Lista de exercícios 3

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3100 - Pre´-ca´lculo
3a lista de exerc´ıcios (14/08/2017 a 18/08/2017)
1. Resolva as expresso˜es abaixo:
24;(a) 73;(b) 05;(c) 113;(d) (−1)6;(e)
(−1)7;(f) (−2)4;(g) −24;(h) (−5)3;(i) −53;(j)
(−13)4;(k) (−14)3;(l) ((−1)4)3;(m) ((−1)3)4;(n)
(
1
2
)5
;(o)
(
2
3
)2
;(p)
(−5
2
)2
;(q)
(
−1
4
)3
;(r)
(−2
3
)4
.(s)
2. Usando as propriedades de potenciac¸a˜o, simplificar e dar a resposta na forma de poteˆncias de nu´meros
primos:
125 · 203
304
;(a)
(−84 · 322
22 · 410
)3
;(b)
30 · 3 · 35
(32)4
;(c)
−26;(d) (−135)2;(e) (−116)4;(f)
(−88)5;(g) [(−28)2]3;(h) (−16)23 ;(i)
(3 · 25 · 213)2;(j)
−(36 · 632 · (42)4
272 · 2
)23.(k)
3. Dizer, em cada caso, se a igualdade e´ verdadeira ou falsa:
(2 · 3)2 = 22 · 32;(a) (3 + 4)2 = 32 + 42;(b) 25 : 23 = 22;(c)
(a− b)2 = a2 − b2;(d)
(a
b
)2
= a2 − b2;(e) a
2
b2
= a2 − b2;(f)
a2
b2
=
(a
b
)2
;(g) (a2)3 = a2
3
;(h) −24 = (−2)4.(i)
Observac¸a˜o. Alguns itens acima na˜o fazem sentido para situac¸o˜es particulares das varia´veis. Por
exemplo, os itens (e), (f) e (g) na˜o esta˜o definidos no caso b = 0. Nesses itens, fac¸a a ana´lise da
igualdade nos casos em que a expressa˜o faz sentido (por exemplo, em (e), (f) e (g) diga se o item e´
verdadeiro ou falso ja´ assumindo que b 6= 0).
4. Simplificar o quanto for poss´ıvel, dando as respostas na forma de poteˆncias de 10:
1;(a) 0, 000001;(b) (−0, 1)−3;(c)
−(−1000)3;(d) (−100)4 : (−10)5.(e)
1
5. Efetuar as operac¸o˜es seguintes, dando as respostas em notac¸a˜o cient´ıfica (isto e´, com apenas um alga-
rismo na˜o nulo a` esquerda da v´ırgula):
1002 · 10−1 + 32 · 10−5;(a) 5 · 1040 + 9 · 1042;(b) (0, 0809 · 1032) · (0, 37 · 1045).(c)
6. Simplifique e deˆ as respostas na forma de poteˆncias de 2:
−(−0, 5)−3;(a) 0, 03125−5;(b) (−0, 25)−2 · (−32)−3.(c)
7. Resolva as expresso˜es abaixo e deˆ a resposta em forma de frac¸a˜o.
0, 53;(a) 0, 12;(b) 0, 120;(c) (−0, 0625)4.(d)
Observac¸a˜o. Tente resolver por dois me´todos: (1) resolver as poteˆncias na forma decimal e depois
converter para frac¸a˜o e (2) converter a base da poteˆncia para frac¸a˜o e depois efetuar a poteˆncia.
8. Resolva as expresso˜es abaixo e deˆ a resposta na forma decimal.
(0, 2)2;(a) 1, 32;(b) −0, 422;(c) (−0, 15)2.(d)
Observac¸a˜o. Tente resolver por dois me´todos: (1) resolver as poteˆncias na forma decimal e (2) converter
a base da poteˆncia para frac¸a˜o, efetuar a poteˆncia e depois converter para escrita decimal.
9. Simplifique a expresso˜es:
10 · 0, 01 + 0, 2 · 10−3
0, 005
− 4 · 10
−3 · 3 · 10−5
0, 0005 · 10−3 ;(a)
32x−1 − 9x · 5 + 2 · 9x−1
9x + 27 · 32x−3 − 2 (3x−1)2 ;(b)
32
x
15
+ 3
5 + 3 ·
(
1
8
)−x
9
− 2
3
− 9 · 4x6+ 12
2
x
3
+4 + 9 ·
(
1
2
)−x
3
−1
− 2x3+5
.(c)
10. Resolva as expresso˜es abaixo:
|5|;(a) |0|;(b)
∣∣∣∣−12
∣∣∣∣;(c)
|7− 5|;(d) |5− 7|;(e) |a− 1|, com a ≥ 1;(f)
|a− 1|, com a ≤ 1;(g) |a− 1|, com a > 3;(h) |a− 1|, com a < −2;(i)
11. Resolva as expresso˜es abaixo, indicando as que na˜o esta˜o definidas em R:
3
√
8;(a) 3
√−27;(b) 3√0;(c) 7√−128;(d) √−9;(e) 4√625.(f)
3
√
125;(g)
√
36;(h) 5
√−1;(i) 4√−81;(j) 7√0;(k) 6√0;(l)
√
144;(m) 12
√
1;(n) 8
√−1;(o) 7√1;(p) 15√−1;(q) √−121.(r)
2
12. Simplifique as expresso˜es abaixo, indicando as que na˜o esta˜o definidas em R:√
(−7)2;(a) √−32;(b)
3
√
(−2)3;(c) 4
√
(−3)4;(d)
3
√
712;(e) p
√
an·p, com a ∈ R e n, p ∈ N;(f)
3
√
23 · 2 · 312;(g) 10√25a6, com a ∈ R;(h)√
72x5y4, com x, y ∈ R e x ≥ 0;(i) 6
√
(
√
8− 3)6;(j)
√
a2;(k) 4
√
(x− y)4;(l)(
3
√√
3
√
220
)5
.(m)
13. Transformar os radicais a seguir em poteˆncias de expoentes fraciona´rios e, a seguir, simplificar quando
poss´ıvel (seguir exemplo do item (a)):
12
√
58 = 5
8
12 = 5
2
3 ;(a)
3
√
1121;(b)
n
√
6, n ∈ N∗;(c) √a2 a b6 b c4, com a ≥ 0 e b ≥ 0;(d)
7
√
x16;(e)
6
√
64 a8 b16;(f)
3
√
a3b2;(g)
5
√
215a2;(h)
√
32a5b, com a ≥ 0 e b ≥ 0;(i) 4√1250x10;(j)
√
32;(k)
√
(
√
3− 2)2.(l)
14. Simplifique e deˆ as respostas em forma de radicais (seguir o exemplo do item (a)):
16
1
8 = (24)
1
8 = 2
4
8 = 2
1
2 =
√
2;(a) −49 12 ;(b)
(−6)0,5;(c) −27− 13 ;(d)(
1
625
)−4−1
.(e)
15. Determine se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa. No caso de a afirmac¸a˜o ser falsa, deˆ um exemplo para
justificar.
3
√
a + b = 3
√
a + 3
√
b, ∀ a, b ∈ R;(a) 4√a · b = 4√a · 4√b, ∀ a, b ∈ R+;(b)
4
√
a · b = 4√a · 4√b, ∀ a, b ∈ R;(c)
√
a√
b
=
√
a
b
, ∀ a, b ∈ R∗+;(d)
√
a√
b
=
√
a
b
, ∀ a, b ∈ R;(e) 5√a− 5√b = 5√a− b, ∀ a, b ∈ R;(f)
6
√
x3 · y = √x · y, ∀x, y ∈ R;(g)
√
(a− b)2 = a− b, ∀ a, b ∈ R;(h)√
(a− b)2 = a− b, se a > b;(i) 3
√
(a− b)3 = a− b, ∀ a, b ∈ R.(j)
3
16. Simplifique as expresso˜es abaixo efetuando somas de radicais:
3
√
2 + 2 3
√
2− 7 3√2 + 3√2;(a)
5
√
4 + 10 5
√
8− 4 5√16− 5√22 + 5 5√24 − 9 5√23;(b)
4
√
7− [9√5− (2√7−√5)]− [8√5− (6√5−√7)];(c)
1
6
3
√
3− 1
4
3
√
3 +
√
3− 2
3
3
√
3− 1
2
4
√
9.(d)
17. Simplifique sempre que poss´ıvel:
15
√
x2 · 10√x3;(a) 4√a÷ 12√a;(b)
24
√
8x2y5
16
√
4xy2
;(c)
15
√
m2 · 20√m17
30
√
m11
;(d)
(
9
8
√
32a4b2c · 6 12√8a4b5c3)÷ (27 6√16a5b3c2);(e)
3xy
4a
· 3
√
2a2
9xy2
9x
2a
· 4
√
3x2
8ay
.(f)
18. Simplifique sempre que poss´ıvel:
5
√
4
√
2;(a)
(
6
√
a
)13
;(b)
√
3
√
58;(c)
3
√√
5
√
1024;(d)(
16 4
√
8
)2
;(e)
(
2
√
x
)3
;(f)
(
3
√
6√
510
3√
52
)4
;(g)
(
3
√
7
√
8x3
)14
.(h)
19. Racionalize os denominadores das seguintes frac¸o˜es:
1
7
√
23
;(a)
10
4
√
5
;(b)
1√
3
;(c)
1√
3 +
√
2
;(d)
6√
5−√2;(e)
−1√
3− 2;(f)√
2− 3
1−√2;(g)
2
3
√
5− 3√3;(h)
1
1 + 3
√
2
.(i)
20. Racionalize os numeradores das seguintes frac¸o˜es:
7
√
23
5
;(a)
√
3 +
√
2;(b)
√
5−√2
9
;(c)
√
3− 2√
3 + 2
;(d)
√
4 + h− 2
h
;(e)
√
x + 2−√3
3x− 3 .(f)
Comenta´rio. Voceˆ deve estar achando estranho um exerc´ıcio para racionalizar o numerador. Por acaso
voceˆ ja´ se perguntou por que racionalizamos o denominador de uma frac¸a˜o? Por que na˜o podemos
deixar ra´ızes no denominador? De fato, na˜o ha´ nenhum mal em deixar ra´ızes no denominador. O
importante na racionalizac¸a˜o e´ o processo utilizado e saber que uma mesma frac¸a˜o pode ser reescrita
de diversas outras formas. Nas disciplinas de ca´lculo voceˆ vera´ a necessidade de conhecer me´todos para
reescrever frac¸o˜es removendo ra´ızes do numerador ou do denominador, conforme a situac¸a˜o exigir.
Lista de exerc´ıcios retirada e adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerc´ıcios de Matema´tica - vol. 1, Revisa˜o de 1o grau. Segunda
edic¸a˜o, Editora Policarpo, Sa˜o Paulo, 1998.
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