BASES PARTE 2

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BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
NOTAS DE AULA - PARTE 2 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
 
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Aula: 6 
Funções 
 
Objetivos 
Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Representar pontos no plano cartesiano; 
Reconhecer uma relação; 
Reconhecer uma função; 
Determinar o domínio de uma função. 
Determinar a imagem de uma função. 
 
Estrutura de Conteúdo 
UNIDADE 4 - FUNÇÕES 
4.1. Definição e associação a fenômenos físicos 
4.2. Gráfico 
4.3. Domínio, Imagem e Contra-Domínio 
4.4. Tipos (injetora, bijetora e sobrejetora) 
 
PARTE I 
1. PLANO CARTESIANO - SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL DE 
COORDENADAS 
Um sistema de coordenadas auxilia na determinação de um ponto através de um conjunto de 
informações. Para se determinar um ponto de um plano, podemos fixar nesse plano dois eixos 
reais Ox e Oy, perpendiculares entre si no ponto O: 
 
 esse sistema de eixos é conhecido como sistema cartesiano ortogonal de coordenadas; 
 o plano que contém esse sistema é chamado de plano cartesiano; 
 o ponto O é a origem do sistema; 
 os eixos Ox e Oy, denominados de eixos coordenados, são respectivamente o eixo das 
abscissas e o eixo das ordenadas; 
 os eixos coordenados separam o plano cartesiano em quatro regiões denominadas de 
quadrantes, que devem ser enumeradas conforme a figura 
 
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2. COORDENADAS DE UM PONTO NO PLANO CARTESIANO 
Dado um ponto P do plano cartesiano, chamamos de projeção ortogonal de P sobre um dos 
eixos Ox ou Oy a intersecção desse eixo com a perpendicular a ele, traçada por P. 
 
 P’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Ox; 
 P’’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Oy; 
Dizemos que as coordenadas do ponto P são: a abscissa do ponto P’ e a ordenada do ponto 
P’’. 
 
3. PAR ORDENADO 
Para indicarmos que um ponto P possui abscissa a e ordenada b, usaremos a notação P(a, b). 
O símbolo (a, b) é chamado de “par ordenado”. 
Exemplo. 
 P(5, 4), significa que a abscissa de P é 5 e a ordenada é 4; 
 Q(4, 5), significa que a abscissa de Q é 4 e a ordenada é 5. 
Notas: 
I) Um ponto P pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, sua ordenada for zero. 
II) Um ponto T pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, sua abscissa for zero. 
III) Indicando os quadrantes 1o, 2o, 3o e 4o, respectivamente, por I Q, II Q, III Q e IV Q, 
temos: 
P(a, b)  I Q  a > 0 e b > 0; 
P(a, b)  II Q  a < 0 e b > 0; 
P(a, b)  III Q  a < 0 e b < 0; 
P(a, b)  IV Q  a > 0 e b < 0. 
Exemplos. 
(a) O ponto A(5, 0) pertence ao eixo das abscissas; 
(b) O ponto B(0, 4) pertence ao eixo das ordenadas; 
(c) O ponto C(3, 4) pertence ao I Q; 
(d) O ponto D(-2, 5) pertence ao II Q; 
(e) O ponto E(-4, -6) pertence ao III Q; 
(f) O ponto F(5, -2) pertence ao IV Q. 
 
4. PRODUTO CARTESIANO 
Sejam A e B conjuntos. Consideremos o conjunto { (x,y) / xA  xB }. Dizemos que 
este conjunto é o produto cartesiano de A por B e escrevemos AxB (lê-se A cartesiano B) 
Geometricamente: 
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Exemplo: 
Sendo A = {1, 2, 3} e B = {5, 8}, temos: 
A X B = {(1, 5), (1, 8), (2, 5), (2, 8), (3, 5), (3, 8)} 
 
5. RELAÇÕES 
Seja R um conjunto. Suponhamos que todos os elementos de R são pares ordenados. Dizemos 
então que R é uma relação. 
Se (x, y)  R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) através de R. 
 
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 6, 10}, determinar cada um dos 
conjuntos seguintes: 
(a) o produto cartesiano A X B; 
O produto cartesiano A X B é o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y), tal 
que x  A e y  B. Assim, temos: 
A X B = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 10), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 10), 
 (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 10)} 
(b) a relação R1 de A em B, dada por R1 = {(x, y)  A X B | y = 2x}; 
R1 é o subconjunto de A X B formado pelos pares ordenados em que o segundo elemento (y) 
de cada par é o dobro do primeiro elemento (x). Assim: 
 
 
 
 
6. CONJUNTO DE PARTIDA E CONTRADOMÍNIO 
Sejam A e B conjuntos. Suponhamos que RAxB. Dizemos que R é uma relação de A em 
B e que A é o conjunto de partida de R e B é o conjunto de chegada ou contradomínio 
de R. 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4
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7. DOMÍNIO 
Seja R relação. Consideremos o conjunto formado pelas primeiras coordenadas dos pares 
de R. Dizemos que tal conjunto é o domínio de R e escrevemos D(R). 
 
8. IMAGEM 
Seja R uma relação. Consideremos o conjunto formado pelas segundas coordenadas dos 
pares de R. Dizemos que tal conjunto é a imagem de R e escrevemos I(R) . 
 
Exemplo: Considere a relação R de A em B, descrita pelo diagrama a seguir: 
 
Os conjuntos A e B são conjunto de partida (CP) e contradomínio (CD) da relação R. 
O domínio da relação R é o conjunto: D(R) = {1, 2, 3}. 
D(R) é o conjunto formado por todos os elementos de A que estão relacionados com 
elementos de B, através de R. 
O conjunto imagem da relação R é o conjunto: Im(R) = {9, 10, 12, 15} 
Im(R) é o conjunto formado por todos os elementos de B que estão relacionados com 
elementos de A, através de R. 
 
9. FUNÇÕES 
Uma função é um tipo particular de relação entre conjuntos, que possui uma propriedade 
especial. 
Sejam A e B conjuntos. Seja R uma relação de A em B. Suponhamos que: 
1. D(R)=A 
2. I(R)B 
3. Cada elemento xA está associado a um único elemento yB 
Dizemos então que R é uma função de A em B. 
 
Ou ainda, sejam A e B conjuntos diferentes do vazio. Uma relação f de A em B é função se, 
e somente se, todo elemento de A estiver associado, através de f, a um único elemento de B. 
Usaremos a notação f : A  B para indicar que f é função de A em B. 
Exemplos: 
 
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As relações f e g são funções, pois: 
 todo elemento de A está associado, através de f, a um único elemento de B; 
 todo elemento de C está associado, através de g, a um único elemento de D; 
 todo elemento de M está associado, através de h, a um único elemento de N; 
 
No entanto, t não é função, pois o elemento 4 está associado através de t a mais de um 
elemento de O (1 e 6). 
 
Nota: Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), 
contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. 
No exemplo (a) acima, temos: 
CP(f) = D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; CD(f) = B = {18, 19, 16, 13, 15}; Im(f) = {16}. 
 
 
PARTE II 
 
1. IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE FLECHAS 
Consideremos a função descrita no diagrama de flechas abaixo. Se um elemento y de B 
estiver associado a um elemento x de A, através de f, então diremos que y é a imagem de x , 
através de f. Indica-se y = f (x) (lê-se “y é igual a f de x” ou “y é a imagem de x através de 
f”). Assim, temos: 
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6 = f (1) 
7 = f (2) 
8 = f (3) 
8 = f (4) 
11 = f (5) 
 
 
 
2. IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DE Y = F(X) 
Consideremos os conjuntos A = [-3, 8] , B = [-10, 20] e a função f : A  B, onde cada x, x 
 A, é associado a um único f(x), f(x)  B, através da lei f(x)= 2x + 1. 
A lei f(x) = 2x + 1 nos diz que a imagem de cada x do domínio de f é o número 2x + 1 do 
contradomínio. Assim, temos, por exemplo: 
 a imagem do elemento 4, através de f, é: 
f (4) = 2  4 + 1  f (4) = 9; logo, (4, 9)  f 
 a imagem do elemento , através de f, é: 
f = 2  + 1  f = 2; logo, ( , 2)  f 
Note que o símbolo f (x) representa a ordenada do ponto de abscissa x. Assim, em vez de 
escrevermos f(x) = 2x + 1 = 2x + 1, podemos escrever y = 2x + 1, ou seja, o símbolo f(x) 
pode ser substituído por y e vice-versa. 
 
3. IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
Consideremos o gráfico de uma função y = f(x), conforme abaixo. 
Cada ponto (x,y) do gráfico de f deve ser interpretado como (x, f(x)), ou seja, a ordenada é a 
imagem da abscissa através de f. Por exemplo: 
 
 (5,4) é ponto do gráfico; logo f(5) = 4; 
 (-2,0) é ponto do gráfico; logo f(-2) = 0; 
 (2, 3) é ponto do gráfico; logo f(2) = 3; 
 (0, 1) é ponto do gráfico; logo f(0) = 1; 
 
 
 
 
1
2
1
2






1
2
1
2






1
2
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
 
x
y
 
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4. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO ATRAVÉS DO GRÁFICO 
Sendo f uma função de domínio D, dizemos que: 
 f é positiva para um elemento x, x  D, se, e somente se, f(x) > 0; 
 f é negativa para um elemento x, x  D, se, e somente se, f(x) < 0; 
 f se anula para um elemento x, x  D, se, e somente se, f(x) = 0. 
Note que o sinal da função para um elemento x, x  D, é o sinal de f(x), e não o sinal de x. 
 
