ESTUDO PARA A COMPARAÇÃO

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ESTUDO PARA A COMPARAÇÃO 
ENTRE OS MODELOS DE FILAS M/M/C 
E M/EK/C APLICADA EM UMA 
PANIFICADORA 
 
IGOR MICHEL SANTOS LEITE (UNAMA) 
igormsleite@hotmail.com 
Jorge Luiz Okabe Auad (UNAMA) 
legend182@gmail.com 
Sadraque Araujo da Silva Junior (UNAMA) 
sadraquearaujo@hotmail.com 
ROMULO JOSE PINHEIRO DA SILVA (UEPA) 
romulojpsilva@hotmail.com 
Yvelyne Bianca Iunes Santos (UNAMA) 
yvelyne@superig.com.br 
 
 
 
Este artigo buscou estudar a comparação entre dois modelos de filas, o 
M/M/c, com chegada por modelo de Poisson e atendimento por 
Exponencial Negativa,e o modelo M/Ek/c, com chegado por Poisson e 
atendimento por Erlang de grau k, em uma filla formada em uma 
panificado de pequeno porte, visando encontrar aquela cujo os 
resultadosmais se adequaram a realidade. Porém conclui-se que os 
dois modelos são muitos proximos quando o parâmetro k = 1, não 
obtendo nenhum resultado com diferença sensível, para o parâmetro 
utilizado pode-se dizer que M/M/c e M/E1/c são idênticos. Contudo em 
uma situação simulada, fazendo com que os picos no tempo de 
atendimento fossem mais centralizados, o modelo M/Ek/c obteve um 
melhor desempenho (Erlang a grau 3) quando comparado ao M/M/c. 
 
Palavras-chaves: Filas, Modelo deErlang, Exponencial Negativa, 
Distribuição 
XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO 
Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no 
Cenário Econômico Mundial 
Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011. 
 
 
 
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1. Introdução 
As filas estão distribuídas em todos os seguimentos da sociedade, seja em um supermercado, 
ou em uma ligação telefônica, ou em ambientes produtivos. Em certas situações elas podem 
ser abstratas, mas não abdicando de possuir uma grandiosa importância. 
A formação de uma fila é aleatória e se não estiver bem dimensionada pode causar grandes 
transtornos, tanto para os clientes como para o estabelecimento, tais como: 
congestionamentos, desperdício financeiros, dentre outros. 
Por uma fila ser concebida de maneira aleatória seu estudo é feito através de processos 
matemáticos estatísticos (processo estocástico) buscando um equilíbrio entre o custo do 
atendimento e a satisfação daqueles que fazem parte desse sistema. 
Dentro do contexto apresentado, o presente trabalho tem como objetivo comparar modelos de 
atendimento (Exponencial Negativa e Erlang), geradas no acesso ao balcão de atendimento de 
uma padaria, identificando o modelo que mais se adéqua a realidade. 
2. Conceito das filas 
Segundo Tôrres (2010), a fila é formada quando um determinado posto de serviço não pode 
atender prontamente um grupo de clientes, ocasionando então a espera para dispor dos 
serviços oferecidos pelo posto, tendo sua formação caracterizada basicamente pelos seguintes 
elementos: 
 O regime de chegada: onde cada unidade (cliente) ocupa um lugar de acordo com o 
momento. 
 O regime de serviço: que depende da disponibilidade de atendimento variando de 
acordo com o seu intervalo de tempo, pois em alguns lugares o serviço é sempre 
disponível. 
 Capacidade do sistema: de acordo com o número de clientes que podem ser atendidos 
simultaneamente. Observando-se a duração do tempo de serviço. 
 Disciplina de Atendimento: representa a ordem na qual os clientes são atendidos, 
sendo normalmente empregada a disciplina FIFO (First in First out), 
3. Descrição do Sistema 
O local onde foram feitos o estudo e a coleta de dados trata-se de uma panificadora que dispõe 
de dois atendentes (caixa). 
Tanto o atendimento do pedido quanto a função de caixa é feito por ambos os atendentes, 
existindo apenas uma fila para os dois funcionários, onde os clientes aguardam a sua vez de 
acordo com a ordem de sua chegada. 
Sendo que o sistema operacional da panificadora não é informatizado. O pagamento do 
produto é feito somente em dinheiro. 
4. Modelagem Analítica do Sistema 
A partir da coleta feita e da observação embasadas nos dados referentes às chegadas dos 
clientes, ao número de caixas dispostos no local e também ao tempo usado para cada 
atendimento, foi definida a modelagem analítica do sistema. 
 
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Segundo Shamblin (1979), grifo dos autores, no modelo M/M/2 tanto a chegada como o 
atendimento podem ser marcovianos, seguindo a Distribuição de Poisson (recomendado 
para a chegada) ou a Distribuição Exponencial Negativa (recomendado para o processo de 
atendimento), entretanto, não foram consideradas apenas as equações referentes às sugestões 
dos artífices citados, visto que neste trabalho também será avaliada a utilização da 
distribuição de Erlang no processo de atendimento do público. 
Para Bolch (1998), “a Notação de Kendall é usada para descrever os sistemas de filas 
elementares.”. O sistema observado no estabelecimento é testado no modelo M/M/2 e no 
modelo M/Ek/2, onde existe uma única fila para dois atendentes. 
Para ambos os processos (chegada e atendimento) se faz necessário o cálculo de: 
 , seja a taxa média de chegada ao sistema, calculada por: 
 
Onde: 
D – Quantidade de Pessoas que chegaram à fila em um intervalo de tempo; 
 – Ritmo de chegada; 
 , seja a taxa média de atendimento, calculada por: 
 
Onde: 
e – São os tempos de cada intervalo utilizado para o atendimento; 
– Frequência Observada para o respectivo intervalo; 
Para Hillier (1988) e Bolch (1998), é necessário que o sistema fique em “equilíbrio”, para que 
a teoria de filas seja aplicada, considerando sempre ou , fazendo com que o 
sistema sempre consiga atender a todos os clientes, pois caso contrário haverá teoricamente a 
tendência a formação de uma fila infinita. 
A taxa de utilização do sistema pode ser definida como: 
 
4.1 Distribuição de Poisson 
A Distribuição de Poisson consiste em uma curva matemática usada na estatística e na 
simulação de resultados para representar a probabilidade de que determinado evento ocorraem 
um intervalo especificado, sendo antes a probabilidade média conhecida. Na aplicação em 
filas é utilizada pelo fato da chegada de pessoas acontecer independe e aleatoriamente no 
tempo. 
Segundo Prado (2009), a equação de Poisson pode ser escrita na seguinte fórmula: 
 
4.2 Distribuição Exponecial Negativa 
 
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Segundo Moreira (2010) e Prado (2009), a distribuição exponencial negativa é a 
correspondente da distribuição de Poisson, porque também se baseia em função de 
probabilidade em torno de uma média conhecida. Pode-se dizer que um fenômeno segue as 
duas distribuições ao mesmo tempo, Poisson e Exponencial Negativa. 
Pelo fato da distribuição estar feita em um intervalo de tempo o resultado calculado através da 
integração da equação exponencial negativa, tendo como resultado: 
 
4.3 Distribuição de Erlang 
Para Hillier (1998), “a distribuição de tempo de serviço exponencial supõe um grau muito 
elevado de variabilidade...”,enquanto a função de Erlang gera uma menor incerteza pelo fato 
de encontrar-se em um campo intermediário de variação, onde está localizada a maioria de 
serviços reais, ou seja, entre a variação zero e a variação da distribuição exponencial 
encontrasse a Distribuição de Erlang. 
Ferreira (1998) indica a fórmula da distribuição de Erlang: 
 
Contudo, como a mesma está sendo usada em intervalo de tempo, a equação deve ser utilizada 
como a média do intervalo. A utilização da equação desta forma (tempo como média do 
intervalo) foi resultado da análise dos autores, sendo esta a que melhor se adequou. 
4.4 Teste do Chi-Quadrado 
Chi-Quadrado, simbolizado por , é um teste de hipóteses que tem como objetivo, encontrar 
um valor da dispersão para duas variáveis nominais, e avaliar a associação existente entre 
variáveis quantitativas. O princípio básico deste método é comparar as possíveis divergências 
entre as frequências observadas e esperadas para certo evento. Pode-se dizer que dois grupos 
se comportam de forma semelhante se as divergências entre as frequências observadas e as 
esperadas em cada categoria forem muito próximas à zero. Utiliza-se o teste para verificar se 
a frequência com que um determinado acontecimento observado em uma amostra varia 
significativamente ou não da frequência com que ele é esperado. 
 
Abaixo segue fórmula do teste Chi-quadrado: 
 
 
Onde: 
o = frequência observada para cada classe 
e = frequência esperada para aquela classe 
Com o resultado de , calcula-se o grau de liberdade e de posse destes dois valores, 
determina-se o máximo erro admissível, que neste trabalho será considerado 5%. Utilizando 
os 3 valores ( , G.L. e 5%) encontra-se o valor tabelado, que representa o valor máximo que 
 pode assumir para o respectivo erro. Caso o resultado seja abaixo do da tabela, a 
distribuição é aderente a realidade com erro inferior a 5%. 
5. Coleta de dados 
5.1 Chegada de clientes 
 
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Os dados de chegada foram coletados entre 6:20h e 7:30h da manhã, desconsiderando 5 
observações, de maneira que foram observadas quantos clientes chegava a fila em intervalos 
fixos e consecutivos de 1 min, obtendo-se assim a frequência de chegada na fila para cada 
minuto, os resultados destas anotações podem ser visualizadas e analisadas na tabela abaixo: 
 
 
Tabela 1: Frequências Observadas para a chegada de clientes na fila 
A partir da Tabela 1 é feito o cálculo da Frequência Calculada, que são os resultados obtidos a 
partir da distribuição de Poisson para = 0,92307 . 
 
 
Tabela 2: Frequências calculadas pela distribuição de Poisson (chegada) 
Observado o valor do erro pode-se concluir que o resultado é satisfatório, pois o resultado foi 
abaixo do mínimo recomendado para distribuição com grau de liberdade 4 a 5% de 
significância, que seria um erro de 9,488. Ou seja, o teste revela que a distribuição de Poisson 
para = 0,92307 clientes/min é válido. 
Partindo dessa validação o gráfico foi traçado e como resultado obteve-se: 
 
Figura 1: Sobreposição dos dados reais de chegada e a distibuição de Poisson 
 
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O Figura 1 mostra que a distribuição de Poisson se adequa com satisfação a realidade 
dapanificadora. 
5.2 Atendimento de clientes 
Para o atendimento os seus respectivos dados foram obtidos através da cronometragem dos 
tempos que cada funcionário gastava para atender um pedido. Como os tempos foram muito 
variados, os mesmo foram distribuidos em invervalos de tempo igualmente espaçados. 
Para que fossem testadas as distribuições para atendimento, o mesmo foi considerado em 
intervalos de tempo de 0min a 7min, dividos em 7classes, onde foram obtidas as frequências 
para todos os intervalos, conforme apresenta-se na Tabela 3. 
Considerando que OP I (Operador I) e OP II (Operador II). 
 
 
Tabela 3: Frequência observada e relativa para o atendimento 
Com os resultados de e foi feita a comparação entre a taxa de chegada média e a taxa 
de atendimento média, usando para isso o resultado multiplicado por 2 (número de 
atendentes), bem como o cálculo da taxa de utilização: 
 
Observando que a taxa de utilização do sistema é de 65,3%, ou seja, o sistema encontra-se 
estável. 
5.2.1 Aplicação da distribuição exponencial negativa 
Apartir da tabela 3 foi aplicada à equação da distribuição exponencial negativa para ambos os 
funcionarios utilizando suas respectivas taxas de atendimento, gerando como resultado atabela 
a seguir. 
 
 
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Tabela 4: Frequências calculadas pela distribuição Exponencial Negativa (atendimento) 
Analisando o resultado do teste do Chi-quadrado e comparando, com os resultados para grau 
de liberdade 5 a 5% de significância, obtêm-se o erro máximo admissível de 11,07. Portanto 
os erros foram inferiores aos recomendados confirmando a aderência da função à realidade, 
para ambos os operadores. 
Graficamente, tem-se: 
 
 
Operador I 
 
 
 
 
 
Operador II 
 
 
Figura 2: Sobreposição dos dados reais deatendimento e a distibuição Exponencial Negativa 
5.2.2 Aplicação da distribuição de Erlang1 
A partir da Tabela 3 foi aplicada à distribuição de Erlang1. Como o modelo proposto neste 
tópico adimite vários valores para o fator “k” que modela o formato da curva criada foi 
utilizado o valor de k = 1, pois para valores superiores a este, os resultados estavam 
desproporcionais a realidade, para ambos os funcionários utilizando suas respectivas taxas de 
atendimento, gerando como resultado a seguinte tabela. 
 
 
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Tabela 5: Sobreposição dos dados reais de atendimento e a distibuição de Erlang1 
Analisando o resultado do teste do Chi-quadrado e comparando, com os resultados para grau 
de liberdade 3 a 5% de significância, obtêm-se o erro máximo admissível de 11,07. Portanto 
como os erros foram inferiores aos recomendados a função adere com satisfação à realidade, 
para ambos os operadores, resultados estes iguais ao anterior. 
Graficamente, tem-se: 
 
 
 
Operador I 
 
 
 
 
 
Operador II 
 
 
 
Figura 3: Sobreposição dos dados reais de atendimento e a distibuição Erlang1 
5.3 Simulação com picos de atendimento diferentes 
Como parte deste estudo, foi feita a comparação das duas distribuições citadas em situações 
onde os picos de atendimento não estão nos intervalos iniciais, mas sim, em faixas 
intermediarias de intervalo. 
Na tabela abaixo pode ser observada as alterações para a simulação de novos picos de 
atendimento, onde o momento de pico de 19 anotações entre 0 e 1 min foi alterado para o 
intervalo de 1 a 2 min, mudando os resultados obtidos, para:XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO 
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Tabela 6: Frequências 
Observadas para a simulação 
Desenvolvendo a mesma ideia da tabela 4, distribuição exponencial negativa, porém com os 
valores da simulação, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 7: Frequências calculadas pela 
Distribuição Exponencial Negativa para a 
simulação 
Observando o resultado do 
teste de aderência conclui-se 
que a mesma distribuição 
não é mais viável para representa a realidade idealizada, já que o erro é consideravelmente 
superior ao valor do erro limite para a significância de 5%. No gráfico é notável a diferença 
existente. 
 
 
 
 
Operador I 
 
 
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Operador II 
 
 
Figura 4: Sobreposição dos dados reais de atendimento e a Distr. Expo. Negativa para os dados fictícios 
Fazendo o cálculo para Erlang k, obteve-se varios tipos de curvas, pelo fato de que cada valor 
de k possuir uma curva diferente, e aquela que melhor se adequou aos dados foi Erlang 3, na 
qual abaixo encontrasse os resultados: 
 
 
 
 
 
 
Tabela 8: Frequências 
calculadas pela Distribuição Erlang 3 
para a simulação 
Comparando os resultados do Chi-
Quadrado da tabela 7 com a tabela 8, é 
possível observar a diferença nos 
erros, sendo que na distribuição de 
Erlang 3 o erro do operrador II é 
causado principalmente pelo último intervalo e se caso o mesmo fosse reduzido a 0 o erro 
total seria de apenas de 3,3755 e para o operrador I o maior erro gerado foi no penúltimo 
intervalo e caso fosse reduzido a zero, semelhante a comparação anterior, o erro total seria de 
5,6159. Abaixo segue os respectivos gráficos da distribuição de Erlang 3: 
 
 
 
Operador I 
 
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Operador II 
 
 
 
 
Figura 5: Sobreposição dos dados reais de atendimento e a Distr.Erlang 3 para o dado fictícios 
6. Análise 
Observando os gráficos é possível concluir que a distribuição de Erlang com grau 1 é muito 
semelhante à distribuição Exponencial negativa, demonstrando a proximidade dos dois 
modelos, para situações com picos de distribuição se concentrando nos primeiros intervalos 
de tempo. 
Contudo, analisando os gráficos do modelo simulado, conclui-se que a curva de Erlang 
melhor se adequou a situação fictícia, mesmo tendo se assemelhado a exponencial negativa 
quando . Isso ocorre devido a possibilidade de mutação em sua função pelo fato da 
mesma ter o fato de mutação em sua função geratriz, viabilizando a mobilidade (no sentido de 
mudança de aspecto) da curva. Sempre tornando-a ajustável a uma situação, dependendo do 
grau adotado. 
7. Conclusão 
Este trabalho foi de grande importância para o aprofundamento sobre as possibilidades que a 
Teoria de filas nos proporciona. A modelagem matemática usada neste conteúdo determina a 
confiabilidade do estudo, portanto se faz necessário uma boa modelagem para que os 
resultados sejam o mais próximo possível da realidade. 
A comparação final entre o modelo M/M/c, com chegada pelo modelo de Poisson e 
atendimento por Exponecial Negativa, e o modelo M/E1/c, com chegado por Poisson e 
atendimento por Erlang de grau 1 (valores superiores para o parâmetro k fazia com que a 
curva ficasse altamente discrepante com a realidade, onde quanto maior o valor de k mais a 
equação de Erlang tende a uma distribuição normal)mostrou que os modelos são praticamente 
idênticos, não havendo diferenças significativas entre os mesmos. 
Porém, na simulação, onde mudou-se a taxa de atendimento,fazendo o pico das distribuições 
se encontra em intervalos de tempo intermediários, entre 1 e2 min,o modelo M/Ek/c obteve 
um melhor desempenho (Erlang a grau 3) quando comparado ao M/M/c. Ou seja, a curva de 
Erlang é mais abrangente quando comparada a exponencial negativa, recomendando a sua 
utilização para a maioria das situações de atendimento. 
Porém, se faz necessário o aprofundamento nas equações de desenpenho de Erlang, visto que 
a mesma é dificilmente sitada por autores, na maioria dos casos os mesmo fazem menção a 
Erlang para apenas 1 atendente, o que dificulta o aprofundamento no assunto. 
 
Referências 
 
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BOLCH, Gunter / GREINER, Stefan / MEER, Hermann de / TRIVEDI, Kishor S. Queueing Networks and 
Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications. New York: Wiley-
Interscience, 1998. 
FERREIRA, J. O. Simulação de Filas G1/G/m e verificação de aproximações desdás por filas Ph/Ph/m. São 
José dos Campos: INPE, 1998. 
HILLIER, Frederick S. / LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional. Tradução de Helena L. 
Lemos – Rio de Janeiro: Editora Campus / São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 1988. 
MOREIRA, Daniel Augusto. Pesquisa Operacional: Curso Introdutório. 2º Ed. Rev. e Atu. São Paulo: Cengage 
Learning. 2010 
PRADO, Darci Santos do. Teoria das Filas e da Simulação. Série Pesquisa Operacional – Volume 2. 4º Ed. 
Nova Lima: INDG Tecnologia e Serviços Ltda. 2009. 
SHAMBLIN, James E. / STEVENS, G.T. JR. Pesquisa Operacional: Uma Abordagem Básica.3º Ed. São 
Paulo: Editora Atlas S.A. 1979. 
TÔRRES, Oswaldo Fadigas. Elementos da Teoria das Filas. Disponível em: 
<http://www16.fgv.br/rae/artigos/2525.pdf>. Acessado em: 10/11/2010.