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4 PROBABILIDADES 
 
 
As aplicações iniciais referiam-se quase todas a jogos de azar. O ponto de 
desenvolvimento da teoria das probabilidades pode ser atribuído a Fermat (1601-1665) e 
Pascal (1623-1662). Atualmente os governos, as empresas, as organizações profissionais 
incorporam a teoria das probabilidades em seus processos de deliberações. 
A utilização das probabilidades indica que existe um elemento de acaso, ou incerteza, 
quanto à ocorrência ou não de um evento futuro. Mediante determinada combinação de 
julgamento, experiência e dados históricos é possível dizer quão provável é a ocorrência de 
determinado evento futuro. 
A previsão da procura de um produto novo, o cálculo dos custos de produção, a 
previsão do malogro de safras, a compra de apólices de seguro, a contratação de um novo 
empregado, o preparo de um orçamento, a avaliação do impacto de uma redução(aumento) de 
impostos sobre a inflação; contém algum elemento de acaso. 
As probabilidades são úteis porque ajudam a desenvolver estratégias. Assim alguns 
motoristas parecem demonstrar uma tendência para correr a grandes velocidades se acham 
que há pouco risco de serem apanhados, os investidores sentem-se mais inclinados a aplicar 
seu dinheiro se as chances de lucros são boas, carregaremos capa ou guarda-chuva se houver 
grande probabilidade de chuva; uma empresa pode sentir-se inclinada a negociar se houver 
forte ameaça de greve; mais inclinado a investir num novo equipamento se há boa chance de 
ganhar dinheiro; ou a contratar um novo funcionário que pareça promissor. 
 
AS PROBABILIDADES SÃO UTILIZADAS PARA EXPRIMIR A CHANCE DE 
OCORRÊNCIA DE DETERMINADO EVENTO. 
 
CARACTERIZAÇÃO DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
- Cada experimento poderá ser repetido sob as mesmas condições 
indefinidamente 
- Não se conhece um particular valor do experimento “a priori”, porém podemos 
descrever todos os resultados possíveis – as possibilidades. 
- Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, surgirá uma 
regularidade, uma estabilidade da fração f = 
n
s 
f = freqüência relativa, n = número de repetições, s = número de sucessos de um 
particular resultado estabelecido antes da realização. 
 
ESPAÇO AMOSTRAL: É o conjunto (S) de todos os possíveis resultados de um 
experimento aleatório (E). 
 
Exemplo: E = { jogar um dado e observar a face de cima } 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
E = { jogar duas moedas e observar o resultado} 
S = { (c,c), (c,k), (k,c), (k,k) } 
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EVENTO : é um conjunto de resultados do experimento (subconjunto de S). 
S = evento certo = evento impossível φ
A ∪ B ⇒ ocorre o evento A ou o B ou ambos ocorrem 
A ∩ B ⇒ ocorrem A e B 
A ⇒ é o evento que ocorre se A não ocorre 
 
 
Exemplos: 
 
1. E = { jogar três moedas e observar os resultados } 
A = { ocorrer pelo menos duas caras } 
R: E = { (c,c,c), (c,c,k), (k,c,c), (c,k,c), (k,k,k), (k,c,k), (k,k,c), (c,k,k) } 
A = { (c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c) } 
2. E = { lançar um dado e observar a face de cima } 
B = { ocorrer um múltiplo de 2 } 
R: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} B = { 2, 4, 6} 
 
 
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: não ocorrem simultaneamente A e B 
(A∩B= ) φ
 
Exemplo: 
 
E = {.jogar um dado e observar o resultado } E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A = { ocorrer um número par } A = { 2, 4, 6} 
B = { ocorrer um número ímpar } B = { 1, 3, 5} 
A∩B = φ
 
 
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE: 
 
Dado um espaço S, P(A) = probabilidade de um evento A – é uma função definida em 
S que associa a cada evento um número real, satisfazendo os axiomas: 
 
1. 0 ≤ P(A) 1 ≤
2. P(S) = 1 
3. P(A ∩B) = ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) φ
4. P( ) = 0 φ
5. P(A∩B)≠ ⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) φ
 
 
 ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS 
 
P(A) = 
casosdetotalnúmero
favoráveiscasosdenúmero
...
... 
 
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REGRAS DE PROBABILIDADES 
 
 
 Eventos mutuamente excludentes (A ou B ocorrerá) 
P(A∪B) = P(A) + P(B) 
P(A∩B) = φ
Eventos não mutuamente excludentes (A ou B ou ambos ocorrerão) 
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(∩B) 
Eventos independentes 
P(A∩B) = P(A) P(B) 
Eventos dependentes 
P(A∩B) = P(B) P(AB) ou P(A) P(BA) 
 
 
Dois ou mais eventos dizem-se independentes se a ocorrência ou a não ocorrência de 
um não influencia a ocorrência do(s) outro(s). 
 
 
Exercícios: 
 
1. Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de darem cara? (1/4) 
2. Um terço dos eleitores de certa comunidade é constituído de mulheres, e 40% dos 
eleitores votaram na última eleição presidencial. Supondo que esses dois eventos 
sejam independentes, determine a probabilidade de escolher aleatoriamente um 
eleitor da lista geral, que seja mulher e que tenha votado na última eleição. (0.133) 
3. Em 25% das vezes X chega em casa tarde para jantar. Por outro lado, o jantar atrasa 
10% das vezes. Se não há qualquer relacionamento entre os atrasos de X e os 
atrasos do jantar, qual a probabilidade de ocorrerem ambos os atrasos? (0.025) 
 
QUANDO OS EVENTOS NÃO SÃO INDEPENDENTES 
 
 
Exemplo: 
 
Suponha duas urnas com fichas. A primeira Y contém 8 vermelhas e 2 brancas. A 
Segunda Z contém 5 vermelhas e 5 brancas. Vamos extrair uma ficha vermelha de cada uma 
das urnas. Observe que depende (condicional) de qual seja a urna escolhida. 
P(V/ Z) = 5/10 P(B/Y) = 2/10 P(B/Z) = 5/10 
Suponha que as duas urnas sejam indistinguíveis e que a probabilidade de escolher 
qualquer delas seja ½. Qual a probabilidade de extrair uma ficha vermelha da urna Z? 
P(Z) = ½ P(V/Z) =5/10 ⇒ P(Z)P(V/Z) = (½).(5/10) = 1/4 
Calcule P(Y)P(V/Y) (0.40) 
 
PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE AO MENOS UM DE DOIS EVENTOS 
A. mutuamente excludentes: P(A∪B) = P(A) + P(B) 
 
 
 
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Exercício: 
 
1) Determine a probabilidade de aparecer cinco ou seis numa jogada de um dado 
equilibrado (2/6) 
2) Determine a probabilidade de extração de uma carta de copas ou de uma carta 
de paus de um baralho de 52 cartas (1/2) 
 
 
B. Não são mutuamente excludentes: 
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) ⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) 
 
 
Exercício: 
 
1. Determine a probabilidade de extração de uma carta de paus ou um dez de um 
baralho de 52 cartas (16/52) 
2. Uma urna contém 15 bolas do mesmo raio, enumeradas de 1 a15. Sendo A e B 
os eventos. Retirar uma bola múltiplo de 3 ou 4 (7/15) 
3. Idem, retirar uma bola múltiplo de 5 ou 4 ( 2/5) 
 
 
Teorema de Bayes : Seja A1, A2, A3 ...........An, n eventos mutuamente exclusivos tais 
que A1∪A2∪......An = S. Seja P(Ai ) as probabilidades conhecidas dos vários eventos, e B um 
evento qualquer de S tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais P(B/Ai) 
Então, para cada “i”, tem-se: 
P(Ai/B) = )/().(....)/().()/().(
)/().(
2211 nn
ii
ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
+++ 
O teorema de Bayes é uma técnica utilizada para revisar estimativas probabilísticas 
iniciais com base em dados amostrais. 
 
Exemplo 1: Sejam as urnas: u1 u2 u3 e bolas nas cores: 
 pretas 3 4 2 
 Brancas 1 3 3 
 Vermelhas 5 2 3 
Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificando-se que 
ela é branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna 2 ? e da 3 ? 
P(u1) = P(u2) = P(u3) = 1/3 
 
P(br/u1) = 1/9; P(br/u2) = 3/9= 1/3; P(br/u3) = 3/8 P(u2/br) = ? P(u3/br) = ? (27/59) 
 
P(u2/br) = )/()()/()()/()(
)/().(
332211
22
ubrPupubrPuPubrPuP
ubrPuP
++ 
 
= 
8/3.3/13/1.3/19/1.3/1
3/1.3/1
++ = 24/59 
 P(u3|br)= 
59
27
)/()()/()()/()(
)/().(
332211
33 =++ ubrPupubrPuPubrPuP
ubrPuP 
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Exercícios: 
 
