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A Equação de Bernoulli da Hidráulica Conteúdo 1 Introdução 2 2 A Equação de Bernoulli 2 3 Dedução da Equação de Bernoulli 4 4 Formas da Equação de Bernoulli 6 5 Aplicações da Equação de Bernoulli 7 5.1 Descarga de reservatórios pressurizados . . . . . . . . . . . . . 8 5.2 Escoamentos através de restrições . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5.3 Jactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.4 Medição de velocidades e caudais . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.4.1 O Tubo Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.4.2 O Tubo Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Outras aplicações da Equação de Bernoulli 15 7 Conclusões 16 1 31/Agosto/2007 1 Introdução A escolha do tema A Equação de Bernoullipara objecto desta lição deve- se, em primeiro lugar, ao facto de ser um tema da mecânica de uidos com múltiplas, interessantes e importantes aplicações na Engenharia. Como se sabe, a Equação de Bernoulli é utilizada para, entre outras apli- cações em hidráulica, quanti car velocidades de escoamentos estacionários de descarga de reservatórios, estimar a velocidade de uma escoamento através duma restrição à sua passagem e medir velocidades de escoamentos e os cor- respondentes caudais. A aplicação da Equação de Bernoulli está portanto presente quer nas operações de previsão feitas pelo Engenheiro, quer nas correspondentes operações de veri cação e experimentação em geral. As- pectos estes que constituem as duas faces do mundo em que um Engenheiro se movimenta. Por outro lado, a maquinaria matemáticae física, necessária para justi- car o enunciado da Equação de Bernoulli, é adequada ao nível de um aluno do m do primeiro ano, princípio do segundo ano de um curso de Engenharia, possibilitando a ilustração da aplicação de conceitos de cálculo vectorial e de física de uma forma integrada, obtendo um resultado de utilidade evidente para aluno. Acresce que ao nível das aplicações a Equação de Bernoulli oferece-nos facilmente, alguns resultados, já conhecidos do aluno e obtidos aplicando outras metodologias. Ora, estes factos constituem elementos ex- tremamente motivadores da aprendizagem. 2 A Equação de Bernoulli Daniel Bernoulli foi um físico e matemático Suíço do século XVIII. Oriundo de uma notável família ligada à Ciência particularmente à matemática1 nasceu em 1700 e investigou, entre muitos outros assuntos, as forças as- sociadas a um uido em movimento. Desenvolveu a teoria cinética dos gases e foi quem pela primeira vez caracterizou a pressão de um gás através dos choques elásticos, das suas partículas, numa superfície. Viria a estabelecer, em 1738, uma das equações mais utilizadas na mecânica de uidos conhecida por Equação de Bernoulli. A Equação de Bernoulli traduz o princípio de conservação de energia numa mesma linha de corrente num escoamento suposto estacionário, commassa volúmica constante, invíscido, sujeito adicionalmente a forças volúmicas de origem gravítica. 1tais como, Jacob Bernoulli notabilizado pelos seus estudos sobre sucessões e séries e Johan Bernoulli que investigou questões ligadas à teoria da integração. 2 31/Agosto/2007 Lembremos que uma linha de corrente é caracterizada pela tangência do vector velocidade do escoamento em cada um dos seus pontos. Um escoa- mento é dito estacionário quando os parâmetros que o caracterizam, tais como a massa volúmica �, a velocidade V, a pressão p e outros, não de- pendem do tempo. A massa volúmica � diz-se constante se não depender quer do tempo, quer da posição. Um escoamento diz-se invíscido quando a viscosidade � do uido é nula. Nesta última situação o uido diz-se perfeito. O estabelecimento da Equação de Bernoulli tem por base a Equação de Euler � DV Dt = �5 p+ �g (1) a qual representa a Lei Fundamental da Dinâmica, ou Segunda Lei de Newton ma = X Fi (2) aplicada a um uido perfeito (invíscido) sujeito a forças de origem gravítica. Nesta última espressão, m, a e P Fi, representam respectivamente a massa a aceleração e a soma vectorial das forças exteriores aplicadas. Na expressão (1), �, V, p e g representam respectivamente a massa volúmica, a velocidade, a pressão e a aceleração da gravidade. A derivada DV Dt ; no primeiro membro da Equação de Euler, traduz o conceito de derivada material da velocidade DV Dt = @V @t + (V:5)V (3) que desenvolvido evidencia a presença de um termo de aceleração local @V @t e um outro de aceleração convectiva (V:5)V. Este desenvolvimento permite- nos reescrever a equação de Euler na forma � � @V @t + (V:5)V � = �5 p+ �g: (4) Os termos do primeiro membro representam, como já referimos, os termos de aceleração local e aceleração de natureza convectiva das forças volúmicas de inércia. Os termos do segundo membro representam as forças exteriores no elemento de volume, nomeadamente o gradiente da pressão 5p e o peso volúmico �g do elemento de volume. Notemos que �, p são campos escalares e V, g campos vectoriais. O campo de forças gravítico g; é vertical podendo ser representado como g = �kg (5) em que k é o versor unitário orientado no sentido oposto ao do campo em questão. 3 31/Agosto/2007 3 Dedução da Equação de Bernoulli Comecemos por considerar a Figura 1 que representa uma linha de corrente de um escoamento planar. Nesta gura podemos observar a representação z Linha de corrente TN Vector tangente unitárioVector normal unitário TV V= k gr rd q dz dsd Tr = ds dzsin =q q z Linha de corrente TN Vector tangente unitárioVector normal unitário TV V= k gr rd q dz dsd Tr = ds dzsin =q q Figura 1: Linha de corrente. dos vectores unitários tangente T e normal N, à linha de corrente ilustrada assim como o versor k e o campo gravítico g. O comprimento in nitesimal de arco de linha de corrente está denotado por ds. Iremos supor a linha de corrente parametrizada em termos das coordenadas do referencial de nido pelos versores T e N em cada ponto. Nestas circunstâncias poderemos exprimir o vector velocidade V em cada ponto da linha de corrente por V =VTT+ VNN (6) em que VT e VN representam, respectivamente, as correspondentes compo- nente tangencial e normal. Como se sabe, por de nição de linha de corrente, o vector velocidadeV de um escoamento, é tangente a cada um dos pontos da linha de corrente. Desta forma, numa linha de corrente, a component normal VN da velocidade é nula e a componente tangencial é igual ao valor absoluto de V, tornando-se assim possível representar a velocidade do escoamento em cada ponto, por V = VT: (7) Em (7), V = VT ; representa, como já foi referido, o valor absoluto da veloci- dade vectorial V em cada ponto da linha de corrente. Representemos a Equação de Euler (1) em termos das coordenadas asso- ciadas à linha de corrente e na sua direcção. 4 31/Agosto/2007 Comecemos por observar que o primeiro membro da Equação de Euler se reduz a � DV Dt = � � @V @t + V @ (VT) @s � , (8) já que a velocidadeV tem uma componente normal nula na linha de corrente. Notemos que esta última expressão ainda se pode escrever como � DV Dt = � � @V @t + V @ (VT) @s � = � � @V @t + V @V @s T+V 2 @T @s � = � � @V @t + V @V @s T � , (9) já que o termo V 2 @T @s representa uma aceleração normal à linha de corrente. Por outro lado, a componente do gradiente de pressão 5p na direccão tangencial tangencial à linha de corrente reduz-se a (5p)T = @p @s : (10) Quanto à componente tangencial, à linha de corrente, do peso volúmico �g, considerando a Figura 1, facilmente concluimos que (�g)T = �g sin � = �g dz ds : (11) Tendo em conta as expressões (9), (10) e (11) e supondo adicionalmente o escoamentoestacionário, @V @t = 0, a Equação de Euler na direcção da linha de corrente assume a forma �V @V @s = �@p @s � �gdz ds ; (12) isto é, � @ @s � V 2 2 � + @p @s + �g dz ds = 0: (13) Naturalmente se a massa volúmica for constante, obtemos @ @s � � V 2 2 � + @p @s + �g dz ds = (14) @ @s � � V 2 2 + p+ �gz � = 0; (15) 5 31/Agosto/2007 condição esta que só se veri ca quando � V 2 2 + p+ �gz = constante (16) ao longo de uma linha de corrente. Esta última expressão é a Equação de Bernoulli. 