Exemplo: Seja o gráfico da função y = f(x) 
 
 no intervalo –2 < x < 7, f(x) > 0; 
 no intervalo –6  x < -2 ou 7 < x  9, f(x) < 0; 
 para x = -2 e x = 7, f(x) = 0. Note que essas 
abscissas correspondem aos pontos de 
intersecção do gráfico com o eixo Ox. 
 
 
 
5. RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃO PELO GRÁFICO 
Através do gráfico, podemos verificar se uma relação é ou não uma função. Se uma reta 
paralela ao eixo Oy interceptar o gráfico de uma relação R em mais de um ponto, então R 
não é função. 
Em outras palavras, um gráfico representará uma função de A em B se, e somente se, 
qualquer reta paralela ao eixo Oy, passando por um ponto qualquer de abscissa x, x  A, 
interceptar o gráfico num único ponto. 
Exemplo: 
(a) Considere o gráfico a seguir, de uma relação R de A = {1, 2, 3} em B = {4, 5, 6, 7}: 
 
Analisando o gráfico, percebemos que a relação R não é função de A em B, pois, (1, 4) e (1, 
7) pertencem a R, isto é, o elemento 1 do conjunto de partida está associado, através de R, a 
dois elementos do contradomínio: 4 e 7. 
(b) Observe o gráfico a seguir, de uma relação R de A = [2, 5] em B = [1; 3,3]. 
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
 
x
y
 
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4
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Note que qualquer reta paralela ao eixo Oy, passando por um ponto de abscissa x, x  A, 
intercepta o gráfico num único ponto. Isso significa que qualquer x, x  A, está associado, 
através de R, a um único y, y  B. Logo, R é função de A em B. 
 
6. FUNÇÃO CRESCENTE 
 Uma função F(x) é crescente em um intervalo numérico no qual é definida se, para 
dois valores quaisquer x1 e x2 deste intervalo, com x2 > x1, têm-se F(x2) ≥ F(x1). 
Exemplo de função crescente: f(x) = 2x. 
 
 
7. FUNÇÃO DECRESCENTE 
Uma função F(x) é decrescente em um intervalo numérico no qual é definida se, para dois 
valores quaisquer x1 e x2 deste intervalo, com x2 > x1, têm-se F(x2) ≤ F(x1). Exemplo de 
função decrescente: 
 
 
8. FUNÇÃO CONSTANTE 
Uma função F(x) é constante em um intervalo numérico no qual é definida se, para dois 
valores quaisquer x1 e x2 deste intervalo, com x2 ≠ x1, têm-se F(x2) = F(x1). Isto só ocorre se 
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F(x) = c, onde c é um número real constante, ou seja, não se verifica, na definição da 
função, a variável independente x. 
 
 
9. FUNÇÃO SOBREJETORA 
 
 
 
Função sobrejetora: possuem 
o contradomínio igual ao conjunto 
imagem. Em uma função sobrejetora não 
existem elementos no contradomínio que 
não estão flechados por algum elemento 
do domínio, não “sobra” ninguém. 
 
 
10. FUNÇÃO INJETORA 
 
 
Função Injetora: Não há nenhum elemento em B que 
está associado a mais de um elemento de A, ou seja, 
não há em B qualquer elemento com mais de uma 
flechada. Em outras palavras não há mais de um 
elemento distinto de A com a mesma imagem em B. 
 
Neste exemplo, nem todos os elementos de B estão 
associados aos elementos de A, isto é, nesta função 
o conjunto imagem difere do contradomínio, 
portanto esta não é uma função sobrejetora. 
 
 
11. FUNÇÃO BIJETORA 
 
 
 
É uma função sobrejetora, pois não há 
elementos em B que não foram flechados. 
É uma função injetora, já que todos os 
elementos de B recebem uma única 
flechada. 
Funções que como esta são 
tanto sobrejetora, quanto injetora, são 
classificadas como funções bijetoras. 
 
 
 
Avaliação 
1. Num papel quadriculado, em um mesmo plano cartesiano, localize os pontos: 
A = ( 0 , 4 ); B = ( -4 , 5 ); C = ( 3 , - 4 ); D = ( 2 , 2 ); E = ( 0 , 0 ) 
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2. No plano cartesiano abaixo, dê os pares ordenados de cada ponto: 
 
Gabarito: A(-3,4); B(3,4) ; C(2,1) ; D(-2.-3) ;E(1,-3) 
 
3. Considere os segmentos g e k indicados no seguinte plano cartesiano. Determine as 
coordenadas de suas extremidades: 
 
Gabarito: 
Extremidades de g: (-5,-3) e (0,2). Extremidades de k: (1,-2) e (4,1) 
 
4. Em papel quadriculado, trace os segmentos AB̅̅ ̅̅ e MN̅̅̅̅̅, onde: 
A = ( 3 , 4 ) e B = ( -3 , -4 ) M = ( -1, 2 ) e N = ( -1 , -1 ) 
 
5. Dadas duas retas concorrentes (p x m), onde p ∩ m = T. Determina as coordenadas 
cartesianas: 
a) Do ponto T: (4,1) 
b) Do ponto A, o que corresponde à intersecção da reta com o eixo OX⃗⃗⃗⃗ ⃗: (3,0) 
c) Do ponto B, o que corresponde à intersecção da reta com o eixo OY⃗⃗⃗⃗ ⃗: (0,5) 
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6. (UFF) Em um certo dia, três mães deram a luz em uma maternidade. A primeira teve 
gêmeos, a segunda teve trigêmeos e a terceira, um único filho. Considere, para aquele dia, o 
conjunto das três mães, o conjunto das seis crianças e as seguintes relações: 
I) A que associa cada mãe ao seu filho. 
II) A que associa cada filho a sua mãe. 
III) A que associa cada criança ao seu irmão. 
São funções: 
(a) somente a I 
(b) somente a II 
(c) somente a III 
(d) todas 
(e) nenhuma 
 
Gabarito: 
Nomeando as mães como A, B e C com seus respectivos filhos A1, A2, B1, B2, B3 e C1, 
temos as situações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) I não é função, pois tanto a mãe A, como a mãe B possuem duas imagens, contrariando a 
definição de função. 
ii) II é função. Cada filho possui somente uma imagem (mãe) e todo filho possui imagem. 
iii) III não é função. Além de os filhos da mãe A e B possuírem mais de uma imagem 
(irmãos),o filho da mãe C como único não possui irmão, logo sem imagem. 
 
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7. Considere a função f: A → B representada pelo diagrama a seguir: 
 
 
Determine: 
a) o domínio (D) de f. 
b) f(1), f(-3), f(3) e f(2). 
c) o conjunto imagem (Im) de f. 
 
 
Gabarito: 
a) D(f) = {1, -3, 3, 2}. (b) f(1) = 1; f(-3) = 9; f(3) = 4; f(2) = 4. c) IM(f) = {1, 4, 9} 
 
8. Na revelação de um filme, uma óptica calcula o preço a ser cobrado usando a fórmula 
P = 12,00 + 0,50n, onde P é o preço, em reais, a ser cobrado e n é o número de fotos reveladas 
do filme. 
a) Quanto pagarei se forem reveladas 22 fotos do meu filme? 
b) Se paguei R$20,00 pela revelação, qual o total de fotos reveladas? 
 
Gabarito: 
fotosnnnn
b
RPPPP
a
16
5,0
8
.5,08.5,01220
)
00,23$23111222.5,012
)


 
 
9. (UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento: 
Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. 
Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. 
Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão. 
Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano. 
Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta. 
 
Gabarito: 
.IIIasidoteriaopçãomelhorA
00,5418.3IIIopçãoNa
60,616,214018.20,140IopçãoNa
.alugadosfilmes182:36362056IIopçãoNa



 
10. Dada a função f(x) = 3x + 5, determine: 
𝑓(−3)+ 𝑓(0)
𝑓(−2)
 
 
Gabarito: 
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1
1
1
1
54
)2(f
)0(f)3(f
1)2(f56)2(f5)2.(3)2(f
5)0(f50)0(f5)0.(3)0(f
4)3(f59)3(f5)3.(3)3(f











 
 
11. Encontre o domínio das funções abaixo: 
a) f(x) = 
12x4
x3x.2 2


 
Gabarito: 
 }3{IR)f(Dou}3x/IRx)f(D
3x12x4012x4


 
 
b) y = 
3x4²x
55²x.2³x


 
Gabarito: 
}1,3{IR)y(Dou}1xe3x/IRx{)y(D
1xe3x
2
24
x
1.2
4)4(
x43.1.4)²4(03x4²x 21






 
 
c) g(x) = 
3 5x2 
 
Gabarito: 
IR. = D(g) Assim,
nulos.ou negativos positivos, valoresadmite ela ímpar, índice temraiz a Como
 
 
d) f(x) = 
x26
 
Gabarito: 
}3x/IRx{)f(D
3x6x26x20x26
:Assim.negativosvaloresadmitenãoela,paríndicetemraizaComo


 
 
12. Considere o gráfico da função f abaixo: 
 
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NOTAS DE AULA - PARTE 2 
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Encontre: 
a) o domínio. 
b) os zeros ou raízes. 
c) os intervalos de crescimento. 
d) os intervalos onde a função é constante. 
e) o valor da expressão: E = f(-1) + f(2) – 3.f() + 4.f(4). 
Gabarito: 
4E2.42.320E)e
]4,2)[d
]7,4[]2,1)[c
}1){b
]7,1[)f(D)a





 
 
13. Considere o gráfico da função f abaixo: 
 
Encontre: 
a) o domínio. 
b) o conjunto imagem. 
c) os zeros ou raízes. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. PM Pará 2012. O gráfico abaixo mostra a produção diária de lixo orgânico de duas 
pessoas. O dia da semana que o gráfico mostra que as produções de lixo das duas pessoas 
foram iguais é: 
 
a) 2ª feira b) 4ª feira c) 6ª feira d) Sábado e) Domingo 
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NOTAS DE AULA - PARTE 2 
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Repare que existe interseção das linhas azul e vermelha apenas no Domingo, onde cada 
uma produziu 10 kg de lixo orgânico. 
 
