) obtenha um polinômio interpolador de grau 3, na forma de Lagrange para aproximarf(x).
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