QUESTOES SOBRE FUNCOES TRIGONOMETRICAS

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QUESTÕES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Q1 (UFRGS – 2015 – adaptada) O gráfico da função f, definida por f(x) = cos(x) , e o gráfico da função g, quando representados no mesmo sistema de coordenadas, possuem somente dois pontos em comum. Mostre que a função g pode ser dada por g(x) = x2.
A função g é uma parábola cujo vértice está na origem. A função f é crescente no intervalo [-90°,0] e decrescente no intervalo [0,90°] tendo, como contradomínio, o conjunto [1-,1]. A função g é crescente no intervalo [0,+∞) e, portanto, no intervalo [0,90°] e decrescente no intervalo (-∞,0] e, portanto, no intervalo [90°,0]. Considerando que o contradomínio de g é o conjunto [0,+∞], então haverá um encontro no intervalo [-90°,0°] e outro encontro no intervalo [0,90°]. Depois disso, a imagem de g continua crescendo, superando a unidade e não mais se encontrando com f.
Q2 (UFRGS – 2012 – adaptada) O número de interseções da função y = sen(5x) com o eixo das abscissas no intervalo [−2π, 2π] é
O período da função seno y=sen(ax) é dado por . No caso, temos que y é uma função de período . A função seno intercepta a origem e, no intervalo (0, 2π], interceptará vezes, ou seja, dez vezes. No outro sentido, como seno é uma função simétrica em relação ao eixo-y, interceptará também dez vezes. Além da origem, temos um total de 21 interceptos-x no intervalo dado.
Q3 (ITA – adaptada) Considere   definida por f(x) = 2sen(3x)-cos(). Verifique se a função é par ou ímpar e, se for periódica, qual o seu período?
Calcularemos f(a) e f(-a) para verificar a paridade da função, se houver:
A função seno é simétrica em relação à origem, portanto trata-se de função ímpar. Ou seja 2sen(3a)=-2sen(-3a). A função cos(x-) é ímpar, simétrica em relação à origem. Portanto, de maneira simples, podemos afirmar que:
F(a) = A – B e f(-a) = -A + B = -(A-B). Dessa maneira f é função ímpar.
Os períodos de f(x) = Ax + Bx são dados por . Como a razão entre os períodos é 3, o períodos de f será dado pelo produto do menor período por 3, ou seja 
Conclusão: f é função ímpar de período 2π.
Q4 (ITA – 2004 – adaptada) Qual o valor de cos(arcsen(3/5) + arccos(4/5)?
As funções trigonométricas inversas são definidas apenas no 1º e 4º quadrantes. O seno é positivo somente nos quadrantes 1º e 2º, portanto, trata-se de um ângulo do 1º quadrante, mas qual deles tem o seu valor de seno igual a 3/5 e cosseno igual a 4/5?
Pela relação trigonométrica, temos que:. Assim, arcsen(3/5) = arccos(4/5). Portanto, se o ângulo desconhecido é A, temos cos(2A).
Outra relação trigonométrica: 
Q5 (Unb – 2000 – adaptada)  O volume total de ar, em litros, contido nos dois pulmões de um adulto em condições físicas normais e em repouso pode ser descrito como função do tempo t, em segundos, por
V(t) = 3.(1 - cos(0,4t))/2
Qual o volume máximo de ar nos dois pulmões?
Os valores da função cos estão etnre [-1,1]. Como a função é -cos, e o objetivo é o valor máximo, vamos considerar que cos(0,4t) = -1. Assim, teremos V(t) = 3(2)/2, ou seja V(t) = 3.
Q6 (Puccamp – 2005 - adaptada) O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles a atração gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os demais fatores, teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros. O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) = a.sen (b.t), em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metros, determine os valores de a e b.
O coeficiente a representa a amplitude. Portanto, a = 1.5. Já o período da função é dado por . Sabemos que a cada 12,4 horas teremos o mesmo valor, então o período é 12,4. Resolveremos a equação 
Portanto, a função procurada é: f(t) = 1.5sen(2t).
Q7 (UFBA - adaptada) Assinale V ou F em cada item e justifique. Em trigonometria, é verdade:
 
(a) Sendo sen x = - 4/5 e x pertencente ao terceiro quadrante, então cos (x/2) = -1/5.
(b) A função inversa de f(x) = cos é g(x) = sec x.
(c) Num triângulo, a razão entre dois de seus lados é 2, e o ângulo por eles formado mede 60°; então o triângulo é retângulo.
No terceiro quadrante, sen(x) e cos(x) são negativos. Se sen(x) = -4/5, então cos(x) = -3/5. Mas:
Portanto, o item “a” é FALSO.
A função inversa tem um significado diferente do que inverso de um número. A função inversa do cosseno (quando domínio pertencente ao intervalo [-90°,90°]) é a arccos. Item “b” é FALSO.
O triângulo retângulo segue o teorema de Pitágoras. Nesse caso, o cateto adjacente ao ângulo é igual à metade da hipotenusa. Sabendo que , temos que se verifica o teorema, portanto, o item “c” está correto.
Q8 (UFPE –2004 - adaptada) O PIB (Produto Interno Bruto, que representa a soma das riquezas e dos serviços produzidos por uma nação) de certo país, no ano 2000+x, é dado, em bilhões de dólares, por
P(x) = 500 + 0,5x + 20cos(xπ/6)
onde x é um inteiro não negativo. Determine o PIB em milhões de dólares em 2004.
Sabendo que x = 4, a parte não trigonométrica é dada por 502. Vamos nos focar na função cos, que ficará como , equivalendo ao ângulo de 120° graus (2º quadrante, 30 graus à esquerda de 90°). Portanto cos(120°) = . Assim, sendo a parte trigonométrica vale -10. Deduzindo dos 502 anteriormente encontrados, temos um PIB de 492 bilhões de dólares.
Q9 (idem) Utilizar a mesma função P(x). Resolver: Em períodos de 12 anos, o PIB do país aumenta do mesmo valor, ou seja, P(x+12) - P(x) é constante. Determine esta constante (em bilhões de dólares).
Vamos calcular o período da função cos. 
Q10 (Mackenzie - adaptada) 
I) sen 2 > sen 3
II) sen 1 >  sen 30°
III) cos 2 > cos 3
 
Quais são as desigualdades verdadeiras? Justifique cada caso.
A função seno, no intervalo [2,3] é decrescente, pois esse intervalo está contido no 2º quadrante. Portanto, a desigualidade I é VERDADEIRA.
A função seno, no intervalo [30°,1] é crescente, pois esse intervalo está contido no 1º quadrante. Portanto, a desigualidade II é VERDADEIRA.
A função cosseno, assim como a seno, é decrescente. Analogamente, a desigualidade III é verdadeira.
Dica do autor: Se , podemos concluir que 1 radiano está entre 55° e 60°.