Mecânica dos Fluidos - Apostila RM Porto caps1 ~ 7

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FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO 
UNIVERSIDADE DE CAMPINAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
Capítulos de 1 a 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RODRIGO DE MELO PORTO 
 
 
 
 
 
Edição atualizada a partir do original publicado em Limeira em agosto de 1977. 
CAPITULO 1 
 
UNIDADES, COMPRESSIBILIDADE DOS LIQUIDOS E DOS GASES E 
 
PROPRIEDADES 
1.1- Dar as dimensões de: 
a) Potência; 
b) Módulo de elasticidade; 
c) Peso específico; 
d) Velocidade angular; 
e) Energia; 
f) Momento de uma força; 
g) Coeficiente de Poisson; 
h) Deformação unitária; 
i) Tensão superficial. 
 
1.2- Qual é a relação entre as escalas de aceleração no sistema inglês técnico e no 
MKS? 
 
1.3- A seguinte equação é dimensionalmente homogênea. 
 














 3
22
)
2
)((
))(1(
4
tt
y
hyh
Rd
Ey
F 
 
 
onde 
E = módulo de Young 

 = coeficiente de Poisson 
d, y, h = distâncias 
R = relação de distâncias 
F = força 
Qual é a dimensão t ? 
 
1.4- Se a água têm um módulo de compressibilidade volumétrica K = 2,06 x 10
9
 Pa, 
qual é o acréscimo de pressão requerido para reduzir seu volume de 0,5% ? 
 
1.5- Qual é o valor do volume especifico em m
3
/Kg, de um líquido cuja densidade vale 
0,8. 
 
1.6- Determinar o peso específico do ar à pressão atmosférica normal p=101300 Pa e 
temperatura de 27°C. Dado constante do ar R=287 m
2
/(s
2
.K). Supor g = 9,8 m/s
2
. 
 
1.7- A massa especifica da água a 20°C e à pressão atmosférica vale 998 kg/m
3
. 
Calcular o valor da massa especifica de um volume de água que sofreu um acréscimo de 
pressão de 10
8
 Pa, mantendo-se a temperatura. Resolver usando as duas fórmulas. 
 
1.8- Determinar o valor da constante r, em m
2
/(s
2
.K), para o ar atmosférico, supondo 
que este seja composto de 80% de nitrogênio e 20% de oxigênio. 
Dados: massa molecular do nitrogênio - 28 
 massa molecular do oxigênio - 32 
 constante universal dos gases perfeitos R = 8314 m
2
/(s
2
.K). 
1.9 -Um fluido tem viscosidade igual a 4x10
-3
 kg/(m.s) e massa especifica 800 Kg/m
3
. 
Determinar sua viscosidade cinemática. 
 
1.10- Qual é o módulo de compressibilidade volumétrica de um líquido que tem um 
aumento de 0,02% na massa específica para um aumento na pressão de 47000 Pa? 
 
1.11- Um balão sonda de formato esférico foi projetado para ter um diâmetro de l0 m a 
uma altitude de 45.000 m. Se a pressão e a temperatura nesta altitude são 
respectivamente 19600 Pa (abs) e -60
o
C, determinar o volume de hidrogênio a 98.000 
Pa (abs) e 20
o
C necessário para encher o balão na Terra. 
 
1.12- Deseja-se ensaiar um longo conduto circular, para uma pressão de 3,9 MPa. 
Enche-se primeiro o conduto com água a pressão atmosférica, tapam-se suas 
extremidades e obriga-se a entrar mais água por meio de uma bomba, até conseguir-se a 
pressão proposta para o ensaio. Supondo que o conduto não se dilate longitudinalmente, 
calcular a quantidade (massa) de água introduzida pela bomba. 
 
Dados: comprimento do tubo 2.500 m 
diâmetro interno 0,55 m 
espessura da parede (e) 1,4 cm 
módulo de compressibilidade volumétrica da água (K) 2,06 10
9
 Pa 
módulo de elasticidade do tubo (E) 206 10
9
 Pa 
 
 
FOLHA DE RESPOSTAS 
CAPITULO 1 
 
1.1 – a) – F L T-1 
 b) – F L-2 
 c) – F L-3 
 d) – T-1 
 e) – F L 
 f) – F L 
 g) – Adimensional 
 h) – Adimensional 
 i) – F L-1 
 
1.2 – r = 0,305 
 
1.3 – [t] = L 
 
1.4 – p = 10,3 Mpa 
 
1.5 – v = 1,25 x 10-3 m3/kg 
 
1.6 –  = 11,5 N/m3 
 
1.7 –  = 1047,6 kg/m3 ;  = 1046,4 kg/m3 
 
1.8 – R = 288,7 m2/(s2.K) 
 
1.9 –  = 5x10-6 m2/s 
 
1.10 – K = 235 MPa 
 
1.11 – V = 144 m3 
 
1.12 - 



















 
 1
2
11
4
22
eE
pD
K
p
L
D
m iii

 
CAPITULO 2 
 
LEI DE VISCOSIDADE DE NEWTON 
 
2.1- Uma placa infinita se move com velocidade constante V0, sobre uma película de 
óleo que descansa por sua vez sobre uma segunda placa, como mostrado na figura. Para 
e pequeno pode-se supor nos cálculos práticos, que a distribuição de velocidade no óleo 
é linear. Qual é a tensão cortante sobre a placa superior? 
 
2.2- a) Determinar o torque T requerido para se girar um disco de diâmetro d, com uma 
velocidade angular constante 

, sobre um filme de óleo de espessura h e 
viscosidade 

. 
b) Determinar o torque T requerido para se girar um cilindro A concêntrico a outro 
B com uma velocidade angular constante 

. Entre os dois cilindros existe um 
filme de óleo de espessura h e viscosidade 

. Assuma em ambos os casos uma 
distribuição linear da velocidade no filme de óleo. 
 
 
 
 
2.3- Um óleo de densidade igual a 0,85 escoa por uma canalização de l0 cm de 
diâmetro. A tensão cisalhante na parede da canalização é 32,36 kPa e o perfil de 
velocidade é dado por v= 2- 800 r
2
 (m/s), onde r é a distância radial medida a partir do 
eixo da tubulação. Qual é a viscosidade cinemática do óleo ? 
 
2.4- Um bloco pesa 245,25N e têm 20 cm de aresta. Deixa-se o bloco escorregar em um 
plano inclinado no qual existe uma película de óleo cuja viscosidade é igual a 
2.10
-3
Pa.s. Qual é a velocidade limite que o bloco atingira, supondo-se que a espessura 
do óleo é de 0,025 mm? Utilize a hipótese de distribuição de velocidade linear. 
a) b) 
 
2.5- A figura mostra o escoamento de um fluido viscoso, sobre uma placa plana. 
Supondo que : 
1- a. velocidade varie somente em y. 
2- o perfil de velocidade seja parabólico, ou seja, possa ser expresso por uma expressão 
V(y)= ay
2
 + by + c. 
3- a. tensão tangencial entre o fluido e o ar possa ser totalmente desprezada. 
4- o fluido é Newtoniano. 
Pede-se calcular a expressão da tensão tangencial na parede da placa plana (y = 0) em 
função da velocidade Vo, da espessura h e da viscosidade absoluta do fluido. 
 
2.6- A figura representa. o perfil de velocidade de um fluido em escoamento, são 
dados:

, a, b e o valor Vmax. Pede-se calcular o valor da tensão tangencial no ponto de 
coordenadas x= a, y= 0. Fazer as hipóteses necessárias. 
 
2.7-Um corpo cônico gira a uma velocidade constante igual a 

 rad/s. Uma película de 
óleo de viscosidade 

 separa o cone do recipiente que o contem. A espessura da 
película de óleo é e. Que torque se necessita para manter o movimento? O cone tem 
uma base de raio igual a R e uma altura H. Suponha uma distribuição de velocidade 
linear e o fluido Newtoniano. 
 
2.8-O peso da figura, ao descer, gira o eixo que está apoiado em dois mancais 
cilíndricos de dimensões conhecidas, com velocidade angular constante 

. Determinar 
o valor do peso G, desprezando a rigidez e o atrito na corda e supondo que o diagrama 
de velocidade no lubrificante seja linear. Dados: 

, De, Di, L, 

 e D. Discutir a 
solução. 
 
2.9-São dados dois planos paralelos distanciados de 0,5cm. O espaço entre os dois é 
preenchido com um fluido de viscosidade absoluta l0
-4 
kg/(m.s).
 
Qual será a força 
necessária para arrastar una chapa de espessura de 0,3cm, colocada a igual distância 
dos dois planos, de área l00 cm
2
, a velocidade de 0,15 m/s. 
 
2.10- Classificar as seguintes substâncias com base nos dados de velocidade de 
deformação 
dydv
e tensão cisalhante 

. 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
2.11- Dois discos são dispostos coaxialmente face a face separados por um filme de 
óleo lubrificante de viscosidade 

e espessura e. Aplicando-se um momento torsor Mt 
ao disco l este inicia um movimento em torno de seu eixo e através do óleo, estabelece-
se o regime, de forma que as velocidades angulares 
2 1  e
 permanecem constantes. 
Admitindo o regime estabelecido, demonstre que 


4
32
21
D
eMt

, onde D é o 
diâmetro dos discos. 
 
2.12- Entre duas placas, paralelas e infinitas existe um filme de óleo Newtoniano de 
viscosidade 

 e espessura h. A placa superior move-se com uma velocidade constante 
Va e, uma vez atingido o regime, a placa inferior desloca-se com uma velocidade Vb 
constante ( Vb < Va ) devido a viscosidade do óleo. Supondo um perfil de velocidade 
linear, determine: 
a) a tensão tangencial sobre a placa A. 
b) a relação entre a tensão tangencial sobre a placa A e a tensão tangencial sobre a placa 
B. 
 
 
2.13- Três placas planas, paralelas e infinitas, separadas pelas distâncias hl e h2, 
possuem entre elas óleos newtonianos de viscosidade 

l e 

2, respectivamente. A 
placa A move-se com uma velocidade constante VA e a placa C com velocidade 
dy
dV
 rd/s 
0 1 3 5 
 N/m2 0,1 0,2 0,3 0,4 
 
dy
dV
 rd/s 
0 3 4 6 5 4 
 N/m2 0,2 0,4 0,6 0,8 0,6 0,4 
 
dy
dV
 rd/s 
0 0,5 1,1 1,8 
 N/m2 0 0,2 0,4 0,6 
 
dy
dV
 rd/s 
0 0,3 0,6 0,9 1,2 
 N/m2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 
 
constante ( VC< VA ). A placa B, inicialmente em repouso, começa a deslocar-se para a 
direita. Calcular a velocidade VB de regime, isto é, a velocidade VB constante, após o 
equilíbrio do sistema. 
Qual a relação entre VA e VC para que a placa B não se mova? Considere em ambos os 
casos um perfil de velocidade linear em ambos os filmes de óleo. 
 
2.14- Uma placa delgada e de grande área é colocada no meio (centro) de uma brecha 
cheia com um óleo de viscosidade 
o
 e é puxada com uma velocidade constante v. Se 
um outro óleo de viscosidade 
1
 for colocado na brecha substituindo o primeiro, 
verifica-se que para a mesma velocidade v a força de atrito sobre a placa só será igual a 
força anterior se a placa estiver localizada fora do eixo de simetria (centro) da brecha, 
mas paralela as paredes. Determine, em termos de 
o
,
1
e h (altura da brecha), a que 
distância deve ficar a placa da parede mais próxima, para que a força de atrito seja a 
mesma para os dois óleos. 
Discuta a fórmula encontrada. O que acontece se 
1
>
o
? Faça todas as hipóteses 
necessárias à resolução do problema. 
 
2.15- Determinar o torque necessário para girar com velocidade angular constante 

, o 
tronco de cone da figura. Um filme de óleo de viscosidade 

 e espessura e preenche o 
espaço entre o tronco de cone e as paredes. Despreze o momento desenvolvido na face 
inferior do tronco de cone. Faça as hipóteses necessárias. 
 
2.16- A distribuição de velocidades em uma determinada secção de uma tubulação 
cilíndrica e dada por: 
)
4
(
4
2
2
r
DB
V 

 
no qual: B e uma constante, r distância do eixo da tubulação ao ponto considerado, D o 
diâmetro da tubulação e V a velocidade a uma distância r do eixo. Determinar: 
a) A tensão cortante na parede da tubulação. 
b) A tensão cortante em um ponto tal que r = D/4. 
c) Se a distribuição de velocidades se mantém em um comprimento L ao longo da 
tubulação, que força de reação sofre o fluido devido à parede da tubulação? 
 
