Lista2 resolucao

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UCS - CCET - Pré-Cálculo
Exercícios Complementares - Lista 2 - chave de correção
Questão 1
(a) Df−1 = Imf = R − 12 e Imf
−1 = Df =.R − −2
(b) Para que um ponto a, b pertença ao gráfico da f−1x é necessário que o ponto b, a satisfaça a equação que
define a fx. Então,
− 12 ,−1 pertence ao gráfico da f
−1x porque f−1 = −12−1 + 4 = −
1
2 .
1
10 ,
1
2 pertence ao gráfico da f
−1x porque f 12  =
1
2
2 12  + 4
= 110 .
2
6 , 2 não pertence ao gráfico da f
−1x porque f 2  = 2
2 2 + 4
≠
2
6 .
0, 0 pertence ao gráfico da f−1x porque f0 = 02. 0 + 4 = 0.
− 32 ,−3 não pertence ao gráfico da f
−1x porque f−3 = −32−3 + 4 ≠ −
3
2 .
(c) f−1−2 é o valor de x tal que fx = −2. Assim, para calcular esse valor de x devemos resolver a equação
x
2x + 4 = −2, de onde obtemos x = −4x − 8, ou seja, x = −
8
5 .
Portanto, f−1−2 = − 85 .
Questão 2
-4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
6
x
y
O gráfico da f−1 foi construído considerando a "simetria" que existe entre o gráfico da f (dado) e o gráfico da f−1, em
relação à reta y = x (traçada para auxiliar). Além disso, lembramos que Df = Imf−1 e Imf = Df−1 e ainda
que, se a, b é um ponto do gráfico da f, então b, a é ponto do gráfico da f−1.
Questão 3
-4 -2 0 2 4
1
2
3
4
5
x
y
O gráfico de fx = ex é aquele que passa pelos pontos básicos 0, 1 e 1, e. O gráfico de gx = ex−3 é obtido
deslocando o gráfico da f para a direita 3 unidades. O gráfico de hx = 3ex é obtido da f ,multiplicando suas
1
imagens por 3.
Questão 4
a) fx = log2x − 2
(1)
-4 -2 2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
6
8
x
y
f: preta ; f−1: azul
(2) Df = 2;+∞ e Df−1 = R
(3) Imf = R e Imf−1 = 2;+∞
b) gx = − log1/2x
(1)
-4 -2 2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
6
8
x
y
g: preta ; g−1: azul
(2) Dg = 0;+∞ e Dg−1 = R
(3) Img = R e Img−1 = 0;+∞
c) hx = log3x − 2
(1)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-2
2
4
6
x
y
h: preta ; h−1: azul
(2) Dh = 0;+∞ e Dh−1 = R
(3) Imh = R e Imh−1 = 0;+∞
d) Fx = 2ex−1
2
(1)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
6
x
y
F: preta ; F−1: azul
(2) DF = R e DF−1 = 0;+∞
(3) ImF = 0;+∞ e ImF−1 = R
e) Gx = 3x+2 − 1
(1)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
6
x
y
G: preta ; G−1: azul
(2) DG = R e DG−1 = −1;+∞
(3) ImG = −1;+∞ e ImG−1 = R
Questão 5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
2
4
x
y
(1) A imagem da função muda em relação à imagem de y = 2x: ela passa a ser Imf = −2;+∞.
(2) A função é crescente em todo seu domínio.
(3) A função tem uma assíntota horizontal: a reta y = −2.
3
Questão 6
1 2 3 4 5 6
-2
0
2
4
6
x
y
Df = Dg = 0;+∞. Imf = Img = R. Tanto a f quanto a g tem a mesma assíntota vertical: a reta x = 0.
Questão 7
-2 2 4 6 8 10
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
f: preto; y = senx: cinza
O gráfico de fx = sen2x sofre uma contração horizontal se comparado ao gráfico de y = senx.
Df = R; Imf = −1; 1; P = 2π2 = π; e A = 1.
Questão 8
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
3
x
y
y = cosx (cinza); y = cosx − π4 (azul)
  
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
3
x
y
y = cosx − π4 (azul); y = 2 cosx −
π
4  (preto)
Construímos o gráfico em dois tempos: primeiro, deslocamos o gráfico de y = cosx para a direita π4 unidades e,
em seguida, multiplicamos a imagem por 2.
Df = R; Imf = −2; 2; P = 2π; e A = 2.
4
Questão 9
a) fx = 2 cosx
Df = R; Imf = −2; 2; P = 2π; A = 2; O gráfico da f pode ser obtido a partir do gráfico de y = cosx
multiplicando as imagens por 2 (e a função original sofre um alongamento na vertical).
b) fx = −1 + cos2x
Df = R; Imf = −2; 0; P = 2π2 = π; A = 1; O gráfico da f pode ser obtido a partir do gráfico de
y = cosx, primeiro reduzindo o período à metade (e afunção original sofre uma compressão horizontal) e, segundo,
deslocando 1 unidade para baixo.
c) y = |cosx|
Df = R; Imf = 0; 1; P = π; A = 1; O gráfico da f pode ser obtido a partir do gráfico de y = cosx tomando
o módulo de cada uma de suas imagens e, dessa forma, na prática, o que é positivo continua exatamente igual e o
que é negativo, troca de sinal (e, nos intervalos em que a função original é negativa construímos uma parte do
gráfico que é simétrico ao original, em relação ao eixo x).
Questão 10
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
3
x
y
(a) fx = 2senx
Obtemos o gráfico da f multiplicando as imagens de y = senx por 2. Então, Df = R, Imf = −2; 2, P = 2π e
A = 2.
-2 2 4 6 8 10 12 14
-2
-1
1
2
x
y
(b) gx = sen x2
Obtemos o gráfico da g duplicando o período de y = senx (o gráfico sofre um "alongamento" na horizontal). Então,
Df = R, Imf = −1; 1, P = 2π1/2 = 4π e A = 1.
5
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
3
x
y
(c) hx = sen x + π2
Obtemos o gráfico da h deslocando o gráfico de y = senx para a esquerda π2 unidades. Então, Df = R,
Imf = −1; 1, P = 2π e A = 1.
Questão 11
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
y = tan x: preto; gx: azul
Como x está multiplicado por 13 , o período da função original y = tan x (que é π) fica dividido por esse valor, ou
seja, o período da g passa a ser 3π. Então, o ciclo da tangente que ocorria a cada π rad, agora, ocorre a cada
3π rad. Dessa forma, as assíntotas verticais que eram da forma x = π2 + kπ, com k ∈ Z, passam a ser da forma
x = 3π2 + 3kπ, com k ∈ Z (se o período ficou multiplicado por 3, cada valor de assíntota também ficou
multiplicado por 3) . Algumas dessas assíntotas são x = −9π2 , x =
−3π
2 , x =
3π
2 , x =
9π
2 e x =
15π
2
(obtidas para k igual a −2, −1, 0, 1 e 2, respectivamente).
Assim,
Dg = R − x ∈ R/x = 3π2 + 3kπ,com k ∈ Z
Img = R
P = 3π
As assíntotas são as retas de equação x = 3π2 + 3kπ, com k ∈ Z.
6