4 Formas da Equação de Bernoulli Como foi referido anteriormente, a equação de Bernoulli (16) é válida num linha de corrente de um qualquer escoamento estacionário, invíscido, de massa volúmica constante e sujeito a um campo de forças gravítico. Esta equação estabelece uma relação precisa entre as variáveis velocidade V , pressão p e altura z, que caracterizam este tipo de escoamento ao longo de uma linha de corrente. Note-se que nos termos da Equação de Bernoulli estes parâmetros não podem variar independentemente uns dos outros. A Equação de Bernoulli é apresentada habitualmente numa das seguintes formas equivalentes: � V 2 2 + p+ �gz = constante, (17) V 2 2 + p � + gz = constante, (18) V 2 2g + p �g + z = constante. (19) Na forma correspondente à expressão (17) cada um dos termos do primeiro membro apresenta dimensões de energia por unidade de volume: � o termo �V 2 2 representa a chamada pressão dinâmica do escoamento, ou energia cinética por unidade de volume; � o termo p representa a chamada pressão estática do escoamento; � o termo �gz representa a energia potencial por unidade de vol- ume. À quantidade pT = � V 2 2 + p é habitual chamar pressão total ou pressão de estagnação, isto é, num ponto da mesma linha de corrente em que a velocidade se anula. 6 31/Agosto/2007 Na forma correspondente à expressão (18) a Equação de Bernoulli apre- senta termos com dimensões de energia por unidade de massa. Finalmente na forma (19) os seus termos têm dimensões de comprimento: � o termo V 2 2g designa-se habitualmente por altura cinética; � o termo p �g por altura estática ou piezométrica; � o termo z, simplesmente altura geométrica. De referir que alguns autores designam por altura piezométrica a quan- tidade p �g + z e altura total H, a quantidade H = V 2 2g + p �g + z: 5 Aplicações da Equação de Bernoulli Se bem que na prática não existam uidos perfeitos, emmuitas circunstâncias os efeitos da viscosidade e outros fenómenos dissipativos podem ser despreza- dos na presença dos diferentes termos da Equação de Bernoulli. Na obtenção de resultados através da aplicação da Equação de Bernoulli, o princípio de conservação da massa é habitualmente invocado, daí que se justi que uma breve referência ao mesmo. Sejam A1 e A2 as áreas de duas superfícies de controlo normais às linhas de corrente de um mesmo tubo de corrente num dado escoamento estacionário. Nestas circuntâncias �2A2V2 � �1A1V1 = 0; isto é, a quantidade de massa que por unidade de tempo, se acumula entre as duas secções de controlo, é nula. Se suposermos adicionalmente que a massa volúmica é constante, o princípio de conservação da massa assume a forma A2V2 = A1V1; (20) habitualmente utilizada nas aplicações da Equação de Bernoulli. Seguidamente ilustraremos algumas das aplicações mais usuais da Equação de Bernoulli. 7 31/Agosto/2007 Almofada gasosa Líquido Válvula Linhas de corrente 2 1 h Almofada gasosa Líquido Válvula Linhas de corrente 2 1 h Figura 2: Reservatório pressurizado. 5.1 Descarga de reservatórios pressurizados Muitos uidos são armazenados em reservatórios pressurizados: água para consumo doméstico, gases combustíveis, ar comprimido ou vapor de água em instalações industriais, etc. Normalmente, a descarga destes uidos para regiões com pressões inferiores é regulada por válvulas ou orifícios. A veloci- dade de descarga e consequentemente o correspondente caudal de descarga pode ser determinado com base na Equação de Bernoulli. Consideremos a Figura 2 na qual se pode observar esquematicamente um reservatório pressurizado no interior do qual é mantida uma almofada gasosa a uma pressão p1. Uma válvula no reservatório permite regular a desgarga do líquido na parte inferior do reservatório para uma região a uma pressão inferior p2. O escoamento supõe-se estacionário, invíscido e a massa volúmica constante. A velocidade de descarga V2 através da válvula pode ser estimada recor- rendo à Equação de Bernoulli. Com efeito nas secções 1 e 2 da linha de corrente idealizada V 22 2g + p2 �g + z2 = V 21 2g + p1 �g + z1: (21) Notemos também que em resultado do princípio de conservação da massa (supondo a massa volúmica constante e o escoamento estacionário) V1A1 = V2A2; 8 31/Agosto/2007 em que A1 e A2 representam as áreas das correspondentes secções normais de passagem, V1 � V2 pois A1 � A2: Assim, na equação (5), o termo V 2 1 2g pode ser desprezado na presença do termo V 2 2 2g . Deduz-se sucessivamente V 22 2g = p1 � p2 �g + z1 � z2 ) V2 = s 2 (p1 � p2) � + 2g (z1 � z2): Fazendo h = z1 � z2 a expressão anterior assume a forma V2 = s 2 (p1 � p2) � + 2gh: Naturalmente o caudal volúmico de descarga pode ser caracterizado pela expressão Q = A2V2: 5.2 Escoamentos através de restrições Escoamentos entre reservatórios podem realizar-se através de orifícios de pas- sagem limitadores do caudal, isto é restrições. Veja-se a Figura 3. É possível mostrar, com base na equação de Bernoulli que o escoamento invíscido de um uido através de uma restrição é realizado a uma velocidade que depende da diferença de pressões entre os dois reservatórios. Com efeito, observemos a Figura 18 em que o conjunto de linhas de cor- rente representadas caracteriza um tubo de corrente dum escoamento suposto estacionário, invíscido de massa volúmica constante. Comecemos por notar que como a área da secção de passagem A1 é muito maior do que a área da secção de descarga A2. Assim, em resultado do princípio de conservação da massa, a velocidade V1 será muito menor do que V2, já que (supondo a massa volúmica constante e o escoamento estacionário): V1A1 = V2A2: Por outro lado o escoamento veri ca-se a uma altura geométrica z = constante, donde z1 = z2. Desta forma, na Equação de Bernoulli V 22 2g + p2 �g + z2 = V 21 2g + p1 �g + z1; 9 31/Agosto/2007 1p 2p Linhas de corrente 01 »V 2A 21 AA >> 1p 2p Linhas de corrente 01 »V 2A 21 AA >> Figura 3: Escoamento invíscido através de uma restrição de passagem. poderemos desprezar o termo V 2 1 2g na presença de V 2 2 2g e eliminar z1�z2, obtendo V2 = s 2 (p1 � p2) � . (22) A expressão obtida permite con rmar, como foi a rmado que a velocidade de passagem do uido na restrição depende da diferença de pressão p1 � p2. 5.3 Jactos Um clássico exemplo de escoamento invíscido e estacionário é de um escoa- mento vertical (de água no seio de ar, por exemplo) com uma velocidade de descarga V1 su cientemente baixa. Veja-se a Figura 4. Como se sabe, por efeito da tensão super cial, a coluna de líquido instabiliza e fragmenta-se em gotículas após percorrer uma certa distância. No entanto iremos supor neste exemplo que essa distância não foi ainda percorrida e que o efeito da tensão super cial é insigni cante não afectando a pressão no interior do jacto. Desta forma podermos considerar a pressão estática, nas secções 1 e 2, no interior do jacto relacionadas da seguinte forma: p1 + �argz1 = p2 + �argz2: (23) Consideremos, a Equação de Bernoulli aplicada entre as secções1 e 2: 10 31/Agosto/2007 1 2 ÁguaAr 1V 2V 1p 2p 1z 2z D 1 2 ÁguaAr 1V 2V 1p 2p 1z 2z D Figura 4: Jacto vertical de água. V 22 2g + p2 �g + z2 = V 21 2g + p1 �g + z1: (24) Resolvendo a expressão (24) em ordem a V2 após substituir a expressão (23) nesta última, obtemos V 22 = V 2 1 + 2�arg (z2 � z1) � + 2g (z1 � z2) = V 21 + 2 � 1� �ar � � g (z1 � z2) : (25) Notemos que a massa volúmica do ar �ar é muito menor do que a da água � pois �ar � � 10�3. Assim podemos simpli car a expressão anterior e obter, V2 = q V 21 + 2g (z1 � z2); (26) expressão esta que caracteriza a velocidad V2 do uido na correspondente secção. É interessanter observar que este resultado é o que se obteria apli- cando directamente o princípio de conservação de energia mecânica a uma porção de uido em queda livre: Ec + Ep = constante. 11 31/Agosto/2007 Reforcemos no entanto a ideia de que a simpli cação 1 � � 1� �ar � � , efectu- ada, só é válida quando as massas volúmicas do uido em escoamento e do uido exterior são muito diferentes. Com efeito, se tal não acontecer, tem de se considerar na expressão (25), o factor � 1� �ext � � ; atenuador da aceleração da gravidade g. A título de curiosidade registemos que a utilização adicional do princípio de conservação da massa permite deduzir e quanti car a variação do diâmetro do jacto. Assim, considerando a expressão do referido princípio aplicado às secções 1 e 2 do jacto da Figura 4, suposto, naturalmente constituído pelo escoamento estacionário de um uído com massa volúmica constante, deduz- se: V1 � �D21 4 � = V2 � �D22 4 � ) D2 = D1 r V1 V2 : Donde, tendo em conta (26), D2 = D1 r V1 V2 = D1 s V1p V 21 + 2g (z1 � z2) = D1 � V 21 V 21 + 2g (z1 � z2) � 1 4 : (27) 5.4 Medição de velocidades e caudais Em diferentes ocasiões é necessário conhecer a velocidade ou caudal de um uido num tubo ou passagem. Tais medições podem ser realizadas recor- rendo quer ao chamado Tubo Venturi quer ao conhecido Tubo Pitot cujos pricípios de funcionamento descreveremos de seguida com base na Equação de Bernoulli. 5.4.1 O Tubo Venturi O dispositivo conhecido por Tubo Venturi encontra-se ilustrado na Figura 5. Para tal, o uido em escoamento estacionario invíscido que se supõe de massa volúmica constante, é obrigado a passar pelo dispositivo referido. 12 31/Agosto/2007 1 2 h 1V 2V Fluido manométrico Mr Linha de corrente 1 2 h 1V 2V Fluido manométrico Mr Linha de corrente Figura 5: Tubo Venturi para medição de caudais. Notemos que em virtude do princípio de conservação da massa teremos a seguinte relação entre as áreas das secções de passagem normais A1 e A2 e as respectivas velocidades V1, V2 V1A1 = V2A2: (28) Por outro lado, atendendo à idêntica altura geométrica a que se veri ca o escoamento, no dispositivo, a Equação de Bernoulli reduz-se a V 22 2g + p2 �g = V 21 2g + p1 �g : Donde se deduz, recorrendo a alguma álgebra V 22 = V 2 1 + 2 (p1 � p2) � ) V1 = vuuut 2 (p1 � p2)��V2 V1 �2 � 1 � � : Sabendo que p1 � p2 = (�M � �) gh e atendendo à expressão (28) conclui-se nalmente V1 = vuuut 2 (�M � �) gh��A1 A2 �2 � 1 � � ; 13 31/Agosto/2007 expressão esta que caracteriza a velocidade do escoamento em termos do quociente das áreas de passagem nas secções 1 e 2 e da diferença de pressões estáticas que aí se veri ca. Notemos que no dispositivo da Figura (5) o líquido do uido manométrico deve ter uma massa volúmica maior do que a do uido em escoamento. 5.4.2 O Tubo Pitot Na Figura 6 representamos um Tubo Pitot. Este dispositivo é inserido do seio do escoamento de forma a fazer coincidir o seu eixo longitudinal com a direcção da velocidade.Naturalmente o escoamento é suposto invíscido, Fluido manométrico Linhas de corrente h 1V Mr 1p 2 1 parede r Fluido em escoamento 2V 2p Fluido manométrico Linhas de corrente h 1V Mr 1p 2 1 parede r Fluido em escoamento 2V 2p Figura 6: Tubo Pitot. estacionário e com massa volúmica constante. Consideremos a Equação de Bernoulli aplicada nas secções 1 e 2 da linha de corrente que se ilustra na gura, notando que a altura geométrica do escoamento é constante e que a velocidade V2 é nula: p2 �g = V 21 2g + p1 �g ) V1 = s 2 (p2 � p1) � : Observemos que p2 � p1 = (�M � �) gh. Assim, V1 = s 2 (�M � �) gh � : (29) 14 31/Agosto/2007 A expressão (29) permite, da forma descrita, obter a velocidade V1 do escoa- mento em termos dos parâmetros h e das diferenças das massas volúmicas do uido manométrico e de trabalho. Naturalmente supõe-se que a diferença �M � � é positiva. 6 Outras aplicações da Equação de Bernoulli Como foi referido, a utilização correcta da Equação de Bernoulli pressupõe que a mesma seja aplicada numa linha de corrente de um escoamento esta- cionário, invíscido com massa volúmica constante. No entanto, em muitas situações de interesse na Engenharia, quer efeitos dissipativos distribuídos de origem viscosa ou turbulenta, quer efeitos dissipativos de natureza singular, não podem ser ignorados. Isto é, parte da energia do escoamento ao longo da linha de corrente é dissipada. Nestas situações a adequada modi cação da Equação de Bernoulli pode revelar-se, também, de grande utilidade. Tal é o caso da situação que ilustraremos de seguida. Consideremos a conduta horizontal representada na Figura 7 que se supõe com uma secção recta de área constante. Suponha-se que a massa volúmica do uido real em escoamento estacionário no seu interior é, tam- bém, constante. 1 2 Linhas de corrente 1 2 Linhas de corrente Figura 7: Escoamento estacionário numa conduta horizontal. Em resultado do processo de dissipação de energia ao longo do trajecto do uido entre as secções referidas a Equação de Bernoulli assume a forma V 21 2g + p1 �g + z1 = V 22 2g + p2 �g + z2 + hf (30) 15 31/Agosto/2007 em que hf representa a referida dissipação de energia. Em virtude do princípio de conservação da massa aplicado às secções 1 e 2 deduz-se A1V1 = A2V2 ) V1 = V2. Por outro lado, a altura geométrica do escoamento mantém-se constante. Donde, z1 = z2. Assim, destas hipóteses, deduz-se com base na formulação (21) hf = p1 � p2 �g : (31) Esta última expressão permite quanti car a dissipação de energia distribuída ao longo do escoamento entre as secções 1 e 2, em termos da diferença de pressão estática que se pode medir experimentalmente nas correspondentes secções. O resultado anterior tem um alcance prático enorme pois possibilita car- acterizar as condutas em termos das dissipações que originam em condições semelhantes de escoamento. Esta possibilidade, permitindo, antecipar e pre- ver as quedas de pressão estática em escoamentos reais, é essencial no projecto de sistemas de condutas. 7 Conclusões Nesta lição foi deduzida a Equação de Bernoulli � V 2 2 + p+ �gz = constante, com base na integração da Equação de Euler numa linha de corrente de uma escoamento estacionário, invíscido, com massa volúmica constante e sujeito à acção do campo gravítico. Diversas aplicações elementares da Equação de Bernoulli, que traduz o princípio de conservação de energia, nas condições das hipóteses, foram ilustradas, nomeadamente: � previsão de caudais em descarga de reservatórios pressurizados; � estimativa de velocidade dum escoamento através duma restrição; � estudo de jactos de escoamentos; 16 31/Agosto/2007 � medição de caudais; � determinação de perdas de carga. As aplicações ilustradas uma pequena parte das utilizações daEquação de Bernoulli mostram a enorme utilidade desta equação na Mecânica de Fluidos nos aspectos relacionados com a previsão e quanti cação de fenómenos da hidráulica e nas técnicas experimentais de medição de velocidades de escoamento. 17 31/Agosto/2007 18 31/Agosto/2007
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