Lista de Álgebra Linear

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA 
 DEPARTAMENTO DE CÊNCIAS EXATAS 
1ª LISTA ÁLGEBRA LINEAR 
1
a
 LISTA DE EXERCÍCIOS (ÁLGEBRA LINEAR) 
 
0.1). Dada a matriz 
A  










2 0 2
1 1 2
0 3 0
, mostre que 
S AAt
 é uma matriz simétrica. (O produto de uma 
matriz quadrada A pela sua transposta A
t
 é uma matriz simétrica). 
0.2). Determine, se possível, 
x 
 para que a matriz 0 2 1
0 4
1 0
2
3
x
x x
x x












 seja: 
a) simétrica 
 
b) anti-simétrica 
 
0.3). Seja 
A 

 
 










2 1 1
3 4 3
5 5 4
. Mostre que A é idempotente, isto é, 
A A2 
. Generalize 
A A nn   , 2
. 
 
0.4). Seja 
B 

 
 










1 1 1
3 3 3
4 4 4
. Mostre que B é nilpotente de índice 2. Generalize 
B nn   0 2, 
. 
 
0.5). Dada a matriz 
M 











cos sen
sen cos ,
 
  
0
0
0 0 1
 
, calcule 
MM t
 e classifique a matriz M. 
 
1. Usando escalonamento por linhas, resolva os seguintes sistemas de equações lineares: 
 
a) 2 2 10
3 2 2 1
5 4 3 4
x y z
x y z
x y z
  
  
  





 b) 
x y z
x y z
x y z
  
   
   





1
2 5 2 5
2 7 8
 
c) 
2 3 11
4 3 2 0
6
3 4
x y z
x y z
x y z
x y z
  
  
  
  







 
 
d) x y z
x y z
x y z
  
  
  





4
2 5 2 3
7 7 5
 
e) 
x y z
x y z
  
  



2 3 0
2 5 6 0
 
f) 
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
   
   
    
   







0
4
4
2
 
 
2. Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer. 
 
a) 2 2 4
2 1
3 5 2 1
x y z
x y z
x y z
  
   
  





 b) x y z
y z
x y z
  
 
  





3 0
2 2 0
0
 
 c) x y z
x y z
x y z
  
  
  





0
2 1
3 1
 
 
3. Determine os valores de 
  e 
 que tornam o sistema a seguir possível e determinado: 
3 7
5 3 5 2
2 1
x y
x y
x y
x y
 
 
  
   









 
 
 
4. Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares: 
 
a) 
kx ky
x ky
 
 



3 0
2 4
 
b)   
 
 





4 3 2
5 4 0
2
x y
x y
x y k
 c) 2 5 2 0
0
2 0 0
x y z
x y z
x y kz
  
  
  





 d) x y z
x y kz k
 y kz
   
  
 





1
2 4
1 
 
Respostas 
 
0.1 
 
S  











8 6 0
6 6 3
0 3 9 
0.2 
a) x  0 b) x  2 
0.5 MM I M Mt t   1. M é ortogonal. 
 
1. a) 
   x y z, , , , 12 3
 b) 
   x y z, , , , 1 11
 c) 
   x y z, , , , 12 5
 
 
 d) não existe solução. e) 
x z y  3 0 0 e 
 f) 
   x y z t, , , , , ,  1 12 2
 
2. a) 
   x y z, , , ,  5 2 2
 b) 
   x y z, , , , 0 0 0
 c) 
   x y z, , , , 1 4 1 8 3 8
 
3. 
  2 4 e 
 
4.a) Se 
k k 0 6 e 
 o sistema é compatível (determinado); b) Se 
k  6
 o sistema é incompatível; 
 Se 
k  0
 o sistema é compatível (indeterminado). Se 
k  6
 o sistema é compatível (determinado). 
 Se 
k  6
 o sistema é impossível. 
 
c) Se 
k  2
 o sistema é compatível (indeterminado); d)Se 
k  2 5
 o sistema é incompatível; 
 Se 
k  2
 o sistema é compatível (determinado). Se 
k  2 5
 o sistema é compatível (determinado).