BASES PARTE 3

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BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
NOTAS DE AULA - PARTE 3 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
 
Aula: 10 
Função Exponencial 
 
Objetivos 
Ao término desta aula, o aluno deverá 
 Trabalhar com potenciação. 
 Estudar as propriedades de potenciação. 
 Identificar uma função exponencial. 
 Identificar, construir e analisar o gráfico de função exponencial. 
 Resolver equações e inequações exponenciais. 
 
Estrutura de Conteúdo 
UNIDADE 7 - FUNÇÃO EXPONENCIAL 
7.1. Potenciação; propriedades 
7.2. Equações exponenciais 
7.3. Função exponencial - definição e representação gráfica 
7.4. Aplicações 
 
1. MOTIVAÇÃO/INTRODUÇÃO 
As funções exponenciais são utilizadas na representação de situações nas quais a taxa de 
variação é considerada grande. Em rendimentos financeiros, por exemplo, capitalizados por 
juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, no desenvolvimento de 
bactérias e/ou micro-organismos, ou ainda no crescimento populacional, dentre outros. As 
regras de Potenciação nos auxiliarão na resolução dos problemas que envolvem funções 
exponenciais. 
 
2. FUNÇÃO EXPONENCIAL: 
É qualquer função f: IR  IR da forma f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1. 
 
3. GRÁFICOS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL: 
Construindo os gráficos das funções exponenciais nas quais a base é 2 e ½: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Se a > 1, a função é crescente e se 0 < a < 1, a função será decrescente. 
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2) Os gráficos não intersectam o eixo X, pois as funções não se anulam, seja qual for o valor 
de x. 
3) Os valores da função exponencial são todos positivos, qualquer que seja x. 
4) Uma desigualdade de membros positivos não se altera quando se elevam ambos os 
membros ao mesmo expoente positivo, e muda de sentido quando o expoente é negativo: 





xx
xx
baba:0xPara
baba:0xPara
. 
5) A função exponencial de IR para IR*+. Isto é: 
1a0para,xxaa 21
xx 21 
 
 
4. EQUAÇÃO E INEQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Para resolvermos uma equação exponencial, usualmente, utilizamos propriedades de 
potências de mesma base. 
Para resolver uma inequação exponencial a ideia é encontrar potências de mesma base para 
que os expoentes possam ser operados como inequações. 
Sugestões de vídeos: 
 KHAN ACADEMY: Traçado De gráfico. 
http://www.youtube.com/watch?v=vhUsiGpChRk 
KHAN ACADEMY: Crescimento e decrescimento 
http://www.youtube.com/watch?v=yc0DCb9agRs 
Propriedades de Potência. 
 http://www.youtube.com/watch?v=9Ljfi58857E 
http://www.youtube.com/watch?v=NLpWUd9BGNM 
http://www.youtube.com/watch?v=tDiekj1Esao 
http://www.youtube.com/watch?v=t4Fyb0cK0Mo 
 
Avaliação 
Equações Exponenciais 
 
(a) 2𝑥 = 64 → 2𝑥 = 26 → 𝑥 = 6 
(b) 2𝑥 =
1
16
 → 2𝑥 = 2−4 → 𝑥 = −4 
(c) 9𝑥 = 27 → (32)𝑥 = 33 → 32𝑥 = 33 → 2𝑥 = 3 → 𝑥 =
3
2
 
(d) (
1
5
)
𝑥
= 125 → 5−𝑥 = 53 → 𝑥 = −3 
(e) (√3)
𝑥
= √81 
3
 → (3
1
2)
𝑥
= √34
3
 → 3
𝑥
2 = 3
4
3 →
𝑥
2
=
4
3
 → 𝑥 =
8
3
 
(f) 23𝑥−1 = 32 → 23𝑥−1 = 25 → 3𝑥 − 1 = 5 → 3𝑥 = 6 → 𝑥 = 2 
(g) 112𝑥+5 = 1 → 112𝑥+5 = 110 → 2𝑥 + 5 = 0 → 𝑥 = −
5
2
 
(h) 3𝑥
2+2𝑥 = 243 → 3𝑥
2+2𝑥 = 35 → 𝑥2 + 2𝑥 − 5 = 0 → 𝑥 = −2 ± 2√6 
(i) 811−3𝑥 = 27 → (34)1−3𝑥 = 33 → 34−12𝑥 = 33 → 4 − 12𝑥 = 3 → 𝑥 =
1
12
 
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(j) 53𝑥−1 = (
1
125
)
2𝑥+3
 → 53𝑥−1 = (5−3)2𝑥+3 → 53𝑥−1 = 5−6𝑥−9 → 3𝑥 − 1 = −6𝑥 −
9 → 𝑥 = −
8
9
 
 
APLICAÇÕES 
Diversas são as suas aplicações: Rendimentos financeiros capitalizados por juros 
compostos, decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias 
e/ou micro-organismos, crescimento populacional, dentre outros. 
 
Exemplos de aplicações: 
1. (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t 
anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, 
após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi 
comprada. 
 
Temos que v(10) = 12 000, então: 
v(10) = v0 * 2 
–0,2*10 
12 000 = v0 * 2 
–2 
12 000 = v0 * 1/4 
12 000 : 1/ 4 = v0 
v0 = 12 000 * 4 
v0 = 48 000 
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00. 
 
2. Após o início de um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela 
expressão: 
 N(t) = 1200*20,4t 
Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 19200 bactérias? 
 
N(t) = 1200*20,4t 
N(t) = 19200 
1200*20,4t = 19200 
20,4t = 19200/1200 
20,4t = 16 
20,4t = 24 
0,4t = 4 
t = 4/0,4 
t = 10 h 
A cultura terá 19200 bactérias após 10 h. 
 
3. (EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 
bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do 
país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80. 
 
Resolução. 
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Temos a seguinte função exponencial 
P(x) = P0 * (1 + i)
t 
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20 
P(x) = 500 * 1,0320 
P(x) = 500 * 1,80 
P(x) = 900 
O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões. 
 
4. Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura , em função do temo t, 
medido em horas, é dado por B(t) = 2t/12. Qual será o número de bactérias 6 dias após a 
hora zero? 
Resolução. 
6 dias = 6 * 24 = 144 horas 
B(t) = 2t/12 
B(144) = 2144/12 
B(144) = 212 
B(144) = 4096 bactérias 
A cultura terá 4096 bactérias. 
 
5. Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da contagem havia 1 
milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de x dias? 
Resolução. 
- ao fim de 1 dia: 1.(1 + 0,5) = 1.(1,5) = 1,5 milhões; 
- ao fim de 2 dias: 1,5.(1 + 0,5) = 1,5.(1,5) = (1,5)2 milhões; 
- ao fim de 3 dias: (1,5)2.(1 + 0,5) = (1,5)2.(1,5) = (1,5)3 milhões; 
... 
- ao fim de x dias: (1,5)x milhões. 
 
6. No dia 1 de Janeiro de 2010, o Sr. José investiu 10.000 euros num depósito a prazo, 
remunerado com a taxa de 3% ao ano. Admitindo que os juros fossem sendo capitalizados, 
determine o montante que o Sr. José tinha no dia 1 de Janeiro de 2014. 
 
Resolução. 
Num processo de juros compostos, com capital inicial C e uma taxa de juros i, o valor do 
capital acumulado M ao fim de x anos é dado por M = C.(1 + i)x. 
 
Como em 1 de Janeiro de 2014, decorreram 4 anos, o montante pedido é: 
 
A = 10.000(1 + 0,03)4 = 10.000(1, 03)4 = 11255,08 euros. 
 
7. Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a 
quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S0.2-0,25t, em que S0 representa a 
quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da 
quantidade inicial se desintegre? 
 
Resolução. 
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A quantidade inicial ao fim de t anos será 
2
S0
. 
4
25,0
1
t1t25,022
2
1
2
2
S
2.S
2.SS
2
S
S
1t25,0t25,00t25,0
0
t25,0
0
0










 
A situação ocorrerá ao fim de 4 anos. 
 
8. A quantia de R$ 1200,00 foi aplicada durante 6 anos em uma instituição bancária a uma 
taxa de 1,5% ao mês, no sistemade juros compostos. 
a) Qual será o saldo no final de 12 meses? 
b) Qual será o montante final? 
 
Resolução. 
M = C(1+i)t (Fórmula dos juros compostos) onde: 
C = capital 
M = montante final 
i = taxa unitária 
t = tempo de aplicação 
 
a) Após 12 meses. 
Resolução 
M = ? 
C = 1200 
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária) 
t = 12 meses 
 
M = 1200(1+0,015)12 
M = 1200(1,015) 12 
M = 1200*(1,195618) 
M = 1.434,74 
Após 12 meses ele terá um saldo de R$ 1.434,74. 
 
b) Montante final 
Resolução 
M = ? 
C = 1200 
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária) 
t = 6 anos = 72 meses 
 
M = 1200(1+ 0,015)72 
M = 1200(1,015) 72 
M = 1200(2,921158) 
M = 3.505,39 
Após 6 anos ele terá um saldo de R$ 3.505,39 
 
 
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Aula: 11 
Função Exponencial e Logarítmos 
 
Objetivos 
 Trabalhar com logaritmo. 
 Estudar as propriedades de logaritmos. 
 
Estrutura de Conteúdo 
 
UNIDADE 8 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
8.1. Logaritmo de um número - definição 
8.2. Propriedades 
8.3. Equações logarítmicas 
8.4. Função logarítmica - definição e representação gráfica 
 
1. LOGARITMO 
Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais positivos e 𝑏 ≠ 1. 
Chamamos logaritmo de 𝒂 na base 𝒃 ao expoente 𝑥 tal que 𝑏𝑥 = 𝑎. 
Notação: 𝑏𝑥 = 𝑎 ↔ log𝑏 𝑎 = 𝑥, 
𝑎 é dito logaritmando. 
Exemplo 
log2 32 = 𝑥 
2𝑥 = 32. 
𝑥 = 5. 
log2 32 = 5 
 
2. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 
Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais positivos com 𝑎 ≠ 1. 
P1) log𝑎 𝑎 = 1 
P2) log𝑎 1 = 0 
P3) log𝑎 𝑎
𝑚 = 𝑚 
P4) 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎
𝑏
= 𝑏 
P5) Logaritmo do produto: log𝑎 𝑏𝑐 = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 . 
P6) Logaritmo do quociente: log𝑎
𝑏
𝑐
= log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐. 
P7) Logaritmo da potência: log𝑎 𝑏
𝑚 = 𝑚. log𝑎 𝑏 
P8) Mudança de base: log𝑎 𝑏 = 
log𝑐 𝑏
log𝑐 𝑎
, 
 
 
3. GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 1) Os gráficos das funções logarítmicas sempre cortam o eixo X no ponto (1,0). 
 
2) Quando a base é maior que 1, os números maiores que 1 tem logaritmos positivos e os 
números entre 0 e 1 tem logaritmos negativos. 
 
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




0xlog1logxlog1x0
0xlog1logxlog1x
aaa
aaa
 
 
3) Quando a base é menor que 1, os números 
maiores que 1 tem logaritmos negativos e os 
números entre 0 e 1 tem logaritmos positivos. 
 





0xlog1logxlog1x0
0xlog1logxlog1x
aaa
aaa
 
 
 
 
 
Avaliação 
 
1. Uma pessoa necessitava saber o valor do logaritmo decimal de 450, mas não tinha 
calculadora. Em uma busca na internet, encontrou a tabela a seguir e, através dela, pôde 
calcular corretamente o que precisava. Determine o valor encontrado. 
 
 
Resolução. 
 
 
66,2450log
130,0148,0.2450log
10log2log10log3log.2450log
10log
2
10
log3log.2450log
10log5log3log10.5.3log450log 22





 
 
2. (PUC - SP) Se log8 x = m e x > 0 então log4 x é igual a: 
 
Resolução. 
.
2
3
3
2
log
3
2
3222)2(2844log)
4log4log
log
log
4
3232
8
88
8
4
mm
x
yyyi
mx
x
yyy



 
 
3. (UEPG - PR) Sendo log5 = a e log 7 = b, expresse log50175 em função de a e b. 
Resolução. 
1
2
10log5log
7log5log2
10.5log
7.5log
50log
175log
175log
2
50






a
ba
 
 
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Aula: 12 
Funções Logarítmicas 
 
Objetivos 
Ao término desta aula, o aluno deverá 
Resolver problemas que envolvam função Logarítmica. 
 
Estrutura de Conteúdo 
UNIDADE 8 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Exemplos de aplicações: 
1. (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensidade 
de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação 
40
h
0 8,0.II 
na qual I é a intensidade da 
luz em uma profundidade h, em centímetros, e Io é a intensidade na superfície. Um nadador 
verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% 
daquela observada na superfície. A profundidade do ponto P, em metros, considerando log2 
= 0,3, equivale a: 
 (A) 0,64 (B) 1,8 (C) 2,0 (D) 3,2 
10
8
log
100
32
log
40
8,0log
32,0log
40
32,0log
40
32,08,0
8,0..32,0
.32,0
8,0.:
8,0
40
40
00
0
40
0











h
h
h
II
II
IIPPonto
h
h
h
 
 
mcmh
h
h
h
h
h
h
h
0,2200
)5)(40(
5
40
1,0
5,0
40
19,0
25,1
40
1)3,0(3
23,05
40
10log2log
10log2log
40
10log8log
100log32log
40
3
25


















 
 
2. (UERJ) Considere-se que uma população inicial cresce 3% ao ano, observados os dados 
log3 = 0,477 e log103 = 2,013 o número aproximado de anos que ela triplicará é: 
A) 37 B) 47 C) 57 D) 67 
 
Se a população P cresce 3% ao ano, então em t anos ela será de PFinal =P.(1 + 0,03)
t. 
 
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3769,36
13
477
013,0
477,0
2013,2
477,0
100log103log
477,0
100
103
log
3log
3log
)03,1(3
)03,1(3
)03,01(
3
03,1












t
t
PP
PP
PP
t
t
t
Final
Final
 
 
 
Avaliação 
 
1. O pH de uma solução é o logaritmo decimal do inverso da concentração de H3O
+. Qual o 
pH de uma solução cuja concentração de H3O
+ é 4,5.10-5 mol /l ? 
Resolução. 
357,4653,0)1(55,4log10log55,4log10log
5,4
10
log
10.5,4
1
log 5
5
5


pH
 
 
2. Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 
4% ao ano. Meia-vida é o tempo que deve decorrer para que, em certo momento, metade 
dos átomos de uma substância radioativa se desintegre. A expressão para a situação 
descrita pode ser representada por: Q(t) = Q0.e
- rt. 
Resolução. 
.3,17
04,0
6931,0
6931,004,0
2
1
ln04,0
2
1
.
2
04,0
04,0
0
0
anost
t
t
e
eQ
Q
t
t










 
 
3. Uma pessoa coloca R$ 1000,00 num fundo de aplicação que rende, em média, 1,5% 
a.m. Em quantos meses essa pessoa terá no mínimo R$ 1300,00? (Use a calculadora) 
Resolução. 
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mesest
t
M
C
t
t
t
6,17
015,1log
3,1log
10
13
log
10
13
)015,1(
)015,01(10001300
%)5,11(1000
1000
015,1






 
 
4. A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que possui 
variação entre I = 0 até I = 8,9 para maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: 
0
10log
3
2
E
E
I 
na qual E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 = 
7.10-3 kwh. 
(a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? 
Resolução. 
 
 
(b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada 
a energia liberada?Resolução. 
 