2.17.- Através de uma brecha estreita de altura h, uma placa delgada e de grande área 
esta sendo puxada com velocidade constante vo. Sobre uma face da placa existe um óleo 
de viscosidade k

 e sob a outra face um óleo de viscosidade

. Calcular a posição da 
placa, com relação à parede da brecha, de tal forma que a força tangencial sobre ela seja 
mínima. Verifique a resposta quando k = 1. 
 
2.18 -Em um canal retangular de 0,50 m de largura e 0,30 m de altura, escoa água e o 
perfil de velocidade é parabólico com velocidade máxima de 0.80 m/s ocorrendo na 
superfície da água. Desprezando a tensão tangencial entre a água e o ar e sabendo que a 
água é um fluido newtoniano determine o módulo da força tangencial que a água 
provoca sobre o fundo do canal, por metro de comprimento longitudinal. 
Dado:  H2O = 1,01x10
-6
 kg/(m.s). 
FOLHA DE RESPOSTAS 
CAPITULO 2 
2.1 
e
V0 
 
2.2 
 
4
 
32
34
h
Ld
T
h
d
T


 
2.3 = 0,476 m2 /s 
2.4 Vo =24,2 m/s 
2.5 
h
v
Y


2
0 
 
2.6 
22a
Vmax
b



 
2.7 
222
3
L onde )(
2
RHRL
e
R
M 
 
2.8 
)(
2 3
DiDeD
LDi
G


 
2.9 F = 3x 10
-4
 N 
 
2.10- a) p1ástico ideal 
b) Não-newtoniano 
c) Não-newtoniano 
d) Newtoniano 
 
2.12 a) 
h
vb-va
  
 
b) -1 
 
2.13 a) 
2
2
1
1
2
2
1
1
hh
V
h
V
h
V
CA
B 



 
b) 
21
12
h
h
V
V
C
A



 
2.14 
2
/1 01 

hh
y
 
 Se 
01  
 fisicamente impossível. 
 
2.15 
 44
4
0 )(
2
aba
sene
tg
M  
 
 
2.16 a) 
4
D-
 

 
 b) 
8
D-
 

 
 c) 
LDF 2 
4



 
2.17 
K
h
y


1
 
 
2.18 F = 27.10
-6 
N
CAPITULO 3 
 
TENSÃO EM UM PONTO-GRADIENTE-EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA 
ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
3.1- Uma distribuição de forças mássicas, por unidade de massa do material é dada por 
jixB

1016 
 . Se a massa especifica do material é dada por 

= x
2
 + 2z, qual é a 
força mássica resultante sobre o material contido na região mostrada na figura? 
 
3.2- Pode-se obter um campo vetorial tomando o gradiente de um campo escalar. Se 

= 
xy+l6t
2
 + yz
3
 qual é o campo grad 

? Qual é o módulo do vetor grad 

 no ponto 
(0,3,2) quando t=0. 
 
3.3- Dada a seguinte distribuição hipotética de pressões p=xy + (x + z
2
) + l0, qual a 
força por unidade de volume sobre um elemento do meio fluido situado no ponto x=10, 
y=3, z=4, na direção 
jie

32,095,0 
 
 
3.4- Qual é a pressão relativa em um ponto de um fluido distante h da superfície livre se 
a massa específica do fluido é variável e dada por 
hk 0
 (kg/m
3
) no qual 

o é a 
massa específica na superfície e k uma constante. 
 
3.5- O peso específico da água em um oceano pode ser calculada pela relação empírica 
hK 0
 no qual 
0
 é o peso específico na superfície e h é a distância entre a 
superfície do oceano e um ponto qualquer da massa de água. Determine uma expressão 
para a pressão relativa em um ponto qualquer situado a uma distância h abaixo da 
superfície. 
 
3.6- Demonstrar que a equação fundamental da estática dos fluidos 

dZ
dP
, pode ser 
deduzida diretamente da equação geral da Física 


f
, onde f é uma força por 
unidade de volume e 

um campo escalar, que no caso seria o campo de pressões 
dentro da massa fluida. 
 
3.7- Se na superfície de um líquido em repouso o peso específico é 
0
e o módulo de 
compressibilidade volumétrica K for constante, determine o peso especifico do líquido a 
uma distância h abaixo da superfície livre. Depois, mostre que, se o líquido for a água, 
K=2,06 10
9
 Pa, para profundidades relativamente baixas, porexemplo h= 100 m, para 
propósitos práticos, a água pode ser considerada praticamente incompressível. 
 
 
FOLHA DE RESPOSTAS 
CAPITULO 3 
 
3.1 
jiF

20008448 
 
 
3.2 
  kyzjzxiygrad

23 3 ; 37grad 
3.3 f=-7 unidades 
 
3.4 
 2/20 khhgp  
 
3.5 
32
0 32 khhp  
 
3.7 
0
0



h

 para h=100m  =9804,7 N/
CAPITULO 4 
 
MANOMETRIA E ESTÁTICA DA ATMOSFERA 
 
4.1- Qual é a diferença de pressões entre os pontos A e B dos depósitos da figura? 
 
4.2- Qual é a diferença de pressões entre os depósitos A e B. Densidade relativa do 
mercúrio igual a 13,5. 
 
 
4.3- Qual é a pressão p no ponto P mostrado na figura abaixo. Densidade relativa do 
óleo igual a 0,8. 
 
 
4.4- Suponhamos unidos dois depósitos por um tubo de secção constante em forma de 
"U", como na figura. Os depósitos estão cheios de água e suas cotas piezométricas são 
respectivamente Hl e H2 (Hl> H2). As partes escuras do manômetro contem mercúrio e 
o resto contem água. Pede-se de terminar a diferença de cotas (Hl - H2) entre os 
reservatórios. Dados 

H2O, 

Hg e h. 
 
4.5- Um avião munido de um barômetro sobrevoa uma região do Atlântico cuja 
distribuição media de temperatura e indicada abaixo. O barômetro indica uma pressão 
absoluta de 27 kPa . Calcular a que altura voa o avião. Dados R = 287 m
2
/(s
2
K) (ar), 
g=9,8 m/s
2
, N.M.M. corresponde ao nível médio do mar. 
 
