QUESTÕES DE ANALISE COMBINATORIA

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QUESTÕES DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
Q1 - Determine o número de anagramas que podem ser formados com as letras do nome ALEMANHA (R: 6720).
Permutação com elementos repetidos. Permutação total (8!, por ser oito letras), dividido por 3! (repetição de A):
Q2 -  Pedro e Júlia são 2 crianças de um total de 8 que, de mãos dadas, brincam de roda. De quantas maneiras elas podem brincar ficando Ana e Pedro sempre lado a lado? (R: 1440)
Conta-se Pedro e Júlia como 1 criança só. Assim, seriam “7” crianças.
Além disso, a permutação circular é dada por (n-1)!
Portanto, aplica-se 6! = 720. 
Agora, inverte-se a ordem de Pedro e Júlia e repete-se o processo, obtendo mais 720 possibilidades, num total de 1440 (720 x 2 = 1440).
Q3 - (ITA - adaptada) No sistema decimal, quantos números de cinco algarismos (sem repetição) podemos escrever, de modo que os algarismos 0 (zero), 2 (dois) e 4(quatro) aparecem agrupados? Obs: Considerar somente números de 5 algarismos em que o primeiro algarismo é diferente de Zero. R: 1428.
024 = um caractere só. Além destes, sobram 7 caracteres (1,3,5,6,7,8,9) para a quarta posição e seis para a última. Ou seja, temos 42 opções de embaralhar esses caracteres. Lembrando que nosso número pode ser algo como 024xy, x024y ou xy024.
Mas observe que podemos ter 024, 042, 240, 204, 402 e 420. Portanto: 252 x 6 = 1512
Agora, nas permutações 024 e 042 precisamos deduzir, em cada uma, 42 situações diferentes, que são aquelas em que o número começa com 0 (exemplo: 02413). 
1512 – 84 = 1428.
Q4 – (UFCE) Quantos números inteiros podem ser formados com três algarismos distintos, todos ímpares, entre 315 e 795, inclusive? R: 36
3xx: 4 x 3 = 12 números
5xx: idem
7xx: idem
Resultado: 12 x 3 = 36.
Q5 – (UFAL) Com os algarismos entre 1 e 7, formam-se números de 4 algarismos distintos. Quantos destes não são divisíveis por 5? R: 720.
Total de números: 7 x 6 x 5 x 4 = 840
Múltiplos de 5 (que são os números que não queremos): 6 x 5 x 4 = 120
Resultado: 840 – 120 = 720.
Q6 – (UFSM) Numa Câmara de Vereadores, trabalham 6 vereadores do partido A, 5 do partido B e 4 do partido C. Para se formar uma comissão de 7 vereadores, de quantas maneiras podemos realizar isso sabendo que na comissão há 3 vereadores do partido A e 2 de cada um dos demais partidos? R: 1200.
Devido ao fato de a ordem que se elencar os vereadores não ser relevante, trata-se esse problema de COMBINAÇÃO.
A fórmula de combinação é dada por:
Partido A: C6,3 = 20
Partido B: C5,2 = 10
Partido C: C4,2 = 6
Como os partidos são eventos independentes, fazemos a multiplicação.
Resultado: 20 x 10 x 6 = 1200
Q7 – (ENEM 2014 – adaptada). Uma videolocadora recebeu 16 lançamentos: 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama. Um cliente, diariamente, aluga dois filmes diferentes. Primeiro, um de ação e um de comédia. Após devolver a última comédia, alugará 1 de ação e 1 de drama. No final de oito dias, terá visto todos os filmes. De quantas formas diferentes o cliente pode formar as duplas de filmes de ação e comédia dos cinco primeiros dias? R: 806.400
Para alugar os filmes de ação, levando em conta a relevância da ordem, temos um arranjo. Então: 8 x 7 x 6 x 5 x 4.
Analogamente, para comédia: 5 x 4 x 3 x 2. 
Portanto, o resultado final vem da multiplicação dos arranjos, que resulta em 806.400.
(8 x 7 x 6 x 5 x 4) x (5 x 4 x 3 x 2) = 806.400
Q8 – (ENEM 2014). Certo banco utiliza senhas para proteger as contas bancárias dos clientes. Para melhorar sua segurança, ele aumentou a senha em dois caracteres: um no começo e outro no final da senha original. Esses caracteres são vogais e há diferença entre letras maiúsculas e minúsculas. A repetição é permitida. Uma consequência foi o aumento do número de possibilidades de senhas. Em quantas vezes foi aumentado esse número? R: 100
São dez caracteres: A, E, I, O, U, a, e, i, o, u. Cada posição tem 10 possibilidades, visto que é possível repeti-los, o total de possibilidades é de 100 (10 x 10).
Q9 - (Enem 2012 - adaptada) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há ____ alunos a mais do que possibilidades de respostas. R: 10
Multiplicar os objetos por personagens e cômodos: 5 x 6 x 9 = 270. 
Com certeza, até o 270º aluno ser sorteado, a resposta foi encontrada, portanto existem 10 alunos a mais que certamente não terão tempo para participar da atividade.
Q10 - (Enem 2011) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75.913 é ____ R: 89º 
Os que começam com 1 são 24 (permutação dos quatro algarismos restantes). Da mesma forma, os que começam com 3 e 5.
Daí: 24 x 3 = 72.
Já os que começam com 71 e 73, são 12 (permutação dos três algarismos menos significativos).
Portanto, 72 + 12 = 84.
Os que começam com 75 também são 6, contudo o último deles é o 75931, que seria o 88º. Por lógica, o anterior 75913 deve ser o 73º.