2 PM Pará 2012. O gráfico abaixo mostra que no período de 94 a 95 houve um grande 
aumento no desmatamento da Amazônia. O aumento aproximado, em porcentagem, desse 
desmatamento no período de 94 a 95 foi de: 
 
a) 95 b) 92 c) 90 d) 88 e) 85 
Vamos calcular o crescimento do desmatamento: 
29059 – 14896 = 14163 
Para calcularmos a porcentagem, basta dividir pelo desmatamento de 94: 
14163/14896 = 0,95 = 95% 
 
3. O gráfico, publicado na Folha de S. Paulo de 16.08.2001, mostra os gastos (em bilhões 
de reais) do governo federal com os juros da dívida pública. 
 
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Pela análise do gráfico, pode-se afirmar que: 
A) em 1998, o gasto foi de R$ 102,2 bilhões. 
B) o menor gasto foi em 1996. 
C) em 1997, houve redução de 20% nos gastos, em relação a 1996. 
D) a média dos gastos nos anos de 1999 e 2000 foi de R$ 79,8 bilhões. 
E) os gastos decresceram de 1997 a 1999. 
Gabarito: D 
 
4. (ENEM) O gráfico anterior mostra as exportações brasileiras de carne suína, em mil 
toneladas, sinalizando forte tendência de queda no mês de marco de 2006. A partir da 
análise do gráfico, julgue as afirmações abaixo.
 
I. Se fosse confirmada a tendência de queda apresentada no gráfico, em marco de 2006 o 
Brasil teria exportado 15 milhões de quilogramas a menos do que exportou em fevereiro de 
2006. 
II. A quantidade de carne exportada em outubro de 2005 foi o dobro da exportada em 
fevereiro de 2006. 
III. As exportações de agosto de 2005 e outubro de 2005 totalizaram 130 milhões de 
quilogramas de carne. 
É correto apenas o que se afirma em: 
a) I. b) II. c) III. d) I e III. e) I e II. Gabarito: D 
 
5. (ENEM) A produção agrícola brasileira evoluiu, na última década, de forma 
diferenciada. No caso da cultura de grãos, por exemplo, verifica-se nos últimos anos um 
crescimento significativo da produção da soja e do milho, como mostra o gráfico. 
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Pelos dados do gráfico e possível verificar que, no período considerado, a produção de 
alimentos básicos dos brasileiros: 
a) cresceu muito pouco. 
b) a produção de feijão foi a maior entre as diversas culturas de grãos. 
c) a cultura do milho teve taxa de crescimento superior a da soja. 
d) as culturas voltadas para o mercado mundial decresceram. 
e) as culturas voltadas para a produção de ração animal não se alteraram. 
Gabarito: A 
 
 
Aula: 7 
Função de 1º Grau 
 
Objetivos 
Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Definir uma função afim e estudar suas particularidades. 
Esboçar o gráfico de uma função afim. 
Identificar os pontos notáveis do gráfico de uma função afim. 
Identificar o domínio e a imagem de uma função afim. 
 
Estrutura de Conteúdo 
UNIDADE 5 - FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU 
5.1. Definição 
5.2. Gráfico 
5.3. Variação do sinal 
5.4. Inequação produto e inequação quociente 
5.5. Aplicações 
 
PARTE I 
 
1. MOTIVAÇÃO/INTRODUÇÃO 
 
Considere uma máquina que fabrica 2 m de corda por minuto. 
A tabela abaixo descreve a produção dessa máquina em função do tempo. 
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Tempo (min) Produção (m) 
1 2 
2 4 
3 6 
4 8 
5 10 
Marcando estes pontos em um gráfico, obtemos: 
 
Medindo a produção a cada meio minuto, temos a seguinte tabela: 
Tempo (min) Produção (m) 
0,5 1 
1 2 
1,5 3 
2 4 
2,5 5 
3 6 
3,5 7 
4 8 
4,5 9 
5 10 
 
O gráfico correspondente a estasmedições será: 
 
 
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5 6
P
R
O
D
U
Ç
Ã
O
 (
M
)
TEMPO (MIN)
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
P
R
O
D
U
Ç
Ã
O
 (
M
)
TEMPO (MIN)
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Se diminuirmos mais e mais o intervalo entre as medições, ou seja, a cada 10 segundos, 5 
segundos, etc., obteremos mais e mais pontos, e todos numa mesma reta. Podemos dizer que 
o gráfico abaixo descreve a produção dessa máquina em função do tempo. 
 
 
2. FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DE PRIMEIRO GRAU 
Toda função do tipo f (x) = ax + b com 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 e a  0 é chamada de função do 1o grau ou 
função afim. 
 
Exemplos: 
(a) y = 3x + 1 
(b) y = x – 5 
(c) y = 4x 
(d) 𝑦 =
𝑥
3
+
1
2
 
(e) Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por 
quilômetro rodado (valor variável). Podemos descrever o valor da corrida (y) em função da 
quantidade de quilômetros rodados (x): y=3,50+0,70x. 
 
A função do 1o grau y = ax + b na qual b = 0 recebe o nome particular de função LINEAR. 
Exemplos. 
(a) y = 4x 
(b) 𝑦 =
𝑥
5
 
 
3. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM 
O gráfico de uma função de primeiro grau é uma reta. Para construirmos o gráfico de uma 
reta precisamos representar dois pontos distintos da função no plano cartesiano e traçar a reta 
que passa por eles. Basta que escolhamos dois valores para x e determine os valores de y 
correspondentes. 
 
4. RAIZ DA FUNÇÃO AFIM 
Para determinarmos o ponto de interseção do gráfico da função com o eixo Ox, 
precisamos determinar a abscissa desse ponto. Basta substituirmos 𝑦 = 0 na expressão da 
reta. 
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
P
R
O
D
U
Ç
Ã
O
 (
M
)
TEMPO (MIN)
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𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
0 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑎𝑥 = −𝑏 
𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
Assim, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo 0𝑥 é (-b/a , 0). 
Este ponto é chamado de raiz ou zero da função afim. 
 
Exemplo. 
Determine a raiz da função f (x) = 3x + 5. 
3𝑥 + 5 = 0 → 3𝑥 = −5 → 𝑥 = −
5
3
 
 
5. INTERSECÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM COM O EIXO 0y 
A ordenada do ponto de interseção do gráfico da função afim com o eixo Oy é obtida 
substituindo x=0 na expressão da reta: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 → 𝑦 = 𝑎(0) + 𝑏 → 𝑦 = 𝑏 
 
Assim, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo Oy é (0,b). 
Exemplo. 
Determine a ordenada do ponto de intersecção da reta 𝑦 = −5𝑥 + 15 com o eixo 0𝑦. 
Resolução. 
𝑦 = −5(0) + 15 ⇒ 𝑦 = 15. 
A reta corta o eixo 0𝑦 no ponto (0,15). 
 
 
6. COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR DE UMA FUNÇÃO AFIM 
Observe o gráfico da função afim 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
 
 
Geometricamente, o parâmetro 𝑎 é chamado de 
coeficiente angular 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
O parâmetro 𝑏 é chamado de coeficiente linear. 
(interseção com o eixo Oy) 
 
 
Exemplo. 
Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (-1,3) e (-2,4). 
Calculando o coeficiente angular: 
𝑎 =
(4 − 3)
(−2) − (−1)
=
1
−1
= −1 
 
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PARTE II 
 
1. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 
 
Função Afim Crescente. 
A função do 1o grau f (x) = ax + b é crescente se, e somente se, a > 0. 
Exemplo: A função f (x) = 2x – 8 é crescente, pois o coeficiente de x (2) é positivo. 
 
Função Afim Decrescente. 
A função do 1o grau f (x) = ax + b é crescente se, e somente se, a < 0. 
Exemplo: A função f (x) = – 2x + 4 é decrescente, pois o coeficiente de x (-2) é negativo. 
 
2. ESTUDO DA VARIAÇÃO DE SINAL DA FUNÇÃO DO 1O GRAU ATRAVÉS DE 
SEU GRÁFICO 
 
Estudar o sinal da função do 1o grau y = ax + b é determinar os valores reais de x para os 
quais se tenha y < 0, y = 0 ou y > 0. Sabemos que y = 0 se 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 . Para conhecermos os 
valores de x de modo que se tenha y < 0 ou y > 0, devemos considerar o sinal do coeficiente 
a. 
 
1o caso: a > 0 
 Se a > 0, a função é crescente. Nesse caso temos: 
 
𝑥 < −
𝑏
𝑎
⇒ 𝑦 < 0 ( função negativa) 
𝑥 > −
𝑏
𝑎
⇒ 𝑦 > 0 ( função positiva) 
 
A forma do gráfico de f é: 
 
 
 
2o caso: a < 0 
 Se a < 0, a função é decrescente. Nesse caso temos: 
 
𝑥 < −
𝑏
𝑎
⇒ 𝑦 > 0 ( função positiva) 
𝑥 > −
𝑏
𝑎
⇒ 𝑦 < 0 ( função negativa) 
 
A forma do gráfico de f é: 
 
 
 
Exemplo. 
 
Construir o gráfico da função f (x) = – 2x – 6 e discutir a variação de sinal de f com o auxílio 
do gráfico. 
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x y 
0 -6 
-3 0 
 
Para: 
x < -3  y > 0 (a função é positiva) 
x > -3  y < 0 (a função é negativa) 
 
 
 
3. INEQUAÇÃO PRODUTO 
Sendo x  R, consideremos os números 2x + 4 e 6 – 3x. Para que valores de x o produto 
desses números é positivo? Para respondermos a essa pergunta, devemos resolver a 
inequação (2x + 4)(6 – 3x) > 0. 
Chama-se de “inequação produto” toda inequação apresentada em uma das seguintes formas: 
f (x)  g (x) > 0 
f (x)  g (x)  0 
f (x)  g (x) < 0 
f (x)  g (x)  0 
f (x)  g (x)  0 
em que f e g são funções quaisquer. 
Exemplo: 
(a) (2x + 4)(6 – 3x) > 0 
(b) (5x – 10)(6 – x)(3x – 15)  0 
(c) (2x – 3)2(1 – x)3(2 – 8x) < 0 
 
Exemplo. 
Resolver em R a inequação (2x + 4)(6 – 3x) > 0. 
 
Estudando a variação de sinal de cada uma das funções f (x) = 2x + 4 e g (x) = 6 – 3x, temos: 
f (x) = 2x + 4. 
 raiz de f : 2x + 4 = 0  x = - 2 
 variação de sinal da função f : a > 0  f é crescente 
 
g (x) = 6 – 3x: 
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 raiz de g : 6 – 3x = 0  x = 2 
 variação de sinal da função g : a < 0  g é decrescente 
 
Representando no eixo real a variação de sinal de f, g e f.g, temos: 
 
 
Obtivemos os sinais na última linha, aplicando a regra de sinais para o produto fg. 
Como nos interessa que esse produto seja positivo, (2x + 4)( 6 – 3x) > 0, temos que o conjunto 
solução é: 
S = {x  R | -2 < x < 2} ou S = ]-2, 2[ 
 
 
4. INEQUAÇÃO QUOCIENTE 
Chama-se de “inequação quociente” toda inequação apresentada em uma das seguintes 
formas: 
(x) g
(x) f
 > 0, 
(x) g
(x) f
  0, 
(x) g
(x) f
< 0, 
(x) g
(x) f
 0, 
(x) g
(x) f
 0 
em que f e g são funções quaisquer, com g não identicamente nula. 
Exemplos: 
(a) 
3 -x 
2
 < 0 
(b) 
1 -x 
3-2x 
  0 
(c) 
1 -3x 
 x)- 1) (2x 45 3(
  0 
 
Exemplo. 
Resolver em R a inequação 
1 -x 
3-2x 
  0. 
I. Condição de existência: x – 1  0  x  1 
 
Estudando a variação de sinal de cada uma das funções f (x) = 2x – 3 e g (x) = x – 1, temos: 
 
II. f (x) = 2x – 3: 
 raiz de f : 2x – 3 = 0  x = 
2
3
 
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 variação de sinal da função f : a > 0  f é crescente 
 
III. g (x) = x – 1: 
 raiz de g : x – 1 = 0  x = 1 
 variação de sinal da função g : a >0  g é crescente 
 
Representando no eixo real a variação de sinal de f, g e f/g, temos: 
 
 
Os sinais na última linha foram obtidos através da regra de sinais para o quociente f /g. Como 
nos interessa que quociente seja não-positivo, 
1 -x 
3-2x 
  0, temos que o conjunto solução é: 
S = {x  R | 1 < x  
2
3
} ou S = ]1, 
2
3
] 
Note que o intervalo deve ser aberto à esquerda, pois, pela condição de existência, x  1. 
 
Sugestão de vídeo 
KHAN : FUNÇÃO AFIM http://www.youtube.com/watch?v=YDuTlN5LPFk 
 KHAN : CONSTRUÇÃO DE GRAFICO 
http://www.youtube.com/watch?v=beaUIB3PeY4 
 Sugestão de software online: Gráficos 
http://www.somatematica.com.br/softOnline/ComportamentoFuncoes/funcoes.html 
 
 
Avaliação 
 
1. A função real de variável real, definida por 𝑓(𝑥) = (3 − 2𝑎)𝑥 + 2 é crescente quando: 
a) a > 0 b) a < 3/2 c) a = 3/2 d) a >3/2 e) a < 3 
 
Resolução. 
A função afim é crescente quando o coeficiente angular for positivo. 
3 – 2a > 0 => – 2a > – 3 => 2a < 3 => a < 3/2. 
 
2. A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f(3) é: 
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a) 0 b) 2 c) - 5 d) - 3 e) – 1 
 
 
 
3. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável 
de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: 
a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças. 
b) calcule o custo para 100 peças. 
Gabarito. 
a) C(x) = 0,5x + 8. 
b) O custo de 100 peças é o valor de C(100) = 0,5(100) + 8 = R$58,00. 
 
 
4. A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + b tem o gráfico esboçado. O coeficiente 
linear e o zero da função são, respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
 
a) 3 e 3 b) 5 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 5 e) 5/3 e 3/5 
Resolução. 
 
 
 
5. O gráfico da função y = 5x + m – 1 corta o eixo y no ponto de ordenada 3. Determine o 
valor de m. 
Resolução. 
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Substituindo os valores na lei da função, temos: 
413m1m)0(531mx5y)3,0(P 
. 
 
6. (FAAP). Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta, 
aproximadamente, 3ºC a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de 
profundidade, a temperatura e de 25ºC. Nessas condições, podemos afirmar que a 
temperatura a 1500m de profundidade e: 
a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC 
Resolução. 
P(100m, 25ºC) e Q(200m, 28ºC) são dois pontos, pois aumentando 100m, a temperatura 
passa de 25º para (25º + 3º) = 28ºC. 
Substituindo na função afim, temos: 
 
 
7. (Unioeste 2013). Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus 
clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 e 
mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de 
R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o cliente, 
a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B. 
d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam 
cobrados. 
e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam 
cobrados. 
Resolução. 
Preço da ligação do plano A: 
AP 27 0,5t 
 
Preço da ligação do plano B: 
BP 35 0,4t, 
 em que t é o tempo da ligação em minutos. 
Fazendo PA = PB, temos: 
27 0,5t 35 0,4t 0,1 t 8 t 80min.       
 
Graficamente temos: 
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Analisando o gráfico concluímos que a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais 
vantajoso que o plano A. Resposta: B 
 
 
8. Dentre as curvas a seguir, qual pode ser o gráfico de uma função injetora y=f(x)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução. Repare nas retas paralelas aos eixos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Letra (e) 
 
9. Considere as funções f, g e h, todas definidas em [m, n] com imagens em [p, q] 
representadas através dos gráficos a seguir: 
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Pode-se afirmar que: 
 
a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva. 
b) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobrejetiva. 
c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva. 
d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva. 
e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS SUGERIDOS 
 
1. Construir o gráfico da função f (x) = 2x – 4 e discutir a variação de sinal de f com o 
auxílio do gráfico. 
x y 
0 -4 
2 0 
 
Para: 
x < 2  y < 0 (a função é negativa) 
x > 2  y > 0 (a função é positiva) 
 
2. Resolver em R a inequação 
3 -x 
2
 < 0. 
 
I. Condição de existência: x – 3  0  x  3. 
Solução. 
i) No 1º gráfico cada elemento de y  [p, q] está relacionado a um único x  [m, n] e, além disso, 
todos assim estão. Logo f(x) é injetiva e sobrejetiva. Portanto bijetiva. 
ii) O 2º gráfico apresenta um intervalo constante (reta paralela ao eixo x). Logo há mais de um “x” 
com a mesma imagem. Não é injetiva, mas como todo o intervalo [p, q] possui correspondente, é 
sobrejetiva. 
iii) O 3º gráfico possui também uma reta paralela ao eixo x e há elementos em [p, q] sem 
correspondentes. Logo não é injetiva. 
 
Resposta: Letra (a) 
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II. Como o numerador de 
3 -x 
2
 é positivo, a fração será negativa se, e somente se, o 
denominador for negativo, ou seja: x – 3 < 0  x < 3. 
 
Representando no eixo real a variação de sinal de f (x) = x – 3 e 2/ f (x), temos: 
 
Como nos interessa que 
3 -x 
2
 < 0, temos que o conjunto solução é: 
 S = {x  R | x < 3} ou S = ]-, 3[ 
 
 
3. Determinar o domínio da função f (x) = 
x4
52x


. 
 
O domínio de f é o conjunto formado por todos os valores reais x de modo que f (x)  R. 
Para garantirmos a existência de f (x), impomos 
x4
52x


  0. 
 
I. Condição de existência da fração: 4 – x  0  x  4. 
Estudando a variação de sinal de cada uma das funções g (x) = 2x – 5 e h (x) = 4 – x, 
temos: 
II. g (x) = 2x – 5: 
 
 raiz de g : 2x – 5= 0  x = 
2
5
 
 variação de sinal da função g : a > 0  g é crescente 
 
 
III. h (x) = 4 – x: 
 raiz de h : 4 – x = 0  x = 4 
 variação de sinal da função h : a < 0  h é decrescente 
 
Representando no eixo real a variação de sinal de g, h e g /h, temos: 
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Logo, o conjunto solução, ou seja, o domínio da função f (x) = 
x4
52x


 é: 
 
 
4. Resolver em R a inequação (2x – 8)(6 – 3x)  0. 
 
Para que o produto de dois fatores seja diferente de zero, é necessário e suficiente que cada 
fatorseja diferente de zero. Assim, temos que: 
 
(2x – 8)(6 – 3x)  0  















2x
e
4x
 
0 6 3x -
e
0 8 -2x 
Logo, o conjunto solução da inequação é: S = { x  R | x  2 e x  4} 
 
 
 
Aula: 8 
Função Quadrática 
 
Objetivos 
Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
· Identificar uma função de segundo grau; 
· Identificar, construir e analisar o gráfico de função de segundo grau; 
· Estudar a variação de sinal de função de segundo grau; 
· Resolver equações e inequações de segundo grau. 
 
Estrutura de Conteúdo 
UNIDADE 6 - FUNÇÃO QUADRÁTICA OU POLINOMIAL DO 2º GRAU 
6.1. Definição 
6.2. Gráfico 
6.3. Pontos notáveis da parábola 
6.4. Variação de sinal 
6.5. Inequação do 2º grau 
6.6. Inequação produto e inequação quociente 
6.7. Aplicações 
6.8. Máximos e Mínimos 
 
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NOTAS DE AULA - PARTE 2 
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A função quadrática é um ótimo exemplo para uma série de situações problemas das mais 
variadas. Seu aspecto gráfico (a parábola) é bastante conhecido e, nesta aula, a fim de 
construirmos e analisarmos os gráficos de funções de segundo grau, começaremos obtendo 
e estudando os pontos notáveis da parábola. 
 
 
1. FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Toda função do tipo y = ax2 + bx + c, com {a, b, c}  R e a  0, é chamada de função 
quadrática ou função do 2 o grau. 
Exemplos: 
(a) y = 3x2 – x – 2 
(b) f (x) = 4x2 – 2 
(c) f (x) =
2
x
3
5x2

 
(d) y = x2 
O gráfico de uma função do tipo f (x) = ax2 + bx + c, com {a, b, c}  R e a  0, é uma 
parábola. 
A parábola pode ter concavidade para cima ou para baixo. Considerando a parábola de 
equação 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 
Se 𝑎 > 0, a parábola possui concavidade para cima. 
Se 𝑎 < 0, a parábola possui concavidade para baixo. 
 
2. PONTOS NOTÁVEIS DA PARÁBOLA 
Alguns pontos da parábola, por facilitarem a construção do gráfico da função do 2o grau, 
merecem destaque. Vejamos quais são eles. 
 Intersecção com o eixo Ox 
Para obtê-los a partir de y = ax2 + bx + c, basta atribuirmos o valor zero à variável y e resolver 
a equação: 
ax2 + bx + c = 0. (I) 
Utilizamos a fórmula de Bhaskara, x = 
2a
b 
, onde  = b2 – 4ac. 
 Se a equação (I) tiver  > 0, então terá duas raízes reais e distintas: x1  x2. Assim, os 
pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox são (x1, 0) e (x2, 0). 
 Se a equação (I) tiver  = 0, então terá duas raízes reais e iguais: x1 = x2. Assim, a parábola 
será tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2. 
 Se a equação (I) tiver  < 0, então não terá raízes reais. Assim, a parábola não terá ponto 
em comum com o eixo Ox. 
 
Resumindo esquematicamente: 
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Exemplo: 
(a) y = 2x2 – x – 1, pontos de intersecção de seu gráfico com o eixo Ox: 2x2 – x – 1 = 0. 
= b2 – 4ac  = (-1)2 – 4  2  (-1) = 9. 
Como > 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: (x1, 0) e (x2, 0), 
onde x1 e x2 são as raízes da equação. Determinando x1 e x2, temos: 
x =  x = 
22
9 1)(

 -
  x1 = 1, x2 = – 
2
1
 
Sabemos ainda que o coeficiente de x2 é positivo (a > 0); logo, a parábola tem 
concavidade voltada para cima: 
 
2a
b 
- 1 
 2 
1
 
y
x
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(b) f (x) = – 4x2 – 12x – 9, fazendo f (x) = 0, ou seja, – 4x2 – 12x – 9 = 0, obtemos as raízes 
de f. 
Temos: = b2 – 4ac  = (-12)2 – 4(-4)(-9) = 0. 
Como = 0, temos duas raízes reais e iguais (x1 = x2). Portanto a parábola tangencia o 
eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2. Determinando essas raízes, temos: 
x =  x = 
)4(

 2
0 12)(-
  x1 = x2 = – 
2
3
 
O coeficiente de x2 é negativo (a < 0); logo, a parábola tem concavidade voltada para 
baixo: 
 
(c) y = 2x2 + x + 1, fazendo y = 0, temos 2x2 + x + 1 = 0. 
Temos: = b2 – 4ac  = (1)2 – 4  2  1 = - 7. 
Como < 0, a equação não possui raízes reais. Isso significa que a parábola 
correspondente ao gráfico da função não tem ponto comum com o eixo Ox. 
Sabemos ainda que o coeficiente de x2 é positivo (a > 0); logo, a parábola tem 
concavidade voltada para cima: 
x
 
 O ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy 
Para obtê-lo a partir de y = ax2 + bx + c, basta atribuirmos o valor zero à variável x: 
 
y = a  02 + b  0 + c  y = c 
Assim, o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy é (0, c). 
 
Exemplo: 
Para esboçar o gráfico da função y = x2 – 6x + 5, vamos obter os pontos de intersecção com 
os eixos Ox e Oy. 
 Fazendo y = 0, temos x2 – 6x + 5 = 0. 
= b2 – 4ac  = (-6)2 – 4  1  5 = 16. 
Logo, x =  x = - (-6) 16
2 1


  x1 = 5, x2 = 1 
Portanto, a parábola intercepta o eixo Ox nos pontos (5, 0) e (1, 0). 
 Fazendo x = 0, temos y = 02 – 6  0 + 5  y = 5. 
2a
b 
- 3 
 2 
 
y
x
2a
b 
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Então, a parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0, 5). 
O esboço do gráfico é: 
1
y
x
5
5
 
 O vértice da parábola 
Outro ponto notável da parábola é o seu vértice. O vértice V é o ponto de intersecção da 
parábola com seu eixo de simetria e. 
O vértice V(xv, yv) da parábola de equação y = ax
2 + bx + c, com {a, b, c}  R e a  
0, é o ponto V 
 






b
2a
 
4a
,

, onde D = b2 – 4ac. 
 
Exemplo: No exemplo anterior, vimos o esboço gráfico da função y = x2 – 6x + 5. Traçando 
o eixo de simetria e dessa parábola, vemos que seu vértice V pertence a e, conforme abaixo: 
A abscissa de V é o ponto médio do segmento de extremos (1, 0) e (5, 0), ou seja, x = 3. 
Substituindo x por 3, obtemos a ordenada do vértice: 
y = 32 – 6  3 + 5  y = -4. 
Portanto, o vértice da parábola é o ponto V(3, -4). 
 
3. MÁXIMO E MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO 
 
Seja f uma função real de variável real. A função f admite valor máximo se, e somente se, 
existe xmax, xmax  D ( f ), tal que: f (xmax)  f (x), x, x  D ( f ). 
O número f (xmax) é chamado de valor máximo da função f . 
O número xmax é chamado de ponto de máximo da função f. 
 
Seja f uma função real de variável real. A função f admite valor mínimo se, e somente se, 
existe xmin, xmin  D ( f ), tal que: f (xmin)  f (x), x, x  D ( f ). 
O número f (xmin) é chamado de valor mínimo da função f . 
O número xmin é chamado de ponto de mínimo da função f. 
 
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4. CONCEITO DE MÁXIMO E MÍNIMO APLICADO À FUNÇÃO DO 2O GRAU 
 
Seja f : R  R tal que f (x) = ax2 + bx + c, com {a, b, c}  R e a  0. 
 f admite valor de máximo se, e somente se, a < 0. Seu valor de máximo é yv = 


4a
 e seu 
ponto de máximo é xv = 

b
2a
. 
 f admite valor de mínimo se, e somente se, a > 0. Seu valor de mínimo é yv = e seu 
ponto de mínimo é xv = . 
Note que estes pontos de mínimo e máximo correspondem respectivamente aos vértices, 
quando a > 0 (mínimo) ou a < 0 (máximo). 
 
Resumo: 
 
a < 0 a > 0 
-b/2a
y
x
-/4a
 
-b/2a
y
x
-/4a
 
 
Exemplo: 
 
Determine o valor mínimo e o ponto de mínimo da função y = 2x2 +2x + 1. 


4a

b
2a
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O valor mínimo é yv = , com = b2 – 4ac. Para a função em questão, a = 2, b = 2 e 
c = 1. Então,  = 22 – 4 x 2 x 1 = – 4. Logo yv = 

 4
4 x 2
  yv = 1
2
. 
O ponto de mínimo é xv = 

b
2a
. Para a função em questão, a = 2, b = 2 e c = 1. Então, 
xv = 

2
2 x 2
  xv = – . 
 
5. VARIAÇÃO DE SINAL DE UMA FUNÇÃO DO 2O GRAU 
 
De um modo geral, a discussão da variação de sinal de uma função do 2o grau, f (x) = ax2 + 
bx + c, recairá sempre em um dos seguintes casos: 
 
 
 
 
Exemplo: 
(d) Dada a função do 2o grau y = 2x2 – x – 1, obtemos os pontos de intersecção de seu gráfico 
com o eixo Ox, atribuindo o valor zero à variável y e resolvendo a equação 2x2 – x – 1 = 
0. 
Calculando primeiro o valor de , temos: = b2 – 4ac  = (-1)2 – 4  2  (-1) = 9. 
Como > 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: (x1, 0) e (x2, 0), 
onde x1 e x2 são as raízes da equação. Determinando x1 e x2, temos: 


4a
1
2
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x = 
2a
b 
  x = 
22
9 1)(

 -
  x1 = 1, x2 = – 
2
1
 
Sabemos ainda que o coeficiente de x2 é positivo (a > 0); logo, a parábola tem 
concavidade voltada para cima. O valor da função será negativo para o intervalo do 
domínio ] -1/2, 1[ e positivo, para ] - , - 1/2[  ] 1, +  [. 
- 1
2
1
y
x
 
Sugestão de vídeos: 
 Khan academy: discriminante 
http://www.youtube.com/watch?v=QDd76yL-xaA 
 Novo telecurso: Raízes 
http://www.youtube.com/watch?v=BcUQSUvNASU 
 Sugestão de leitura: Bhaskara 
http://www.somatematica.com.br/biograf/bhaskara.php 
 
 
Avaliação 
1) Calcular os zeros das seguintes funções: 
a) f(x) = x2 - 3x – 10 
b) f(x) = – x2 – x + 12 
c) f(x) = – x2 + 4x – 4 
d) f(x) = 36x2 + 12x + 1 
Resolução. 
a) 
}5,2{S
2
2
73
x
5
2
73
x
2
73
2
493
2
4093
)1(2
)10)(1(4)3()3(
x010x3x0)x(f
2
1
2
2























. 
 
 
b) 
}3,4{S
3
2
71
x
4
2
71
x
2
71
2
491
2
4811
)1(2
)12)(1(4)1()1(
x012xx0)x(f
2
1
2
2





























. 
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c) 
   0,2pontonoXeixoogenciatanparábolaacasoNeste.2S
2
2
04
2
16164
)1(2
)4)(1(4)4()4(
x04x4x0)x(f
2
2











. 
 
d) 





















0,
6
1
pontonoXeixoogenciatanparábolaacasoNeste.
6
1
S
6
1
72
012
72
14414412
)36(2
)1)(36(4)12()12(
x01x12x360)x(f
2
2
. 
 
2. Calcular m para que: 
a) a função f(x) = (m – 3)x2 + 4x – 7 seja côncava para cima. 
Resolução. 
m – 3 > 0  m > 3. 
 
b) a função f(x) = (2m + 8)x2 – 2x + 1 seja côncava para baixo. 
Resolução. 
2m + 8 < 0  2m < -8  m < - 4. 
 
c) a função f(x) = (m2 – 4)x2 – 4x + 3 seja quadrática. 
Resolução. 
 ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. 
m² - 4 ≠ 0  m ≠ 2 e m ≠ – 2. 
 
3. (UFMG) Sendo f : R  R uma função definida por f(x) = x2 –1, calcule: 
a) 






2
1
f
 
b)
 21f 
 
 
Resolução. 
a) 
4
3
1
4
1
1
2
1
2
1
f
2












. 
 b) 
    2221222112121f 2 
. 
 
 
4. (PUC) A função quadrática y = (m2 – 4)x2 – (m + 2)x – 1 está definida quando: 
 
a) m  4 b) m  2 c) m  -2 d) m = -2 ou +2 e) m   2 
 
 
Resolução. 
 
m2 – 4 ≠ 0 => m2 ≠ 4 => m ≠ ±2. 
 
 
5. (MACK) O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 – 2x + k; então, k pode ser: 
 
a) -2 b) -1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
Resolução. 
 
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f(k) = k2 – 2k + k => 3k = k2 – k => k2 – 4k = 0 => k(k – 4) = 0 => k = 0 ou k = 4. 
 
 
6. (FUVEST) O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0,0) e 
(1,2). 
Então f(-2/3) vale: 
 
a) 
9
2

 b) 
9
2
 c) 
4
1

 d) 
4
1
 e) 
4
 
Resolução. 
 
 
   
    9
2
3
2
9
4
3
2
3
2
3
2
fxx)x(f
1bb120)1(b11f
c0c)0(b00f
2
2
2
2

























. 
SUGESTÃO DE EXERCÍCIOS 
 
1. (UCMG) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 é: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
Resolução. 
3
4
12
4
84
)1.(4
)2).(1.(4)2(
a4
y
2
V 










. 
 
2. (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 
21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) 
seja máximo, devem ser vendidas: 
a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades E) 4 unidades 
Resolução. 
L(x) = 2x2 + x – (3x2 – 15x + 21) = 2x2 + x – 3x2 + 15x – 21 = – x2 + 16x – 21. 
8
2
16
)1(2
16
a2
b
x V 




. 
 
3. Nas funções abaixo, calcule as coordenadas do vértice, dizendo se este é ponto de 
máximo ou mínimo. 
a) f(x) = x2 – 4x + 3 
b) f(x) = – x2 – x + 2 
c) f(x) = 4x2 + 4x + 1 
Resolução. 
a) 
  mínimo1,2
4
1216
,
2
4
)1(4
)3)(1(4)4(
,
)1(2
)4(
a4
ac4b
,
a2
b
V
3c
4b
01a
3x4x)x(f
22
2 




 





 







 










 
b) 
máximo
4
9
,
2
1
4
81
,
2
1
)1(4
)2)(1(4)1(
,
)1(2
)1(
V
2c
1b
01a
2xx)x(f
2
2 




































. 
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c) 
mínimo0,
2
1
)4(4
1616
,
2
1
)4(4
)1)(4(4)4(
,
)4(2
)4(
a4
ac4b
,
a2
b
V
1c
4b
04a
1x4x4)x(f
22
2 










 







 







 










 
4. (F.C.CHAGAS) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um 
valor: 
a) mínimo igual a –16, para x = 6 
b) mínimo igual a 16, para x = -12 
c) máximo igual a 56, para x = 6 
 
d) máximo igual a 72, para x = 12 
e) máximo igual a 240,para x = 20. 
Resolução. 
 56,6
4
224
,6
4
80144
,6
)1.(4
)20).(1.(4)12(
,
)1(2
)12(
a4
,
a2
b
V
2






























 

 
5. (F.C.CHAGAS) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = 2x2 – 24x +1. O valor 
mínimo de f é: 
a) 73 b) 71 c) –71 d) –73 e) –79 
Resolução. 
71
8
568
8
8576
)2.(4
)1).(2.(4)24(
a4
y
2
V 






. 
 
6. (PUC) Considere um terreno retangular que pode ser cercado com 50m de corda. A área 
desse terreno expressa como função do comprimento x de um dos lados é: 
a) A(x) = -x2 + 25x para x  0 
b) A(x) = -x2 + 25x para 0 < x < 25 
c) A(x) = -3x2 + 50x para x  0 
d) A(x) = -3x2 + 50x para 0 < x < 50/3 
Resolução. 
Área do terreno: A = x.y 
Perímetro utilizando a fórmula 2P = 2x + 2y. 
A corda de comprimento 50m corresponde a esse perímetro. 
2x + 2y = 50 => x + y = 25. 
A(x) = x.y e y = 25 – x. 
A(x) = x.(25 – x) = – x2 + 25x. 
O valor de y não pode ser 25, pois nesse caso x = 0, nem negativo, pois é dimensão. 
Logo, 25 – x > 0 => 25 > x ou x < 25. E x > 0. 
 
7. (FGV) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. Para 
os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. 
Qual o quociente do lado menor pelo maior? 
Resolução. 
Temos três dimensões restantes, duas de mesma medida. 
A tela cercará a medida da soma (x + x + y). 
A área será A = xy. 
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 
2
1
200
100
,Logo.200)100(2400y100
)2(2
)400(
a2
b
xA
x400x2Ax2400.xA
y.xA
x2400y400yx2
MáximaoMáxima
2









. 
 
8. (UFSCAR) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de 
futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t  0), onde t é o tempo 
medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o 
chute: 
a) o instante em que a bola retornará ao solo. 
Resolução. 
O instante em que a bola retorna é o tempo em que ficou no ar. 
O tempo será o ponto onde o gráfico intersecta o eixo das abscissas (t): 











s4t
elincompatív0t
0)4t(t20t8t2
0)t(h
t8t2)t(h 2
2
. 
b) a altura máxima atingida pela bola. 
Resolução. 
m8
8
64
)2(4
)0)(2(4)8(
)t(h
a4
)t(h
t8t2)t(h 2
Máxima
Máxima
2













 . 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. (UFRN 2013) Uma empresa de tecnologia desenvolveu um produto do qual, hoje, 60% 
das peças são fabricadas no Brasil, e o restante é importado de outros países. Para aumentar 
a participação brasileira, essa empresa investiu em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos 
(considere que o ano de partida seja o de 2012), produzir, no Brasil, 85% das peças 
empregadas na confecção do produto. 
Com base nesses dados e admitindo-se que essa porcentagem varie linearmente com o tempo 
contado em anos, o percentual de peças brasileiras na fabricação desse produto será superior 
a 95% a partir de 
a) 2027. 
b) 2026. 
c) 2028. 
d) 2025. 
Resolução. 
 Partindo do ano de 2012 (t=0) e sabendo que a variação do percentual com o tempo é linear, 
considere a função definida por p(t)=at+b em que p(t) afere o percentual de peças fabricadas 
no Brasil daqui a t anos. 
A taxa de variação da função p é dada por 
85 60 5
a .
10 0 2

 

 Logo, 
5
p(t) t 60.
2
 
 
Os valores de 
t,
 para os quais o percentual de peças brasileiras na fabricação do produto é 
superior a 
95%,
 são tais que 
5
t 60 95 t 14.
2
   
 
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Portanto, o percentual de peças produzidas no Brasil superará 
95%
 a partir do ano de 
2012 15 2027. 
 
Resposta: A. 
 
2. (Unioeste 2013) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus 
clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 e 
mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de 
R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o cliente, 
a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B. 
d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam 
cobrados. 
e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam 
cobrados. 
Resolução. 
 Preço da ligação do plano A: 
AP 27 0,5t 
 
Preço da ligação do plano B: 
BP 35 0,4t, 
 em que t é o tempo da ligação em minutos. 
Fazendo PA = PB, temos: 
27 0,5t 35 0,4t 0,1 t 8 t 80min.       
 
Graficamente temos: 
 
Analisando o gráfico concluímos que a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais 
vantajoso que o plano A. 
Resposta: B 
 
3. (G1 - CFTMG 2013) Um experimento da área de Agronomia mostra que a temperatura 
mínima da superfície do solo t(x), em °C, é determinada em função do resíduo x de planta e 
biomassa na superfície, em g/m2, conforme registrado na tabela seguinte. 
x (g/m2) 10 20 30 40 50 60 70 
t(x) (°C) 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60 
Analisando os dados acima, é correto concluir que eles satisfazem a função 
a) y = 0,006x + 7,18 
b) y = 0,06x + 7,18 
c) y = 10x + 0,06 
d) y = 10x + 7,14 
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Resolução. 
Considere t(x) = ax+b. Calculando taxa de variação, temos: 
7,30 7,24
a 0,006
20 10

 

, e 
   t 0 7,24 10 0,006 7,18   
. 
Logo, 
 t x 0,006x 7,18 
. 
Resposta: A 
 
4. Dispõe-se de uma folha de papel retangular, medindo 20cm de largura por 24cm de 
comprimento. Deseja-se recortar em cada quina da folha quatro quadrados iguais, conforme 
mostra a figura. Quanto deve medir o lado de cada quadrado para que a área da região 
colorida seja máxima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução. 
S=2(24x-2x2) +2(20x-2x2) 
S= 48x-4x2+40x-4x2 
S=-8x2+88x 
Xv=-b/2a= 5,5 
 
5. Dada a função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 3 de domínio real. Determine: 
(a) A concavidade da parábola. 
(b) Os zeros da função, se existirem. 
(c) As coordenadas do vértice. 
(d) O valor máximo ou o valor mínimo. 
(e) A ordenada em que o gráfico intercepta o eixo y. 
(f) Um esboço do gráfico. 
(g) O conjunto imagem. 
Resolução. 
(a) A concavidade da parábola. 
(b) Os zeros da função, se existirem. 
-x²+2x+3 =0 
 
∆ = 22 - 4(-1)(3) x1 = -1 
∆ = 4+ 12 
∆ = 16 x2 = 3 
 
As coordenadas do vértice. 
yv = - ∆ / 4a xv= - b / 2a 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
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yv = - 16 / 4(-1) xv= - 2 / 2(-1) 
Vy = 4 xv = 1 
 
(c) O valor máximo ou o valor mínimo. 
Valor maximo é oy do vertice : 4 
 
(d) A ordenada em que o gráfico intercepta o eixo y. 
Será quando x=0. 
Intercepta em c: 3 
 
(e) Um esboço do gráfico. 
 
 
 
(f) O conjunto imagem. ] - ∞, 4] 
 
6. Em um projeto de engenharia, y representa lucro liquido, e, x, a quantia a ser investida 
para a execução do projeto. Uma simulação do projeto nos dá a função 𝑦 = −𝑥2 + 8𝑥 − 7 , 
válida para 1 ≤ 𝑥 ≤ 7. Quanto devemos investir para obter o máximo lucro liquido? 
Resolução. 
yv = -∆/4a xv = -b / 2a 
yv = -(b2 - 4ac)/4a xv = -8 / -2 
yv=9 xv=4 
 
 
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7. (PUC) Determine os valores de 𝑚 ∈ 𝑅, para os quais o trinômio do segundo grau 𝑓(𝑥) =
(𝑚 − 1)𝑥2𝑚𝑥 + 1 tem dois zeros reais e distintos. 
Resolução. 
Y= (m-1) x² + mx +1 + mx 
 
a= (m-1) ; b= (m); c= (1) 
 
Para termos uma equação com dois zeros reais e distintos o delta deverá ser maior que 0 
 
Δ= m² - 4 . (m – 1) . 1>0 
m² - 4 m + 4 >0 
 
O Δ vai dar 2 e a resposta vai ser m deverá ser diferente de 2 e de 1 
 
 
8. O salário de um vendedor é formado por uma combinação entre uma parte fixa (salário 
mínimo) de R$ 151,00 e uma parte variável (comissão) de R$ 3,00 por unidade vendida. 
Obtenha: 
a) a expressão que relaciona o salário mensal y deste vendedor em função do número x de 
unidades vendidas; 
b) o salário recebido quando ele vende 83 unidades; 
c) o número de unidades vendidas quando ele recebe um salário de R$1.150,00. 
Resolução. 
a) a expressão que relaciona o salário mensal y deste vendedor em função do número x de 
unidades vendidas; 
y = 3x + 151 
 
b) o salário recebido quando ele vende 83 unidades; 
 
y = 3(83) + 151 → y = 249 + 151 → y = 400 
 
c) o número de unidades vendidas quando ele recebe um salário de R$1.150,00. 
 
1150 = 3x + 151 → 3x = 1150 – 151 → 3x = 999 → x = 333 
 
9. O gráfico abaixo corresponde a uma função polinomial do primeiro grau. Determine: 
(a) A função na forma y-ax+b 
(b) O valor de x para o qual y=0. 
(c) O coeficiente angular da reta. 
(d) O coeficiente linear da reta. 
(e) O valor de y para o qual x=0 
Resolução. 
(a) A função na forma y-ax+b 
 
tg = 
3
6
=
1
2
 
3 
6 
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y = −
1
2
+ 3 
(b) O valor de x para o qual y=0. x = 6 
 
(c) O coeficiente angular da reta. 6 
 
(d) O coeficiente linear da reta. 3 
 
(e) O valor de y para o qual x=0. y=3 
 
10. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (-2,4) e tem coeficiente angular igual a -
3. 
Resolução. 
y - y0 = m (x - x0) 
y - 4 = (-3)(x - (-2)) 
y - 4 = (-3)(x + 2) 
y = -3x - 6 + 4 
y = -3x - 2 
 
 
11. Um homem quer construir uma casa de 8m por 10m. A legislação do município só 
permite construir, nesse loteamento, em no máximo 20% da área do terreno. Todos os 
terrenos são quadrados. Qual serão as medidas do terreno para construir a casa desejada? 
 
Resolução. 
X2 = (80 * 100)/20 
X2 = 8000/20 
X2 = 400 
X = √400 
X = 20m 
 
12. Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação 𝑦 = −9𝑥2 +
90𝑥. Determine a altura máxima atingida pela bala de canhão, sabendo que y é a altura em 
metros e x é o alcance, também em metros. 
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Resolução. 
 
Vx = -b/2a Vy = -∆/4ac 
Vx = -90/-9 Vy = -(b2 - 4ac)/4ac 
Vx = 10 Vy = -(8100) / 36 
 Vy = 8100/ 36 
 Vy= 225 
 
 
 
13. (U. F. Juiz de Fora-MG) Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para 
testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação da população de insetos em 
função do tempo, em semanas, concluiu-se que o tamanho da população é dado por: 
𝑓(𝑡) = −10𝑡2 + 20𝑡 + 100 
a) Determine o intervalo de tempo em que a população de insentos ainda cresce. 
b) Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à 
população inicial? Quando? 
c) Entre quais semanas a população de insetos seria exterminada? 
Resolução. 
a) Determine o intervalo de tempo em que a população de insentos ainda cresce. 
t= -b/2a 
t = -20/-20 
t = 1 
 
b) Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à 
população inicial? Quando? 
-10t2 + 20t = 0 
-10t2 = - 20t 
t = -20 / -10 
t = 2 
 
c) Entre quais semanas a população de insetos seria exterminada? 
F(t) = -10t2 + 20t + 100 
∆ = b2 - 4ac x1 = (-b + √∆) / 2a x2 = (-b + √∆) / 2a 
∆ = 400 – 4(-10)(100) x1 = (-20 + 66,33) / -20 x2 = (-20 - 
66,33) / -20 
∆ = 400 + 4000 x1 = 46,33 / - 20 x2 = 86,33 / - 20 
∆ = 4400 x1 = - 2,31 x2 = 4,31 
 
 
14. ENEM 2000. Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em 
geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que 
conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o 
conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o 
número de pessoas que conhece o boato, tem-se: 𝑅(𝑥) = 𝑘𝑥(𝑃 − 𝑥), em que k é uma 
constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o 
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público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o 
boato for conhecido por um número de pessoas igual a: 
(a) 11000 (b) 22000 (c) 33000 (d) 38000 (e) 44000 
 
Resolução 
Como o público-alvo é de 44000 pessoas, temos 𝑃 = 44000. 
Substituindo o valor de 𝑃 em 𝑅(𝑥) = 𝑘𝑥(𝑃 − 𝑥), temos: 
𝑅(𝑥) = 𝑘𝑥(44000 − 𝑥) == −𝑘𝑥2 + 44000𝑘𝑥. 
Como k é uma constante positiva, o coeficiente de 𝑥2 em 𝑅 é negativo. Portanto, o valor 
máximo de propagação 𝑅 será alcançado quando o número de pessoas 𝑥 corresponder ao 
ponto de máximo de 𝑅. Sabemos que o ponto de máximo é 
𝑥𝑀 = −
𝑏
2𝑎
= −
44000𝑘
2(−𝑘)
= 22000. 
Resposta: Letra b. 
 
 
15. ENEM 2013. A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um 
sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão 
𝑇(𝑡) = −
𝑡2
4
+ 400, com t em minutos. 
Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno 
atinge a temperatura de 39°C. 
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta 
possa ser aberta? 
(a) 19,0 (b) 19,8 (c) 20,0 (d) 38,0 (e) 39,0 
 
Resolução 
Lembre-se que a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a 
temperatura de 39°C. Assim, o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o 
forno será quando a temperatura atingir os 39°C. Substituindo T =39 na expressão da 
temperatura do forno, temos: 
𝑇(𝑡) = −
𝑡2
4
+ 400 
39 = −
𝑡2
4
+ 400 
𝑡2
4
= −39 + 400 = 361 
𝑡2 = 361 ∙ 4 = 1444 
𝑡 = 38. 
Resposta: Letra (d) 
 
16. UERJ 2009. Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo 
nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais: 
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Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. 
A equação deuma dessas parábolas é 𝑦 =
−𝑥2
75
+
2𝑥
5
 . 
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a: 
(a) 38 
(b) 40 
(c) 45 
(d) 50 
 
Resolução 
As raízes de 𝑦 =
−𝑥2
75
+
2𝑥
5
 são 𝑥 = 0 e 𝑥 = 30. 
Podemos resolver utilizando a fórmula de Bhaskara ou fatorando a expressão: 
𝑦 = 0 ⇒ 
−𝑥2
75
+
2𝑥
5
= 0 ⇒ 
−𝑥
5
(
𝑥
15
− 2) = 0 . 
Assim, temos que 
−𝑥
5
= 0 ⇒ 𝑥 = 0 ou 
𝑥
15
− 2 = 0 ⇒
𝑥
15
= 2 ⇒ 𝑥 = 30. 
Isto implica que a equação dada se refere à parábola de raízes em 0 e em A, sendo a 
abscissa do ponto A é igual a 30. 
Sabemos que os pontos A e B são simétricos em relação ao eixo que passa no vértice D. 
Como a distância do ponto A à abscissa do vértice D mede 5m, então a abscissa do ponto B 
será igual a 40m. 
 
Resposta: Letra b. 
 
17. PUC – SP. Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua 
altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão ℎ =
−25𝑡2 + 625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo? 
 
Resolução 
Quando a bola atingir o solo, sua altura será zero. Substituindo na expressão de ℎ, temos: 
ℎ = −25𝑡2 + 625 
0 = −25𝑡2 + 625 
25𝑡2 = 625 
𝑡2 = 25 ⇒ 𝑡 = ±5. 
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Considerando que a bola foi largada no instante 𝑡 = 0, temos que a solução 𝑡 = −5 deve 
ser descartada, restando 𝑡 = 5.Veja a seguir o gráfico da função para visualizar a trajetória 
da bola. 
 
 
Resposta. A bola levará 5 segundos para atingir o solo. 
 
18. PUC – Campinas – SP. A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano 
por 𝑦 =
−𝑥2
64
+
𝑥
16
 com uma unidade representando um quilômetro. Determine a altura 
máxima que o projétil atingiu. 
 
Resolução 
Para saber a altura máxima do projétil temos que calcular a ordenada do vértice da 
parábola: 
𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎
= −
(
1
16)
2
− 4(
−1
64)
(0)
4 (−
1
64)
= −
(
1
16)
2
4 (−
1
64)
= −
1
256
−
1
16
=
1
256
16
1
=
1
16
= 0,0625 km 
 
Resposta. O projétil atingiu a altura máxima de 0,0625 km = 62,5 m. 
 
 
19. UERJ. Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam 
perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, 
de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. 
A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua 
sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum 
jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um 
plano cartesiano está sugerida na figura. A equação da parábola era do tipo 𝑆 = −
𝑥2
36
+ 𝑐. O 
ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi: 
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(a) na baliza (b) atrás do gol (c) dentro do gol (d) antes da linha do gol 
 
Resolução. 
A altura máxima da bola é 9m. Isto significa que a ordenada do vértice da parábola é 9. Da 
figura, temos que a abscissa do vértice é 0. Então, o vértice da parábola é 𝑉 = (0,9). 
Substituímos este ponto na equação 𝑆 = −
𝑥2
36
+ 𝑐, temos: 
9 = −
02
36
+ 𝑐 ⇒ 𝑐 = 9. 
 
Ficamos então com a equação 𝑆 = −
𝑥2
36
+ 9. 
Em baixo da linha do gol, a abscissa é x=16. Para determinar a altura da bola na linha do gol, 
devemos calcular a ordenada para x=16: 
𝑆 = −
𝑥2
36
+ 9 
𝑆 = −
162
36
+ 9 = −
256
36
+ 9 =
−256 + 324
36
=
68
36
≅ 1,9. 
 
Assim, temos que a altura da bola na linha do gol é de 1,9m, sendo menor que a altura da 
baliza do gol que é 2,3m, significando que a bola consegue entrar no gol. 
Resposta: Letra c. 
 
20. Determine os intervalos onde a função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 + 2 é crescente e decrescente. 
𝑎 = −1, concavidade de 𝑓 é para baixo. 
𝑥𝑉 = −
𝑏
2𝑎
= −
1
2(−1)
= 0,5. 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
NOTAS DE AULA - PARTE 2 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
 
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Aula: 9 
Função Modular 
 
Objetivos 
Ao término desta aula, o aluno deverá 
Identificar uma função módulo; 
Identificar, construir e analisar o gráfico de função modular. 
Resolver equações modulares. 
Resolver inequações modulares. 
 
Estrutura de Conteúdo 
 Tópicos referentes ao conteúdo específico: Função Módulo. 
· O conceito de módulo. 
· Conceituação de função modular. 
· Gráfico de função modular. 
· Equações modulares. 
· Inequações modulares. 
O conceito de módulo de um número real está associado à ideia de distância de um ponto 
da reta à origem. Como existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta e os 
números reais, pensar na distância de um ponto à origem ou pensar no módulo de um 
número é exatamente a mesma coisa. Nesta aula trataremos do conceito de função modular, 
seu aspecto gráfico, resolução de equações e inequações modulares. 
 
1. FUNÇÃO DEFINIDA POR DUAS OU MAIS SENTENÇAS 
Exemplo: Construir o gráfico de 𝑓(𝑥) = { 𝑥
2 𝑥 ≥ 0
−2𝑥 𝑥 < 0
. 
 
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2. MÓDULO 
O conceito de módulo de um número real está associado à idéia de distância de um ponto 
da reta à origem. 
Definição: Para todo número real x, definimos módulo ou valor absoluto de x como: 






0
0
xsex
xsex
x
 
PROPRIEDADES: 
 ayx ,,
 
1) 
0x
 
2) 
xx 
 
3) 
xx 2
 
4) 
xxx 
 
5) 
yxxy 
 
6) 
0a
, 
axaax 
 
7) 
0a
, 
   axaxax 
 
8) Desigualdade triangular 
yxyx 
 
9) 
yxyx 
 
10) 
yxyx 
 
Interpretação geométrica: Associamos a noção de módulo ao conceito de distância. 
yxyxd ),(
 
 
0 xx
  Isto significa que o modulo de x é a distância de x ao número zero, ou ainda, 
que é a distância do ponto A, de abscissa x, à origem O. 
 
3. FUNÇÃO MODULAR 
𝑓:ℛ → ℛ 
𝑓(𝑥) = |𝑥| 
4. EQUAÇÕES MODULARES 
Para resolver equações modulares precisamos lembrar que 
|𝑥| = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑎 
5. INEQUAÇÕES MODULARES 
Para resolver inequações modulares basta lembrar as duas propriedades de módulo 
0a
, 
axaax 
 e 
0a
, 
   axaxax 
 
 
 
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Avaliação 
EXERCÍCIOS: 
1. Construir o gráfico de 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| 
2. Construir o gráfico de 𝑓(𝑥) = |𝑥| − 1 
3. Construir o gráfico de 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| + 2 
4. Construir o gráfico de 𝑓(𝑥) =
|𝑥|
𝑥
 definida em ℜ − {0} 
5. Construir o gráfico de 𝑓(𝑥) =
|𝑥−1|
1−𝑥
, definida em ℜ − {1} 
6. Resolver a equação modular |𝑥2 − 5𝑥 + 5| = 1, em ℜ. 
7. Resolver a equação |2𝑥 + 4| = 3𝑥 − 6, em ℜ. 
8. Resolver a inequação |2𝑥 − 5| > 7, em ℜ. 
9. Resolver a inequação |𝑥 − 3| < 5, em ℜ. 
A título de revisar as noções teóricas e praticar o que foi visto na aula de hoje, sugerimos a 
principio a releitura do material didático e a resolução da lista sobre Função e Equação 
Modular, disponível em http://professorwaltertadeu.mat.br/exerciciosEM2012.html 
Sugestão de resoluções de exercícios: