Sabadao1 Lista1 resolucao

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UCS - CCET - Pré-Cálculo
Exercícios Complementares - Lista 1 - chave de correção
(1) a) y = 4x b) ( ) ( ) ( X ) ( )
(2) Produção de A: PA = 3000 + 70x; Produção de B: PB = 1100 + 290x. Fazendo PA = PB, obtemos
x = 1900220 ≃ 8, 6. Portanto, B supera A a partir de setembro.
(3)
a) O gráfico dessa função é uma reta que passa pelos pontos dados.
b) Primeiro, determinamos o coef. angular: m = 2 − 1
−1 − 0 = −1
Com isso e um dos pontos, por exemplo, o 0, 1, determinamos a equação: y − 1 = −1x − 0 , ou
seja, fx = −x + 1.
c) Para obter o zero da função, fazemos fx = 0. No caso, −x + 1 = 0, de onde obtemos x = 1.
Portanto, a raiz ou zero da função é x = 1.
d) A função é decrescente, uma vez que o coef. angular é −1.
e) fx = −2  −x + 1 = −2  x = 3. Portanto, fx = −2 para x = 3.
(4)
a) As duas grandezas variáveis no problema são o "valor arrecadado por dia" e o "número de clientes
sem hora marcada por dia". O "valor arrecadado por dia" varia em função do "número de clientes sem hora
marcada por dia".
b) A fórmula matemática que fornece o "valor arrecadado em um dia" em função de x, pode ser
definida da seguinte maneira: V = 6 × 12 + x × 10, ou seja, Vx = 10x + 72.
c) Se o cabeleireiro atendeu 16 clientes, 6 deles tinham hora marcada e, portanto, restaram, 10 clientes
sem hora marcada. Agora, é só substituir x = 10 na equação que define Vx. Obtemos V = 10 × 10 + 72, ou
seja, V = 172. Portanto, o cabeleireiro arrecadou R$172,00 nesse dia.
d) Se foram arrecadados R$212,00, temos 10x + 72 = 212, donde x = 14. Assim, foram atendidos 14
clientes sem hora marcada e 6 clientes com hora marcada, totalizando 20 pessoas.
(5) a) Determinamos dois pontos cujas coordenadas satisfazem a equação dada e traçamos a reta que passa
por eles.
-2 2
-2
2
x
y
b) Para determinar a intersecção com o eixo x, fazemos y = 0. Assim, obtemos 2x − 12 = 0, de onde
2x − 1 = 0 e, portanto, x = 12 . Assim, o ponto de intersecção da reta com o eixo x é
1
2 , 0 .
Para determinar a intersecção com o eixo y, fazemos x = 0. Dessa forma, obtemos y = − 12 . Assim, o ponto
de intersecção com o eixo x é 0,− 12 .
c) f é positiva para x ∈ 12 ;+∞ e f é negativa para x ∈ −∞;
1
2 .
d) O coeficiente angular da f é 1, o que significa que " sempre que x varia 1 unidade, o y varia
1 unidade".
e) O coeficiente linear da f é − 12 e ele significa que o gráfico da função intersepta o eixo y no ponto
cuja ordenada é esse valor, isto é, no ponto 0,− 12 .
1
(6)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-10
-5
5
x
y
f1 preto, f2 vermelho, f3 azul, f4 verde
(7)
f3 = 0 ⇒ 3, 0 é ponto do gráfico da f
f−1 = 2 ⇒ −1, 2 é ponto do gráfico da f
Primeiro, determinamos o coef. angular: m = 2 − 0
−1 − 3 =
2
−4 = −
1
2
Com isso e um dos pontos, por exemplo, o 3, 0, determinamos a equação: y − 0 = − 12 x − 3 , ou seja,
fx = − 12 x +
3
2 .
De imediato, da informação que f3 = 0, podemos concluir que o zero da f é x = 3. De outra forma, para
determinar o zero (ou raiz) da f, fazemos y = 0. Assim, obtemos − 12 x +
3
2 = 0, de onde −x + 3 = 0 e,
portanto, o zero da função é x = 3.
Assim, o ponto de intersecção da reta com o eixo x é 3, 0.
Já calculamos o coeficiente angular m = − 12 . Isto significa que sempre que x varia 1 unidade, y varia −
1
2 .
Para determinar a intersecção com o eixo y, fazemos x = 0. Dessa forma, obtemos o intersepto vertical
y = 32 . Isto significa que o ponto de intersecção com o eixo y é 0,
3
2 .
O gráfico da função é o que segue.
-4 -2 2 4 6
2
4
x
y
(8)
a) Se o gráfico em foco é um segmento de reta, podemos determinar sua equação observando, por
exemplo, que os pontos 0,−3 e 10,−1 fazem parte desse gráfico:
m =
−1 − −3
10 − 0 =
2
10 =
1
5 e, considerando o ponto 0,−3, a equação fica y − −3 =
1
5 x − 0, ou seja,
y = 15 x − 3.
Como o nível mínimo para abastecimento é 0 m, 15 x − 3 = 0, de onde obtemos x = 15. Isto significa que,
no mês de maio, o nível mínimo necessário para o abastecimento da região será atingido no dia 15.
b) O nível de água será negativo durante os 14 primeiros dias do mês.
c) O nível de água será positivo nos 16 últimos dias do mês (lembrando que maio tem 31 dias).
(9) ( ) ( ) (X)
(10)
2
a)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
2
4
6
8
10
x
y
b) O gráfico de Gx = |x − 1| + 3 pode ser obtido do gráfico de fx = |x| deslocando-o 1 unidade para a
direita e, a partir dali, 3 unidades para cima. Veja gráfico em azul.
c) O gráfico de Hx = 3|x| − 2 pode ser obtido do gráfico de fx = |x| multiplicando os valores de y por 3
(e obtendo um alongamento vertical) e, em seguida, deslocando-o 2 unidades para baixo. Veja gráfico em
vermelho.
d) O gráfico de Lx = |x|3 pode ser obtido do gráfico de fx = |x| dividindo os valores de y por 3 (e
obtendo uma compressão vertical). Veja gráfico em verde.
(11)
a) fx = −x2 + 4x − 4
∙ f é côncava para baixo
∙ vértice: 2, 0
xv =
−4
2−1 = 2  yv = −2
2 + 4 × 2 − 4 = 0
∙ pontos de intersecção com o eixo x: 2, 0
−x2 + 4x − 4 = 0  x = 2
∙ ponto de intersecção com o eixo y: 0,−4
Nesse caso, podemos escolher outros dois pontos para auxiliar na construção do gráfico, uma vez que
temos apenas um ponto de intersecção com o eixo x (o vértice). Escolhemos um valor que seja menor que o
xv e um maior do que ele. Por exemplo, 1,−1 e 3,−1.
O gráfico fica:
-2 0 2 4 6
-10
-5
x
y
Além disso, Df = R e Imf = −∞; 0.
b) gx = 2x2 − x + 1
∙ f é côncava para cima
∙ vértice: 14 ,
7
8
xv =
−−1
2 × 2 =
1
4  yv = 2
1
4
2
− 14 + 1 =
1
8 −
1
4 + 1 =
7
8
∙ pontos de intersecção com o eixo x: não tem
2x2 − x + 1 = 0  x ∉ R
∙ ponto de intersecção com o eixo y: 0, 1
Nesse caso, podemos escolher outros dois pontos para auxiliar na construção do gráfico, uma vez que não
há intersecção com o eixo x. Escolhemos um valor que seja menor que o xv e um maior do que ele. Por
exemplo, 1, 2 e −1, 4.
O gráfico fica:
3
-2 -1 1 2
2
4
x
y
Além disso, Df = R e Imf = 78 ;+∞ .
(12) P3 = 20 × 3 − 5 × 32 = 15. portanto, a potência é 15 watts.
(13) a) Ax = 20x − 12 x
2
b) DA = 0; 40
0 10 20 30 40
100
200
x
y
c) xv = −20
2 − 12
= 20. Portanto, a área será máxima quando a largura x for igual a 20m.
d) As dimensões do galinheiro de maior área possível são 20m por 10m.
(14)
a) A aprábola que representa a equação y = x2 − 6x + 5 é côncava para cima (a = 1), tem vértice 3,−4,
intersecções com o eixo x nos pontos 1, 0 e 5, 0 e intersecção com o eixo y no ponto 0, 5. Portanto, a
equação apresentada está de acordo com o gráfico apresentado.
Assim, podemos dizer que a equação que define a função fx pode ser y = x2 − 6x + 5.
b) Observando o gráfico, percebemos que a função tem um valor mínimo (parábola côncava para cima) que
ocorre no xv = 3. Esse valor mínimo é −4 (pois yv = 32 − 6 × 3 + 5).
c) gráfico em azul
-1 1 2 3 4 5 6 7
-5
5
x
y
(15)
-4 -2 2 4 6
-5
x
y
a) hx = −2x2 − 1
Obtemos o gráfico de hx deslocando o gráfico da f , 1 unidade para baixo.
4
-2 2 4 6
-5
x
y
b) hx = −2x − 32
Obtemos o gráfico de hx deslocando o gráfico da f , 3 unidades para a direita.