 
4.6- Na medida de pequenas pressões de ar, utiliza-se um manômetro de tubos em "U" 
cujo plano é inclinado de um ângulo 

 a relativamente a horizontal. Sabendo-se que o 
fluido manométrico é álcool, de massa especifica 

=764 kg/m3, qual é diferença de 
pressões 
p
 medida pelo manômetro, expressa em mm de coluna de água, quando a 
distância entre os dois meniscos, contada segundo a linha de maior declive do plano do 
manômetro, for igual a l= 0,45m. Adotar 

 = arc sen 1/2. 
 
 
4.7- Nas medidas de pressões elevadas utiliza-se uma combinação de manômetros de 
peso morto, com um manômetro de coluna liquida de um só tubo, conforme esquema. 
Conhecendo-se os valores dados na figura, determinar a pressão no reservatório que 
contem água. Dados: 

Hg, 

óleo e 

H20. 
 
4.8- Nas medidas de pressões com grande precisão utiliza-se um micromanômetro; a 
figura mostra um determinado tipo. Neste sistema empregam-se dois líquidos miscíveis 
de pesos específicos 

l e 

2 respectivamente. Supondo que nos recipientes A e B 
temos gases de pesos específicos desprezíveis, calcular Pa -Pb em função dos dados 
(
21,,  ed
). Se a área da secção reta do tubo é a, e a dos depósitos C e D é A, 
determinar 

em função de d, e justificar porque quando a/A for muito pequeno e 

l 
quase igual a 

2, uma pequena diferença de pressão Pa –Pb produzirá uma grande 
variação de d, o que dará por sua vez um instrumento muito sensível. 
 
 
4.9- Tem-se um tubo barométrico situado ao nível da superfície livre de uma represa, na 
cota zi = 520 m, indicando pressão atmosférica local de 746 mmHg. Em uma secção da 
adutora que sai da represa, situada na cota z2 = 20 m, tem-se outro tubo barométrico 
indicando pressão atmosférica local de 760mmHg. Qual é a pressão relativa em kPa, no 
eixo da adutora na cota z2 = 20 m, sabendo-se que não há escoamento através da 
adutora. Dado 

=9800 N/cm
3
. 
 
 
4.10 – Determinar analiticamente a diferença de pressões PA -PB entre os eixos dos dois 
reservatórios A e B indicados na figura. Considerar como grandezas conhecidas 

Hg, 

H2O,  h,  h1 e  h2. 
 
 
4.11- Determinar as pressões relativas e absolutas: 
 
1) do ar 
 
2) do ponto M, da configuração abaixo 
Dados: leitura barométrica local 735 mmHg 
densidade relativa do óleo 0,85 
densidade relativa do mercúrio 13,6 
 
 
 
4.12- Em uma atmosfera adiabática a pressão varia com o volume específico da seguinte 
forma Pv
k
 =cte, onde k é uma constante igual a relação dos calores específicos Cp e Cv. 
Mostrar que a expressão que relaciona a pressão P e a elevação Z para esta atmosfera, 
utilizando como referência o nível do solo (índices zeros) é: 
 
)(
1
0
ZoZ
K
K
PoP 

 
 
 
 
4.13- Determinar 

a, Po e Poabs na configuração abaixo sendo dados: ρ 
 
 hb = 0,1 m ha = 0,2 m 
 
b
1000 kg /m
3 
 Pa = Pb =1 atm 
 1 atm = 101300 Pa g = 10 m/s
2
 
 
4.14- A figura representa um recipiente contendo um líquido mantido a nível constante, 
cuja temperatura varia linearmente com a profundidade, decrescendo da superfície para 
o fundo, onde vale 20
o
C. A taxa de variação e igual a 40
o
C/m. Sabe-se que o peso 
específico do líquido varia linearmente com a temperatura, diminuindo quando esta 
aumenta, com uma taxa e variação de 50 N/m
3
/
o
C. A 20
o
C o peso específico vale 12.000 
N/m
3
. Com as informações acima e os dados da figura calcular o valor da altura H da 
superfície livre do líquido contido no recipiente. 

H =13600 Kgf/m
3
. 
 
 
 
4.15- Uma atmosfera tem uma temperatura ao nível do mar de 27
o
C e cai l
o
C para cada 
275 m de elevação. Se a constante do ar é R = 287 m
2
/(s
2
K), qual é a elevação sobre o 
nível do mar onde a pressão é 70% da que existe sobre o nível do mar? 
 
 
4.16- Para medida de pequenas variações de pressão em gases, utiliza-se algumas vezes 
um manômetro de cúpula. Basicamente consiste em uma cúpu1a cilíndrica de raio R e 
espessura da parede e, colocada em um determinado 1íquido, como na figura e 
sustentada por um contra-peso w, o gás cuja variação de pressão se deseja medir fica 
aprisionado na câmara C formada pela superfície do líquido e o fundo da cúpula 
cilíndrica. Pata um líquido de peso específico 

 e um gás cuja pressão P deseja-se 
medir, calcular: 
 
1) A expressão 
dz
dp
, isto é, a relação entre a variação de pressão e a variação z, 
demonstrando que este manômetro e realmente sensível, isto é, para pequenos dp 
teremos grandes dz. 
 
2) Para R=100 mm, e=1,0 mm calcular o deslocamento vertical da cúpula, devido ao 
aumento de pressão no gás de 1 mm de coluna de água. 
 
 
4.17- Calcule H 
 
4.18- Calcular a leitura, em Pa, do manômetro A da figura. Densidade relativa do 
mercúrio 13,6. 
 
 
 
4.19- Determinar a altura x e a pressão do ar dentro da campânula, na configuração 
abaixo. Dado: densidade relativa do mercúrio 13,6. 
 
 
 
4.20- Calcular a diferença de nível H entre as superfícies dos dois reservatórios que 
contem água, quando o desnível manométrico vale 0,50 m. Densidade relativa do 
líquido manométrico igual a 0,70. 
 
 
 
 
 
4.21- Manômetro metálico ou de Bourdon. 
 
Pressões ou depressões são comumente cedidas pelo manômetro de Bourdon. 
 
Ao ligar o manômetro pela tomada de pressão, o tubo metálico fica internamente 
submetido a uma pressão p que o deforma, havendo um deslocamento de sua 
extremidade, que ligada ao ponteiro por um sistema de alavancas relacionará sua 
deformação com a pressão do reservatório. A leitura da pressão e feita diretamente no 
mostrador quando o manômetro tiver a sua parte externa a pressão atmosférica. 
Suponhamos agora o caso da figura abaixo. 
 
