Lista de Matriz

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA 
Curso: ENGENHARIA 
Disciplina: ALGEBRA LINEAR 
Professora: Stela Maria Azevedo 
1ª Lista de Exercícios 
 
 
1) Determine 
x y.
 para que se tenha 
1 2
18 4
1 1
3 4
x y
x
y
y x







 








. 
2) Considere as matrizes 
A B C





 






 






1 1
3 2
5 4
1 0
0 2
3 4
, e 
. Mostre as seguintes propriedades: 
 
a) 
   A B C A B C    
 (associativa na adição). 
 
b) 
   A B B A  
 (comutativa na adição). 
 
c) 
 A A   0
 (matriz oposta). 
 
d) 
    A A  , , 
. (associativa na multiplicação por escalar) 
 
e) 
   A B A B    , 
. (distributiva por escalar). 
 
f) 
   AB C A BC
 (associativa na multiplicação). 
 
g) 
 A B C AC BC  
 (distributiva à direita). 
 
h) 
 A B C AB AC  
 (distributiva à esquerda). 
 
i) 
       B C B C BC   , 
. 
 
j) 
AB BA
 (as matrizes não comutam necessariamente). 
 
k) 
 A At t 
. 
 
l) 
 A B A B
t t t  
. 
 
m) 
    A At t  , 
. 
 
n) 
 AB B A
t t t
 (é falso 
 AB A B
t t t
). 
 
3).Considere as seguintes matrizes: 
A B C D E






 






 







 





 






1 2
3 4
5 0
6 7
1 3 4
2 6 5
1 2
3 4
5 4
6 11
, , , e 
. 
 
a) Determine 
5 2A B
 e 
2 3A B
. 
b) Determine 
A AA2 
 e 
AC
. 
c) Mostre que as matrizes D e E comutam e A e B não comutam. 
 
4). Encontre as matrizes de ordem 2 e 3 que comutam, respectivamente, com: 
 
a) 
1 1
0 1






 
b) 1 1 0
0 1 1
0 0 1










 
5). Determine, se possível, 
x 
 para que a matriz 0 2 1
0 4
1 0
2
3
x
x x
x x












 seja: a) Simétrica b) anti-simétrica. 
6). Dada a matriz 
A  










2 0 2
1 1 2
0 3 0
, mostre que 
S AAt
 é uma matriz simétrica. (O produto de uma matriz 
quadrada A pela sua transposta At é uma matriz simétrica). Prove este resultado para matrizes de ordem 2 e 3. 
 
7). Seja 
A 






1 2
3 6
. Ache uma matriz 
 B bij
x

2 3
, com elementos distintos, tal que 
AB  0
. (observe que 
AB  0
 não implica 
A B 0 0 ou 
). 
 
8). Seja 
A 

 
 










2 1 1
3 4 3
5 5 4
. Mostre que A é idempotente, isto é, 
A A2 
. Generalize 
A A nn   , 2
. 
 
9). Seja 
B 

 
 










1 1 1
3 3 3
4 4 4
. Mostre que B é nilpotente de índice 2. Generalize 
B nn   0 2, 
. 
 
10). Dada a matriz 
M 











cos sen
sen cos ,
 
  
0
0
0 0 1
 
, calcule 
MM t
 e classifique a matriz M. 
11). Seja 
 g x x x  2 3 10
. Mostre que 
A 







1 2
3 4
é uma raiz do polinômio 
 g x
. Obs: 
  10 10 2I
). 
 
12). Resolva as equações matriciais abaixo: 
 
a) 
3 4
2 3
1
1





 







. X
 
b) 1 0 0
2 1 0
2 3 1
5
7
2





















.Y
 
c) 
2 2
5 5
1 2
3 5
1 7
2 7





 





 





.W
 
13). Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso 
afirmativo, determine a sua inversa. 
 
a) 
A 






1 3
2 7
 
b) 
B 












2 5 1
4 1 2
0 4 1
 c) 
C 













1 1 2
3 2 4
0 1 2
 
14). Usando escalonamento por linhas, resolva os seguintes sistemas de equações lineares: 
 
a) 2 2 10
3 2 2 1
5 4 3 4
x y z
x y z
x y z
  
  
  





 b) 
x y z
x y z
x y z
  
   
   





1
2 5 2 5
2 7 8
 
c) 
2 3 11
4 3 2 0
6
3 4
x y z
x y z
x y z
x y z
  
  
  
  







 
 
d) x y z
x y z
x y z
  
  
  





4
2 5 2 3
7 7 5
 
e) 
x y z
x y z
  
  



2 3 0
2 5 6 0
 
f) 
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
   
   
    
   







0
4
4
2
 
 
 
15). Determine os valores de 
  e 
 que tornam o sistema a seguir possível e determinado: 
3 7
5 3 5 2
2 1
x y
x y
x y
x y
 
 
  
   









 
 
 
 
16). Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares: 
 
a) 
kx ky
x ky
 
 



3 0
2 4
 
b)   
 
 





4 3 2
5 4 0
2
x y
x y
x y k
 c) 2 5 2 0
0
2 0 0
x y z
x y z
x y kz
  
  
  





 d) x y z
x y kz k
 y kz
   
  
 





1
2 4
1 
 
 
Respostas 
1.
1 4
1 2






 2.10 3. a) 















5 10
27 34
17 4
12 13
 e 
 b) 
7 6
9 22
5 9 6
5 33 32









 





 e 
 
 
4. a) 
x y
x
x y
0





 , , 
 b) x y z
x y
x
x y z0
0 0










 , , , 
 5. a) 
x  0
 b) 
x  2
 
6. 
S  











8 6 0
6 6 3
0 3 9
 7. 
B 
  






2 4 6
1 2 3
. Existem outras. 
 
8. 
MM I M Mt t   1
. M é ortogonal. 9. 
 g A  0
 
10. a) 
X A C B  1 1. .
 b) 
X I B 
 c) 
 X B C A C 

. . .1
1
 d) 
X B
 e) 
 X B A A Bt t


1
1. . .
 
11. a) 
X 







1
1
 b) 
Y  










5
3
1
 c) 
W 
 





1 21
0 13
 
13. a) 
A 







1
7 3
2 1
 b) 
B  













1
1 6 1 6 1 6
2 27 1 27 4 27
8 27 4 27 11 27
 c) C não é inversível. 
14. a) 
   x y z, , , , 12 3
 b) 
   x y z, , , , 1 11
 c) 
   x y z, , , , 12 5
 d) não existe solução. 
 
 e) 
x z y  3 0 0 e 
 f) 
   x y z t, , , , , ,  1 12 2
 15.
  2 4 e 
 
 
16. a) Se 
k k 0 6 e 
 o sistema é compatível (determinado); 
 Se 
k  0
 o sistema é compatível (indeterminado). 
 Se 
k  6
 o sistema é impossível. 
 
 b) Se 
k  6
 o sistema é incompatível; 
 Se 
k  6
 o sistema é compatível (determinado). 
 
 c) Se 
k  2
 o sistema é compatível (indeterminado); 
 Sek  2
 o sistema é compatível (determinado). 
 
 d) Se 
k  2 5
 o sistema é incompatível; 
 Se 
k  2 5
 o sistema é compatível (determinado).