(16)
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
x
y
Para valores de x entre −1 e 1, x6 < x4. Por isso, o gráfico a ser construído fica abaixo do gráfico de
fx = x4 para x ∈ −1; 1.
Para valores de x menores que −1 ou maiores que 1, x6 > x4. Por isso, o gráfico a ser construído fica acima
do gráfico de fx = x4 para x ∈ −∞;−1 ∪ 1;+∞.
Além disso, para x = −1, x = 0 e x = 1 as imagens da g são iguais às imagens da f.
(17)
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
DF = R e ImF= R
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
(18) ( f2 ) ( f3 ) ( f1 ) ( f4 )
5
(19)
-4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Deslocamos o gráfico da f, 2 unidades para a direita e, a partir dali, 3/4 de unidade para cima para construir
o gráfico da F.
A assíntota horizontal da F é a reta de equação y = 34 e, a assíntota vertical da F é a reta de equação x = 2.
(20)
a)
1 1 -6 8 6 -9
-1 1 -5 3 9 0
3 1 -6 9 0
3 1 -3 0
1 0
Portanto, os zeros da f são x = 1, x = −1 e x = 3.
b) Como 1 e −1 são raízes simples e 3 é uma raiz dupla e, considerando ainda que o coeficiente principal (o
do termo de maior grau) é 1, a forma fatorada da f é fx = x − 1x + 1x − 32.
c) Considerando que 1 e −1 têm multiplicidade ímpar e que 3 tem multiplicidade par, o gráfico deve
"cortar" o eixo x onde x = 1 ou x = −1 e, deve "encostar" no eixo x onde x = 3. Além disso, fica fácil
perceber que f0 = −9.
-2 2 4
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
( )
-2 2 4 6
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
( X )
-2 2 4
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
( )
(21)
a)
-1 1 0 -3 -2
-1 1 -1 -2 0
2 1 -2 0
1 0
Portanto, os zeros da f são x = −1e x = 2.
6
b) Como 2 é raíz simples e −1 é raiz dupla e, considerando ainda que o coeficiente principal (o do termo de
maior grau) é 1, a forma fatorada da f é fx = x + 12x − 2.
c) lim
x→+∞
fx = lim
x→+∞
x3 = +∞ e lim
x→−∞
fx = lim
x→−∞
x3 = −∞
d) O gráfico fica:
-3 -2 -1 1 2 3
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(22)
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
Observa-se que −1 é uma raiz de multiplicidade ímpar e 1 é raiz de multiplicidade par. Como o grau da
função é 3, x = −1 tem multiplicidade 1 e x = 1 tem multiplicidade 2. Então, para começar,
fx = x + 1x − 12. Observamos, também pelo gráfico, que f0 = −1, o que exige uma adequação do
coeficiente do termo de maior grau. Para que f0 = −1 devemos ter 0 + 10 − 12 = −1, o que exige que
x + 1x − 12 seja multiplicada por −1. Então, fx = −x + 1x − 12.
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Observa-se que −1, 1 e 3 são todas raízes de multiplicidade ímpar. Como o grau da função é 3, as três
raízes têm multiplicidade 1. Então, para começar, fx = x + 1x − 1x − 3. Observamos, também pelo
gráfico, que f0 = −6, o que exige uma adequação do coeficiente do termo de maior grau. Para que
f0 = −6 devemos ter 0 + 10 − 10 − 3 = −6, o que exige que x + 1x − 1x − 3 seja multiplicada por
−2. Então, fx = −2x + 1x − 1x − 3.
7
-4 -2 2
-4
-2
2
4
x
y
Observa-se que 1 é uma raiz de multiplicidade ímpar e −2 é raiz de multiplicidade par. Como o grau da
função é 3, x = 1 tem multiplicidade 1 e x = −2 tem multiplicidade 2. Então, para começar,
fx = x − 1x + 22. Observamos, também pelo gráfico, que f0 = −2, o que exige uma adequação do
coeficiente do termo de maior grau. Para que f0 = −2 devemos ter 0 − 10 + 22 = −2, o que exige que
x − 1x + 22 seja multiplicada por 12 . Então, fx =
1
2 x − 1x + 2
2
.
(23)
a) Como retiramos quadrados de lado x de cada canto, ficaremos com uma caixa cujas dimensões da base
são 15 − 2x e 60 − 2x e cuja altura será x. Portanto, seu volume pode ser calculado por
Vx = x15 − 2x60 − 2x.
b) V5 = 5. 15 − 2. 560 − 2. 5 = 5. 5. 50 = 1250, ou seja, o volume da caixa em que cortamos
quadrados de medida 5cm dos cantos do papelão é de 1250cm3.
8