1. De um baralho de 52 cartas, escolha aleatoriamente uma carta que seja: 
A = {a carta é de ouros} (13/52) 
B = {a carta é uma figura} (3/13) 
2. Lance um dado e uma moeda. 
a) Construa o espaço amostral 
b) Enumere os seguintes eventos: 
A = {coroa, marcado por número par} 
B = {cara, marcado por número ímpar} 
C = {múltiplos de 3} 
3. Determine a probabilidade de cada evento: 
a) Um número par aparece no lançamento de um dado 
b) Um rei aparece ao extrair-se uma carta de um baralho 
c) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas 
d) Duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho 
e) Uma carta de copas e uma de ouros aparecem ao extraírem-se duas cartas de 
um baralho. 
4. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3,... 50. 
Qual a probabilidade de: 
a) Número ser divisível por 5 
b) Terminar em 3 
c) Ser divisível por 6 ou por 8 
5. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas, quando retiramos uma 
carta de um baralho? 
6. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade: 
a) A soma ser menor que 4 
b) A soma ser 9 
c) O primeiro resultado ser menor que o segundo 
7. Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcule a 
probabilidade de: 
a) Todas pretas 
b) Exatamente uma branca 
c) Ao menos uma preta 
8. Numa classe existem 5 alunos do quarto ano, 4 do segundo ano e 3 do terceiro ano. 
Qual a probabilidade de serem sorteados 2 alunos do segundo ano, 3 do quarto ano 
e dois do terceiro ano? 
9. Extrai-se uma só carta de um baralho de 52. Determine a probabilidade de obter: 
a) Um valete 
b) Uma figura 
c) Uma carta vermelha 
d) Uma carta de ouros 
e) Um dez de paus 
f) Um 9 vermelho ou um 8 preto 
10. Há 50 bolas numa urna, distribuídas como segue: 
Cor: azul vermelho laranja verde 
Quantidade: 20 15 10 5 = 50 
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Misturam-se as bolas e escolhe-se uma. Determine a probabilidade de a bola 
escolhida ser: 
a) Verde 
b) Azul 
c) Azul ou verde 
d) Não vermelha 
e) Vermelha ou verde 
f) Amarela 
g) Não amarela 
11. No lançamento de dois dados, determine a probabilidade de se obter: 
a) A soma dos pontos igual a 10 (3/36) 
b) O número de pontos de uma das faces igual ao dobro do número da outra face 
(6/36) 
c) A soma dos pontos igual a 13 (0) 
d) Obter a soma dos pontos menor ou igual a 12 (36/36=1) 
e) Obter pontos iguais (6/36) 
f) A soma ser 8 (5/36_ 
g) A soma ser um número primo (15/36) 
h) A soma das faces ser 8 ou um número primo (20/36) 
i) A soma ser 6 ou 8 (5/18) 
12. Uma carta é retirada de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de ela 
ser: 
a) Uma dama ou carta de copas (4/13) 
b) Ser vermelha ou ser figura (32/52) 
c) Sair rei ou uma carta de espadas (4/13) 
d) Ser figura ou carta de paus (11/26) 
13. Uma caixa contém 10 bolas, das quais 3 são vermelhas, 5 são azuis e duas são 
pretas. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade de: 
a) Ser vermelha (3/10) 
b) Não ser vermelha (7/10) 
14. Se a probabilidade de um atirador acertar ao alvo é 4/7, qual a probabilidade dele 
errar o alvo? (3/7) 
15. Uma caixa contém 20 bolas, das quais 12 são brancas, 5 são pretas e 3 são 
amarelas. Retira-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de: 
a) Ser amarela (3/20) 
b) Ser preta (1/4) 
c) Não ser amarela (17/20) 
d) Não ser preta (3/4) 
e) Não ser branca (2/5) 
16. Uma urna tem 15 bolas, das quais 6 são brancas e 9 são pretas. Retiradas duas 
bolas ao acaso sem reposição, qual a probabilidade de se obter: 
a) Duas bolas pretas (12/35) 
b) Pelo menos uma bola branca (23/35) 
17. Considere um grupo de 20 estudantes, dos quais 13 são homens e 7 são mulheres. 
Cinco homens e 3 mulheres usam óculos. Escolhido um estudante ao acaso, 
calcule a probabilidade de: 
a) O estudante escolhido não usar óculos (12/20) 
b) O estudante escolhido ser mulher (7/20) 
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c) Do estudante não usar óculos e ser mulher (4/7) 
18. Qual a probabilidade de, no lançamento de um dado branco e um dado amarelo, 
ocorrer 4 no dado branco e face 6 no dado amarelo. (1/36) 
19. Lançam-se um dado e uma moeda. Qual a probabilidade de se obter face 3 no dado 
e coroa na moeda. (1/12) 
20. Numa urna há 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Qual a probabilidade de retirarmos 
sucessivamente uma bola branca e uma preta com reposição? (24/100) 
21. Num sorteio, a caixa A contém 5 bolas brancas e 5 bolas pretas; a caixa B contém 
10 bolas azuis e 40 bolas verdes; na caixa C há 15 amarelas e 4 vermelhas. Se 
sortearmos uma bola de cada caixa, qual é a probabilidade serem: branca da caixa 
A, verde da caixa B e amarela da caixa C? (8/25) 
22. Se retirarmos aleatoriamente uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a 
probabilidade de ser um 7 ou um ás? (8/52) 
23. Em um final de torneio de tiro ao alvo a probabilidade de X acertar no alvo é 1/2 e 
a de Y é 3/5. Qual a probabilidade de o alvo ser atingido, se ambos atirarem no 
alvo. (4/5) 
24. Dois amigos foram caçar. Sabe-se que um deles tem 45% de probabilidade de 
acertar qualquer caça, enquanto o outro tem 60%. Qual a probabilidade de em cada 
tiro disparado: 
a) Ambos acertarem na caça (27%) 
b) Nenhum acertar na mesma caça (22%) 
c) A caça ser atingida (78%) 
d) Apenas um acertar a caça (51%) 
25. A tabela descreve os hóspedes registrados pelo período de uma semana num hotel 
de Curitiba. A distribuição segue de acordo com o sexo e a idade: 
Hóspedes hotel PP, período XX 
Sexo Idade 
Feminino Masculino 
Total 
Abaixo de 20 anos 20 15 35 
Entre 20 e 40 anos 65 150 215 
Acima de 40 anos 50 95 145 
Total 135 260 395 
Se um hóspede é aleatoriamente escolhido, qual a probabilidade de: 
a) Ser mulher? (0,342) 
b) Ser mulher e ter acima de 40 anos? (0,127) 
c) Ser homem e ter menos de 20 anos? (0,0038) 
d) Ser mulher entre 20 e 40 anos? (0,165) 
e) Ser homem e ter menos de 40 anos? (0,418) 
f) Ter entre 20 e 40 anos? (0,589) 
 
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5 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
É uma distribuição de freqüências para os resultados de um espaço amostral. 
(as “f” são relativas – probabilidades) Mostra a proporção das vezes em que a v. 
aleatória tende a assumir cada um dos diversos valores. 
Variável discreta: Em Estatística aplicada à Administração, tais dados ocorrem 
tipicamente através de processos de contagem, por isso, tais valores são e geralmente 
expressos por números inteiros. 
Exemplos: no de pessoas por domicílio, no de peças defeituosas encontradas em um 
lote, número de acidentes. Os específicos modelos discretos de probabilidade são as 
distribuições de probabilidade binomial, a de Poisson. e (hipergeométrica). 
Variável contínua: assume qualquer valor fracionário ao longo de um intervalo 
específico de valores. Os dados são gerados pelo processo de medição. 
Exemplos: pesos de caixas de laranjas, alturas de pinheiros, duração de uma conversa 
telefônica, tempo decorrido antes da primeira falha de um dispositivo, número médio de 
pessoas por domicílio em uma grande cidade. 
São retratadas por uma curva de probabilidade (normal) e (exponencial). 
VALOR ESPERADO (E(X)) ou média: é a média ponderada de todos os possíveis 
valores da variável com os respectivos valores de probabilidade tomado como pesos. 
 E(X) = ∑ )(XXP
VARIÂNCIA: quadrado do desvio padrão 
Var(X) = - = E(X)(.2 XPX∑ [ 2)(.∑ XPX ]
=
=
±
)
)
]
2) – [E(X)]2 
 
Propriedades da média (v.a.discreta) 
 
1. A média de uma constante é a própria constante 
( ) ( ) ( )E k kp x k p x k= =∑ ∑ 
2. Multiplicando uma variável aleatória x por uma constante, sua média fica multiplicada 
por essa constante: 
 E[kx]=∑ ∑ ( ) ( ) [ ]kxp x k xp x kE x= =
3. A médiada soma de duas v. a. é a soma ou diferença das médias 
 
 [ ] ( ) ( , ) ( , )i j i i j j i j
i i i i i i
E x y x y x p x y y p x y± = ± = ±∑∑ ∑∑ ∑∑
 
 ( , ) ( , ) ( ) ( ) [ ] [ ]i i j i i j i i i j
i j j i i j
x p x y y p x y x p x y p y E x E y± = ± =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
4. A média do produto de duas v. a. independentes é o produto das médias 
[ ] ( ,i j i j
i j
E xy x y p x y= ∑∑ 
[ ] ( ) (i j i j
i j
E xy x y p x p y= ∑∑ , pois x e y são independentes 
[ ] ( ) ( ) [ ] [i i j j
i j
E xy x p x y p y E x E y= =∑ ∑ 
 
 
 
 
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Propriedades da variância (v.a.discreta) 
 
1. A variância de uma constante é zero 
2 2
( ) [( ) ] [( ) ] 0k E k E k kσ µ= − = − =2
2 2σ
2 )
2µ =
=
 
2. Multiplicando-se uma v.a. por uma constante, sua variância fica multiplicada pelo 
quadrado da constante 
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ] [ ( ) ] [( ) ]kx kx x x xE kx E k x k E x kσ µ µ µ= − = − = − = 
3. Somando-se uma constante à uma v.a. sua variância não se altera 
2 2 2( ) ( ) ( ) (x k x k xσ σ σ σ± = ± = pois 2 ( ) 0kσ =
4. A variância da soma de duas v.a. independentes é a soma das respectivas variâncias 
2 2
2 2
( ) [[( ) ( )] ] [[( ) ( )] ]
[( ) 2 [( )( )] [( )]
x y x y
x x y y
x y E x y E x y
E x E x y E y
σ µ µ µ
µ µ µ µ
± = ± − ± = − ± −
− ± − − + − 
mas, , pois x e y são 
independentes. Onde CO =covariância entre x e y. portanto: 
 
[( )( )] [( ) ( )] 0x y x y xyE x y E x E y COVµ µ µ µ− − = − − =
xyV
2 2 2( ) ( )x yσ σ σ+( )x y± =
 
Covariância: mede o grau de dispersão conjunta entre duas variáveis aleatórias. 
[( )( )]xy x yCOV E x yµ µ= − − , desenvolvendo, temos: CO [ ]xy x yV E xy µ µ= −
 
1. Demanda diária de aluguel de caminhonetes durante de um período de 50 dias 
Demanda possível (X ) Número de 
dias ( f ) 
 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
 3 
 7 
 12 
 14 
 10 
 4 
 
 50 
Determine a probabilidade de serem solicitadas exatamente: 
a) Sete caminhonetes em um dia aleatoriamente escolhido. 
b) Serem solicitadas seis ou mais 
c) Valor médio a longo prazo (E(X) = 5,66) 
d) A variância (1,74) 
 
2. O número de caminhões que chegam por hora, a um depósito segue a tabela abaixo. 
 Calcular o número de chegadas por hora X e a variância dessa distribuição. 
 Chegadas de caminhões por hora a um depósito 
Número de caminhões X 0 1 2 3 4 5 6 
Probabilidade 
P(X) 
 0.05 0.10 0.15 0.25 0.30 0.10 0.05 
E(X)=3,15 var(X)= 2,13 
 
 
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 10 
Uma das aplicações de E(X) é na tomada de decisão no risco. A decisão em situação 
de risco envolve os seguintes elementos: 
- Um número finito de alternativas, entre os quais uma decisão deve ser tomada. 
- Um certo número de estados da natureza, cujas probabilidades de ocorrência 
podem ser previstas. 
- Um certo número de conseqüências, resultando da influência de cada estado da 
natureza sobre cada alternativa. O risco da alternativa é medido pela diferença 
entre os estados mais favorável e desfavorável da natureza. 
 
 
Exemplo: 
 
1. Uma pessoa tem duas alternativas: aceitar um prêmio de $ 100 (A); receber um 
pagamento de $ 200, se uma moeda cair cara, ou não receber nada, se a moeda cair 
coroa (B). Determine o pagamento esperado. 
Alternativas Estados da 
natureza 
P(x) 
A - Aceitar o 
prêmio 
B – correr o 
risco 
Cara 0,5 100 200 
Coroa 0,5 100 0 
E(A)=100 
E(B)=0,5x200+0,5x0=100 
Os riscos são para as alternativas: 
R(A)=100-100=0 
R(B)=05x200-0,5x0=100 
Portanto, As expectativas de pagamentos são iguais, entretanto a alternativa A não 
apresenta risco, ao passo que a alternativa B apresenta um risco considerável. 
 
2. Uma pessoa pode comprar um bilhete de loteria que custa $ 100 e lhe dá uma 
oportunidade em um milhão de ganhar o prêmio de 10 milhões. Quais as expectativas 
de pagamento e os riscos? 
Alternativas Estados da 
natureza 
P(x) 
A – Recusar a 
loteria 
B – Aceitar a 
loteria 
Ganha o 
prêmio 
1
1.000.000
 
100 10.000.000 
Não ganha 999.999
1.000.000
 
100 0 
 E(A)=100 
 E(B)= 1 999.99910.000.000 0 10
1.000.000 1.000.000
x x− = 
 A alternativa A é preferível à alternativa B. O risco da alternativa A é R(A)=100-
100=0; R(B)= 1 999.99910.000.000 0 10
1.000.000 1.000.000
x x− = 
 
3. Uma pessoa pode escolher entre dois investimentos: A: ações de uma indústria que 
tem, no passado, dado 30% de lucros; B: ações de uma nova companhia petrolífera 
que está realizando prospecções numa região onde, em média, uma concessão em três 
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 11 
tem obtido quantidades comerciais de óleo; em se obtendo óleo, o retorno sobre o 
investimento é de 70%; senão, é de 10%. Quais as expectativas de pagamento e os 
riscos? 
Alternativas Estados da 
natureza 
P(x) 
A - Aceitar o 
prêmio 
B – correr o 
risco 
Descobre 
petróleo 
1/3 30% 70% 
Não descobre 2/3 30% 10% 
 As expectativas de pagamento são: 
 E(A)=30%; 
 E(B)= 1 270% 10% 30%
3 3
x x+ = ; As expectativas são iguais. Os riscos são: 
 R(A)=30%-30%=0 
 R(B)= 1 270% 10% 16,7%
3 3
x x− = . Portanto a alternativa B é mais arriscada. 
4. Sabe-se que a demanda semanal Z de certa mercadoria tem a distribuição de 
probabilidade: 
Demanda (Z) 0 1 2 3 4 5 6 ou mais 
P(Z) 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20 0,10 0 1,00 
 A mercadoria é comprada a $ 2.500, por unidade, e vendida a $ 3.700 durante a 
semana em questão: na semana seguinte, a mercadoria é considerada resíduo e vendida a 
$ 500. A embalagem custa $ 200 por unidade vendida na semana. Qual a quantidade ideal 
Q a ser estocada? 
 Solução: Se Z Q, temos: ≤
Faturamento proveniente da venda de mercadoria nova: $ 3.700 Z 
Custo da embalagem: $ -200 Z 
Faturamento proveniente da venda de resíduos: $ 500(Q-Z) 
Custo da mercadoria comprada: $ -2.500Q 
Portanto, o pagamento obtido é: 3.000Z – 2.000Q 
 
Se Z>Q, o pagamento obtido é: 1.000Q 
A matriz de pagamentos está resumido no quadro seguinte. Como exemplos de cálculo 
de pagamentos, façamos: 
Z=2, Q=3; então o pagamento é: 3.000x2 – 2.000x3= 0 
Z=3, Q=2; então o pagamento é: 1.000x2= 2.000 
Calculando a expectativa de pagamento, ou lucro esperado, de cada alternativa: 
E(Q=0)=0 
E(Q=1)=-2x0,05+1x0,95=0,85 
E(Q=2)=-4x0,05-1x0,10+2x085=1,40 
E(Q=3)=-6x0,05-3x0,10+0x0,25+3x0,60=1,20 
E(Q=4)=-8x0,05-5x0,10-2x0,25+1x0,30+4x0,30=0,10 
E(Q=5)=-0,10x0,05-7x0,10-4x0,25-1x0,30+2x0,20+5x0,10=-1,60 
Portanto, a alternativa preferível é a de estocar Q=2 unidades, que conduz à melhor 
expectativa de pagamento E(Q=2)=1,40=$1.400 
 
 
 
 山村 
 12 
Matriz de pagamentos (em milhares) 
Alternativas 
Estocar Q 
Estados 
da natureza 
 
=0 
Q
=1 
Q
=2 =3 =4 
Q
=5 
Deman
da A 
P
(Z) 
-
2 
-
4 6 8 
-
10 
0 0
,05 
1 -
1 3 5 
-
7 
1 0
,10 
1 2
2 
-
4 
2 0
,25 
1 2 -
1 
3 0
,30 
1 2 2
4 0
,20 
1 2 5
5 0
,10 
1 2 5
6 0 
 
 山村 
 13 
Exercícios 
 
1) Uma confeitaria produz 5 bolos em determinado dia. As probabilidades de vender 
nenhum, um dois, três, quatro ou cinco valem respectivamente 1%, 5%, 20%, 30%, 29% 
e 15%. O custo total de produção de cada bolo é de 10 unidades monetárias. e o preço 
unitário de venda é 20 u. m. Calcule o lucro médio, e o desvio padrão. (15,2; 22.91) 
2) Um negociante espera vender um automóvel até sexta-feira. A expectativa de que 
venda na segunda-feira, é de 50%. Na terça-feira é de 30%, na quarta-feira é de 10%, na 
quinta-feira é de 5% e na sexta-feira é de 5%. Seu lucro é de 3 000 um se vender na 
segunda-feira e diminui 40% cada dia. Calcule o valor esperado de lucro deste 
negociantenesta venda. (2 199,84) 
3) Um produto deve ser lançado no mercado no próximo ano. A expectativa do 
departamento de marketing de que o projeto seja bem sucedido é de 80%. Neste caso, o 
retorno esperado em sua vida útil é de 100.u. m. Se isto não acontecer, o prejuízo deve 
chegar a 50. u. m. Calcule o lucro médio, a variância e o desvio padrão. (70; 3.600; 60) 
4) O trem do metrô para no meio de um túnel. O defeito pode ser na antena receptora ou 
no painel de controle. Se o defeito for na antena, o conserto poderá ser feito em 5 
minutos. Se o defeito for no painel, o conserto poderá ser feito em 15 minutos. O 
encarregado da manutenção acredita que a probabilidade de o defeito ser no painel é de 
60%. Qual é a expectativa do tempo de conserto? (11 minutos) 
5) Um vendedor prepara quatro visitas e espera vender 1000 u. m. em cada uma delas. A 
expectativa de vender em cada cliente é de 80%, independentemente. Qual é o valor 
esperado de vendas deste vendedor? (3.200) 
6) Uma máquina fabrica placas de papelão que podem apresentar nenhum, um, dois, três 
ou quatro defeitos, com probabilidade 90%, 5%, 3%, 1% e 1%, respectivamente. O preço 
de venda de uma placa perfeita é 10u.m. e a medida que apresenta defeitos, o preço cai 
50% para cada defeito apresentado. Qual é o preço médio de venda destas placas? 9,34 
7) Um investidor julga que tem 0,40 de probabilidade de ganhar $ 25 000 e 0,60 de 
probabilidade de perder $ 15 000 num investimento. Determine o ganho esperado. 
($1000) 
8) Um empreiteiro faz as seguintes estimativas: prazo de execução 10, 15 e 22 dias com 
as respectivas probabilidades de: 0,30, 0,20 e 0,50. Determine o prazo esperado para a 
execução da obra, de acordo com estas estimativas.(17 dias) 
9) Os registros de uma grande cidade mostram a distribuição de candidatos para 
trabalhos não qualificados, durante o tempo em que se encontram desempregados. 
Duração do 
desemprego 
(semanas) 
 
0 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
5 
 
6 
 
7 
 
8 
 
9-12 
oporção de candidatos 0,25 0,20 0,15 0,10 0,10 0,05 0,04 0,03 0,02 0,06 
Qual a duração esperada de desemprego de um candidato? Determine o desvio padrão. 
10) Uma urna contém 400 notas de $ 5,00 e 100 notas de $ 10,00. Qual o lucro esperado? 
(6) 
11) Uma companhia de implementos agrícolas fixou a data para sua exposição anual e 
precisa decidir se a exposição será feita em recinto fechado ou a céu aberto. Julga ela 
que, se a exposição for feita a céu aberto, e se não chover, poderá ganhar $6.000,00 
líquido. Se chover, entretanto, a exposição a céu aberto renderá somente $ 1.000,00. Por 
outro lado, se a exposição for feita em recinto fechado, a companhia espera ganhar 
$2.000,00, se chover, e $3.000,00, se não chover. Se a probabilidade de chuva é de 0,50, 
 山村 
 14 
calcule o lucro esperado para ambos os tipos de exposição e escolha o tipo que 
proporcione o máximo lucro. 
12) No exercício anterior, a probabilidade de chuva é de 0,90. 
13) Uma seguradora paga o preço integral de um carro em caso de perda total. Para um carro 
no valor de $ 40.00,00 é cobrado uma taxa de $ 1500,00. A probabilidade de que um 
carro tenha perda total é de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado? 
(300) 
14) As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral num 
sábado são, respectivamente: 0,05; 0,20; 0,45; 0,25 e 0,05. Qual é o número médio de 
pessoas por carro? Se chegam no litoral 500 carros por hora, qual é o número esperado 
de pessoas, em 8 horas de contagem? (3,05: 12.200) 
15) O quadro abaixo representa o registro da qualidade do produto PP da fábrica PPY. 
Calcule a média de defeitos esperado e o desvio padrão. (0,75; 1,2) 
Nº de defeitos 0 1 2 3 4 5 6 ou mais 
Percentagem de produtos 0,60 0,22 0,08 0,05 0,03 0,02 0 
16) Um jogo um estádio de futebol, a lanchonete pode esperar lucrar $ 600 com a venda 
de cachorro-quentes se o dia for ensolarado, mas só $ 300 se o dia estiver encoberto e $ 
100 se chover. As probabilidades para esses eventos são 0,6; 0,3 e 0,1. Qual é o lucro 
esperado? (460) Se for feito um seguro de $450 e o custo do seguro for de $ 100, qual 
será o lucro esperado?(405) 
17) Um lojista mantém extensos registros de vendas diárias de um aparelho. O quadro a 
seguir dá o número x de aparelhos vendidos em uma semana e a respectiva probabilidade 
p(x) 
Número x 0 1 2 3 4 5 
P(x) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1. Se é de R$ 20,00 o lucro por unidade 
vendida, qual o lucro esperado nas vendas de uma semana? (54) 
18) Os analistas da corretora de valores definiram os possíveis cenários da rentabilidade 
do mercado de ações para os próximos 12 meses: ruim, regular, bom e excelente. Pelo 
consenso do grupo de analistas, as rentabilidades e suas probabilidades associadas para o 
cenário estão registradas. 
 Rendabilidade probabilidade 
Ruim -10% 10% 
Regular 0% 20% 
Bom +12% 40% 
Excelente +25% 30% 
Determine o valor esperado (11,30%) 
19) O seguro de vida para pessoas com menos de 40 anos pago pela Seguradora FF é 
$200.000,00. Para comprar esse seguro, a pessoa necessita pagar $600 por ano. Se a 
probabilidade de morte de uma pessoa com menos de 40 anos é 0,1% pede-se determinar 
a expectativa de lucro anual da seguradora. (400,60) 
20) Um lago de areia, numa quermesse escolar para angariar fundos, apresenta 25 pacotes 
com valor unitário de $ 1, 5 pacotes valendo $ 5 cada um e 1 pacote valendo $ 10. 
Quanto gostaria de pagar para ter uma chance nesta pescaria, se quisesse ter um prêmio 
Um fabricante de pneus de automóveis conservou os registros de qualidade de seu no 
valor daquilo que você gastou? (1,94) 
21) Um produto e obteve o seguinte quadro de valores baseado nos últimos 6 meses de 
produção: 
Número de defeitos 0 1 2 3 4 5 
 山村 
 15 
Percentagem de pneus 60 22 8 5 3 2 
Calcule a média de defeitos e o desvio padrão. (0,75; 1,2) 
22) Um investidor não sabe se investe $ 10000 de sua herança numa ação que lhe foi 
recomendada ou se aplica num título de poupança que lhe rende juros de 9%. No ano 
seguinte a ação pode aumentar 20% de valor, ou diminuir 10% ou permanecer alterada. 
Estima-se que as probabilidades destas três ocorrências possíveis são de 0,3; 0,4 e 0,3 
respectivamente. Que deveria ele fazer se só deseja investir durante um ano e os custos 
de investimento forem os mesmos, nos dois casos? (10200; 10900-poupança) 
 山村 
 16 
5.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
 
Usa - se o termo binomial para designar situações em que os resultados de uma 
variável aleatória podem ser agrupados em duas classes ou categorias. Os dados são nominais. 
A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre 
que o processo de amostragem é do tipo do de Bernoulli; isto é: 
a) Em cada tentativa existem dois resultados possíveis mutuamente exclusivos. Elas 
são chamadas por conveniência, sucesso ou fracasso. 
b) As séries de tentativas, ou observações são constituídas de eventos independentes. 
c) As probabilidades de sucesso p, permanece constante de tentativa para tentativa 
(estacionário). 
 
Três valores são necessários: 
X ⇒ número de sucessos, n ⇒ número de observações 
p ⇒ probabilidade de sucesso em cada tentativa 
 
P(X) = ( ) XnxnX qp −.. = XnX qpXnX n −− .)!(! ! 
 
Se for expressa por proporções: 
p = 
n
X ⇒ P( p =
n
X ) = 
)!(!
!
XnX
n
− p q 
X Xn−
 
E(X) = np Var(X) = npq 
 
 
Exercícios: 
 
1) A probabilidade de que um presumível cliente aleatoriamente escolhido faça uma compra 
é 0,20. Se um vendedor visita seis presumíveis clientes, qual a probabilidade de que fará 
exatamente quatro vendas. (0,01536) 
2) Idem, 4 ou mais vendas (0.01536+0.001536+0.000064=0.016960≅0.017) 
3)Se a probabilidade de que um presumível cliente realize uma compra é 0,20, e se visita 15 
presumíveis clientes, calcule o valor esperado do número de vendas e a variância (3,0: 
2,4) 
4) A probabilidade de que um empregado aleatoriamente escolhido participe de um 
programa de investimento em ações proporcionado pela empresa é de 0,40. Se 5 
empregados são escolhidos aleatoriamente, calcule a probabilidade de que a proporção de 
participantes seja exatamente 0,60. (0,2304) 
5) A probabilidade .....é de 0,40. Se 10 empregados são escolhidos aleatoriamente, calcule a 
probabilidade de que a proporção dos participantes seja no mínimo 0,70. 
(0.0425+0.0106+0.0016+0.0001=0.0548) 
6) Devido às altas taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de 
outras firmas comerciais se encontram vencidas. Se um contador escolhe aleatoriamente 
uma amostra de 5 contas, determinar a probabilidade de: 
a) Nenhuma conta está vencida. 
 山村 
 17 
b) Exatamente duas contas estão vencidas 
c) A maioria das contas está vencida. 
d) Exatamente 20% das contas estão vencidas. (0.16807-0.3087-0.16308-0.36015) 
7) Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que 
contém 12 peças. Calcule a probabilidade de um cliente comprar um caixa contendo: 
a) Nenhuma peça defeituosa; 
b) Uma peça defeituosa. (0,2824; 0,3766) 
8) Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 20% dos 
títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, 
determine a probabilidade que: 
a) No máximo dois sejam pagos com atraso, 
b) No mínimo três sejam pagos sem atraso, 
c) Mais de 70% sejam pagos sem atraso. (0,206; 1; 0,8050.) 
9) Uma amostra de 15 peças é extraída, com reposição de um lote que contém 10% de peças 
defeituosas. Calcule a probabilidade de que: 
a) O lote não contenha peça defeituosa; 
b) O lote contenha exatamente três peças defeituosas; 
c) O lote contenha pelo menos uma peça defeituosa; 
d) O lote contenha entre três e seis peças defeituosas; 
e) O lote contenha de três a seis peças defeituosas. 
(20,59; 12,9; 79,4; 5,3; 18,4) 
10) Num hospital 5 pacientes devem submeter-se a uma cirurgia, da qual 80% sobrevivem. 
Qual a probabilidade de que: 
a) Todos sobrevivam, 
b) Pelo menos dois sobrevivam, 
c) No máximo 3 não consigam sobreviver. (0,3277; 0,9933.; 0,9933) 
11) Um levantamento efetuado em um pregão da bolsa de valores mostrou que naquele dia 
40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, enquanto que as ações 
restantes ficaram estáveis ou perderam valor. Um fundo negocia com ações de 10 destas 
empresas. Calcule a probabilidade de que neste dia: 
a) Todas as ações do fundo tenham se valorizado; 
b) No máximo ações de duas empresas não tenham se valorizado; 
c) Todas as ações do fundo tenham se desvalorizado ou ficaram estáveis. 
(0,01; 1,23; 0,60) 
12) Uma confecção de roupa infantil suspeita que 30% de sua produção apresenta algum 
defeito. Se tal suspeita é correta, determine a probabilidade de que, numa amostra de 
quatro peças. Sejam encontradas: 
a) No mínimo duas peças com defeitos; 
b) Menos que três peças boas. (34,83; 34,83.) 
13) Uma empresa distribuidora costuma falhar em suas entregas de mercadorias 15% das 
vezes, por atraso na entrega, mercadoria fora de especificação, danos etc., causando 
reclamação por parte dos clientes. Calcule a probabilidade de: 
a) Não ocorrer reclamação nas 10 entregas de hoje; 
b) Acontecer pelo menos uma reclamação nas 10 entregas; 
c) Acontecer no máximo uma reclamação nas 10 entregas. 
 (19,69; 47,8 ; 54,43.) 
14) Sabe-se que 20% dos clientes vêm a agência bancária exclusivamente para fazer 
depósitos. A agência, automatizando seus serviços, instalou caixas automáticas de 
 山村 
 18 
depósitos, que deveriam ser utilizadas por estes clientes. Por falta de hábito, apenas 30% 
destes clientes utilizam este serviço. Qual é a probabilidade de um funcionário, 
consultando clientes em uma fila de nove indivíduos a espera de atendimento em caixas 
comuns, encontrar pelo menos um cliente que deve ser instruído a usar o caixa automático 
para depósito? (74,27.) 
15) Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas por ela emitidas são 
pagas após o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de: 
a) Nenhuma ser paga com atraso, 
b) No máximo dois serem pagas com atraso, 
c) Ao menos 3 serem pagas com atraso (0,0008, 0,0398, 0,3075?). 
16) Uma firma exploradora de petróleo acha que 5% dos poços que perfura acusam depósito 
de gás natural. Se ela perfurar 6 poços, determine a probabilidade de ao menos um dar 
resultado positivo. (0,2648) 
17) Pesquisa médica indica que 20% da população em geral sofrem efeitos colaterais 
negativos com o uso de uma nova droga. Se um médico receita o produto a 4 pacientes, 
qual a probabilidade de: 
a) Nenhum sofrer efeito colateral, 
b) Todos sofrerem efeitos colaterais, 
c) Ao menos um sofrer efeitos colaterais (0,4096, 0,0016, 0,5904) 
18) Ao testar certo tipo de caminhão em um terreno acidentado, constatou-se que 20% dos 
caminhões não conseguem terminar o teste sem ao menos um pneu furado. Qual a 
probabilidade de que, dentre os próximos 10 caminhões a serem testados, de 5 a 8 tenham 
um pneu furando? (0,033) 
19) A probabilidade de um certo tipo de lâmpada queimar no período de 24 horas é de 0,01. 
Qual a probabilidade de um luminoso com 10 dessas lâmpadas permanecerem totalmente 
aceso durante aquele período? (0,904) 
20) A probabilidade de um vendedor realizar uma venda com um único cliente é de 0,20. Ele 
visita 30 clientes distintos. Qual a probabilidade de que: 
a) Realize exatamente quatro vendas (0,1325), 
b) Pelo menos 3 vendas. ((0,9558) 
21) 41% dos estudantes praticam alguma atividade esportiva. Escolhem-se 6 ao acaso para 
opinarem sobre esportes. Determine a probabilidade de: 
a) Nenhum praticar esportes, 
b) De todos praticarem esportes, 
c) De ao menos a metade praticarem esportes. (0,042; 0,0048; 0,4766) 
22) Um lote de 500 peças é aceita se uma amostra aleatória de 10 peças acusa menos de duas 
defeituosas. O lote tem 5% de peças com defeito. Qual a probabilidade de ser aceita? 
(0,9139) 
23) Numa agência de viagens, de cada 100 passagens vendidas, 30 são para o Rio de Janeiro. 
Na venda de seis passagens: 
a) Qual a probabilidade de que quatro seja para o Rio de Janeiro? 
b) Qual a probabilidade de que quatro ou mais sejam para o Rio de Janeiro? 
c) Qual a probabilidade de que nenhuma seja para o Rio de Janeiro? 
d) Qual a probabilidade de que no máximo duas sejam para o Rio de Janeiro? 
R: 0,06; 0,07; 0,12 0,74 
24) Supondo que uma empresa aérea ZZ detém 30% dos vôos domésticos, determine a 
probabilidade de que, em oito acidentes aéreos, ocorram: 
a) Cinco acidentes com aviões da empresa ZZ 
 山村 
 19 
b) Menos de 3 acidentes com aviões da empresa ZZ 
c) Nenhum acidente com aviões da empresa ZZ (0,047; 0,494; 0,058) 
25) Após a realização de uma pesquisa, onde se obteve que 85% dos que reservam lugares 
comparecem para o embarque, uma empresa aérea ZY passou a adotar a política de vender 
105 passagens para um avião que dispõe de 98 assentos. Determine a probabilidade de 
que: 
a) Todos os assentos sejam preenchidos 
b) Sobre um passageiro sem assento 
c) Sobrem 3 assentos vazios (0,0039; 0,0018; 0,0333). 
26) Seis parafusos são escolhidos aleatoriamente da produção de uma máquina que apresenta 
10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos: 
a) Nenhum deles (0,53l4) 
b) 2 deles (0,0984) 
c) Pelo menos um parafuso (0,4686) 
d) Todos os parafusos 
27) Uma empresa produz parafusos dos quais 10% são defeituosos. Entre 4000 parafusos qual é a 
média esperada de defeituosos? E o desvio padrão? (36;1,8) 
28) Sabe-se que a procurasemanal de certa peça sobressalente é em média de 0,15. Deseja-se saber 
qual é a probabilidade, em uma determinada semana, serem demandadas: 
a) Zero peças (0,8607) 
b) 1 peça (0,1291) 
c) 2 peças (0,0097) 
d) Pelo menos 1 peça (0,1393). 
29) Uma amostra de 15 peças é extraída, com reposição de um lote que contém 10% de peças 
defeituosas. Calcule a probabilidade de que: 
a) O lote não contenha peça defeituosa; (20,59). 
b) O lote contenha exatamente três peças defeituosas; (12,9). 
c) O lote contenha pelo menos uma peça defeituosa; (79,4). 
d) O lote contenha entre três e seis peças defeituosas; (5,3). 
e) O lote contenha de três a seis peças defeituosas. (18,4.). 
30) Uma confecção de roupa infantil suspeita que 30% de sua produção apresenta algum 
defeito. Se tal suspeita é correta, determine a probabilidade de que, numa amostra de 
quatro peças. Sejam encontradas: 
a) No mínimo duas peças com defeitos; (34,83). 
b) Menos que três peças boas; (34,83) 
31) Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade se formar é 0,3; 
Determine a probabilidade de que dentre 6 estudantes escolhidos aleatoriamente: 
a) Nenhum se forme, 
b) Pelo menos 2 se formem. (0,1176, 0,5798) 
32) Se a probabilidade de ocorrência de uma peça defeituosa é 0,2, determine a média e o 
desvio padrão da distribuição de peças defeituosas em um total de 600. (120, 9,8) 
33) Seis parafusos são escolhidos aleatoriamente da produção de uma máquina que apresenta 
10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos: a) nenhum deles 
(0,5314); b) dois deles (0,0984) c) pelo menos um parafuso (0,4686) 
34) A companhia de aviação Golan afirma que 95% dos seus vôos chegam no horário. Se os 
registros dos vôos dos últimos três meses forem retirados uma amostra aleatória de 10 
vôos, pede-se calcular a probabilidade de que: a) pelo menos 8 vôos chegaram no horário 
(98,85%); b) entre 7 e 9 vôos chegaram no horário (40,02%). 
 山村 
 20 
35) A montadora de carros sabe que no transporte de carros entre a fábrica e a concessionária, 
3% dos carros transportados sofrem alguma avaria na sua pintura. Se uma concessionária 
receber 50 carros, pede-se calcular a probabilidade de que: a) nenhum dos carros 
transportados sofra avaria na pintura (21,81%); b) dois ou mais carros sofram avaria na 
pintura (44,47%). 
36) Uma vendedora de automóveis descobriu, pela experiência, que duas entre dez pessoas 
que são levadas para um test drive em um novo automóvel compra um carro. Suponha 
que, em uma determinada noite, ela leve cinco pessoas para um test drive. Qual a 
probabilidade de que ninguém, entre essas cinco pessoas, compre um carro? (0,3277). 
 
 山村 
 21 
5.2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
 
- Distribuição discreta de probabilidades usada para determinar a probabilidade 
de um dado número de sucessos quando os eventos ocorrem em um continuum 
de tempo ou espaço. 
- A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em todo o campo de observação 
- A probabilidade de mais de uma ocorrência em um único ponto é 
aproximadamente zero 
- Número de ocorrências em qualquer intervalo é independente do número de 
ocorrências em outros intervalos 
 
Ex: defeitos por cm2, acidentes por dia, clientes por hora, chamadas telefônicas por 
minuto, vacas por acre. Necessitamos somente de: 
λ = número médio de sucessos para a específica dimensão de tempo ou espaço de 
interesse. 
P(X/ ) = λ
!
.
X
eX λλ − 
E(X) = var(X) = λ λ
 
 
Exercícios 
 
1. Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de 5 chamadas por hora. 
Qual a probabilidade de que, em uma hora selecionada aleatoriamente, sejam recebidas 
exatamente 3 chamadas. (0,l404) 
2. Idem, menos do que 3 chamadas (0,0067+0,0337+0,0842 = 0,1246) 
3. Na média, 12 pessoas por hora consultam um especialista em decoração de uma fábrica. 
Qual a probabilidade de 3 pessoas consultarão o especialista durante um período de 10 
minutos (0,1804) 
4. Em média, seis pessoas por hora utilizam os serviços de caixa-automático de um banco 
durante as horas de maior movimento em uma loja de departamentos. Qual a 
probabilidade de: 
a) Exatamente 6 pessoas a usarão durante uma hora aleatoriamente escolhida. 
(0,1606) 
b) Menos do que 5 pessoas durante uma hora aleatoriamente escolhida. (0,2851) 
c) Nenhuma pessoa usará num intervalo de 10 minutos (0,3679) 
d) Nenhuma pessoa usará num intervalo de 5 minutos (0,6065) 
5. Suponha que o manuscrito de um livro texto tenha um total de 50 erros nas 500 páginas de 
material. Se os erros estão distribuídos aleatoriamente ao longo do texto, determine a 
probabilidade de que: 
a) Um capítulo cobrindo 30 páginas tenha dois ou mais erros (0,8008) 
b) 50 (0,9596) 
c) Uma página aleatoriamente escolhida não tenha erro algum (0,9048) 
6. A taxa de chegada de clientes em uma agência bancária é de quatro clientes por minuto. 
Determine a probabilidade de chegarem mais que 14 clientes nos próximos dois minutos. 
(1,72.) 
 山村 
 22 
7. Em um pedágio de determinada rodovia chegam em média 600 carros por hora. 
Determine a probabilidade de: 
a) Chegarem exatamente 10 carros em um minuto; 
b) Chegarem menos que cinco carros em um minuto; 
c) Chegarem pelo menos oito carros em 30 segundos. 
(12,51; 2,93; 13,33.). 
8. Suponha que os navios cheguem a um porto à razão de 2 navios por hora, e que essa razão 
seja bem aproximada por processo de Poisson. Observando o processo durante um período 
de meia hora, determine a probabilidade de: 
a) Não chegar nenhum navio, 
b) chegarem 3 navios (0,368, 0,061 ) tλµ =
9. Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma 
página contenha pelo menos 3 erros? (0,0803) 
10. Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em: 
a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? (0,8753), 
b) 300 km ocorram 5 acidentes? (0,1606) 
11. A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas, 2 se queimam ao serem ligadas. Qual a 
probabilidade de que numa instalação de: 
a) 600 lâmpadas, no mínimo 3 se queimem? (0,5768), 
b) 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem? (0,0463) 
12. Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, ocorrem 30 vazamentos no período de 
um mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos 3 vazamentos num 
setor de 3 km de extensão? (0,1912) 
13. Numa fita de som, há um defeito a cada 200 pés. Qual a probabilidade de que: 
a) Em 500 pés não aconteça defeito? (0,0821), 
b) Em 800 pés ocorram pelo menos 3 defeitos? (0,7619) 
14. O número de mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana, é de 2 para 
cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em: 
a) 200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos? (0,0916), 
b) 112.500 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos? (0,8264) 
15. Uma firma recebe 720 mensagens em seu fax em 8 horas de funcionamento. Qual a 
probabilidade de que: 
a) Em 6 minutos receba pelo menos 4 mensagens? (0,9788), 
b) Em 4 minutos não receba mensagem alguma? (0,0025) 
16. Em um pronto-socorro número de atendimentos de emergência tem uma média de 60 
atendimentos por hora. Calcular a probabilidade de: 
a) Não efetuar nenhum atendimento num intervalo de 5 minutos (0,00674), 
b) Efetuar pelo menos 2 atendimentos num intervalo de 10 minutos (0,9995). 
17. Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na proporção de 1 defeito por m2. 
Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2x2 m?(0,1952) 
18. Os defeitos em rolos de tecido têm uma média de 2 defeitos por 10 metros. Compra-se 
5m. Determine as probabilidades: 
a) Zero defeito; 
b) 1 defeito; 
c) Mais de um defeito. 
19. Em uma experiência de laboratório passam, em média, por contador, 4 partículas 
radioativaspor milissegundo. Qual a probabilidade de entrarem no contador 6 partículas 
em determinado milissegundo? (0,1042) 
 山村 
 23 
20. Um posto telefônico recebe, em média, 10 chamadas por minuto. Determine: 
a) Não ocorrer nenhuma chamada em 1 minuto, e em dois minutos.(0,00004; 0). 
b) Ocorrer menos que 3 chamadas em 2 minutos (0) 
c) Ocorrer mais que 4 chamadas em 0,3 minutos. (0,1847) 
21. Uma telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto. Determine: 
a) Não ocorrer nenhuma chamada em 1 minuto, (0,000045). 
b) Ocorrer menos que 3 chamadas em 0,4 minuto, (0,2381). 
c) Ocorrer mais que 2 chamadas em 0,3 minuto, (0,5768). 
d) Ocorrer no máximo 4 chamadas em 0,2 minuto, (0,9473). 
e) Receber 3 ou mais chamadas em 0,7 minuto, (0,9704). 
f) Receber exatamente 2 chamadas em 0,3 minuto, (0,2240). 
g) Receber no mínimo uma chamada em 0,6 minuto, (0,9975). 
h) Receber até 2 chamadas em 0,5 minuto, (0,1246). 
i) Receber entre 7 e 9 chamadas em 0,8 minuto, (0,1396). 
j) Receber pelo menos 3 chamadas em 0,35 minuto.(0,6791) 
22. Determinada loja vende em média 5 caixas de um artigo por dia. Determinar o número 
mínimo de caixas que deva ter em estoque, de modo que não seja necessária a reposição 
diária de estoque em mais que um dia por mês de 25 dias de trabalho. (9) 
23. Sabe-se que a procura semanal de certa peça sobressalente é em média de 0,15. Deseja-se 
saber qual é a probabilidade, em uma determinada semana, de serem demandadas: a) zero 
peças (0,8607); b) 1 peça (12,91%); c) 2 peças (0,0097); d) 3 peças (0,0029); e) pelo 
menos uma peça (0,1393) 
24. Um industrial fabrica peças para a injeção eletrônica de automóveis com tal perfeição que 
apenas 5 peças em mil apresentam defeitos. Após uma série de peças fabricadas examina-
se uma amostra aleatória de 800 peças. Deseja-se saber; a) qual a probabilidade de que 
mais de 4 peças sejam defeituosas? (0,3710); b) qual a probabilidade de que menos de 2 
sejam defeituosas? (0,0916); c) qual a probabilidade de que o número de peças defeituosas 
seja exatamente 2? (0,1466) 
25. O gerente do supermercado verificou que o erro de digitação cometido pelos caixas é de 
0,35 por hora. Pede-se calcular a probabilidade de que um caixa cometa dois erros numa 
hora. (0,04316) 
 
 
 
 
 山村 
 24 
5.3 DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADES 
 
 
É uma distribuição de probabilidade contínua que é simétrica e mesocúrtica. 
A curva que representa é freqüentemente descrita como tendo a forma de um sino. 
 
 
Características do modelo: 
 
Se uma variável aleatória x, com média µ e desvio padrão σ, apresenta as seguintes 
características: 
- Valores da variável aleatória x mais próximos da média µ ocorrem com maior 
freqüência; 
- Valores da variável aleatória x simétricos em relação à média ocorrem com 
mesma freqüência; a região definida pelo gráfico da função e pelo eixo das 
abscissas tem área unitária, então a variável aleatória x tem distribuição normal 
de probabilidades. É importante na inferência estatística porque 
- As medidas produzidas em diversos processos aleatórios seguem esta 
distribuição; 
- Probabilidades normais podem ser usadas freqüentemente como aproximações 
de outras distribuições de probabilidade, tais como a distribuição binomial e a 
de Poisson: 
- As distribuições de estatísticas de amostra tais como a média e a proporção 
freqüentemente seguem a distribuição normal independentemente da 
distribuição da população. 
 
A função matemática que define este tipo de curva é: 
2)(
2
1
2
1)( σ
µ
πσ
−−
=
X
exf
Com x ε R 
As tabelas de probabilidade normal são baseadas em uma distribuição particular: a 
distribuição normal padronizada, com µ = 0 e σ = 1. 
Qualquer conjunto de valores X normalmente distribuído pode ser convertido em 
valores normais padronizados z pelo uso de : 
 
 
σ
µ−= Xz
 山村 
 25 
 84,13% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15,87% 34,13% 34,13% 15,87% 
 50% 50% 
 100% 
 
Exemplo 
Os resultados de um teste feito com 200 alunos apresentou resultados normalmente 
distribuídos com uma média de 60 e desvio padrão 8. 
Cerca de 136 alunos (68%), encontrar-se-ão entre os 52 e os 68 pontos obtidos. Cerca 
de 32 alunos (16%) terão resultados abaixo de 52 e cerca de 32 alunos terão resultados acima 
de 68. Esta é uma das principais utilizações do desvio padrão e da distribuição normal. 
A proporção relativa de números que, num conjunto de resultados, se situa entre os 
desvios padrões é sempre a mesma. Temos sempre cerca de 68% dos resultados na faixa 
compreendida entre um desvio padrão abaixo da média e um desvio padrão acima da média 
(entre z = -1 e z= 1), independente dos valores reais dos resultados dos quais surge o desvio 
padrão. 
Os resultados padronizados só se aplicam a números obtidos com distribuições 
normais. 
 
 
Exercícios: 
 
Se z tem distribuição normal padronizada, calcule: 
1. a) P( z > 1,64 ) = (0,0505) b) P( z < -l,64) = (0,0505) 
c) P( 1 < z < 1,5) = (0,0919) c) P( -1 < z < 2) = (0,8185) 
d) P( -2 < z < 2) = (0,9544) e) P(-1,64<z<-1,02) = (0,1034) 
f ) P( z < 1,64) = (0,9495) 
2. Se a variável é normal, calcule: 
a) P(X > 6,8), se µ = 5 e σ = 3 = (0,2743) 
b) P(X<800), se µ = 500 e σ = 200 = (0,9332) 
c) P(9,9 <X<10,1), se µ = 10 e σ = 0,2 = (0,3830) 
d) P(10<X<11), se µ = 10,73 e σ = 0,213 = (0,0062) 
3. Determine os valores de z que correspondem às seguintes porcentagens: 
a) área à esquerda de z = 0,0505 (-1,64) 
b) área à esquerda de z = 0,0228 (-2) 
c) área à direita de z = 0,0228 (2) 
d) área entre 0 e z = 0,4772 (2) 
e) área à esquerda de z =0,0107 (-2,3) 
f) área entre z e –z = 0,9544 (2) 
 
 山村 
 26 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1. Sabe-se que a vida útil de um componente elétrico segue uma distribuição normal com 
média µ = 2 000 horas e desvio padrão σ = 200 horas. Determine a probabilidade de que 
um componente aleatoriamente escolhido dure: 
a) entre 2 000 e 2 400 horas (0,4772) 
b) dure mais que 2 200 horas ( 0,1587) 
2. O processo de empacotamento em uma companhia de cereais foi ajustado de maneira que 
uma média de µ = 13,0 kg de cereal é colocada em cada saco. Nem todos os sacos têm 
precisamente 13,0 kg devido a fontes aleatórias de variabilidade. O desvio padrão do peso 
líquido é σ = 0,1 kg, e sabe-se que a distribuição dos pesos segue uma distribuição 
normal. Determine a probabilidade de que um saco aleatoriamente escolhido contenha : 
a) Entre 13,0 e 13,2 kg de cereal (0,4772) 
b) Entre 12,9 e 13,1 kg de cereal (0,6826) 
c) Entre 12,8 e 13,1 kg (0,8185) 
d) Entre 13,1 e 13,2 kg (0,1359) 
3. O tempo necessário em uma oficina para o conserto da transmissão de um automóvel é 
normalmente distribuído com µ = 45 minutos e σ = 8,0 minutos. O mecânico planeja 
começar o conserto do carro do cliente 10 minutos após o carro ter sido deixado na 
oficina, comunicando ao cliente que o carro estará pronto em uma hora. Qual a 
probabilidade de que o mecânico esteja enganado? (0,2676) 
a) Qual a previsão de tempo de trabalho para que haja 90% de probabilidade de que 
o conserto da transmissão se efetue dentro do tempo previsto? (55,24 min) 
b) Qual a previsão de tempo de trabalho para que haja uma probabilidade de 30% de 
que o conserto seja efetuado dentro do tempo previsto? (40,84 min) 
4. As notas de Estatística estão normalmente distribuídas com média 7,6 e desvio padrão 1,5 
Sabe-se que 16,6% dos alunos que apresentaram as melhores notas receberam o grau A e 
11,9% dos alunos menos adiantados receberam o grau B. 
a) Determine o mínimo grau para receber A (9); 
b) Determine a nota mínima para passar (5,8) 
5. As vendas de determinadoproduto têm apresentado distribuição normal com média de 
600 unidades/mês e desvio padrão 40 unidades/mês. Se a empresa decide fabricar 700 
unidades naquele mesmo mês, qual é a probabilidade de não poder atender todos os 
pedidos desse mês por estar com a produção completa? (0,0062) 
6. Uma firma produz instrumentos de precisão cujos comprimentos têm distribuição 
aproximadamente normal com µ = 78,3mm e σ = 1,4 mm. Se qualquer peça com mais de 
80mm de comprimento deve ser rejeitado, qual a porcentagem da produção perdida? 
(0,1131) 
7. As notas de um teste de aptidão têm distribuição normal com média µ = 60 e desvio 
padrão σ = 20. Que percentual das notas: 
a) Excede 85 (0,1056) 
b) Está abaixo de 50? (0,3085) 
8. O tempo necessário para completar uma tarefa escolar tem distribuição normal com média 
de 90 minutos e desvio padrão de 15 minutos. 
a) Que porcentagem de estudantes terminará a tarefa em 2 horas? 
 山村 
 27 
b) Qual o tempo necessário para permitir que 90% dos estudantes terminem a tarefa? 
(0,9772; 109 minutos). 
9. Após 28 dias de curagem, o cimento PP comum tem resistência compressiva média 4000 
psi e desvio padrão 120 psi. A resistência tem distribuição normal. Determine a 
probabilidade para uma uma resistência compressiva de 28 dias: 
a) < 3900 (0,2033) 
b) < 3850 (0,1056) 
c) > 3850 (0,8944) 
d) > 3880 (0,8413) 
10. A renda média de uma grande comunidade é razoavelmente aproximada por uma 
distribuição normal com média $ 15 000 e desvio padrão $ 3 000. 
a) Que percentagem da população terá renda superior a $ 18 600? (0,1151) 
b) Numa amostra de 50 assalariados, quantos podemos esperar que tenham menos de $ 
10 500 de renda? (3,34) 
11. Uma distribuição normal têm média 50 e desvio padrão 5. Que percentagem da população 
está em cada um dos intervalos: 
a) De 40 a 50 (0,4772) 
b) De 49 a 50 (0,0793) 
c) De 40 a 45 (0,1359) 
d) De 56 a 60 (0,0923) 
e) De 40 a 65 (0,9758) 
f) De 45 a 55 ( 0,6826) 
12. Em um grande complexo industrial, o departamento de manutenção tem instruções para 
substituir as lâmpadas antes que se queimem (não esperar que queimem para então 
substituí-las). Os registros indicam que a duração das lâmpadas tem distribuição normal 
com média 900 horas e desvio padrão 75 horas. Quando devem ser substituídas as 
lâmpadas de modo que no máximo 10% delas queimem antes de serem trocadas? (dentro 
de 804 horas ) 
13. A vida média útil de certo utensílio é de 1,5 ano, com desvio padrão de 0,3 ano. Se os 
defeitos se distribuem normalmente, que percentagem dos aparelhos vendidos necessitará 
de reparo antes de expirar a garantia de um ano? (4,75%) 
14. Os registros indicam que o tempo médio para se fazer um teste é aproximadamente 
normal com média 80 minutos e desvio padrão de 20 minutos. Determinar: 
a) Porcentagem de candidatos que levam menos de 80 minutos, 
b) Se o tempo médio concedido é de 1h45min. Que percentagem não conseguirá 
terminar o teste? 
c) Se 150 pessoas se submetem ao teste, quantas podemos esperar que terminem o 
teste dentro de 1 hora? (50%, 10,56%, 24) 
15. O levantamento do custo unitário de produção de um item da empresa revelou que sua 
distribuição é normal com média 50 e desvio padrão 4. Se o preço de venda unitário desse 
produto é 60, qual a probabilidade de uma unidade desse item escolhida ao acaso 
ocasionar prejuízo a empresa? (0,621) 
16. Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição normal com 
média 300 h e desvio padrão 20h. Se a empresa garantiu uma vida útil de pelo menos 
280h para uma das unidades vendidas, qual a probabilidade de ela ter que repor essa 
unidade? (15,866) 
 山村 
 28 
17. Os balancetes semanais realizados em um empresa mostraram que o lucro realizado 
distribui-se normalmente com média 48.000 u. m. e desvio padrão 8.000 u. m. Qual a 
probabilidade de que: 
a) Na próxima semana o lucro seja maior que 50.000 u.m.?, 
b) Na próxima semana o lucro esteja entre 40.000 u. m. e 45.000 u.m.?, 
c) Na próxima semana haja prejuízo? (40,129; 19,33; 0%) 
18. O departamento de marketing da empresa resolve premiar 5% dos seus vendedores mais 
eficientes. Um levantamento das vendas individuais por semana mostrou que elas se 
distribuíam normalmente com média 240.000 u.m. e desvio padrão 30.000 u.m. Qual o 
volume de vendas mínimo que um vendedor deve realizar para ser 
premiado?(289.200,00). 
19. Uma máquina produz um tubo de plástico rígido cujo diâmetro admite distribuição normal 
de probabilidades, com média 100mm e desvio padrão 0,5 mm. Os tubos com diâmetro 
menor que 98,2mm ou maior que 100,6mm são considerados defeituosos, e devem ser 
reciclados. Qual a proporção da produção que deverá ser reciclada? (11,523.) 
20. Os salários dos funcionários de um hotel fazenda têm distribuição normal em torno da 
média de $ 1.500,00, com desvio padrão de $ 200,00. Qual a probabilidade de um 
funcionário: 
a) Ganhar entre $ 1000,00 e $ 1 600,00? 
b) Ganhar acima de $ 1 500,00? 
c) Ganhar acima de $ 1 400,00? 
d) Ganhar abaixo de $ 1 400,00? 
e) Ganhar acima de $ 1 650,00? (0,383; 0,0,5; 0,6915; 0,3085; 0,2266) 
21. Os pesos de 500 malas são normalmente distribuídos com média 66,2 kg e desvio padrão 
de 4,3 kg. Determine o número de malas que pesam: 
a) Menos que 66,2 kg 
b) Entre 63 e 68 kg 
c) Menos de 70 kg 
d) Mais de 60 kg (250, 217, 405, 463). 
22. Um avião de oito lugares executa vôos turísticos ecológicos de uma cidade para uma ilha. 
O avião pode levar carga útil de 650 kg. Supondo que os passageiros têm peso médio de 
600 kg e desvio padrão de 80 kg, e que o peso é normalmente distribuído, qual a 
probabilidade de: 
a) O peso dos oito passageiros estar entre 550 e 680 kg? 
b) Haver sobrecarga se o piloto não pesar os oito passageiros? 
c) Que o piloto tenha de tirar menos de 50 kg de gasolina para evitar sobrecarga? 
(0,8112; P(X>650=0,2676; 650<P(X)< 700=0,162) 
23. As alturas dos jovens de um acampamento são normalmente distribuídas com média de 
1,70 m e desvio padrão de 0,30 m. Os jovens deverão participar de diversas atividades 
esportivas. Para estabelecer as equipes, encontre a probabilidade de um jovem medir: 
a) Entre 1,58 e 1,85m 
b) Mais de 1,75 m 
c) Menos de 1,60m 
d) Mais de 1,90 m (0,3469; 0,4325; 0,3707; 0,2514) 
24. Sabe-se que uma variável aleatória normalmente distribuída tem por média 88,5 e por 
desvio padrão 6,4. Determinar a probabilidade dessa variável situar-se: 
a) No intervalo entre 88,5 e 98 (0,4306) 
b) No intervalo entre 80 e 98 (0,4082) 
 山村 
 29 
c) No intervalo entre 94,5 e 100 (0,1407) 
d) No intervalo entre 94,5 ou mais (0,1736) 
e) Acima de 95 (0,1379) 
f) Abaixo de 90 (0,5636) 
g) Classifique em percentis os que conseguiram 85; 88,5; 98 e 100 (93; 97). 
h) Para se conseguir classificação no percentil 99, qual será o número de pontos 
necessários(113,4) 
25. Uma empresa usa anualmente milhares de lâmpadas elétricas, que permanecem acesas 
continuamente, dia e noite. A vida de uma lâmpada pode ser considerada uma v. a. 
normal, com média de 50 dias e d. p. de 15 dias. Em 1o de janeiro a companhia instalou 8 
000 lâmpadas novas. Aproximadamente quantas deverão ser substituídas até 1o de 
fevereiro?(0,0918, 734) 
26. Os depósitos mensais na caderneta de poupança têm distribuição normal com média igual 
a $ 500 e desvio padrão $ 150. Se um depositante realizar um depósito, pede-se calcular a 
probabilidade de que esse depósito seja: a) igual ou menor que $ 650 (84,13%) b) igual ou 
maior que 650 (15,87%); c) seja um valor entre $250 e $650 (79,36%) 
27. As vendas mensais dos últimos 50 meses apresenta uma média de $ 500 mil com desvio 
padrão igual a $ 80 mil. Se a empresa estabeleceu uma meta de vendas para o próximo 
mês de $ 550 mil, pede-se calcular, considerando que os dados históricos se repetem no 
futuro: a) a probabilidade de ficarabaixo da meta (73,40%); b) a probabilidade de superar 
a meta (26,60%) c) a probabilidade de que as vendas se situem entre 80% e 110% da 
média (62,84%) 
28. Dado que uma população com média 25 e desvio padrão 2 tem distribuição normal, 
determine os valores de z para os seguintes valores da população : 
a) 23,0 (-1) b) 23,5 (-0,75) c) 24,0 (-0,5) d) 25,2 (0,1) 
Uma população normal tem média 40 e desvio padrão 3. Determine os valores 
correspondentes aos seguintes valores de z: 
a) 0,10 (40,3) b) 2,00 (46) c) 0,75 (42,25) d) -2,53 (32,41) 
 
 山村 
 30 
EXERCÍCIOS GERAIS 
 
1. Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de: 
a) dar 5 caras; (0,22) 
b) pelo menos uma cara; (0,996) 
c) no máximo duas caras; (0,14) 
d) calcular a média e o desvio padrão (4; 2 ) n= 8, p=0,5, q=0,5) 
2. Em média há 2 chamadas por hora num certo telefone. Calcular a probabilidade de se 
receber no máximo 3 chamadas em duas horas e a probabilidade de nenhuma chamada em 
90 minutos.(0,0183, 0,0732, 0,1464, 0,1952=0,4332; 0,0498) 
3. Admitindo-se que os nascimentos de meninos e meninas sejam iguais, calcular a 
probabilidade de um casal com 6 filhos ter 4 filhos homens e 2 mulheres.(15/64) 
4. Em 320 famílias com 4 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem: 
a) nenhuma menina; 
b) 3 meninos; 
c) 4 meninos (20, 80. 20) 
5. Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 5 partidas, 
calcule a probabilidade de: 
a) vencer exatamente 3 partidas; 
b) vencer ao menos uma partida; 
c) vencer mais da metade das partidas. (80/243; 242/243;64/81) 
6. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a 
probabilidade de: 
a) acertar exatamente 2 tiros; 
b) não acertar nenhum tiro.(80/243; 64/739) 
7. Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas, havia em média um 
estouro de pneu a cada 5 000 km. 
a) qual a probabilidade que num teste de 3 000 km haja no máximo um pneu 
estourado; 
b) qual a probabilidade de que um carro ande 8 000 km sem estourar nenhum pneu 
(0,8784;0,2020) 
8. Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcular a probabilidade 
de: 
a) receber 4 chamadas num dia; 
b) receber 3 ou mais chamadas num dia (0,168; 0,5767) 
9. A média de chamadas telefônicas em uma hora é 3. Qual a probabilidade de: 
a) receber exatamente 3 chamadas numa hora; 
b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos.(0,2241;0,658) 
10. Suponha que haja uma média de 2 acidentes de trabalho graves por ano numa população 
de 50 000. Em uma cidade de 100 000 habitantes, encontre a probabilidade de que em 
dado ano tenha havido: 
a) 0, 
b) l, 
c) 2, 
d) 2 ou mais acidentes graves.(0,0183, 0,0732, 0,1464, 0,9085) 
11. Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. 
Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha: 
a) nenhum erro, 
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 31 
b) exatamente 2 erros. (0,449; 0,1437) 
12. Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora: 
a) atender exatamente 2 clientes, 
b) atender 3 clientes. (0,270; 0,180) 
13. A duração de um certo componente eletrônico tem média 850 dias e desvio padrão 45 
dias. Calcule a probabilidade desse componente durar: 
a) entre 700 e 1 000 dias, 
b) mais que 800 dias, 
c) menos que 750 dias, 
d) exatamente 1 000 dias. 
e) Qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor no 
máximo 5% dos componentes ?(1, 0.8665,0.0132, 0, 776 dias) 
14. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio 
padrão de 5,5 kg. Encontre o número de alunos que pesam: 
a) entre 60 e 70 kg, 
b) mais que 63,2 kg (380, 389) 
15. Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídos com média 73 e 
desvio padrão 15. 15% dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% dos mais 
atrasados recebem a nota F. Encontre o mínimo para receber A e o mínimo para passar, 
não receber F (88.6, 55) 
16. Uma fábrica de pneus fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele 
obedecia a uma distribuição normal, de média 48 000 km e desvio padrão 2 000 km. 
Calcule a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso: 
a) durar mais que 46 000 km, 
b) dure entre 45 000 e 50 000 km. (0.8413, 0.7745) 
17. Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores a 
19. Encontrar a média e a variância da distribuição. (29.03, 73.44) 
18. A altura dos homens americanos segue uma distribuição aproximadamente normal com 
média µ = 69 polegadas e desvio padrão σ = 3 polegadas. Qual a probabilidade de um 
homem selecionado aleatoriamente Ter altura superior a 75 polegadas? ( 0,0228 ) 
19. Uma firma produz ferrolhos cujos comprimentos têm distribuição normal com µ= 78,3 
mm e σ = 1,4 mm. Se qualquer ferrolho com mais de 80 mm de comprimento deve ser 
rejeitado, qual a proporção da produção perdida? (0,1131) 
20. As notas de um teste de aptidão tem distribuição normal com média µ = 60 e desvio 
padrão σ = 20. Que proporção das notas 
a) excede 85 (0,1056) 
b) está abaixo de 50; (0,3085) 
21. Os resultados de um exame nacional para estudantes recém formados apresentaram uma média µ 
= 500 com desvio padrão σ = 100. Os resultados têm uma distribuição aproximadamente normal. 
Qual a probabilidade de que o grau de um indivíduo escolhido aleatoriamente esteja: 
a) entre 500 e 650 (0,4332) 
b) entre 450 e 600 (0,5328) 
c) inferior a 300 (0,0228) 
d) superior a 650 (0,0668) 
22. A vida útil de uma certa máquina de pneus radiais tem uma distribuição normal com µ= 38.000 
km e σ= 3.000 km. Qual a probabilidade de um pneu escolhido aleatoriamente tenha uma vida útil 
de: 
a) no mínimo 35 000 (0,8413) 
b) mais do que 45 000 (0,0099) 
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 32 
23. Um comerciante encomenda 500 dos pneus acima descritos para revendê-los. Qual a quantidade 
aproximada de pneus que terá uma vida: 
a) entre 40 000 e 45 000 km (121) 
b) 40 000 km ou mais (126) 
24. Segundo as condições específicas do ex 6,dentro de que período de tempo os 20% de 
pessoas que realizam as transações mais rápidas terminam seus negócios no guichê.(92 s) 
25. Em uma distribuição normal, 29,12% dos elementos são superiores a 38 e 12,71% 
inferiores a 23. Encontrar a média e a variância da distribuição. (33,l; 8,9) 
 山村 
 33 
5.4 APROXIMAÇÃO PELA NORMAL DAS PROBABILIDADES BINOMIAIS 
 
