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1 UNIFACS – Universidade Salvador Curso: Engenharias Disciplina: Equações Diferenciais e Séries 2014.1 Atividade Integradora: 1a Lista de Exercícios: Séries e Aplicações 1) Através da seqüência das somas parciais analise a convergência das seguintes séries: a) ∑ ++1 )21)(n(n 1 ( Escreva 2n 1 1n 1 a n + − + = ) b) ∑ 1 n ( sn = 1 + 2 + 3 + ...+ n = 2 n)n(1+ é a soma dos n primeiros termos de uma P.A); c) ∑ +1 1n nln ( Escreva an = ln n − ln ( n+1 ) ) d) ) 3 1n 3 n( 1 n1-n ∑ + − e) ∑ − +1 n 1 1n 1 2) Utilizando séries geométricas, expresse as decimais não finitas, a seguir, como uma fração: a) 0,444... b) 5, 1373737.... c) 0,159159159... 3) Uma bola é derrubada de uma altura de 9m. Cada vez que ela toca o chão sobe novamente, verticalmente, a uma altura que é 2/3 da distância da qual ela caiu. Determine a distância total percorrida pela bola até parar. 4) A figura ao lado mostra uma “escada infinita”. Ache o volume total da escada sabendo que o maior cubo tem lado 1 e cada cubo tem sucessivamente um lado cujo tamanho é a metade do lado do cubo precedente. 5) A figura ao lado mostra os 5 primeiros quadrados de uma seqüência infinita formada da seguinte maneira: O quadrado externo tem lado igual a 2. Cada um dos outros quadrados é obtido ligando-se os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcule: a) a soma dos perímetros de todos os quadrados da seqüência. b) a soma das áreas de todos os quadrados da seqüência. 2 6) Encontre o valor de b para o qual 9...eee1 b3b2b =++++ 7) Encontre os valores de x para os quais a série ∑ − 0 n n 2 )1x( converge e a soma da série para esses valores. 8) Através da série geométrica calcule as seguintes somas: a) ∑ − 1 n n 3 1)( ; b) ∑ 2 n3 4 ; c) ∑ − −1 n 1n n 3 14 9 5 ; d) ∑ + 2 n 2n2n 36 32 e) ) 5 1 2 )1(( 0 n n n +∑ − f) ... 625 1 125 1 25 1 5 1 3 1 2 11 +++++++ 9) Verifique que as séries a seguir são convergentes pelo Critério de Leibniz. Calcule a soma sn e o erro cometido quando a soma S da série é aproximada por sn. a) ∑ − ∞ + 1 3 1n n 1)( ; s4: b) ∑ − ∞ − 1 1n (2n)! 1)( ; s3 10) Calcule quantos termos precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada a) ∑ − − 1 2 1n n )1( ( erro < 0,01); b) ∑ − + 1 4 1n n )1( ( erro < 0,001 ) 11) Mostre que a série alternada ∑ − − 1 n 1n !n.10 )1( converge por Leibniz e calcule a soma da série com precisão de 3 casas decimais. 12) Utilizando os critérios e propriedades vistos analise o comportamento das seguintes séries quanto à convergência a) ∑ n 5 3 b) ∑ −n22 c) ∑ +1n n 2 2 d) ∑ + − 1n n)1( n e) ∑ 3n 1 f) ∑ 3 2n 1 g) ∑ 3 4n 1 h) ∑ !n 1 i) ∑ )!n2( 1 j) ∑ + 1 n n 13n k) ∑ − n n )n(ln )1( l) !n n)1( n n∑ − m) ∑ + + −4n 1n n n) ( )∑ −− + n3 3n o) ∑ +− n2 n 1 3 2 n p) ∑ − n 5n 5 n)1( 3 13) Mostre, usando o critério da razão, que as seguintes séries são convergentes para todo x real. a) ∑ 0 n n! x ; b) ∑ − 0 2nn (2n)! x1)( ; c) ∑ + − + 0 12nn 1)!(2n x1)( Observação: As séries acima são respectivamente as séries de f(x) = ex, f(x) = cosx e f(x) = senx 14) Encontre o raio e o domínio de convergência ( a menos dos extremos) das seguintes séries ∑ + + 1n x a) 1n b) n n )1x( n 13 + −∑ ∑ − n n 2 )3x( c) d)∑ )!n2( x n e)∑ − n n 3n )2x( 15) A partir da série geométrica x 1 1 x ; se xn 0 ∑ = − < 1; dê a representação em série das seguintes funções, indicando a região de convergência. a) x1 xf(x) + = b) 2 x1 1f(x) + = c) 2 x4 1f(x) − = d) 3 2 x8 xf(x) + = 16) A partir da série 1x , x1 1 x 0 n < − =∑ , e usando derivação ou integração, mostre que a) [ 1,1] x;nx1)( x)(1 1f(x) 1 1n1n 2 −∈−=+ = ∑ −+ b) ] 1 1,] x; 1n x1)( x)ln(1f(x) 0 1nn −∈∑ + − =+= + c) ] 1 1,[ x; 12n x1)( arctgxf(x) 0 12nn −∈∑ + − == + 17) A partir das séries R x ;e n! x x 0 n ∈∀=∑ , cosx = ∑ − 0 2nn (2n)! x1)( ∀∈ R e senx = ∑ + − + 0 12nn 1)!(2n x1)( ∀∈ R; dê a representação em série das seguintes funções, indicando a região de convergência. a) 2xef(x) −= b) /22xxef(x) −= c) f(x) = xsen2x d) f(x) = x 2 cosx 18) Encontre os quatro primeiros termos da série de MacLauren n 0 )n( x !n )0(f)x(f ∑= para as seguintes funções: a) x1)x(f += ; b) 3)1x( 1)x(f + = 4 19) Usando a série de MacLauren encontre a) Um polinômio de grau 2 para aproximar a função 2x1 1)x(f − = b) Um polinômio de grau 3 para aproximar a função 5 x1)x(f += 20) A partir da série da função f(x) = ex; encontre uma série de potências de x para a função 2xef(x) −= . Use a série encontrada para encontrar a expansão em série da integral ∫ − 1 0 2x dxe e calcule o valor da soma parcial s5. (Observe que a série encontrada converge por Leibniz e que portanto a soma s5 tem erro menor que a6 ). Calcule o erro. 21) “Se ε é o erro de uma aproximação, então esta terá precisão de k casas decimais se k10x5,0ε −< .” .Usando este resultado, calcule: a) ∫ − 1 0 2x2 dxex , com precisão de três casas decimais. b) ∫ 1 0 2 2 dx x xsen , com precisão de cinco casas decimais. c) ∫ 2,0 0 2 dx)xcos( , com precisão de quatro casas decimais. 22) Use a série do exercício 16 b) para encontrar ln(1,1) com precisão de três casas decimais 23) Use séries de potências para provar a fórmula de Euler xsenixcoseix += 24) Com relação à convergência de séries, analise as seguintes afirmações I. Se a série ∑ é convergente, então = +∞→ II. A série ∑ + é divergente III. Se o raio de convergência da série ∑ − é 3, então uma possível região de convergência é ] [− . IV. Se a série ∑ − converge para valores de x tais que <− , então o raio de convergência da série é 2/3. É correto apenas o que se afirma em A) I e II B) I e III C) III e IV D) I, II e IV E) II, III, IV 5 25) A força da gravidade em um objeto de massa m a uma altura h acima da superfície da Terra é + = , onde R é o raio da Terra e g a aceleração da gravidade. Fazendo = pode-se escrever F em função de H, + = . A série de potências em H de F mostra que se aproximarmos F pelo primeiro termo da série obtemos a expressão ≈ que é a expressão usada quando h é muito menor que R, ou seja → . A série de potências em H de F é dada por A) +++++= B) ++++=C) ++++= D) ++++= E) +−+−= 26) Na teoria da relatividade de Einstein, a massa de um objeto se movendo a uma velocidade v é dada pela expressão − −= , em que, m0 é a massa do objeto em repouso e c é a velocidade da luz. A energia cinética relativística K do objeto é a diferença entre sua energia total e sua energia em repouso e é dada por − −=−= − O desenvolvimento em série de Maclaurin da função K mostra que se considerarmos v muito menor que c, então a energia relativística é praticamente igual à energia newtoniana. O coeficiente do termo em v2 do desenvolvimento em série de potências de v da energia K é dado por A) ; B) ; C) ; D) ; E) 6 Respostas: 1) a) Converge a 2 1 ; b) Diverge; c) Diverge; d) Converge a 1; e) Converge a −1 2) a) 9 4 ; b) 495 2543 ; c) 999 159 3) 45m; 4) 7 8 ; 5) a) 22 16 − m ; b) 8 m2 6) b = ln(8/9) 7) A série converge para [3,1]x −∈ e sua soma é x3 2S − = 8 a) 4 1 − ; b) 3 2 ; c) 4 37 ; d) 72 7 ; e) 12 23 ; f) 12 25 9) a) 896,0 1728 1549 s4 ≅= . O erro absoluto cometido é menor que a5 = 0,008 b) 459,0 720 331 s3 ≅= . O erro absoluto cometido é menor que a4 = 0,0000248 10) a) 9; b) 5 ; 11) 2.10 1 10 1 2−=S 12) São divergentes: c); d); f); j); l); m) e o) As demais convergem. 14) a) Dc = ]1, −1[; r = 1; b) Dc = ]−4/3, −2/3[ ; r = 1/3; c) Dc = ] 1, 5 [; r = 2 ; d) Dc = R , r = ∞ e) Dc= ]−1, 5[, r = 3 15) a) 1,1[] x;x1)( 0 1nn −∈−∑ + ; b) 1,1[] x;x1)( 0 2nn −∈−∑ ; c) ∑ −∈+ 0 22n 2n 2,2[] x; 2 x d) ∑ −∈− + + 0 33n 23nn 2,2[] x; 2 x)1( 17) a) Rx ; n! x1)( 0 2nn ∈∀−∑ ; b) Rx ; n!2 x1)( 0 n 12nn ∈∀−∑ + ; c) Rx; 1)!(2n x21)( 0 22n12nn ∈∀ + − ∑ ++ ; d) Rx;(2n)! x1)( 0 22nn ∈∀−∑ + 18) a) ... 16 x 8 x 2 x1x1 32 ++−+=+ ; b) 323 x10x6x31)x1( 1 −+−= + 19) a) 2 x1 x1 1 2 2 += − ; b) 325 x 750 36 x 50 4 5 x1x1 +−+=+ 20) ∑∫ + − = − 0 n1 0 2x 1)n!(2n 1)(dxe ; !5.11 1 9.4! 1 7.3! 1 5.2! 1 3 11s5 −+−+−= . O erro é menor que 13.6! 1 a 6 = 21) a) 1560 1 264 1 54 1 14 1 5 1 3 1 s5 ++−+−= ; b) !7.13 1 !5.9 1 !3.5 11s3 −+−= ; c) 5 1 s0 = 22) 200 1 10 1 s1 −= = 0,095; 24) D) 25) E; 26) A
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