Cálculo Dif e Int I volume de sólidos 2012

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Volume de um sólido de revolução, obtido pela rotação em 
torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A. 
Seja f uma função contínua num intervalo , sendo para todo x, tal que 
. Consideremos o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas 
x=a e x=b: 
 
Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x. 
 
Considerando uma partição P do intervalo: , tal que , 
seja: 
onde para todo i, , que é uma soma de 
Riemann para a função , relativa à partição P 
do intervalo . 
Definimos o volume do sólido B como sendo: 
 
. 
É preciso observar que cada secção transversal do sólido B, obtida a partir de x, 
é um círculo centrado no ponto e raio f(x) e, portanto, cuja área é . 
 UVA Cálculo Diferencial e Integral I Profª Cinira Fernandes 
 2012 
Rodrigo
Rectangle
Exercícios: 
1) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada 
pelo gráfico de , pelo eixo x, e as retas x=0 e , 
 
 
 
2) Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para 
, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o 
volume dos dois sólidos gerados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volume de um sólido pelo método dos invólucros cilíndricos. 
Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas. 
 
 
O volume de cada uma das cascas é dado por: 
 
Vi – volume interno Ve = volume externo 
 
 
 
Seja f uma função contínua num intervalo , com . Consideremos o 
conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x=a e x=b. Suponhamos que 
a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular. 
 
 
 
Observemos as cascas cilíndricas compondo o sólido gerado: 
 
 
Por esse processo, o volume do sólido composto das cascas cilíndricas é dado por: 
 
onde indica o raio de cada invólucro e indica sua altura. 
3) Através do método dos invólucros cilíndricos encontre o volume do sólido 
gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de 
, para , ao redor do eixo y. 
 O sólido é gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o 
gráfico de , para , ao redor do eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida 
entre os gráficos de e , para , ao redor do eixo y. 
 
 
 
5) Considere a região delimitada por , o eixo x e as retas x=−a e 
x=a , sendo girada ao redor do eixo x. O sólido originado é uma esfera de raio 
a. Mostre que seu volume é . 
 
A região delimitada por , o eixo x e as retas x=-a e x=a, é girada 
ao redor do eixo x. O sólido originado é uma esfera de raio a. 
 
 
 
 
 
6) Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação ao redor do 
eixo x da região compreendida pelo gráfico de e , no 
intervalo . 
Calcule também o volume do sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do 
eixo y. 
Resp: 95 pi/24 , para “x” para “y” 
 
 
 
 
7) Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a função 
y = f(x) = x3, no intervalo [1,2], em relação ao eixo x. 
Resp. 56,99 u.v. 
8) Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4]. 
Resp. 25,13 u.v. 
 
9) Calcular o volume formado pela rotação da região entre: y = x2 e y= x + 2. 
Resp. 45, 
 
 
 
10) Achar o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do eixo x = 
6. R é limitada pelos gráficos de y2 = 4x e x = 4. 
Resp. 482,55u.v.