Aula 03 Armadura Dupla

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Vigas de Concreto Armado II-1
5.1.3) Sec¸o˜es Retangulares com Armadura Dupla
1. Equac¸o˜es Gerais
A a´rea comprimida da sec¸a˜o e´ dada pela relac¸a˜o A
′
c = bwy.
A tensa˜o de compressa˜o no concreto e´ dada por σcd = 0, 85fcd, e a correspondente
resultante de compressa˜o e´ Rcc.
Da mesma forma, a tensa˜o de trac¸a˜o no ac¸o e´ dada por σsd, e a correspondente
resultante de trac¸a˜o e´ Rst.
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Ao se dimensionar as armaduras para uma sec¸a˜o, 3 possibilidades podem ocorrer:
kx ≤ kxlim → Sec¸o˜es Normalmente– ou Sub–Armadas ⇒ Armadura Simples
kx > kxlim
kx = N
oComplexo
}
→ Sec¸o˜es Super–Armadas ⇒ Armadura Dupla
Para se evitar as sec¸o˜es Super–Armadas, normalmente empregam-se Armaduras
Duplas, ou seja, utiliza-se armadura na regia˜o de compressa˜o tambe´m.
Assim, quando ocorre kx > kxlim ou kx = N
oComplexo, procede-se da seguinte maneira:
1. adota-se o valor limite para kx, ou seja, faz-se kx = kxlim;
2. com kxlim calculam-se os valores correspondentes de k6, agora denominado k6lim,
e k3, agora denominado k3lim;
k6lim =
1, 96
fck kxlim (0, 68− 0, 272 kxlim)
(1)
k3lim =
1, 4
fyd (1, 0− 0, 4 kxlim)
(2)
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3. com esse valor de k6lim calcula-se o correspondente valor de Mklim;
Mklim =
1,4
γc
bw d
2
γc
1,4 k6lim
(3)
4. e obte´m-se a 1a parcela da armadura de trac¸a˜o;
As1 = k3lim
γf
1,4
Mklim
d (4)
5. a parcela do M.F. (momento fletor) Mk na˜o resistida por As1 e´ dada por
∆Mk = Mk −Mklim (5)
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6. essa parcela de M.F. sera´ resistida:
– pela 2a parcela da armadura de trac¸a˜o:
As2 =
γf ∆Mk
fyd (d−d ′) (6)
– pela armadura de compressa˜o:
As
′
=
γf ∆Mk
σ
′
sd (d−d ′)
(7)
A tabela, a seguir, apresenta as tenso˜es ma´ximas de compressa˜o σ
′
sd para os ac¸os
CA-25 e CA-50.
Ac¸o σ
′
sd (tf/cm
2)
CA–25 2,17
CA–50 4,35
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A combinac¸a˜o dessas armaduras resulta uma sec¸a˜o normalmente armada
(kx = kxlim) com armadura dupla capaz de resistir, com seguranc¸a, ao momento
fletor Mk.
E as armaduras finais na sec¸a˜o sera˜o:
– Armadura de trac¸a˜o: As = As1 + As2
– Armadura de compressa˜o: A
′
s
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Exemplos:
1. Calcule a armadura As de trac¸a˜o para uma sec¸a˜o sujeita ao momento fletor
positivo de 414, 00 tf.cm, sendo conhecidos: γc = γf = 1, 4, fck = 200 kgf/cm
2, ac¸o
CA-50; a sec¸a˜ tem dimenso˜es bw = 0, 20 m e h = 0, 40 m com o cobrimento da
armadura igual a 2, 0 cm.
Soluc¸a˜o: → considera–se a altura u´til como
d = h− cobrimento = 40− 2 = 38 cm
→ Para ac¸o CA-50 fyd = 4, 35 tf/cm2 e kxlim = 0, 6284
10 PASSO Ca´lculo do coeficiente k6:
k6 =
(1, 4/γc) bw d
2
(γf/1, 4) Mk
=
(1, 4/1, 4) x 20 x 382
(1, 4/1, 4) x 414
= 69, 7585 cm2/tf
20 PASSO Ca´lculo do coeficiente kx:
kx = 1, 25−
√
1, 5625− 7, 2059
k6 fck
= 1, 25−
√
1, 5625− 7, 2059
69, 7585 x 0, 200
= 0, 2273
Como kx = 0, 2273 < kxlim = 0, 6284 =⇒ Armadura Simples!!!
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30 PASSO Ca´lculo do coeficiente k3:
k3 =
1, 4
fyd (1− 0, 4 kx) =
1, 4
4, 35 (1− 0, 4x0, 2273) = 0, 3540 cm
2/tf
40 PASSO Ca´lculo da armadura As:
As = k3 (
γf
1, 4
) (
Mk
d
) = 0, 3540 (
1, 4
1, 4
) (
414, 00
38
) = 3, 8567 cm2
Duas verificac¸o˜es necessariamente teˆm que ser realizadas:
1. Armadura mı´nima
Asmin = ρmin Ac = 0, 150% x (20 x 40) = 1, 20 cm
2
Como Asmin < As (a armadura calculada), a armadura
total na sec¸a˜o sera´:
AsTOTAL = As + Asmin
= 5, 0567 cm2
2. Armadura ma´xima
Asmax = 4% Ac = 4% x (20 x 40) = 32, 00 cm
2
Como AsTOTAL < Asmax as armaduras empregadas na sec¸a˜o sa˜o aquelas calculadas e
representadas na figura esquema´tica ao lado.
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Exemplos:
2. Calcule as armaduras longitudinais para uma sec¸a˜o sujeita ao momento fletor
positivo de 414, 00 tf.cm, sendo conhecidos: γc = γf = 1, 4, fck = 200 kgf/cm
2, ac¸o
CA-50; a sec¸a˜ tem dimenso˜es bw = 0, 20 m e h = 0, 25 m com o cobrimento da
armadura igual a 2, 0 cm.
Soluc¸a˜o: → considera–se a altura u´til como
d = h− cobrimento = 25− 2 = 23 cm e d ′ = c(cobrimento) = 2 cm
→ Para ac¸o CA-50 fyd = σ′sd = 4, 35 tf/cm2 e kxlim = 0, 6284
10 PASSO Ca´lculo do coeficiente k6:
k6 =
(1, 4/γc) bw d
2
(γf/1, 4) Mk
=
(1, 4/1, 4) x 20 x 232
(1, 4/1, 4) x 414
= 25, 5556 cm2/tf
20 PASSO Ca´lculo do coeficiente kx:
kx = 1, 25−
√
1, 5625− 7, 2059
k6 fck
= 1, 25−
√
1, 5625− 7, 2059
25, 5556 x 0, 200
= 0,8593
Como kx = 0, 8593 > kxlim = 0, 6284 =⇒ Armadura Dupla!!!
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Assim, adota-se o valor limite para kx, ou seja, faz-se kx = kxlim = 0, 6284 e
calculam-se os valores correspondentes de k6, agora denominado k6lim, e k3, agora
denominado k3lim:
k6lim =
1, 96
fck kxlim (0, 68− 0, 272 kxlim)
=
1, 96
0, 200x0, 6284x(0, 68− 0, 272x0, 6284) = 30, 6343 cm
2/tf
k3lim =
1, 4
fyd (1, 0− 0, 4 kxlim)
=
1, 4
4, 35 (1− 0, 4x0, 6284) = 0, 4299 cm
2/tf
30 PASSO Com o valor de k6lim calcula-se o correspondente valor de Mklim:
Mklim =
(1, 4/γc) bw d
2
(γf/1, 4) k6lim
=
(1, 4/1, 4) x 20 x 232
(1, 4/1, 4) x 30, 6343
= 345, 3646 tf.cm
40 PASSO E obte´m-se a primeira parcela da armadura de trac¸a˜o As1:
As1 = k3lim (
γf
1, 4
) (
Mklim
d
) = 0, 4299 (
1, 4
1, 4
) (
345, 3646
23
) = 6, 4554 cm2
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50 PASSO A parcela do M.F. Mk na˜o resistida por As1 e´ dada por:
∆Mk = Mk −Mklim = 414, 0000− 345, 3646 = 68, 6354 tf.cm
60 PASSO Essa parcela de M.F. sera´ resistida
– pela segunda parcela da armadura de trac¸a˜o:
As2 =
γf ∆Mk
fyd (d− d ′) =
1, 4 x 68, 6354
4, 35 (23− 2) = 1, 0519 cm
2
– pela armadura de compressa˜o:
As
′
=
γf ∆Mk
σ
′
sd (d− d ′)
=
1, 4 x 68, 6354
4, 35 (23− 2) = 1, 0519 cm
2
E as armaduras finais na sec¸a˜o sera˜o:
– Armadura de trac¸a˜o: As = As1 + As2 = 7, 5063 cm
2
– Armadura de compressa˜o: A
′
s = 1, 0519 cm
2
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Duas verificac¸o˜es necessariamente teˆm que ser realizadas:
1. Armadura mı´nima
Asmin = ρmin Ac = 0, 150% x (20 x 25) = 0, 75 cm
2
Como As e A
′
s sa˜o maiores que Asmin, enta˜o
essas armaduras sera˜o usadas na sec¸a˜o.
A armadura total na sec¸a˜o sera´:
AsTOTAL = As + A
′
s
= 7, 5073 + 1, 0519
= 8, 5592 cm2
2. Armadura ma´xima
Asmax = 4% Ac = 4% x (20 x 25) = 20, 00 cm
2
Como AsTOTAL < Asmax as armaduras empregadas na sec¸a˜o sa˜o aquelas calculadas e
representadas na figura esquema´tica ao lado.
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Exemplos:
3. Calcule as armaduras longitudinais para uma sec¸a˜o sujeita ao momento fletor
positivo de 1 260, 00 tf.cm, sendo conhecidos: γc = γf = 1, 4, fck = 200 kgf/cm
2, ac¸o
CA-50; a sec¸a˜ tem dimenso˜es bw = 0, 20 m e h = 0, 40 m com o cobrimento da
armadura igual a 2, 0 cm.
Soluc¸a˜o: → considera–se a altura u´til como
d = h− cobrimento = 40− 2 = 38 cm e d ′ = c(cobrimento) = 2 cm
→ Para ac¸o CA-50 fyd = σ′sd = 4, 35 tf/cm2 e kxlim = 0, 6284
10 PASSO Ca´lculo do coeficientek6:
k6 =
(1, 4/γc) bw d
2
(γf/1, 4) Mk
=
(1, 4/1, 4) x 20 x 382
(1, 4/1, 4) x 1260
= 22, 9207 cm2/tf
20 PASSO Ca´lculo do coeficiente kx:
kx = 1, 25−
√
1, 5625− 7, 2059
k6 fck
= 1, 25−
√
1, 5625− 7, 2059
22, 9207 x 0, 200
= Nu´mero Complexo
Como kx = Nu´mero Complexo =⇒ Armadura Dupla!!!
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Assim, adota-se o valor limite para kx, ou seja, faz-se kx = kxlim = 0, 6284 e
calculam-se os valores correspondentes de k6, agora denominado k6lim, e k3, agora
denominado k3lim:
k6lim =
1, 96
fck kxlim (0, 68− 0, 272 kxlim)
=
1, 96
0, 200x0, 6284x(0, 68− 0, 272x0, 6284) = 30, 6343 cm
2/tf
k3lim =
1, 4
fyd (1, 0− 0, 4 kxlim)
=
1, 4
4, 35 (1− 0, 4x0, 6284) = 0, 4299 cm
2/tf
30 PASSO Com o valor de k6lim calcula-se o correspondente valor de Mklim:
Mklim =
(1, 4/γc) bw d
2
(γf/1, 4) k6lim
=
(1, 4/1, 4) x 20 x 382
(1, 4/1, 4) x 30, 6343
= 942, 7342 tf.cm
40 PASSO E obte´m-se a primeira parcela da armadura de trac¸a˜o As1:
As1 = k3lim (
γf
1, 4
) (
Mklim
d
) = 0, 4299 (
1, 4
1, 4
) (
942, 7342
38
) = 10, 6654 cm2
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50 PASSO A parcela do M.F. Mk na˜o resistida por As1 e´ dada por:
∆Mk = Mk −Mklim = 1260, 0000− 942, 7342 = 317, 2658 tf.cm
60 PASSO Essa parcela de M.F. sera´ resistida
– pela segunda parcela da armadura de trac¸a˜o:
As2 =
γf ∆Mk
fyd (d− d ′) =
1, 4 x 317, 2658
4, 35 (38− 2) = 2, 8364 cm
2
– pela armadura de compressa˜o:
As
′
=
γf ∆Mk
σ
′
sd (d− d ′)
=
1, 4 x 317, 2658
4, 35 (38− 2) = 2, 8364 cm
2
E as armaduras finais na sec¸a˜o sera˜o:
– Armadura de trac¸a˜o: As = As1 + As2 = 13, 5018 cm
2
– Armadura de compressa˜o: A
′
s = 2, 8364 cm
2
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Duas verificac¸o˜es necessariamente teˆm que ser realizadas:
1. Armadura mı´nima
Asmin = ρmin Ac = 0, 150% x (20 x 40) = 1, 20 cm
2
Como As e A
′
s sa˜o maiores que Asmin, enta˜o
essas armaduras sera˜o usadas na sec¸a˜o.
A armadura total na sec¸a˜o sera´:
AsTOTAL = As + A
′
s
= 13, 5018 + 2, 8364
= 16, 3382 cm2
2. Armadura ma´xima
Asmax = 4% Ac = 4% x (20 x 40) = 32, 00 cm
2
Como AsTOTAL < Asmax as armaduras empregadas na sec¸a˜o sa˜o aquelas calculadas e
representadas na figura esquema´tica ao lado.
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Exerc´ıcios:
1. Calcule as armaduras longitudinais para uma sec¸a˜o sujeita ao momento fletor positivo de
4, 50 tf.cm, sendo conhecidos: γc = γf = 1, 4, fck = 200 kgf/cm
2, ac¸o CA-50; a sec¸a˜ tem dimenso˜es
bw = 0, 12 m e h = 0, 30 m com o cobrimento da armadura igual a 1, 5 cm.
2. Calcule as armaduras longitudinais para uma sec¸a˜o sujeita ao momento fletor positivo de
4, 50 tf.cm, sendo conhecidos: γc = γf = 1, 4, fck = 200 kgf/cm
2, ac¸o CA-50; a sec¸a˜ tem dimenso˜es
bw = 0, 14 m e h = 0, 30 m com o cobrimento da armadura igual a 1, 5 cm.
3. Calcule as armaduras longitudinais para a viga da figura, sendo conhecidos: γc = γf = 1, 4,
fck = 300 kgf/cm
2, ac¸o CA-50; a sec¸a˜ tem dimenso˜es bw = 0, 20 m e h = 0, 50 m com o cobrimento
da armadura igual a 2, 5 cm; tambe´m a = c = 2, 0 m e b = 6, 0 m; a carga distribu´ıda q = 10, 0 tf/m
ja´ inclui o peso pro´prio da viga.
Figura 1: Exerc´ıcio 3
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