 
Sempre que n 30, e tanto np 5 como nq 5 ≥ ≥ ≥
A média e o desvio padrão se baseiam em np=µ npq=σ 
 
APROXIMAÇÃO PELA NORMAL DAS PROBABILIDADES DE POISSON 
 
Sempre que 10≥λ
A média e o desvio padrão da distribuição normal de probabilidades baseiam se em
 e λµ = λσ = 
 
CORREÇÃO DE CONTINUIDADE 
 
a) Subtrair 0.5 de X quando é solicitada P(X X≥ i ) 
b) Subtrair 0.5 de X quando é solicitada P(X < Xi ) 
c) Adicionar 0.5 de X quando é solicitada P(X≤ Xi) 
d) Adicionar 0.5 de X quando é solicitada P(X > Xi) 
 
 
Exercícios: 
 
1. Para um grande número de clientes potenciais, sabe-se que 20% dos contatados 
pessoalmente por agentes de vendas realizarão uma compra. Se um representante visita 30 
clientes potenciais, determine a probabilidade de que 10 ou mais farão a compra. (0,0548) 
2. Um departamento de consertos de máquinas recebe, em média, 10 chamadas em cada 
período de 8 horas. Determine a probabilidade de que mais do que 15 chamadas serão 
recebidas em um período de 8 horas aleatoriamente escolhido. (0,0409) 
3. Sabe-se que 70% das pessoas que entram em um centro comercial realizam pelo menos 
uma compra. Para uma amostra de n = 50 pessoas, qual a probabilidade de que no mínimo 
40 pessoas façam, cada uma, uma ou mais compras? (0,0823) 
4. Qual a probabilidade, de que menos que 30 das 50 pessoas amostradas realizem pelo 
menos umacompra, referida ao ex 3? (0,0446) 
5. Sabe-se que os pedidos de serviço chegam aleatoriamente numa média de 5 por hora. Qual 
a probabilidade de que sejam recebidas mais de 50 pedidos em um período de 8 horas? 
(0,0485) 
6. Qual a probabilidade de que cheguem 35 pedidos ou menos durante um período de 8 
horas, referida ao ex.5? (0,2388) 
7. A proporção de motores defeituosos numa linha de montagem é 0,10 e uma amostra de 
200 motores é incluída em um carregamento particular. Qual a probabilidade de que pelo 
menos 30 dos 200 motores sejam defeituosos? (0,0125) 
8. Em média 0,5 clientes por minuto chegam a um balcão. Qual a probabilidade de que em 
um intervalo de meia hora, cheguem ao balcão mais do que 20 clientes? (0,0778) 
9. Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com confiabilidade de 
0,95 (probabilidade de funcionamento do componente durante um certo período de 
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 34 
tempo). Se esses componentes funcionam independentemente um do outro e se o sistema 
completo funciona adequadamente quando pelo menos 80 componentes funcionam, qual a 
confiabilidade do sistema? (0,9941) 
10. Os resultados de um exame nacional para estudantes recém formados apresentaram uma 
média µ = 500 com desvio padrão σ = 100. Os resultados têm uma distribuição 
aproximadamente normal. Qual a probabilidade de que o grau de um indivíduo escolhido 
aleatoriamente esteja: 
a) entre 500 e 650 (0,4332), 
b) entre 450 e 600 (0,5328), 
c) inferior a 300 (0,0228), 
d) superior a 650 (0,0668) 
11. A vida útil de uma certa máquina de pneus radiais tem uma distribuição normal com µ = 
38.000 km e σ = 3.000 km. Qual a probabilidade de um pneu escolhido aleatoriamente 
tenha uma vida útil de: 
a) no mínimo 35.000 (0,8413) 
b) mais do que 45.000 (0,0099) 
12. Um comerciante encomenda 500 dos pneus acima descritos para revendê-los. Qual a 
quantidade aproximada de pneus que terá uma vida: 
a) entre 40.000 e 45.000 km (121) 
b) 40.000 km ou mais (126) 
13. O tempo necessário para o atendimento de uma pessoa em um guichê de um banco tem 
distribuição aproximadamente normal com µ = 130 s e σ = 45 s. Qual a probabilidade de 
que um indivíduo aleatoriamente selecionado: 
a) requeira menos que 100 segundos para terminar suas transações (0,2514) 
b) gaste entre 2 e 3 minutos no guichê (0,4536) 
14. Segundo as condições específicas do ex 6, 
a) dentro de que período de tempo os 20% de pessoas que realizam as transações 
mais rápidas terminam seus negócios no guichê.(92 s), 
b) Qual é o tempo mínimo necessário para os 5% de indivíduos com as transações 
mais complicadas (204 s) 
15. Para os vários milhares de artigos estocados por uma firma que atende encomendas 
postais, há uma probabilidade de 0,08 de que um artigo em particular (incluindo 
especificações de tamanho e cor) esteja esgotado. Se uma encomenda engloba pedidos de 
120 itens diferentes, qual a probabilidade de que: 
a) 15 ou mais artigos estejam esgotados? (0,0495), 
b) estarem esgotados entre 10 e 15 artigos inclusives? (0,4887) 
16. Entre as 16 e as 18 horas, período de maior movimento em um posto de gasolina, entra no 
posto, em média, um carro a cada 3 minutos. 
a) Qual a probabilidade de que pelo menos 25 automóveis entrem no posto entre as 
16 e 17 horas? (0,1562), 
b) menos do que 30 automóveis entrem no posto entre as 16 e 18 horas de um dia 
aleatoriamente escolhido (0,0485) 
17. A proporção de motores defeituosos numa linha de montagem é 0,10 e uma amostra de 
200 motores é incluída em um carregamento particular. Qual a probabilidade de que pelo 
menos 30 dos 200 motores sejam defeituosos? (0,0125) 
18. Em média 0,5 clientes por minuto chegam a um balcão. Qual a probabilidade de que em um 
intervalo de meia hora, cheguem ao balcão mais do que 20 clientes? (0,0778) 
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 35 
19. Atualmente, cerca de dois terços das companhias americanas fazem teste do uso de drogas em 
empregados recém-admitidos, e os resultados do teste em 3,8% dos empregados dão positivo (com 
base em dados da American Management Association). Uma companhia testa 150 candidatos a 
emprego e constata que, em 10 deles, o teste foi positivo. Estime a probabilidade de 10 ou mais 
resultados positivos em 150 candidatos. Com base nesse valor, os 10 resultados parecem uma cifra 
elevada? (0,0526, não) 
20. Um hospital necessita de 177 doadores de sangue do grupo O. Se 400 voluntários doam sangue, 
estime a probabilidade de haja pelo menos 177 com sangue desse grupo, sabendo-se que quarenta 
e cinco por cento da população de onde vieram esses voluntários têm sangue do grupo O. (0,6368) 
 
 山村 
 36 
6 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA ( analítica) : Distribuição de Amostragem 
 
 
A inferência estatística é o processo que consiste em utilizar informações colhidas da 
observação de uma amostra, para estimar características da população da qual se extraiu a 
amostra. Uma estatística é um valor calculado com base em valores observados de uma 
amostra. A estimação é um processo que consiste em avaliar os parâmetros de uma 
distribuição através dos estimadores obtidos em uma amostra, com base no cálculo de 
probabilidades. Um estimador é uma estatística utilizada para estimar o valor de uma 
grandeza desconhecida de uma população. A qualidade de uma estimação depende 
basicamente da representatividade da amostra(consiste na capacidade de reproduzir as 
características importantes da população) 
 
 
DIMENSIONAMENTO DA AMOSTRA 
 
Procedimento: 
1. Analise o questionário, ou roteiro da entrevista e escolha a(s) variável(eis) que julgue mais 
importante para o estudo. 
2. Verifique o nível de mensuração da variável: se nominal, ordinal ou intervalar. 
3. Considere o tamanho da população: infinita ou finita. 
4. Determine o tamanho da amostra (n), se a variável for intervalar e a população for 
considerada infinita, por: z = abscissa da curva normal padrão, fixado um nível de 
confiança z = 2, se o nível for 95,5% 
n =
2


 d
zσ z = 1,96 se o nível for 95% 
z = 2,57 se o nível for 99%. 
Usualmente z = 2 = desvio padrão da população, expresso na unidade variável, 
determinado por: especificações técnicas, ou referendando o valor de estudos semelhantes, ou 
fazendo conjeturas sobre possíveis valores. 
σ
d = erro amostral, expresso na unidade da variável. É a máxima diferença que o investigador 
admite suportar entre a (desconhecido) e µ X (média amostral). 
 
 VARIÁVEL INTERVALAR E POPULAÇÃO FINITA 
n = 222
22
)1( σ
σ
zNd
Nz
+− N = tamanho da população 
1. Um estudo do peso de certa peça retirado de uma população infinita, tem σ = 
10 kg. Admitindo-se um nível de confiança de 95,5% e um erro amostral de 
1,5 kg, determinar o tamanho da amostra. (178) 
2. Admita os mesmos dados e que a população seja finita de 600 peças. (138) 
 
COMPOSIÇÃO DA AMOSTRA 
1. Métodos probabilísticos: amostragem aleatória simples, amostragem sistemática, 
amostragem estratificada, amostragem por conglomerados (agrupamentos) 
2. Método intencional: amostragem acidental, intencional, por quotas. 
 
 
 山村 
 37 
ESTIMAÇÃO POR PONTO 
 
Por causa de fatores como tempo e custo, os parâmetros de uma população são 
freqüentemente estimados com base em estatísticas de amostra. 
Por outras palavras, estimador é a quantidade, calculada em função dos elementos da 
amostra, que será utilizada no processo de estimação do parâmetro desejado. 
 
Estimadores por ponto freqüentemente utilizados 
Parâmetro populacional Estimador 
Média, µ 
Diferença entre duas médias, µ1-µ2 
Proporção, π 
Diferença entre duas proporções, π1-π2 
Desvio padrão, σ 
 X 
 21 XX − 
 p 
21 pp − 
*s (correção de continuidade 
incluída) 
Se não estiver incluída, o estimador apropriado seria s
1−n
n 
As qualidades que deve ter um estimador θ são: