BASES PARTE 1

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BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
NOTAS DE AULA - PARTE 1 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
 
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Aula: 2 
Expressões algébricas/produtos notáveis/fatoração 
 
Objetivos 
Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Associar a potência de números inteiros à operação de multiplicação de fatores iguais. 
Efetuar o cálculo de potências em que a base é um número real diferente de zero e de um 
qualquer e o expoente inteiro. 
Resolver expressões numéricas com potências. 
Reconhecer as propriedades da potenciação e aplicá-las em cálculo simples. 
Calcular a raiz de um número racional de índice ímpar. 
Aplicar as propriedades dos radicais na resolução de exercícios. 
Simplificar radicais. 
Simplificar expressões com radicais. 
Compreender o significado dos produtos notáveis. 
Compreender e aplicar as diferentes técnicas de fatoração. 
 
Estrutura de Conteúdo 
UNIDADE 2 - ÁLGEBRA e ARITMÉTICA 
2.1 Radiciação e Potenciação 
2.2 Expressões Algébricas 
2.3 Produtos Notáveis 
2.4 Fatoração 
 
1. POTENCIAÇÃO 
A potência de expoente n ( 𝑛 ∈ ℕ e 𝑛 > 1) do número a é o produto de n fatores iguais a a. 
O número a é dito base e o número n é dito expoente. 
Notação: 𝑎𝑛 
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ ⋯ ∙ 𝑎
𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑠 𝑎 𝑎
 
 
Propriedades das Potências 
(a) Toda potência de base 𝑎 ≠ 0, elevada a expoente par, é positiva. 
(b) Toda potência de base 𝑎 ≠ 0, elevada a expoente ímpar, tem o sinal da base. 
 
Operações com Potências 
(a) Multiplicação de potências de mesma base: repete-se a base e soma-se os expoentes. 
𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
(b) Divisão de potencias de mesma base: repete-se a base e subtrai-se os expoentes. 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛 
(c) Potenciação: repete-se a base e multiplicam-se os expoentes. (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 
(d) (𝑎)0 = 1, qualquer que seja a base a 
(e) Potenciação de um produto: (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 
(f) Potenciação de um quociente: (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 
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(g) Todo número 𝑎 ≠ 0 elevado a um expoente negativo é igual ao inverso desse 
número elevado ao simétrico do expoente. 𝑎−𝑛 = (
1
𝑎
)
𝑛
 
 
2. RADICIAÇÃO 
A raiz de índice n de um número a é o número b quando 𝑏𝑛 = 𝑎 
Notação: √𝑎
𝑛
= 𝑏 
O índice n é um número inteiro maior que 1 
O número a é o radicando. 
Expoente fracionário: √𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 
 
Propriedades dos radicais 
(a) Raiz de um Produto: é igual ao produto das raízes. √𝑎 ∙ 𝑏
𝑛
= √𝑎
𝑛 ∙ √𝑏
𝑛
 
(b) Raiz de uma divisão: é igual a raiz do numerador dividida pela raiz do 
denominador. √
𝑎
𝑏
𝑛
=
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 
(c) Quando multiplicamos ou dividimos o índice do radical e o expoente do radicando 
por um número 𝑚 ≠ 0, a raiz não se altera. √𝑎𝑝
𝑛
= √𝑎𝑝∙𝑚
𝑛∙𝑚 
(d) Radicais semelhantes: possuem o mesmo índice e o mesmo radicando. 
 
Operações com radicais 
(a) Adição e Subtração (radicais semelhantes): conserva-se a raiz e soma-se os 
coeficientes. 
(b) Multiplicação e Divisão (mesmo índice): conserva-se o índice e multiplicam-se/ 
dividem-se os radicandos. 
(c) Multiplicação e Divisão (índices diferentes): reduz-se ao mesmo índice. 
(d) Potenciação: conserva-se o índice e eleva-se o radicando ao expoente. 
(e) Radiciação: conserva-se o radicando e multiplica-se os índices. 
 
3. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
Termo Algébrico (monômio): produto entre incógnitas ou produto entre números e 
incógnitas. 
Exemplo: 5𝑥𝑦𝑧 {
5: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑥𝑦𝑧: 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
 
 
Grau de um monômio (definido quando todos os expoentes são números inteiros): soma 
dos expoentes. 
Exemplo: 2𝑥2𝑦5𝑧 grau: 2+5+1=8 
Expressão Algébrica: Soma ou subtração de termos algébricos. 
Valor Numérico de expressão algébrica: é o valor obtido quando atribuímos às incógnitas 
os valores dados. 
Exemplo: Para x=3, temos como valor numérico da expressão 2𝑥2: 2(3)2 = 18 
Monômios semelhantes: mesma parte literal. 
Operações Com Monômios 
(a) Adição e Subtração (monômios semelhantes): repete-se a parte literal e somam-se/ 
subtraem-se os coeficientes 
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(b) Multiplicação e Divisão: multiplicam-se/ dividem-se as partes literais e os 
coeficientes. 
 
Classificação de Expressões Algébricas 
(a) Racionais: Não aparece incógnita dentro da raiz ou elevado a expoente fracionário. 
(b) Racionais Inteiras: Não aparece incógnita no denominador ou elevado a expoente 
negativo. 
(c) Racionais Fracionárias: Aparece incógnita no denominador ou elevado a expoente 
negativo. 
(d) Irracionais: Aparece incógnita dentro da raiz ou elevado a expoente fracionário. 
 
POLINÔMIOS: expressões algébricas racionais inteiras. 
Operações com Polinômios 
(a) Adição e Subtração: adicionam-se/subtraem-se os termos semelhantes. 
(b) Multiplicação: multiplicam-se cada termo de um polinômio por todos os termos 
do outro polinômio, e, a seguir, reduzem-se os termos semelhantes. 
(c) Divisão. 
 
Termos semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal. Os termos semelhantes 
de um polinômio podem ser substituídos por um único. Para isso basta repetir a parte literal 
(letra) e em seguida somar ou subtrair os coeficientes (números que acompanham as letras). 
 
4. PRODUTOS NOTÁVEIS 
Quadrado da soma (a+b)2 = a2 + 2 ab + b2 
 
Quadrado da diferença 
 
(a-b)2 = a2 - 2 ab + b2 
 
Produto da soma pela diferença 
 
(a+b)(a-b) = a2-b2 
Cubo de uma soma 
 
(a+b)3= a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 
Cubo de uma diferença 
 
(a-b)3= a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3 
Quadrado da soma de três termos (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 
Soma do cubo de dois termos a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 
Diferença do cubo de dois termos a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 
Produto de Stevin (x+a)(x+b) = x2+ (a+b) x +ab 
 Quando xn for impar teremos 
))(( 12321   nnnnnn kkxkxxkxkx 
 
 ax2+bx+c=a(x-r1)(x-r2) onde r1e r2 são raízes da 
equação ax2+bx+c=0 
 
5. FATORAÇÃO 
Fatorar uma expressão algébrica é transformar essa expressão num produto de dois ou 
mais fatores sem alterar a expressão original. Podemos identificar 3 casos de fatoração. 
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Caso 1 – Polinômio com um fator comum – Colocamos o fator comum em evidência, 
colocando entre parênteses o quociente da divisão do polinômio pelo fator. 
Exemplos: 
 a+ab=a(1+b) 
 2 12 12x x x x  
 - observe que x é fator comum. Temos x2 e x, devemos colocar em 
evidência a letra com o menor expoente. Nesse caso é o x. 
 2 29 15 3 3 5x y xy xy x y  
 
 
Caso 2 – (A)Grupamento – Consiste na aplicação do processo da evidenciação mais uma 
vez. 
Exemplo: ax + bx + ay + by = x (a+b) + y (a + b) = (a + b) (x + y) 
 
Caso 3 – Identificação – Devemos identificar a expressão como um dos produtos notáveis 
conhecidos. 
 
 
Avaliação 
1. O valor da expressão 
(−5)2−42+(
1
5
)
0
3(−2)+1
 é: 
25 − 16 + 1
1
9 + 1
=
10
1 + 9
9
= 10 ∙
9
10
= 9 
 
2. A expressão 
5 √64
12
−√18
√50− √324
4 é igual a: 
 
5 √64
12
− √18
√50 − √324
4
=
5 √26
12
− √32 ∙ 2
√52 ∙ 2 − √22 ∙ 34
4 =
5 √26
12
− √32√2
√52√2 − √22
4
√34
4 =
5√2 − 3√2
5√2 − 3√2
=
2√2
2√2
= 1 
 
 
3. Utilizando as propriedades das potências, reduza a expressão abaixo a uma única potência 
[52 ∙ 55 ∙ 1254]3: [252 ∙ 52 ∙ 5]2[52 ∙ 55 ∙ (53)4]3: [(52)2 ∙ 52 ∙ 5]2 = [52 ∙ 55 ∙ 512]3: [54 ∙ 52 ∙ 5]2 = [519]3: [57]2
= 557: 514 = 543 
 
4. Utilizando as propriedades de potenciação e sabendo que a = 2, calcule o valor numérico 
da expressão: 
𝐴 =
𝑎2 − (−𝑎)3 + 𝑎 + (−𝑎3)2
𝑎−1 + (−𝑎)2 − 𝑎−1
 
𝐴 =
𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎 + 𝑎6
𝑎2
=
𝑎2
𝑎2
+
𝑎3
𝑎2
+
𝑎
𝑎2
+
𝑎6
𝑎2
= 1 + 𝑎 +
1
𝑎
+ 𝑎4 
Substituindo a=2 
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𝐴 = 1 + 2 +
1
2
+ 24 = 19 +
1
2
=
39
2
 
 
 
5. Utilize as propriedades da potenciação para encontrar o valor numérico de 
[(100 − 26 ∙ 4−3) ∙ 32]−1: (23 ∙ 32)−2 
 
 
[(1 − 26 ∙ (22)−3) ∙ 32]−1: (23 ∙ 32)−2 = [(1 − 26 ∙ 2−6) ∙ 32]−1: (23 ∙ 32)−2
= [(1 − 1) ∙ 32]: (23 ∙ 32)−2 = 0: (23 ∙ 32)−2 = 0 
 
6. (UFMG) A expressão 
𝑎
−
1
9∙(𝑎
−
1
3)
2
÷(−
1
𝑎
)
2
−𝑎2
 com a ≠ 0 é equivalente a: 
a) 9√-a5 b) 9√ a5 c) -9√a-7 d) 9√ a7 e) 9√ a-7 
 
 
𝑎
−
1
9∙(𝑎
−
1
3)
2
÷(−
1
𝑎
)
2
−𝑎2
=
𝑎
−
1
9∙𝑎
−
2
3÷
1
𝑎2
−𝑎2
= 
𝑎
−
1
9∙𝑎
−
2
3÷𝑎−2
−𝑎2
=
𝑎
−
1
9
+(−
2
3
)−(−2)
−𝑎2
=
𝑎
11
9
−𝑎2
= −𝑎−
7
9 = −√𝑎−7
9
 
 
 
7. (UEL) Simplificando-se a expressão 
33−𝑛+3∙32−𝑛−9∙31−𝑛
9∙32−𝑛
, para 𝑛 ∈ ℝ, obtém-se: 
a) 1/6 b) 
1/3 c) 6 . 3
n – 1 d)1 – 31 – n e) – 3n + 1 
 
 
33−𝑛 + 3 ∙ 32−𝑛 − 9 ∙ 31−𝑛
9 ∙ 32−𝑛
=
33−𝑛 + 3 ∙ 32−𝑛 − 32 ∙ 31−𝑛
32 ∙ 32−𝑛
=
33−𝑛 + 33−𝑛 − 33−𝑛
34−𝑛
=
33−𝑛
34−𝑛
= 33−𝑛−4+𝑛 = 3−1 =
1
3
 
 
8.Resolva a expressão √2 ∙ (√9 + 2 ∙ √25) + 1
3
 
 
√2 ∙ (√9 + 2 ∙ √25) + 1
3
= √2 ∙ (3 + 2 ∙ 5) + 1
3
= √2 ∙ (3 + 10) + 1
3
= √26 + 1
3
= √27
3
= 3 
 
 
 
9. Simplifique a expressão √2 ∙ (√8 + 2 ∙ √6) − √3 ∙ (√27 + 3 ∙ √6) 
 
 
√2 ∙ (√8 + 2 ∙ √6) − √3 ∙ (√27 + 3 ∙ √6) = √2 ∙ (2√2 + 2 ∙ √6) − √3 ∙ (3√3 + 3 ∙ √6)
= 2√2 ∙ (√2 + √6) − 3√3 ∙ (√3 + √6) 
 
 
10. (UTF - PR) Considere as seguintes expressões: 
 I. 
3√12
2
= 3√2 II. (2√3)
−1
=
√3
6
 III. (24)
1
2 = 2√2 
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É (são) verdadeira(s), somente: 
a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III. 
 
 
3√12
2
=
3√22 ∙ 3
2
=
3 ∙ 2√3
2
= 3√3 
(2√3)
−1
=
1
2√3
=
1 ∙ √3
2√3 ∙ √3
=
√3
6
 
 
(24)
1
2 = 2
4
2 = 22 = 4 
 
 
11. O valor de 𝑎𝑏2 − 𝑎3 para 𝑎 = −
𝑥
2
 e 𝑏 = 2𝑥 
 
𝑎𝑏2 − 𝑎3 = (−
𝑥
2
) (2𝑥)2 − (−
𝑥
2
)
3
= (−
𝑥
2
) (4𝑥2) −
(−𝑥3)
8
= −2𝑥3 +
𝑥3
8
=
−16𝑥3 + 𝑥3
8
= −
15𝑥3
8
 
 
12. O resto da divisão do polinômio 𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 1 por 𝑥 − 2 é 
 
 
13. Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 4𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 𝑘. Sabendo que P(1) = 2, 
então o valor de P(3) é: 
 
P(1)=4.1 + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2 
4 + 3 – 2 + 1+ k = 2 
10 + k = 2 
k = 2 – 6 
k = – 4 
 
O polinômio será P(x) = 4x4 + 3x³ + 2x² + x – 4 
 
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P(3) = 4x4 + 3x³ + 2x² + x – 4 
= 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4 
= 324 + 81 – 18 + 3 – 4 
= 386 
 
14. Adicione os polinômios 7𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦 − 2 e −𝑥2𝑦3 − 5𝑥3𝑦 + 3𝑥2𝑦2 + 9 
 
(7𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦 − 2) + (−𝑥2𝑦3 − 5𝑥3𝑦 + 3𝑥2𝑦2 + 9) = 6𝑥2𝑦3 − 4𝑥3𝑦 + 3𝑥2𝑦2 + 7 
 
 
15. Multiplique o polinômio 𝑚4 − 𝑚3 + 𝑚2 − 𝑚 + 1 pelo polinômio 𝑚 − 1 
 
(𝑚4 − 𝑚3 + 𝑚2 − 𝑚 + 1)(𝑚 − 1)
= 𝑚5 − 𝑚4 − 𝑚4 + 𝑚3 + 𝑚3 − 𝑚2 − 𝑚2 + 𝑚 + 𝑚 − 1
= 𝑚5 − 2𝑚4 + 2𝑚3 − 2𝑚2 + 2𝑚 − 1 
 
16. Fatore 𝑐2 − 2𝑏𝑐 − 𝑎2 + 𝑏2 
 
𝑐2 − 2𝑏𝑐 − 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑏2 − 2𝑏𝑐 + 𝑐2 − 𝑎2 = (𝑏 − 𝑐)2 − 𝑎2 = (𝑏 − 𝑐 + 𝑎)(𝑏 − 𝑐 − 𝑎) 
 
 
EXERCICIOS Adicionais 
 
I. Estudo Geral das Frações, Potenciação e Radiciação 
 
1. Calcule o valor das expressões numéricas: 
(a) –2 (4 + (–3) ) –5 ( -1 ) ( -1 ) + 5 
(b) ( 6 + 27 : 3 ) –5 + ( 81 : 9 ) 
(c) [ 10 + ( 5 – 3 ) . 8 + 18 ] : [ 5 + 18 : 3 ] 
(d) 3 . 8 + { 9 + 2 . [ 4 . 3 .( 5 – 2 ) ] } . [ ( 12 – 36 : 4 ) : 3 ] 
(e) 20 – 3 . { 7 + 8 : 4 - [ 4 . 5 – 3 . ( 9 – 5 ) ] } . [ 36 : 4 – 2 . ( 8 – 20 : 5 ) ] 
(f) 15 + 2 . { 5 + 33:9+[ 32 . 5 –3 . ( 23 – 5 ) ] } 
 
2. Ordene em ordem crescente as frações 
2 5 6
,
3 6 7
e
 
3. Simplifique a expressão abaixo e dê o resultado em forma de número decimal : 
1 4 2
2 5 3
1 4
3 5
 

 
 
4. Calcule: (soma/subtração de frações) 
a) 
4 1 3 5 1 13
, . ) , .
5 2 10 3 2 6
resp b resp
       
              
       
 
 
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c) 
3 1 3 9 5 1 3 37
2 , . ) , .
8 4 2 8 2 6 4 12
resp d resp
 
     
 
 
e) 
7 1 1 9 5 1 41
2 1 , . ) 1 , .
3 3 3 2 8 4 8
resp f resp
      
                
      
 
 
g) 
 
3 2 1 21 1 1
, . ) 0,2 , .
4 5 10 10 4 20
resp h resp
 
     
 
 
 
5. Determine os seguintes produtos: 
3 14 1 15
) , . 2 / 5 ) , .5 / 24
7 15 12 6
a resp b resp
     
          
     
 
 
 
8 5
)0,5 , . 4 / 7 ) 2,3 , .23/ 4
7 2
c resp d resp
   
        
   
 
 
   
14 7 1 3
) 3 , . 42 / 5 ) 8 , . 1
5 4 3 14
e resp f resp
       
              
       
 
 
     
3 1 3 14 2
) 0,002 6 , .0 h) 6 , . 1/ 5
5 3 5 18 8
g resp resp
         
                   
         
 
 
6. Determine os quocientes. 
3 2
) : , . 21/10
5 7
a resp
   
    
   
 
 
8
) 4 : , . 3/ 2
3
b resp
 
  
 
 
 
4
) : 2 , .2 / 3
3
c resp
 
  
 
 
3 1
) : , . 12
2 8
d resp
   
    
   
 
3
4) , .15 / 8
2
5
e resp 
7
9
) , . 7 / 54
6
f resp
 
 
  
 
6
) , .18 / 5
5
3
g resp

 
 
 
 
 
7. Resolva as expressões abaixo. 
3 5
)4 , .41/14
2 7
a resp
  
   
  
 
3 2 1 3
) , . 3/10
8 5 4 5
b resp
     
         
     
 
5 1 3
) , .37 /12
2 6 4
c resp
 
  
 
 
7 1
) 2 1 , . 1/ 3
3 3
d resp
  
     
  
 
3 5 3
) , .9 / 20
4 2 25
e resp
  
    
  
 
20 5 1
) 6 , .33
3 4 5
f resp
 
  
 
 
1 13 1 1
) , .1/ 2
3 6 2 6
g resp
 
   
 
 
1 1
) 2 , . 5 / 6
2 3
h resp
 
   
 
 
 
 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
NOTAS DE AULA - PARTE 1 
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OBSERVAÇÃO: Para converter uma fração num número decimal, dividimos o numerador 
desta fração pelo seu denominador. Ao efetuarmos esta conversão da fração em número 
decimal dois casos podem ocorrer: a divisão é exata ou não. 
 
8. Escrever as frações sob a forma de número decimal. 
a) 548/100 f) 54/1000 j) 214,3/1000n) 4/5 
b) 29/100 g) 7/1000 k) 0,5/10 o) 3/8 
c) 3/100 h) 48/100 l) 0,5/100 p) 127/10 
d) 7/10 i) 27/10 m) 0,5/1000 q) 54,6/100 
e) 214,3/100 
 
9. No caso em que a divisão não é exata, aparecerão restos que se repetem periodicamente, 
o que acarreta o aparecimento de um grupo de algarismos que se repete periodicamente 
no quociente. Os decimais deste tipo chamam-se decimais periódicos ou dízimas 
periódicas e o grupo de algarismos que se repete no quociente recebe o nome de período. 
Verifique esse fato nas frações abaixo: 
a) 2/11 b) 5/12 c) 7/9 d) 5/63 e) 41/90 
 
 
10. Transforme os números decimais em frações. 
a) 0,75 g) 1,9 m) 1,5 
b) 0,8 h) 0,36 n) 0,5 
c) 0,25 i) 0,025 o) 0,75 
d) 27,1 j) 0,04 p) 30,05 
e) 0,29 k) 0,5424 q) 12,4 
f) 3,27 l) 0,006 r) 15,21 
 
11. Calcule: 
a) 3,6 + 15,21 + 8,09 resp. 26,9 b) 4,96 – 2,18 resp. 2,78 
c) 0,8 – 0,54 resp. 0,26 d) 1 – 0,275 resp. 0,725 
e) 12,4 + 8,6 – 9 resp. 12 f) 10 – 4,36 resp. 5,64 
g) 6,3 . 4,8 resp. 30,24 h) 7,12 . 6,3 resp. 44,856 
i) 2 . 0,85 resp. 1,70 j) 0,0025 . 0,1 resp. 0,003. 0,21. 0 
k) 318 . 1000 resp. 3180 l) 0,5 . 10 resp. 5 
m) 15,80 . 10 resp. 158 n) 5,572 . 100 resp. 557,2 
o) 2,4 . (5 – 3,75) resp. 3 p) 4,6 . 5 – 12,36 resp. 10,64 
 
 
Porcentagem é a razão entre duas grandezas expressas com denominador 100. 
Observe: 12% de 25. Principal é a grandeza da qual se deseja obter tantos por cento(25). 
Taxa percentual é o número que representa quantos por cento uma grandeza é de outra(12). 
 
12. Exprimir sob forma de porcentagem 
a) 5/10 resp. 50% 
b) 3/25 resp. 12% 
 
c) 0,07 resp. 7% 
d) 0,3 resp. 30 
 
e) 1,15 resp. 115% 
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13. Dar a forma de fração e a forma decimal das seguintes porcentagens. 
Exemplo: 14% → 14/100 (forma de fração) → 0,14 (forma decimal) 
a) 10% 
b) 15% 
c) 28% 
d) 45% 
e) 3,5% 
f) 115% 
 
14. Efetue 
(a) 33 
(b) 35 
(c) (-2)3 
(d) (-7)2 
(e) -72 
(f) 91 
(g) (-5)1 
 
(h) 80 
(i) (-2)0 
(j) -20 
(k) 2-4 
(l) (2/3)-1 
(m) (-4)-2 
(n) 32 33 
 
(o) 26. 2-2 
(p) (-4).(-4)2 
(q) 35/32 
(r) (-3)7/(-3)10 
(s) 53.23 
(t) (-4)4(1/2)4 
(u) 22/72 
 
(v) (22)3 
(w) 232 
(x) [(-2)3]2 
(y) (-2)32 
(z) –(23)2 
(aa) 7-3 
(bb) 14-1 
 
(cc) (1/3)-1 
(dd) (2/5)-2 
(ee) 4-1 
(ff) (-3/2)-1 
(gg) 10-3 
(hh) (-4)3 
 
 
15. Efetue: 
(a) 
5 32
 
(b) 
3 8
 
(c) 
5 0
 
(d) 
16
 
(e) 
16
 
 
(f) 
9
 
(g) -
9
 
(h) 
4 0
 
(i) 
 55 2
 
(j) 
25
 
 
(k) 
 25
 
(l) 3 32 
(m) 
77 32 
 
(n) 
352 
 
(o) 
3
3
2
7
 
 
(p) 
4
4
2
10
 
(q) 
 32
 
(r)
5 3 4
 
(s) 6 32 
 
(t) 
12 83
 
(u) 327 
(v) 
 5
1
4
 
(x) 
2,032
 
16. Calcule o valor das expressões: 
(a) (-3)2+(-2)3 resp: 1 
(b) (1/2)2-(2/3)1 resp: 5/12 
(c) (52-32)-1 resp: 1/16 
(d) (42+32)/52 resp: 1 
 
(e) (42-22)/24 resp: 3/4 
(f) 42.43.4-2 resp: 43 
(g) 
)7.()7(
)7(:)7(
3
84


 resp: 1 
 
17. Sendo x=(22)3, 322 e 232z , calcule x.y.z resp:2
23 
18. Simplifique a expressão 
21
3
2
23
1
3
1
.3







 resp: 10/21 
19. Use F ( falso ) ou V (verdadeiro) 
(a) 
132 22.2  
 
(b) 
10.1010 1 xx 
 
 
 
(c) 
22:2 1 nn
 
(d) 
322 )2(2
3

 
 
(e) 
2246 .. xxxx 
 
(f) 
15
5
5  x
x
 
 
(g) 
1
4
5
3
3
3 
 
(h) 
1010:10 12  xx
 
 
resp: verdadeiras: a,b,h 
 
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20. Simplifique se possível 
(a) 
2a
 (b) 
6 3b
 (c)
15 63ba
 (d)
4 25
 
resp: (a) a (b) 
b
 (c) 
5 2ab
 (d) 
5
 
 
21. Externe 
(a) 
ba2
 (b) 
3 23ba
 (c) 
4 5a
 (d) 
50
 (e) 
32
 (f)
3 54
 
resp: (a)
ba
 (b) 
3 2ba
 (c) 
5 aa
 (d) 
25
 (e) 
24
 (f) 
23
 
 
22. Reduza os radicais semelhantes 
(a) 
22325 
 
(b) 
353234 
 
(c) 
5082 
 
resp: (a) 
29
 (b) 
3
 (c) 
29
 
 
23. Efetue 
(a) 
52
 (b) 
33 32
 (c) 
53.22
 (d) 
2:6
 (e) 
33 2:4
 
resp: (a)
10
 (b) 
3 6
 (c) 
106
 (d) 
3
 (e) 
3 2
 
 
 
II. Expressões Algébricas, Produtos Notáveis, Fatoração 
 
1) Achar o valor numérico das expressões: 
a) 
 
2
3
52 1 11 1 , 1
3 3 2
y x x x
 
       
 
 b) 
 
2
3
51 2 11 1 , 1
2 3 2
y x x x
 
      
 
 
 
c) 21 1 1
4 ,
2 2 2
y x x

 
     
 
 d) 2 31 2
1, 2
1 3
x
y x
x x
   
      
    
 
 
e) 
2
1
1, 2
4
y x
x
   

 f) 3
, 1
1
x x x
y x
x

  

 
 
g) 
3 2
, ; ; 2
2 3
a b c
y a b c
ab
 
   
 h) 34 2 1
, 2
3 2
x x
y x
x
 
  

 
 
i) 
1
2 12, 4y x x
x
   
 j) 2 4
, 1; 1; 0
2
b b ac
x a b c
a
  
    
 
 
k) 2 4
, 1; 2; 1
2
b b ac
x a b c
a
  
   
 l) 2 4
, 3; 2; 1
2
b b ac
x a b c
a
  
   
 
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Respostas: 
a) 3/4 b) -23/6 c) 1/18 d) -62 e) não é possível f) 0 g) 1/6 
h) 27/8 i) 17/2 j) 1 k) -1 l) não é possível 
 
 
2) Reduza os termos semelhantes 
a) 5a+3b-[5a -b-(a - 4b)] 
b) 5x2y-3xy2 –{x2 y2 –[2xy2 –3x2 y – x2 y2 )]} 
c) 4a6 x2 –3ax5 – 10a6x2 +2ax5-ax2 
d) 
2 2 23 155
2 4
a a a 
 
e) 
3
( 2 ) ( )
5
ax ax  
 
f) 
2 210 (5 6) [2 (3 2)]x x x x    
 
g) 
2 22 { 5 [6 ( 2 3 ) ( 2)]}x x x x x        
 
h) 
2 21 1 12
2 2 3
x x x x
   
        
   
 
i) 
23 2 3 1 2
2 3 4 2
ax
x x x
    
         
    
 
3) Calcule: 
a) (-5x)(7b) 
b) (-2ab)(-7a) 
c) 
2 1 1
.
5 4 2
x x
 
 
 
 
d) 
3
4 . 3
2
a
a
 
 
 
 
e) 
23 .(2 3 1)x x x  
 
f) (-5 x3 y + 4 x2 y3 - 5xy4) (- 2ax2y) 
 
g) (-2x5 y2 + 5 x3y4 - 6 x2y3 + 4xy ) (3xy) 
h) (x – 2)(x + 5) 
i) (2x – 4)(3x – 1) 
j) (x – 1)(x2 + x + 1) 
k) (x2- x3 + x – x4) (x + 1) 
l) (a - b) (a2 + 5ab – 3b2) 
m) (x3 + x2 + x) : x 
n) ( a4 b3 + 5 a3 b5 – 6 a2 b4 ) : ab3 
o) 
   3 215 10 : 5x x x 
 
 
 
4 – Simplifique as expressões: 
a) 3a (a – b) – 2a (a + b) 
b) (x – 3)(x – 5) + 3x (x + 4) 
c) -6x (x + y) + (x – y)(2x + 3y) 
 
Produtos notáveis: 
5 – Determine: 
a) ( x + 2 )2 
b) ( x + 5 )2 
c) (a + b2)2 
d) (x + ½ )2 
l) (x2 - 1/7)(x2 + 1/7) 
m) (4x3 + 3y2)2 
n) (x+3)(x+5) 
o) (x+2)(x+7) (x+9)(x-3) 
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e) (5a + 2b)2f) (x - 8)2 
g) (x - 4)2 
h) (y -1/4 )2 
i) (a/3 – b/4 )2 
j) (x + 2)(x - 2) 
k) (2a + b)(2a – b) 
p) (x-5)(x+1) 
q) (x-7)(x+4) 
r) (x+1)3 
s) (x+2)3 
t) (2x+1)3 
u) (2x-3)3 
 
 
6 – Simplifique as expressões: 
(a) 
 2( 2) 2 2a a  
 (b) 
    
2
2x y x y x y xy    
 
(c) 
     3 7 3 3x x x x    
 (d) 
   
2 2
x y x y  
 
 
 
7 - Fatore: 
a) 3ax2- 6a2x + 12 ax3 
b) 4ax2 + 8ax3 + 12ax4 + 24ax5 
c) x2-25 
d) x2-9 
e) x2-16 
f) 
3 4 2 5 4 330 25 20a b a b a b 
 
g) 4x2-25 
h) x2-1 
i) x2- 9y2 
 
j) 2
236
9
m
y 
 
k) 21
25 9
x

 
l) x2+8x+16 
m) x2-22x+121 
n) x2-10x+25 
o) x2+2x+1 
p) x2-6x+9 
 
 
 
Aula: 3 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ÁLGEBRA E ARITMÉTICA. Razão e 
proporção, Propriedades das proporções, Regras de três simples e composta, Porcentagem. 
 
Objetivos 
Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Compreender o conceito de razão entre duas grandezas. 
Reconhecer os termos de uma razão. 
Reconhecer razões inversas. 
Identificar proporções como igualdade de duas razões. 
Identificar meios e extremos de uma proporção. 
Determinar o termo desconhecido de uma proporção, aplicando a propriedade fundamental 
das proporções. 
Aplicar as propriedades de proporções nas diversas situações. 
Resolver problemas que envolvam duas grandezas direta e inversamente proporcionais. 
Resolver problemas que envolvam três ou mais grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
Compreender a ideia de taxa de porcentagem. 
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Identificar e representar porcentagens. 
Representar porcentagens em frações e em decimais, e vice-versa. 
Resolver problemas, envolvendo porcentagens em sua vida prática. 
 
 
Estrutura de Conteúdo 
UNIDADE 2 - ÁLGEBRA e ARITMÉTICA 
2.5 Razão e Proporção 
2.6 Regras de 3 simples e composta 
2.7 Porcentagem 
 
1. MOTIVAÇÃO/INTRODUÇÃO. 
Nos mapas temos um exemplo clássico de uso de razões. As distâncias nos mapas estão 
em escala menor que a real, e Escala é a razão entre a medida do desenho e a medida real. 
 
2. RAZÃO 
Razão entre dois números a e b, 𝑏 ≠ 0, é o quociente 
𝑎
𝑏
= 𝑘. 
A razão compara quantidades, calculando o quociente entre estas quantidades. 
Dizemos que “a está para b”. 
Nomenclatura: 
Os números a e b são os termos da razão. 
O numerador a é o antecedente e o denominador b é o consequente da razão. 
Exemplo. 
Consideremos uma casa com 1200 m² de área construída em uma área total de 4800 m² de 
área total. 
A razão da área construída para a área total será: 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 = 
á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢í𝑑𝑎
á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
1200𝑚2
4800𝑚2
=
1
4
 
 
Razões Equivalentes 
Duas ou mais razões são equivalentes quando as frações que as representam são equivalentes. 
Exemplo: 
3
5
=
12
20
 
 
Razões Inversas 
Duas razões são inversas quando o antecedente da primeira é igual ao consequente da 
segunda e vice versa. 
Exemplo: 
2
5
 e 
5
2
. 
 
3. PROPORÇÃO 
Chamamos de proporção à igualdade entre razões. 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
= 𝑘 
Sendo a, b, c, d números reais com b e d diferentes de zero. 
Nomenclaturas: 
k é constante da proporção. 
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a e d de extremos da proporção e 
b e c de meios da proporção. 
 
4. PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
Seja a proporção 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 
 
1) Propriedade Fundamental da Proporção: O produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos. 
𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑐 ∙ 𝑏 
2) A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente 
está para o seu consequente. 
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑
=
𝑐
𝑑
 ou 
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑
=
𝑎
𝑏
 
3) Troca dos meios 
𝑎
𝒃
 = 
𝒄
𝑑
 
𝑎
𝒄
 = 
𝒃
𝑑
 
4) Troca dos extremos 
𝒂
𝑏
 = 
𝑐
𝒅
 
𝒅
𝑏
 = 
𝑐
𝒂
 
5) Inversão das razões 
 
𝑏
𝑎
=
𝑑
𝑐
 
 
5. GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
Se um produto custa 30 reais a unidade e quisermos comprar duas unidades, pagaremos 60, 
se quisermos comprar três unidades, 90, e assim por diante. 
Dobrando a quantidade de unidades de produtos que compramos, dobrará o valor a ser pago, 
se triplicarmos a quantidade, pagaremos o triplo. 
As grandezas quantidade de produtos e preço pago são diretamente proporcionais. 
Exemplo: 
1
30
=
2
60
=
3
90
 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma delas 
por um número positivo, o valor da outra fica multiplicado por esse mesmo número positivo. 
 
Grandezas Inversamente Proporcionais 
Quando percorremos um trecho, por exemplo, de 240 km, em uma rodovia, com velocidade 
média de 24 km/h, levaremos 10 horas para percorrê-lo. Se percorrermos este mesmo trecho, 
com velocidade média de 48 km/h, levaremos 5 horas para percorrer e assim por diante. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma delas 
por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número positivo. 
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Velocidade média (km/h) Tempo 
(h) 
24 10 
48 5 
 
No problema, o produto dos números correspondentes é 240: 24 ∙ 10 = 48 ∙ 5 = 240 
Temos que : 
24
48
=
5
10
=
1
2
 
 
6. REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
A regra de três simples é uma regra prática para determinar o quarto termo de uma proporção, 
conhecendo-se os outros três termos. 
Quando há somente duas grandezas, a regra é simples. 
Para resolvermos a regra de três simples, após organizá-las em uma tabela, basta que 
identifiquemos se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 Se as grandezas são diretamente proporcionais, mantemos as razões e montamos a 
proporção entre estas razões. 
 Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos uma das razões e 
montamos a proporção. 
Uma outra forma de se resolver a regra de três é, depois de organizada a tabela, marcar o 
número que está na coluna do x (valor desconhecido). Identificamos se as grandezas 
envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 Se as grandezas são diretamente proporcionais, multiplicamos os valores em forma 
de X. 
 Se as grandezas forem inversamente proporcionais, multiplicamos os valores em 
linha. 
Exemplo. 
 Um artesão consegue fazer três bonecos em 18 minutos. Em oito horas de trabalho quantos 
bonecos este artesão conseguiria produzir? 
Resolução. 
8 horas = 8x60 minutos= 480 minutos 
Bonecos Tempo (min) 
3 18 
x 480 
 
Se temos mais tempo, poderemos fazer mais bonecos. As grandezas são diretamente 
proporcionais. Mantemos a razão. 
3
𝑥
=
18
480
 
𝑥 =
3 ∙ 480
18
 
𝑥 = 80 
Portanto em 8 horas o artesão conseguiria produzir 80 bonecos. 
 
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Pensando da outra forma, marcando o número que está na coluna do x, como as grandezas 
são diretamente proporcionais, marcamos o valor em X com o valor marcado. 
Bonecos Tempo (min) 
3 18 
x 480 
 
O valor de x será o produto dos números marcados, dividido pelos não marcados.𝑥 =
3 ∙ 480
18
 
 
7. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
A regra é dita composta quando envolve três ou mais grandezas, sejam elas diretas ou 
inversas. 
O primeiro passo para resolvermos uma regra de três composta é organizar as grandezas em 
uma tabela, colocamos cada grandeza e seus valores em suas colunas. Marcamos o valor 
conhecido que está na mesma coluna de x. O que se faz depois é identificar se as grandezas 
envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais, relacionando cada grandeza com 
a grandeza cujo valor é desconhecido (x). 
Se as grandezas são diretamente proporcionais, marcamos o valor que está na direção em 
forma de X com o valor marcado referente à grandeza desconhecida. 
Se as grandezas são inversamente proporcionais, marcamos o valor que está em linha com o 
valor marcado da coluna da grandeza desconhecida. 
O valor de x será o produto dos números marcados, divididos pelo produto dos números não 
marcados. 
 
Exemplo. 
Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas 
horas 25 trabalhadores precisarão para descarregar 350 caixas? 
Resolução. 
Trabalhadores caixas horas 
10 210 3 
25 350 x 
 
A princípio, marcamos o número conhecido na coluna do valor desconhecido (horas) 
Comparando a primeira coluna, número de trabalhadores com as horas, quando aumentamos 
o número de trabalhadores, podemos diminuir as horas trabalhadas. 
Grandezas inversamente proporcionais: marcamos o valor que está em linha com o valor 
numérico marcado na coluna de x. 
Comparar a segunda coluna (caixas) com a última (horas), se precisamos descarregar mais 
caixas, precisaremos aumentar a quantidade de horas trabalhadas. 
Grandezas diretamente proporcionais: marcamos o valor em X com o valor numérico 
marcado na coluna de x. 
Trabalhadores caixas horas 
10 210 3 
25 350 x 
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Aumentamos. 
Aumentamos 
Diminui. 
Aumenta. 
 
𝑥 =
10 ∙ 350 ∙ 3
25 ∙ 210
= 2 
Assim, 350 caixas podem ser descarregadas por 25 trabalhadores em 2 horas de trabalho. 
 
8. PORCENTAGEM 
 
Considere uma pizza, dividida em 100 pedaços iguais. 
Cada pedaço corresponderá a um por cento. 
1
100
= 1% 
Considerando os 100 pedaços, teremos a unidade: 
100
100
= 100% 
Formas de representação: 
 Forma fracionária: 
20
100
. 
 Forma decimal ou taxa unitária: 0,20 
 Forma ou taxa Percentual: 20% 
 
Exemplo. 
Um certo produto sofreu dois descontos sucessivos de 15% e depois um acréscimo de 8%. 
Seu preço final, em relação ao inicial: 
a) decresceu 24% 
b) decresceu 23% 
c) aumentou 22% 
d) aumentou 21,97% 
e) decresceu 21,97% 
Resolução. 
Suponha o preço do produto 100. 
Desconto de 15%: 100-15=85. 
Desconto de 15% sobre 85. 
85 −
15
100
85 = 85 − 12,75 = 72,25. 
Acréscimo de 8% sobre 72,25: 
72,25 +
8
100
72,25 = 72,25 + 5,78 = 78,03 
O decréscimo foi de 100-78,03= 21,97 
 
Avaliação 
1. Levo duas horas e meia para percorrer 15km. Se eu tiver quer percorrer 54km, quanto 
tempo eu levarei? 
Tempo (h) km 
2,5 15 
x 54 
Aumentamos. Aumentamos 
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Quando a distância aumenta, o tempo também aumenta. 
As duas grandezas são diretamente proporcionais. 
2,5
𝑥
=
15
45
 𝑥 =
2,5∙54
15
 𝑥 = 9 
Portanto levarei 9 horas para percorrer os 54km. 
 
2. Um produtor rural tem uma produção anual de frangos de cerca de 18 toneladas. Em um 
bimestre este produtor irá produzir quantas toneladas de frango? 
Tempo (meses) toneladas 
12 18 
2 x 
Diminuo. Diminuo 
As duas grandezas são diretamente proporcionais. 
12
2
=
18
𝑥
 𝑥 =
2∙18
12
 𝑥 = 3 
Em um bimestre o produtor produzirá 3 toneladas de frango. 
 
3. A 60km/h faço o percurso entre duas cidades em duas horas. Trafegando a 80km qual o 
tempo estimado para percorrer este trajeto? 
Velocidade (km.h) horas 
60 2 
80 x 
Aumento. Diminuo 
 
Quando a velocidade aumenta, o tempo diminui já que estamos trafegando mais rapidamente. 
As duas grandezas são inversamente proporcionais. 
Invertemos uma razão. 
60
80
=
𝑥
2
 𝑥 =
60∙2
80
 𝑥 = 1,5 
A 80km/h estima-se que o trajeto seja feito em uma hora e meia. 
 
4. Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o tempo 
necessário para enche-lo? 
Torneiras horas 
1 6 
3 x 
Aumento. Diminuo 
Quando a quantidade de torneiras aumenta, o tempo diminui já que aumentamos o volume 
da vazão. 
As duas grandezas são inversamente proporcionais e precisamos inverter uma das razões. 
1
3
=
𝑥
6
 𝑥 = 2 
Se utilizarmos 3 torneiras, tal tanque poderia ser abastecido em 2 horas. 
 
5. Para esvaziar um compartimento com 700m3 de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para 
fazê-lo. Se o compartimento tivesse 500m3 de capacidade, ao utilizarmos 5 ralos quantas 
horas seriam necessárias para esvaziá-lo? 
Capacidade (m3) ralos horas 
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700 3 7 
500 5 x 
Diminuo 
Aumento 
Diminuo 
Diminuo 
𝑥 =
500∙3∙7
700∙5
 𝑥 = 3 
Portanto com 5 ralos poderíamos esvaziar 500m3 em três horas. 
 
6. Duas costureiras trabalhando 3 dias, 8 horas por dia, produzem 10 vestidos. Se 3 
costureiras trabalharem por 5 dias, quantas horas ela precisarão trabalhar por dia para 
produzirem 25 vestidos? 
Costureiras dias horas vestidos 
2 3 8 10 
3 5 x 25 
Aumenta 
Aumento 
Diminui 
Diminui. 
Aumento 
 
 
Aumento 
 
𝑥 =
2∙3∙8∙25
3∙5∙10
 𝑥 = 8 
Cinco dias do trabalho de 3 costureiras podem render 25 vestidos sem que se altere a jornada 
diária de trabalho, ou seja, elas ainda continuarão a trabalhar 8 horas por dia. 
 
7. Um produto sofreu um aumento de 20% em uma semana e 30% na semana seguinte. Ao 
final das duas semanas, qual foi a taxa de aumento total deste produto? 
Vamos imaginar um produto que custa R$ 100,00 (podemos comparar com o preço igual a 
100, pois é o mesmo que comparar com a unidade); como o primeiro aumento é de 20% sobre 
R$ 100,00 (0,20 x R$ 100,00 = R$ 20,00), temos um montante de R$ 120,00. 
Sabendo que o segundo aumento é de 30% sobre R$ 120,00 (0,30 x R$ 120,00 = R$ 36,00), 
o preço do produto é elevado a R$ 120,00 + R$ 36,00 = R$ 156,00. 
Portanto, o aumento é de R$ 56,00 sobre um preço de R$ 100,00. 
100-------100% 
56-------x 
x=5600/100=56% 
 
8. Sobre um salário base de R$ 1.200,00, foram aplicados: a) adicional de 20% pela chefia; 
b) adicional de 5% pela produtividade; c) desconto de 6% de previdência. Calcule o salário 
resultante e a taxa de variação. 
20% de 1200 = 240 
5% de 1200=60 
- 6% de 1200 = -72 
1200+300-72= 1428. 
19% 
 
9. (Vunesp-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x 
reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de 
promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de 
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venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado 
teve, sobre o preço decusto: 
a) prejuízo de 10%. 
b) prejuízo de 5%. 
c) lucro de 20%. 
d) lucro de 25%. 
e) lucro de 30% 
 
Supondo R$ 100,00 o preço de custo da mercadoria. 
50% sobre o preço de custo 50,00 
O dono do supermercado venderá a mercadoria por R$150,00. 
Dando 20% de desconto sobre o preço de venda: 20% de 150,00=30 
A mercadoria passara a custar R$120,00. 
Houve então um aumento de R$20,00 em relação ao preço de venda. 
Lucro de 20% 
 
10. (Fuvest-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% 
em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é: 
a) 2,56 x b) 1,6x c) x + 160 d) 2,6x e) 3,24x 
 
(𝑥 +
80
100
𝑥) +
80
100
(𝑥 +
80
100
𝑥) = 
= (
180
100
𝑥) + 0,8 (
180
100
𝑥) = 
= (1,8𝑥) + 0,8(1,8𝑥) = 
= 1,8𝑥 + 1,44𝑥 = 
= 3,24𝑥 
 
11. (PUC) Um carro foi vendido por R$ 10.000,00, com prejuízo de 20% sobre o preço da 
compra. O carro havia sido comprado , em reais, por: 
a)10.200,00 b)11.500,00 c)12.000,00 d)12.500,00 e)13.000,00 
Preço de compra: x 
𝑥 −
20
100
𝑥 = 10.000 
80
100
𝑥 = 10.000 
𝑥 =
1.000.000
80
 
𝑥 = 12.500 
 
 
 
 
 
 
 
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NOTAS DE AULA - PARTE 1 
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Aula: 4 
Vetores 
Objetivos 
- Reconhecer e diferenciar os vetores no R
2
 e no R
3 
- Saber decompor um vetor 
- Definir um vetor através de dois pontos 
- Reconhecer a condição de paralelismo de 2 vetores 
- Reconhecer e calcular o módulo de um vetor 
 
Estrutura de Conteúdo 
UNIDADE 3 - VETORES e MATRIZES 
3.1 Vetores: definição, tipos e representação 
3.2 Operações com vetores 
3.3 Módulo de um vetor 
3.4 Vetor Unitário 
3.5 Decomposição de Vetores 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
1.1. GRANDEZAS 
1. ESCALARES – completamente definidas por um número real (mais unidade). Ex. 
área, volume, massa, densidade, temperatura, etc. 
2. VETORIAIS – necessitam de módulo, direção e sentido. Ex. força, velocidade, 
aceleração, etc. 
 
1.2. DIREÇÃO, SENTIDO E MODULO 
Noção de DIREÇÃO: dada por uma reta e por suas paralelas. 
Noção de SENTIDO: a cada direção associamos dois sentidos. Assim, quando estamos em 
uma mesma direção, podemos falar em sentidos iguais e sentidos contrários. 
Noção de MÓDULO: (ou NORMA) comprimento do vetor, que pode ser calculado através 
da distância entre o fim e a origem. 
 
1.3. VETOR 
Representação de VETOR: Segmentos orientados. 
Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, mesmo sentido e mesmo 
comprimento são representantes de um mesmo vetor. 
 
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NOTAS DE AULA - PARTE 1 
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Notação: �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑋𝑌⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Notação do Módulo de �⃗� : |𝑣| 
 
|�⃗�| = √𝑎2 + 𝑏2 
 
 
2. TIPOS DE VETORES 
 
2.1. VETORES OPOSTOS: mesmo módulo e a mesma direção, porém, sentidos opostos. 
 
 
2.2. VETOR UNITÁRIO: módulo igual a 1. |𝑣| = 1 
2.3. VETORES COLINEARES: mesma direção, sendo podem estar em uma mesma reta 
suporte ou em retas suportes, paralelas entre si. 
 
2.4. VETORES COPLANARES: pertencem a um mesmo plano. 
Os vetores �⃗⃗� e �⃗� são coplanares, pois ambos pertencem ao plano 𝜋. 
Se considerarmos os 3 vetores da figura: �⃗⃗� , �⃗� e �⃗⃗⃗�, eles não são coplanares. 
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2.5. VETOR NULO: qualquer ponto no espaço. Paralelo a qualquer vetor. 
2.6. VETORES IGUAIS: Possuem mesma direção, mesmo módulo e mesmo sentido. 
2.7. VETORES PARALELOS ( �⃗⃗�//�⃗� ): possuem a mesma direção. 
2.8. VETORES ORTOGONAIS (�⃗⃗� ⊥ �⃗� ): algum representante de �⃗⃗� forma um ângulo reto 
com algum representante de �⃗�. 
 
3. OPERAÇÕES COM VETORES 
 
3.1. ADIÇÃO DE VETORES 
 
 
 
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Propriedades da Adição de Vetores: 
(a) Comutativa: �⃗⃗� + �⃗� = �⃗� + �⃗⃗� 
(b) Associativa: (�⃗⃗� + �⃗�) + �⃗⃗⃗� = �⃗⃗� + (�⃗� + �⃗⃗⃗�) 
(c) Elemento Neutro: ∃! 0⃗⃗ tal que ∀�⃗�, temos que �⃗⃗� + 0⃗⃗ = 0⃗⃗ + �⃗⃗� = �⃗⃗� 
(d) Elemento Oposto: ∀�⃗�, ∃! − �⃗� tal que �⃗� + (−�⃗�) = (−�⃗�) + �⃗� = 0⃗⃗ 
 
 
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3.2. DIFERENÇA ENTRE VETORES 
Utilizar a soma de um com o oposto do outro. 
�⃗⃗� − �⃗� = �⃗⃗� + (−�⃗�) 
 
3.3. MULTIPLICAÇÃO DE ESCALAR POR VETOR 
 
 
 
4. VERSOR 
Dizemos que o versor de um vetor não-nulo �⃗� é o vetor �⃗⃗� =
�⃗⃗�
|�⃗⃗�|
 
O versor �⃗⃗� de �⃗� é um vetor unitário e possuir mesma direção e mesmo sentido do vetor 𝑣 . 
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5. PROJEÇÕES ORTOGONAIS DE VETOR 
 
OBSERVAÇÃO. 
NOTAÇÃO DE GRASSMANN PARA OS VETORES: Grassmann, matemática alemão, 
interpretou o vetor como a diferença de dois pontos. Assim, se considerarmos o vetor �⃗⃗⃗� cujo 
início é o ponto A e cujo fim é o ponto B, temos que �⃗⃗⃗� = 𝑩 − 𝑨 
 
6. VETOR EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS COORDENADOS 
Podemos associar um versor a cada eixo: o versor i no eixo dos x, o versor j no eixo dos y, o 
versor z no eixo z, 
 
Em ℝ2, o par ordenado de versores (i, j) constitui uma base do plano ℝ2. 
Um vetor �⃗⃗� = (𝑥, 𝑦), pode ser escrito de modo único como �⃗⃗� = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 
 
Da mesma forma, em ℝ3, o terno ordenado de versores (i, j, k) constitui uma base do plano 
ℝ3. 
Um vetor �⃗⃗� = (𝑥, 𝑦, 𝑧), pode ser escrito de modo único como �⃗⃗� = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧�⃗⃗� 
 
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Exercício. Componentes retangulares de um vetor. Soma de vetores por componentes 
retangulares 
 
 
 
Aula: 5 
Matrizes e Aplicações 
 
Estrutura de Conteúdo 
UNIDADE 3 - VETORES e MATRIZES 
3.6 Matrizes: definição e tipos 
3.5 Operações com matrizes 
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NOTAS DE AULA - PARTE 1 
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MATRIZES 
 
1. INTRODUÇÃO E DEFINIÇÕES 
 
O estudo das matrizes tornou-se muito importante ultimamente devido às inúmeras 
aplicações em diversos ramos da ciência e tecnologia, tais como: matemática, física, 
engenharia, computação, etc. 
Definição: Chamamos matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. 
Na tabela abaixo temos as notas obtidas por 3 alunos nas provas de português, matemática, 
física e química. 
 Português Matemática Física Química 
Aluno X 8 3 6 5 
Aluno Y 7 5 4 3 
Aluno Z 5 7 8 2 
Definição: Chamamos de linhas as filas horizontais e colunas as filas verticais. 
Notação: Uma matriz mxn é uma tabela com m linhas e n colunas. 
Se denotarmos a matriz toda por A então denotaremos suas linhas por A1, ... Am e suas 
colunas por A1, ..., An. 
Uma matriz mxn é uma tabela com m linhas e n colunas e assim determina m vetores linha 
e n vetores coluna. 
Exemplo: Matriz genérica. 
 
 
O símbolo aij indica o elemento da matriz A que está na i- ésima linha e j- ésima coluna. 
Definição: Igualdade de matrizes 
Duas matrizes 
nmijnm aA   ][
 e 
srijsr bB   ][
 são iguais (A=B) se elas têm o mesmo 
numero de linhas (m=r) e colunas (n=s), e se todos os seu elementos correspondentes são 
iguais 
ijij ba 
. 
Definição: Diagonal Principal. 
Os elementos de uma matriz em que o índice delinha é igual ao índice de coluna (i=j) 
formam, o que se chama, a diagonal da matriz (diagonal principal). 
 
Exemplo Diagonal principal : 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa Diagonal secundária: 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa 
 
 
2. TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES 
 
2.1. Matriz Quadrada 
Definição: Matriz quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas 
m=n . Dizemos então que a matriz quadrada é de ordem n. 
 

















mnmmm
n
n
n
nmij
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aA





321
3333231
2232221
1131211
),(
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Notação: 
nnn AA 
 
44
8560
4176
7509
68742

















 
Exemplos: 
33333231
232221
131211











aaa
aaa
aaa , 
 
2.2. Matriz Nula 
Definição: Matriz nula é aquela em que todos os elementos são zero, isto é, 
jiaij ,,0 
. 
Notação: 0(m,n) 
Exemplos: 
33
33
000
000
000












O
 







000
000
32O
 
 
2.3. Matriz Linha 
Definição: Matriz linha é aquela que possui uma única linha (m=1) 
Exemplos: [1 3 5], de forma geral: 
][ 11211 naaa 
 
 
2.4. Matriz Coluna 
Definição: Matriz coluna é aquela que possui uma única coluna (n=1) 
Exemplos: 










7
0
2
, de forma geral: 
 
2.5. Matriz Diagonal 
Definição: Matriz diagonal é uma matriz quadrada (m=n), onde aij = 0, para i  j, isto é, os 
elementos que não estão na diagonal são nulos. 
Exemplo: 











100
060
004
 
 
2.6. Matriz Identidade Quadrada 
Definição: Matriz identidade é a matriz que tem o elemento 
1iia
 e 
0ija
para i  j , ou 
seja: 






jise
jise
aij
0
1 












1m
21
11
a
a
a

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Exemplo: 

















1000
0100
0010
0001





nI
 
 
2.7. Matriz Triangular Superior 
Definição: Matriz Triangular Superior é a matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo 
da diagonal são nulos, ou seja 
jiaij  ,0
 
Exemplo: 









 
3400
520
5673 
 
2.8. Matriz Triangular Inferior 
Definição: Matriz Triangular Inferior é a matriz quadrada na qual todos os elementos acima 
da diagonal são nulos, ou seja 
jiaij  ,0
 
Exemplo: 












37456
054
002 
 
 2.9. Matriz Simétrica 
Definição: Matriz simétrica é uma matriz quadrada na qual 
jiij aa 
, ou seja, os elementos 
simétricos em relação a diagonal principal são iguais. 
Exemplo: 













0102
1035
254 
 
3. OPERAÇÕES COM MATRIZES 
Suponha que temos a seguinte situação: dois alunos X e Y obtiveram as seguintes notas nos 
meses de março e abril: 
MARÇO Português Matemática Física 
Aluno X 7 6 6 
Aluno Y 6 4 5 
 
ABRIL Português Matemática Física 
Aluno X 6 3 4 
Aluno Y 5 5 6 
Temos assim as matrizes representativas das notas de cada aluno nos dois meses: 







546
667
A
 e 







655
436
B
 
Podemos determinar a matriz que representa as médias de cada aluno em cada uma das 
matérias: 
)(
2
1
2
BA
BA


. 
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Dessa forma, observamos que, por vezes, surge a necessidade de efetuarmos determinadas 
operações entre matrizes. 
 
 3.1. Adição de Matrizes 
A adição de matrizes só é definida quando as duas matrizes consideradas têm mesma ordem. 
Dadas duas matrizes de mesma ordem A=[aij](m,n) e B =[bij](m,n) . A soma de A e B, indicada 
por A+B, é a matriz obtida adicionando-se os correspondentes elementos de A e B, ou seja, 
A + B = [cij] (m,n) onde cij = aij + bij 
nmijij baBA  ][
 
Exemplo: 



















11911
10913
655
436
546
667
BA
 
Propriedades - Dadas as matrizes A,B e C de mesma ordem m x n, temos: 
1) A + B = B + A (comutatividade) 
2) (A + B)+ C = A + (B + C) (associatividade) 
3) A + 0 (m,n) = A 
4) A + (-A) = 0 
 
3.2. Multiplicação por Escalar 
Dada a matriz A =[a ij] (m,n) e o escalar c, então o produto do escalar c pela matriz 
A, indicado por cA, é a matriz obtida multiplicando cada elemento de A por c, 
cA =[ca ij] (m,n). 
Exemplo: 





 








03
96
01
32
3
 
Propriedades - Se A e B são matrizes de ordem m x n e c, c1 e c2 são escalares, então 
i) (c1 + c2)A = c1 A + c2 A 
ii) c(A + B) = cA + cB 
iii) c1(c2 A) = (c1 c2)A 
iv) 0.A = 0(m,n) 
 
3.3. Transposição 
Definição: A matriz transposta At =A’= [bij]nxm de A= [aij]mxn é a matriz obtida de forma que 
as linhas de At = A’ são as colunas de A, isto é, bij = aij . 
Definição: A matriz transposta da matriz A=[aij] (m,n), indicada por A
t ou A’, é a matriz obtida 
escrevendo-se as linhas de A como colunas, isto é, At =[aji] (m,n) 
Exemplo: 












57
02
13
A
 









501
723
'AAt
 
Propriedades: 
i) Uma matriz A é simétrica se e somente se At = A. 
ii) A’’=A ou (At)t = A , isto é, a transposta da transposta é igual a matriz 
iii) (A+B)’=A’+B’ ou (A + B)t = At + Bt , isto é, a transposta da soma é a soma das 
transpostas 
iv) (cA)’=cA’ ou (cA)t=cAt , onde c é escalar qualquer 
Definição: Matriz Antisimétrica 
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Uma matriz A é dita anti-simétrica se At = -A. 
Exemplo: 














0102
1005
250
A
 














0102
1005
250
tA
 














0102
1005
250
A
 
 
Observe que os elementos da diagonal principal devem ser zero. 
 
3.4. Multiplicação de Matrizes 
i) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de 
colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, n = l. 
Além disso, a matriz resultado C=AB será de ordem m x p 
ii) Os elementos cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto) é obtido 
multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos 
correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos. 
Propriedades – Desde que sejam possíveis as operações. 
i) Em geral AB  BA 
ii) AI = IA =A 
iii) A(B+C) = AB + AC (distributividade a esquerda da multiplicação, em relação 
a soma) 
iv) (B + C)A = BA + CA (distributividade a direita da multiplicação, em relação 
a soma) 
v) A(BC) = (AB)C (associativa) 
vi) (AB)´= B´A´ ou (AB)t=BtAt 
vii) vii) 0.A = 0 e A . 0 = 0 
 
 
Avaliação 
EXERCÍCIOS 
1) Determine os valores de x, y de forma que a igualdade se verifique. Resp: x=1;y=2. 
2
22
1
2 3
x x
I
y y
 
 
  
 
2) Considere as matrizes 
3 5
2 4
A
 
  
 
 
8 1
2 3
B
 
   
 
4 5
6 1
C
  
   
 
 Calcule as seguintes matrizes 
(a) A+B-C Resp: 






010
1115
 (b) (2A – B)t Resp: 






119
22
 
3) Para que valores de x,y e z a matriz M é uma matriz simétrica? Resp: x=1;y=-2 
5 3
4 3
1 2
x y
M x y z
x
 
   
 
  
 
4) Para que valores de x e y a matriz P é uma matriz diagonal? Resp: x=-1; y=2 
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3
1
y x y
P
x y x
  
    
 
5) Considere as seguintes matrizes 
1 2
3 1
4 1
A
 
 
 
  
 
2 5
1 3
B
 
   
 
 4 0C 
 
a) De que tipo são as matrizes A,B e C? Resp: 3x2;2x2;1x2 
b) Os produtos AB,BA,AC,CA,BC,CB existem? Resp: não existem: BA,AC,CA 
c) Calcule os produtos que estão definidos. Resp: 













179
185
14
AB
 
 208CA
 
6) Sejam A = 
2 1 0
1 2 1
 
 
 
 , B = 
0 0 2
6 4 2
 
 
 
 e C = 
3 2 0
0 1 0
 
 
 
 matrizes de M2x3 () . Calcular 
1
3
2
A B C
 
  
 
. Resp. 
9 5 3
6 1 0
 
  
 
7) Determinar a matriz 
)(32  MX
 tal que 
    
1
3
2
X A X B A C    
, sendo A,B e 
C as matrizes do exercício 6. Resp. 
11
4 12
5
529
8
15
5
 
 
 
 
  
 
8) Determinar X e Y
)(32  M
tais que: S: 
2
3
X Y A
X Y B
 

 
 onde A e B são as matrizes do 
exercício 6. Resp. X =
2 1 4
7 7 7
11 6 3
7 7 7
 
  
 
 
  
 , Y = 
4 2 6
7 7 7
20 16 8
7 7 7
 
 
 
 
  
 
9) Determinar todas as matrizes que comutam com a matriz 
1 1
0 0
A
 
  
 
, ou seja, todas as 
matrizes X do tipo 2x2 tais que AX = XA. Resp. 
0
x y
X
x y
 
   
 , onde x e y são 
números quaisquer. 
 
10) O diagrama abaixo representa um mapa rodoviário mostrando as estradas que ligam as 
cidades 1,2,3 e 4. A matriz A = [aij]4x4 associada a esse mapa é definida da seguinte 
forma: 
1, se está ligada diretamente a j
0, se ou i não tem ligação direta com j
ij
i
a
i j

 

 
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Sabendo que i e j referem-se às cidades do mapa e variam no conjunto {1,2,3,4}, construa a 
matriz A. 
1
3
4
2
 
Resp. 
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
A
 
 
 
 
 
 
 
11) Sabendo que 
4 2
0 1
A
 
  
 
 e 
1 0
0 1
B
 
  
 
, obtenha as matrizes M e N, tais que 
2
3 2
M N A B
M N A B
  

  
. 
Resp. 63
5
6
0
5
N
 
 
  
 
  
 ; 20
5
3
0
5
M
 
 
  
 
  
 
12) Dadas as matrizes 
2 5
10 1
A
 
  
 
 e 
3
5 1
x y x y
B
  
  
 
, calcule x e y para que A = BT. 
Resp. x = 3 e y = -1 
13) Considere a matriz A = 
1
0
a
b
 
 
 
, determine a e b reais, tal que 
2 3 22
0 1
A A
 
   
 
. 
Resp. a = 1 ; b = -1 
14) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada, 
respectivamente, usadas em um restaurante: C = 










7
4
2 . A matriz P fornece o número de 
porções de arroz, carne e salada usadas na composição dos pratos tipo P1, P2 e P3 desse 
restaurante: 
 
A C S 
 P = 
3
2
1
022
121
112
pratoP
pratoP
pratoP









 
Determine a matriz custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2 e P3. Resp. 










12
17
15 
15) Um proprietário de dois restaurantes deseja contabilizar o consumo dos seguintes 
produtos: arroz, carne, cerveja e feijão. No 1º restaurante são consumidos, por semana, 
25 kg de arroz, 50 kg de carne, 200 garrafas de cerveja e 20 kg de feijão. No 2º 
restaurante são consumidos, semanalmente, 28 kg de arroz, 60 kg de carne, 150 garrafas 
de cerveja e 22 kg de feijão. Existem dois fornecedores, cujos preços, em reais, desses 
produtos são: 
Produto Fornecedor 1 Fornecedor 2 
1kg de arroz 1,00 1,00 
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1kg de carne 8,00 10,00 
1 garrafa de cerveja 0,90 0,80 
1kg de feijão 1,50 1,00 
A partir dessas informações, obtenha: 
a) Uma matriz 2x4, que descreva o consumo desses produtos pelo proprietário no 1º e no 
2º restaurante, e uma outra matriz 4x2 que descreva os preços dos produtos nos dois 
fornecedores. 
b) O produto das duas matrizes obtidas no item a, que represente o gasto semanal de cada 
restaurante junto a cada fornecedor e o lucro semanal que o proprietário terá nos dois 
restaurantes comprando sempre no fornecedor mais barato. 
Resp. a ) 
1 1
25 50 200 20 8 10
;
28 60 150 22 0,9 0,8
1,5 1
 
 
   
    
 
 
 b)






770676
705635
R$276,00. 
16) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupas utilizando materiais diferentes. Considere a 
matriz A = aij, em que aij representa quantas unidades do material j serão empregadas para 
fabricar uma roupa do tipo i. 
A = 










124
310
205 
 
a) Quantas unidades do material 3 serão empregados na confecção de uma roupa do tipo 2? 
 Resp. 3 unidades 
b) Calcule o total de unidades do material 3 que será empregado para fabricar cinco roupas do 
tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3. Resp. 33 unidades 
17) A matriz C fornece, em reais, o custo por de um sanduíche, de uma batata frita e um 
refrigerante, respectivamente, usadas em uma lanchonete: C = 










00,1
00,2
30,1 . A matriz P fornece 
a quantidade de sanduíches, batatas fritas e refrigerantes usadas na composição das 
promoções (promoção 1, promoção 2 e promoção 3) desse restaurante: 
 S B R 
 P = 
3.
2.
1.
121
123
112
prom
prom
prom










 
 Determine a matriz custo de produção, em reais, das promoções 1, 2 e 3. Resp: 










3,6
9,8
6,5
 
18) Considere as matrizes 
 
3 0
1 2
1 1
A
 
  
 
  
, 
4 1
0 2
B
 
  
 
, 
1 4 2
3 1 5
C
 
  
 
, 1 5 2
1 0 1
3 2 4
D
 
 
 
 
  
, 6 1 3
1 1 2
4 1 3
E
 
 
 
 
  
 
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NOTAS DE AULA - PARTE 1 
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 Calcule quando possível. 
a) 2B – C b) -3(D + 2E) c) 
2 TA C
 d) 
1 1
2 4
TC A
 
e) 
 2 3
T
T TE D
 f) 
  5
T TAC D 
 g) 
 2
T
TBAC
 
 Resp. a) não definida b) 39 21 24
9 6 15
33 12 30
   
 
 
 
    
 c) 
7 2 4
3 5 7
 
 
 
 d) 
1
3
4
2
9
0
4
9
3
4
4
 
 
 
 
 
 
 
  
 
e) 9 13 0
1 2 1
1 4 6
 
 
 
    
 f) 2 10 11
13 2 5
4 3 13
 
 
 
  
 g) 
10 6
14 2
1 8
 
 
 
   
 
19) Encontre todos os valores de a, b e c para os quais A é simétrica. 
 2 2 2 2
3 5
0 2 7
a b c a b c
A a c
    
 
 
 
  
 Resp. 
11, 9, 13a b c    
 
20) Encontre a matriz [aij] de tamanho 4x4 cujas entradas satisfazem a condição dada. 
 1, se 1
-1, se 1
ij
i j
a
i j
  
 
 
 Resp. 
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
  
   
 
   
 
  
 
21) Determine a matriz A2, de acordo com a matriz A2x2 . 
 
 
, se 
2
cos j , se 
ij
sen i i j
a
i j


  
  
  
 
 Resp. 
0 1
1 1
 
   
 
22) Seja A = 
1 2
4 3
 
  
, determinar f(A), onde f(x) = 2x3 – 4x + 5. Resp. 
13 52
104 117
 
  
 
23) Dada a matriz A = 
2 1
1 1
 
 
 
, determinar uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2. 
Resp. X = 
1 1
1 2
 
  
, 
24) Determine x, y e z para que 2
32
2
1
2 25
8
log
9
x y
z
y
 
 
  
  
 
. Resp. x = -3 , y = 5 e z = 

9 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
NOTAS DE AULA - PARTE 1 
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25) Determine o elemento da terceira linha da matriz 1 1
4 2
T
C B A
 
  
 
, em que A = [2 -4 
6] e B = [4 -8 12]. Resp. 0 
 
26) Quatro seleções (Rússia, Itália, Brasil e EUA) disputam a etapa final de um torneio 
internacional de vôlei no sistema "todos jogam contra todos" uma única vez. O campeão 
do torneio será a equipe que obtiver mais vitórias; em caso de empate no número de 
vitórias, o campeão é decidido pelo resultado obtido no confronto direto entre as equipes 
empatadas. Na matriz seguinte, o elemento aij indica o número de sets que a seleção i 
venceu no jogo contra a seleção j. Lembre que o jogo de vôlei termina quando uma 
equipe termina 3 sets. 
[
0 2 3 1
3 0 1 3
2 3 0 3
3 2 0 0
] 
Representando Rússia por 1, Itália por 2, Brasil por 3 e EUA por 4, determine o placar do 
jogo Brasil x Itália. 
 
27) Seja 𝐴 = [
𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
] uma matriz 2x2, onde  é um ângulo tal que 0 < 𝜃 ≤
𝜋
2
. Dado 
𝑋 = [
𝑥
𝑦], a função 𝑓(𝑋) = 𝐴𝑋 desloca o ponto (𝑥, 𝑦) de um ângulo , conforme figura 
abaixo. Se o ponto (3,1) é deslocado pela função 
f
 para o ponto (√2, 2√2) , então o 
ângulo , em radianos, é: 
(a) 
𝜋
4
 
b) 
𝜋
2
 
c) 
𝜋
6
 
d) 
𝜋
8
 
 
Gabarito: (a) 
𝜋
4
 
 
28) (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do 
Rio de Janeiro em 2007 (tabela I). Com base na tabela, é possível formar a matriz 
quadrada A cujos elementos aij representam o número de medalhas do tipo j que o país 
i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}. Para fazer outra classificação 
desses países, são atribuídos às medalhas os seguintes valores: 
- ouro: 3 pontos; 
- prata: 2 pontos; 
- bronze: 1 ponto. 
Esses valores compõem a matriz 𝑉 = [
3
2
1
] 
 
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NOTAS DE AULA - PARTE 1 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
 
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Tabela I – Quadro de medalhas Jogos Pan-americanos RJ 2007 
Determine a partir do cálculo do produto A.V, o número de pontos totais obtidos pelos três 
países separadamente. 
 
29) (UFF) Por recomendação médica, João está cumprindo uma dieta rigorosa com duas 
refeições diárias. Estas refeições são compostas por dois tipos de alimentos, os quais 
contêm vitaminas dos tipos A e B nas quantidades fornecidas na seguinte tabela 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada refeição 13.000 unidades de vitamina A 
e 13.500 unidades de vitamina B. 
Considere nesta dieta: 
x = quantidade ingerida do alimento 1, em gramas. 
y = quantidade ingerida do alimento 2, em gramas. 
A matriz M, tal que 𝑀 (
𝑥
𝑦) = (
13.000
13.500
) é igual a 
a)(
30 45
20 50
) b) (
20 30
50 45
) c) (
20 50
30 45
) d) (
30 20
45 50
) 
 
30) Antônio, Bruno e calor decidiram passar em uma lanchonete depois da partida de futebol 
no clube. A matriz M, a seguir, representa quantos salgados cada um comeu além da 
forma como a despesa foi dividida. Sendo Antônio representado pelo numero1, Bruno 
representado pelo número 2 e Carlos pelo número 3,cada elemento Aij da matriz M a 
seguir indica o número de salgados consumidos, em que i representa a pessoa que comeu 
e j a pessoa que pagou por essa quantidade. Por exemplo A23=1 indica que bruno comeu 
1 salgado que Carlos pagou. 
Sendo 𝑀 = [
2 3 2
2 1 1
0 2 4
] e 0,80 o valor de cada salgado, pergunta-se quanto Bruno gastou na 
lanchonete? 
(a) 4,80. (b) 3,20 (c) 5,60. (d) 2,40. 
Gabarito: (a) 4,80. 
31) Nos processos de digitalização, imagens podem ser representadas por matrizes cujos 
elementos são os algarismos 0 e 1. Considere que a matriz linha L=(1 0 1 0 0 1) 
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representa a figura P, onde 1 representa o “quadradinho” escuro e 0 representa o 
“quadradinho” branco. 
Figura P: 
Seja X a matriz linha dada por X=LM, onde M é a matriz M(mij) com 𝑚𝑖𝑗 = {
1, 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 = 7
0, 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 ≠ 7
 
Com 1 ≤ 𝑖 ≤ 6 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 6. Dessa forma, a matriz X representa a figura da opção 
(a) 
(b) 
c) 
(d) 
Gabarito: (b)