Neste caso, a parte interna do tubo metálico estará submetido ã pressão Pl enquanto que 
a externa estará a pressão P2. Desta forma o manômetro indicara não a pressão Pl, mas o 
saldo Pl -P2. Logo: 
 
Pleitura = Ptomada -Pexterna 
 
4.22- Dado o dispositivo da figura, calcular a pressão relativana câmara (1) quando o 
manômetro de Bourdon indica uma leitura de 245 kPa. 
Dado 

Hg 133300 N/m
3
. 
 
 
4.23- Os dois recipientes da figura são fechados e cheios de ar. Quando as leituras nos 
manômetros A e C forem as indicadas, determinar o desnivel de mercúrio x. Leitura 
barométrica local 750 mmHg. 
 
4.24- O manômetro mostrado na figura mede uma pressão correspondente a 0,10 m de 
coluna de mercúrio. Se a pressão absoluta no ponto A for dobrada, qual será então a 
leitura no manômetro, em metros de coluna de mercúrio? Pressão atmosférica local 740 
mmHg. 
 
4.25- Determinar o desnível no fluido manométrico de dr = 1,60, dentro do manômetro 
em "U", quando a válvula V for aberta. 
 
 
 
 
 
 
 
4.26- Um cilindro oco de altura l=0,20 m é mergulhado em água até uma profundidade 
h=1,00 m. Determinar a altura de água dentro do cilindro supondo que o ar aprisionado 
no cilindro se comprima adiabaticamente, durante o processo. Dado: leitura barométrica 
local 735,7 mmHg. 
 
 
FOLHA DE RESPOSTAS 
CAPITULO 4 
 
4.1 
 3222 dddpp OHHgBA  
 
4.2 
1234 45cos dddpp OHHg
o
HgBA  
 
4.3 p = 1764 Pa (relativa) 
 
4.4  
OH
OHHgh
h
2
22

 

 
4.5 z = 7.322 m 
4.6 h = 17,2 cm de água 
4.7 
312 zzz
S
P
p oHgHg  
 (relativa) 
4.8 
d
A
a

 
 
A
a
p
d
112  


 
4.9 p = 4898 Pa 
4.10 
   hhhpp OHOHHgBA  2221  
4.11 1) p = 33,3 kPa (rel) = 131,3 kPa (abs) 2) p = 35,8 (rel) = 133,8 (abs) 
 
4.13 A = 500 kg/m3; pA = 980 Pa (rel); p0 = 100 kPa (abs) 
4.14 H = 1,92 m 
4.15 z = 3096 m 
4.16 
Rdz
dp e2
 
4.17 H=1,875 m 
4.18 p=7,8 Pa 
4.19 x = 3,22 m par = 3,16 Pa 
4.20 H = 0,15 m 
4.22 p = 26,5 kPa 
4.23 x = 1,72 m 
4.24 L = 0,16 mHg 
4.25 h = 0,87 m 
4.26 x = 2 
CAPITULO 5 
 
ESFORÇOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS 
 
5.1- Determinar a força resultante sobre a parte superior da superfície submersa. 
Determinar de forma completa a resultante. 
 
 
 
 
5.2- Determinar o módulo e a linha de ação da força resultante da ação dos fluidos sobre 
a comporta mostrada. Dado 

H20=9800 N/m
3
. 
Pman =68647 kPa. 
 
 
 
 
 
 
 
5.3- Que altura de água fará girar a comporta da figura no sentido dos ponteiros do 
relógio? A comporta tem uma largura de 2 m, despreze o atrito e o peso próprio da 
comporta. 
 
5.4- Aplaca OB na figura tem largura b e comprimento a articulada em O, se o peso da 
placa é w e esta é suportada pela coluna de água determinar o ângulo 

 de equilíbrio 
em função da altura h da coluna de água. 
 
 
5.5.- A comporta ABCDEF da figura, articulada no extremo A, mantem-se em 
equilíbrio pela ação da força horizontal H aplicada em F, sendo a largura da comporta 
igual a 2,0 m, determinar o valor da força que solicita a articulação A. 
 
 
5.6 -Determinar a força necessária para levantar a comporta quadrada da figura, cujo 
peso é 4900 N. Dado 

H2O =9800 N/m
3
. 
 
5.7- A comporta da figura pode girar em torno do ponto O. Determinar a mínima altura 
h para a qual a comporta irá abrir. Dado 

H20=9800 N/m
3
. 
 
5.8.- Determinar O mínimo valor de Z, para o qual a comporta da figura girará em torno 
do ponto O, se a comporta é retangular de 2m de largura. 
Dado 

H20=9800 N/m
3
. 
 
 
5.9- A figura representa a secção de uma barragem de concreto. Admitindo que não haja 
subpressão, determinar, para um metro de largura, as componentes horizontal e vertical 
do empuxo de água sobre a face de montante. Supondo um coeficiente de atrito entre a 
barragem e o terreno da base, igual a 0,4, verificar se haverá tombamento da barragem. 
Verificar a estabilidade ao deslizamento. Definir coeficiente de segurança em relação ao 
escorregamento e tombaento e calcular seus valores para a barragem. Peso especifico do 
concreto igual a 20,58 kN/m3. 
 
 
 
5.10- Fazer o exercício 5.9, admitindo um diagrama de sub-pressão hidrostática, 
triangular, agindo sobre a base da barragem, e cujo maior valor a pressão vale 8 

, e 
mostrar que a resultante das forças ativas passa pelo terço médio da base da barragem. 
Traçar o diagrama de tensões para a base da barragem. Adote um coeficiente de atrito 
entre o maciço e a base igual a 0,6. 
 
5.11.- A comporta retangular mostrada na figura está articulada em A e apoiada em uma 
parede vertical lisa em B. A largura da comporta e 5 m. Determine as componentes 
horizontal e vertical das reações em A e B. Dado 

H20= 9800 N/m
3
 . 
 
 
 
5.12- Imagine um líquido que quando está em repouso se estratifica de forma que seu 
peso específico é proporcional a raiz quadrada da pressão. O peso específico na 
superfície livre é 0. Qual é a pressão em função da profundidade h medida a partir da 
superfície livre? Qual é a força resultante sobre uma das faces da placa que é mostrada 
na figura. A largura da placa é b. 
 
5.13- Determinar o módulo e o ponto de aplicação da resultante das forças devido aos 
fluidos que atuam sobre a comporta da figura, de 1,50 m. de largura e articulada em B. 
Despreze o peso da comporta. 
 
 
5.14- Determinar o momento M, necessário para que a comporta da figura matenha-se 
fechada. A comporta está articulada em O e apoiada em B.Largura da comporta 1,80 m. 
 
 
 
5.15.- A comporta AB de 1 metro de largura é articulada em B e repousa sobre uma 
superfície lisa em A. A comporta separa dois reservatórios contendo água. No 
reservatório da esquerda existe um "colchão" de ar comprimido, e o manômetro 
colocado em C, indica uma pressão de 29,4 kPa. O reservatório da direita é aberto para 
a atmosfera. Com os dados da figura, calcule as componentes da reação na articulação 
B. 
 
Dado 

H20= 9800 N/m
3
. 
 
 
 
5.16- A comporta triangular BAB de peso desprezível é articulada por um eixo que 
passa por BB e apoiada em A. Um peso W colocado em C é rigidamente ligado à placa 
BAB, serve de contra-peso para manter a comporta fechada. Determinar o peso W para 
que a comporta esteja na iminência de abrir, quando a altura d'água no canal for h =0,6 
m. 
 
 
 
 
5.17- Calcular o módulo e o ponto de aplicação, com relação à superfície livre da força 
provocada pela água sobre um lado de área plana vertical mostrada. 
 
5.18- A comporta retangular mostrada na figura, de peso desprezível, está articulada em 
0 e apoiada em B. Determinar a altura h, a partir da qual a comporta girara em torno do 
eixo que passa em 0. 
Momentos de Inércia 
Retângulo 
Triângulo 
 Círculo 
 Semicírculo 
Um quarto 
do círculo 
 Elipse 
RESPOSTAS 
 
5.1 – F = 15.538 N 
 yCE-yCG = 0,033 m 
 xCE-xCG = 0,023 m
 
 
5.2 – F = 4.743 kN 
 yCE-yCG = 0,975 .10
-2
 m 
 
5.3 – h = 2,78 m 
 
5.4 – 
w
bh
sen
3
2 cos
 
 
 
5.5 – H = 3.998 N 
 Fva= 10.113 N 
 Fha= 2.352 N 
 
5.6 – F = 9.800 N 
 
5.7 – h = 3,47 m 
 
5.8 – z =6,7 m 
 
5.9 – coef. seg. deslizamento = 1,17 
 coef. seg. tombamento = 4,65 
 
5.10 – 
 
5.11 – FhA = 35  
 FvA= 120  
 FhB= 125  
 
5.12 - 
hp
p
h
p atm
atm
0
22
0
4
 
 
 







212
2
0
32
0 llp
p
l
bF atm
atm
 
 
5.13 – F = 33,8 kN 
 x =0,53 m de A 
 
5.14 – M= 5080 N.m 
 
5.15 – FvB = 17.150 N 
 FhB = 58.800 N5.16 – w = 882 N 
 
5.17 – F = 45.511 N 
 yCE = 2,456 m 
 
5.18 – h = 1,51 
CAPITULO 6 
 
ESFORÇOS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUBMERSAS - PRINCÍPIO DE 
ARQUIMEDES. 
 
6.1- Determine o módulo da força resultante que atua sobre a superfície esférica da 
figura e explique porque a linha de ação passa pelo centro 0. 
 
6.2- Qual é a força resultante sobre a comporta AB, cuja secção é um quarto de 
circunferência? A largura da comporta é 1,2 m. Determine a cota a partir da soleira, do 
centro de pressão. 
 
6.3- A comporta ABCD de peso desprezível, separa dois depósitos com líquidos de peso 
específico 

l e 

2. Sendo r o raio da circunferência e estando a comporta em equilíbrio 
na posição mostrada na figura, determine a relação 

2/

l. A comporta esta articulada 
em C. 
 
6.4- Determine a força horizontal devido aos fluidos que atuam sobre o obturador 
cônico mostrado na figura. 
 
 
6.5- Determine as componentes horizontal e vertical, bem como as respectivas linhas de 
ação, da resultante do empuxo sobre a superfície cilíndrica da figura, cujo raio é 1,0 m e 
cuja geratriz mede 4,0 m. 
 
 
6.6- Determine o módulo e o ponto de aplicação das componentes horizontal e vertical 
da força exercida pela água sobre a comporta AB da figura sabendo-se que sua largura é 
3,0 m e o raio é 0,9 m e a comporta esta articulada em C. 
 
 
6.7- O peso específico de um "iceberg" é de 8.970 N/m
3
 e o da água do mar é 10.040 
N/m
3
. Se da superfície livre do mar emerge um volume de "iceberg" igual a 30.000 m
3
 
qual é o volume total do "iceberg" ? 
 
6.8- Um cilindro de ferro fundido de 30 cm de diâmetro e 30 cm de comprimento é 
imerso em água do mar (

 =10.090 N/m
3
 ). Qual é o empuxo que a água exerce sobre o 
cilindro? Qual é o empuxo se o cilindro fosse de madeira? Neste caso, qual seria a altura 
submersa do cilindro? 

mad=7.350 N/m
3
. 
 
 
6.9- Calcular o raio mínimo que deve ter a esfera oca e peso desprezível, a fim de que a 
comporta articulada em O não abra. Admita que o cabo que liga a esfera a comporta 
bem como a roldana A sejam ideais. Dado: 

H2O =9.800 N/m
3
 
 
6.10- Um reservatório com uma abertura circular fechada por uma esfera. A pressão no 
interior do reservatório é 50 lbf/pol
2
 (absoluta). Qual a força horizontal exercida pela 
esfera sobre a abertura? Dado 1atm = 14,7 lbf/pol
2
. 
 
6.11- Uma semi-esfera cheia de liquido esta submetida a pressão correspondente a uma 
altura h. Achar o empuxo vertical na parede interior da semi-esfera de raio r. Dado peso 
especifico do liquido 

. 
 
6.12- Uma cápsula hemisférica cobre um tanque fechado. Se o tanque esta 
completamente cheio ce gasolina (densidade relativa = 0,72), e o manômetro indica a 
pressão de 90 kPa, qual e a força total sobre os parafusos que prendem a cúpula? 
 
 
6.13- Uma comporta cilíndrica de raio r e largura l, barra a água, como mostra a figura. 
O contato entre o cilindro e a parede é liso. Calcular a força exercida contra a parede e o 
peso da comporta, para que o nível d'água seja ó mostrado. Determine também as linhas 
de ação das componentes horizontal e vertical da força devido a água sobre à comporta, 
tomando como referência o ponto O. 
 
6.14- Determine o módulo, direção, sentido e o ponto de aplicação das componentes 
horizontal e vertical da força devido ao líquido de peso específico , sobre a comporta 
cilíndrica de comprimento l e secção igual a 3/4 de circunferência de raio r. 
 
 
6.15- Verificar as condições de estabilidade da barragem da figura, por metro de 
largura, calculando os coeficientes de segurança ao deslizamento e ao tombamento. 
Verificar se há possibilidade de aparecer tensões de tração na base da barragem. 
Coeficiente de atrito entre a barragem e a fundação 0,50. Determinar também a tensão 
de compressão mínima, na base do maciço. 
 
 
6.16- Um submarino pesa 8800 kN. Com esse peso ele flutua na superfície da água doce 
com 90% do seu volume total imerso. Que volume de água deve ser admitido em seus 
tanques afim de que ele possa submergir totalmente? 
 
Dados: g=9,8 m/s
2
 

=1000 kg/m
3
 
 
 
6.l7- Determine o módulo e as linhas de ação, em relação ao ponto O, das componentes 
horizontal e vertical da força que a água exerce sobre o cilindro mostrado na figura. O 
cilindro, de 0,80 m de diâmetro, esta articulado por um eixo horizontal que passa por O. 
Calcule as forças por unidade de largura do cilindro. 
 
6.18- O cilindro de 3,0 m de comprimento está articulado no ponto A. Calcular o 
momento, em relação ao ponto A, requerido para manter em equilíbrio o cilindro, na 
posição mostrada. 
 
 
6.19- A figura mostra uma comporta semi-esferica de ferro fundido (dr=7,8) articulada 
em A e simplesmente encostada em B. Determine os módulos das componentes 
horizontal e vertical das forças em A e B. O centro de gravidade da semi-esfera dista 
3r/8 da base, onde r é o raio. 
 
6.20-0 cilindro de 0,60 m de diâmetro e 2,0 de comprimento está em repouso na posição 
mostrada na figura. Determinar o módulo e a linha de ação, com relação ao ponto O, das 
componentes horizontal e vertical da força devido à água sobre o cilindro. 
 
6.21- Determinar os módulos das componentes horizontal e vertical, bem como suas 
linhas de ação com relação ao ponto O, da força devido a água sobre a comporta tipo 
setor, mostrada na figura. A comporta é articulada a um eixo que passa pelo ponto O e 
seu comprimento é 6,20 m. 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
6.1 
jrirF

32 323  
 
6.2 Fr = 14.10
3
N d = 0,55 m 
6.3 
88,6
1
2 

 
6.4 2
tg
22












  l
dd
h
Pa
Fx
 
6.5 Fh=14,1  Fv=23,4  y = 67mm abaixo de O x=40mm à esquerda de O 
6.6 Fx = 11.907 N Fy = 18.698 N yCE=0,6 m abaixo de c xCE=0,38 m à esquerda de 
c 
6.7 Vt = 280.000 m
3 
6.8 E = 213,6 N E = 155,8 N h = 0,218 m 
6.9 R = 44 cm 
6.10 Fh = 1770 lbf 
6.11 






 rhr
3
2
Ev 2
 
6.12 Ev = 325 kN 
6. 13 
lr2
2
1
Fd 
 






 
4
3
1Peso 2lr
 
r
3
1
yCE 
 acima de O xCE = 0,0049 à direita de O 
6.14 







2
Fh
r
hrl
 






 rhrl 
4
3
Fv
 
 
rh
rhr
322
32
xCE



à direita de O 
 
rh
rhr



2
32
yCE
 acima de O 
6.15 Cdesl = 2,33 Ctomb= 4,95 min=153,8 kN/m
2 
6.16 V = 100 m
3 
6.17 Fh= 2285 N, Fv= 4580 N, yCE = 0,06 m abaixo de O, xCE = 0,03 m, à esquerda de 
O 
6.18 M=10,7 kN.m 
6.19 HA = 2,02 kN VA = 8,94 kN HB = 5,86 kN 
6.20 Fh = 7.940 N Fv = 12.980 N, yCE = 0,14 m acima de O, xCE = 0,09 m, à direita 
de O 
6.21 Fh = 131,2 kN Fv = 44,1 kN, yCE = 0,6 m acima de O, xCE = 2,05 m, à esquerda 
de O 
CAPITULO 7 
 
PROBLEMAS GERAIS-SOBRE O PRINCIPIO DE ARQUIMEDES E ESTÁTICA 
DOS FLUIDOS. 
 
7.1- Um sarrafo de pinho de secção reta (2,5 x 5)cm, está articulado em B. A 
extremidade A está presa ao piso do deposito que contém água, por um cordão C, 
mantido vertical. Com os dados da figura calcule a tensão no cordão. Dado: massa 
especifica do pinho 

= 17g/cm
3
. 
 
 
7.2- Dois cubos iguais de 1 m
3
 de volume, um de densidade relativa igual a 0,80 e outro 
de 1,10, estão unidos mediante um cordão curto e colocados na água. Que volume, do 
cubo mais leve, fica acima da superfície livre da água? Qual é a tração a que o cordão 
está submetido? 
 
 
7.3- Um cubo, de 60cm de aresta, tem sua metade inferior de densidade relativa igual a 
1,4 e a metade superior igual a 0,6. Está submerso na massa de dois fluidos imiscíveis, o 
inferior de densidade relativa igual a 1,2 e o superior de 0,9. Determinar a altura do 
cubo que sobressai por cima da interface dos dois líquidos. 
 
7.4- Determinar a densidade e o volume de um objeto que pesa 29,4 N, quando 
colocado na 
água, e 39,2 N quando colocado em um óleo de massa específica relativa 0,8. 
 
 
 
7.5- Deseja-se determinar a densidade em g/cm
3
 de uma pequena amostra de basalto, 
para isso foi determinada a massa da amostra no ar e na água, a primeira medida foi de 
31 g e a segunda de 20 g. Qual é a densidade da amostra? 
 
 
7.6- O densímetro é um aparelho destinado a medir a densidade relativa dos líquidos, 
baseado no principio da flutuação. O aparelho é tarado com pequenas esferas metálicas, 
para que seu peso seja W. O densímetro tem uma haste de secção reta constante e igual 
a s. É feita a calibração do aparelho colocando-o em água destilada (dr=l), 
determinando-se o volume submerso V0 e marcando-se na haste, o zero da escala, 
correspondente ao nível da superfície livre da água. Quando o densímetro flutua em 
outro liquido a haste sobe ou desce em relação ao zero da escala de calibração, de uma 
altura 

h, como no diagrama da direita, 
Calcular em função de Vo, s e 

h a densidade relativa dr de um liquido qualquer. 
 
 
7.7- A parede de um reservatório d'água tem a forma apresentada na figura. As 
ondulações têm a forma de semicircunferências de raio R. Determinar a força horizontal 
provocada pela água e seu momento em relação ao ponto A. A largura do reservatório é 
L e pede-se a resposta para um número n de ondulações. 
 
 
7.8- Qual o valor do empuxo sobre a esfera da figura se as secções do depósito estão 
totalmente isoladas uma da outra. 
 
 
7.9- O cilindro da figura está cheio com um liquido conhecido. Determine: 
 
a) a componente horizontal da força sobre AB por pé de comprimento, inclusive sua 
linha de ação em relação ao centro O. 
b) a componente vertical da força sobre AB por pé de comprimento, inclusive sua linha 
de ação, em relação ao centro O. 
 
 
7.10- Calcular o módulo e o ponto de aplicação (em relação ao ponto O), da resultante 
das forças devido aos fluidos, agindo sobre a tampa do deposito cilíndrico de raio r, com 
meia secção contendo água e meia secção contendo ar sobre pressão. Dado: momento 
de inércia de um circulo, com relação ao diâmetro 

r
4
/4. 
 
 
7.11- uma comporta ci1indrica de raio r = 0,60 m e largura igual a 2 m, barra óleo e 
água, conforme a figura. O contato entre o cilindro e a parede, é liso. Calcular a força 
exercida contra a parede e o peso da comporta, para que os níveis dos líquidos sejam os 
mostrados. Determine também as linhas de ação dos componentes horizontal e vertical 
da força devido aos líquidos sobre a comporta, tomando como referencia o ponto O. 
 
 
7.12- A comporta de peso desprezível, de largura L, está suspensa por um eixo que 
passa pelo ponto O, e separa dois reservatórios que contem água. Qual deverá ser o 
valor da medida x, para que a comporta permaneça na posição da figura, sem haver 
tendência de girar? Despreze o atrito no ponto A. 
 
 
7.13- Determine o módulo e a linha de ação, com relação ao ponto C, das componentes 
horizontal e vertical da força devido à água, sobre a comporta ABC de 4 m de largura. 
 
 
7.14- Determine o módulo, direção, sentido e o ponto de aplicação dos componentes 
horizontal e vertical da força devido ao liquido de peso especifico 

, sobre a comporta 
AB de comprimento L e a secção igual a ¼ de circunferência de raio R. Relacionar as 
linhas de ação dos componentes com o ponto O. 
 
 
7.15- Determinar o mínimo valor da força F para manter a comporta de 1,20 m de 
comprimento, peso desprezível e cuja seção e ¼ de circunferência de raio 1 m, em 
equilíbrio. A comporta é articulada em A. 
 
7.16- Na parede de um deposito há uma chave de fechamento que gira em torno de O. 
Seu comprimento é L e sua seção é ¾ de circulo. Calcular: 
a) Os empuxos vertical e horizontal sobre o eixo da chave, devido ao liquido de peso 
especifico 

. 
b) A inclinação do empuxo em relação a um plano horizontal. 
c) O momento em relação ao eixo da chave. 
 
7.17- A quilha de um navio é curta na forma de um arco de circulo de 1,0 m de raio. 
Com a água no nível mostrado calcule para uma faixa de 2,0m de largura, as 
componentes horizontal e vertical da força de pressão sobre A-B bem como as 
respectivas linhas de ação. Dado: 

mar =10.045 N/m
3
. 
 
 
 
 
7.18- Calcular a força F necessária para manter a comporta de 1,2 m de largura 
mostrada na figura, fechada, quando R=0,45 m. A comporta esta articulada em A e tem 
peso desprezível. 
 
 
 
 
 
7.19- A comporta AB mostrada na figura é articulada em A e repousa contra uma 
parede vertical perfeitamente lisa em B. A comporta tem 6,0 m de largura. Com a água 
no nível mostrado, determine as componentes horizontal e vertical das reações em A e 
B. Dado: 

=9800 N/m
3
. 
 
 
7.20- Um reservatório de água, de largura L tem os cantos superiores em forma de 1/4 
de circunferência de raio r, com o nível d’água mostrado, calcule as componentes 
horizontal e vertical, bem como as linhas de ação da força devido à água sobre a 
superfície curva AB. 
 
RESPOSTAS 
 
 
7.1 T = 2,9 N 
7.2 V= 0,1 m3 T=980 N 
7.3 X = 0,4 m 
7.4  = 1600 kg/m3 
7.5  = 2800 kg/m3 
7.6 
h
V
s
dr


0
1
1
 
7.7 
LnRFh
222
 
LnRM A
33
3
8

 
7.8 F = 2058 N 
7.9 Fh = 1001 N Fv = 1572 N 
 y = 0,61 m x = 0,387 m 
7.10 







3
2
2
3  rR
 y = 0,1765 m abaixo de O 
7.11 Fh = 2822 N y = 0,2 m acima de O 
 Fv = P = 21.158 N x = 0,03 m à direita de O 
7.12 
2rx 
 
7.13 Fh = 78,4 kN y = 0,46 m acima de c 
 Fv = 117,6 kN x = 0,64 m à esquerda de c 
7.14 







2
R
HRLFh 
 
 
RH
RHR
y



2
32
 acima de O 
 







4
R
HRLFv

 
 
22
32
RH
RHR
x



 à esquerda de O 
7.15 8434 kN 
7.16 
rLhFh 2
 
 LrFv
2
4
1

 
h
r
8
tg

 
 
LrM r
3
3
1

 
 
7.17 Fh = 64,3 kN Fv = 70 kN 
 x = 0,49 m à direita de O y = 0,47 m acima de A 
7.18 F = 2539 N 
7.19 Fh = 29,4 kN Fv = 46,2 kN Ah = 16,8 kN 
 Bh = 46,2 kN Av = 46,2 kN 
7.20 
2
2
1
LrFh 
 







4
12
 LrFv
 
 


43
2 r
x
 à esquerda de B 
ry
3
1

 acima de A