 
5. São necessários 5 anos para que o cobalto-60 perca a metade de sua radioatividade. 
Qual é a porcentagem de sua atividade original que permanecerá no fim de 20 anos? 
Resolução. 
 A função será: 5
0
2
1
)(
t
NtN 






. 
Repare que N(5) = N0/2. 
Ao longo de 20 anos, temos: 
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0
0
0
4
0
5
20
0
%25,6)20(
0625,0)20(
162
1
2
1
)20(
NN
NN
N
NNN















 
 
 
 
 
Semana Aula: 13 
Trigonometria e funções trigonométricas 
 
Objetivos 
Ao término desta aula, o aluno deverá 
Identificar as razões trigonométricas no triângulo retângulo; 
Relacionar as razões trigonométricas com o círculo trigonométrico; 
Estudar as relações e fórmulas trigonométricas; 
Reconhecer e utilizar as fórmulas de adição e subtração de arcos, as fórmulas de 
arcos duplos, as de arcos triplos, as de arco-metade e as de transformação em produto; 
Estudar as funções trigonométricas básicas. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Tópicos referentes ao conteúdo específico: Noções Básicas de Trigonometria. 
Razões Trigonométricas 
Arcos e ângulos 
Circulo Trigonométrico 
Identidades Trigonométricas 
Noções das funções trigonométricas básicas: seno, cosseno e tangente 
 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Consideremos um triângulo retângulo no qual um dos ângulos é o ângulo agudo α. 
Definimos os seguintes números, chamados de razões trigonométricas de α: 
 
hipotenusa
opostocateto
seno 
 
 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
NOTAS DE AULA - PARTE 3 
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hipotenusa
adjacentecateto
seno cos
 


seno
seno
adjacentecateto
opostocateto
gente
cos
tan 
 
adjacentecateto
hipotenusa
seno
ante   cos
1
sec
 
opostocateto
adjacentecateto
gente
angente   tan
1
cot
 
opostocateto
hipotenusa
seno
ante  
1
seccos
 
 
Exemplo: Consideremos um triângulo retângulo no qual um dos ângulo é o ângulo agudo 
. Determine as principais razões trigonométricas referentes a . 
 
 
RELAÇÕES ENTRE SENO, COSSENO E TANGENTE DOS ÂNGULOS AGUDOS 
DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO. 
Ângulos Complementares. 
 
 
Os ângulos �̂� e �̂� são complementares: �̂� +
�̂� = 900 
𝑠𝑒𝑛�̂� =
𝑎
𝑏
 e 𝑐𝑜𝑠�̂� =
𝑎
𝑏
 . 
Assim, 𝑠𝑒𝑛�̂� = 𝑐𝑜𝑠�̂� 
 
 
 
Relação Fundamental entre seno e cosseno. 
(𝑠𝑒𝑛�̂�)
2
+ (𝑐𝑜𝑠�̂�)
2
= 𝑠𝑒𝑛2�̂� + 𝑐𝑜𝑠2�̂� = (
𝑎
𝑏
)
2
+ (
𝑐
𝑏
)
2
= 
𝑎2
𝑏2
+
𝑐2
𝑏2
=
𝑎2+𝑐2
𝑏2
 = (*) 
 ( 

10 6 
8 
A 
B 
C 
a 
b 
c 
α ( 
8
6
10
8
cos
10
6






tg
sen
6
10
seccos
8
10
sec
6
8
cot





g
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
NOTAS DE AULA - PARTE 3 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
Aplicando Pitágoras no triângulo dado temos: 𝑎2 + 𝑐2 = 𝑏2 
(*) = 
𝑏2
𝑏2
=1 
Ficamos com: (𝑠𝑒𝑛�̂�)
2
+ (𝑐𝑜𝑠�̂�)
2
= 𝑠𝑒𝑛2�̂� + 𝑐𝑜𝑠2�̂� = 1 
 Valor da Tangente 
𝑡𝑔�̂� =
𝑎
𝑐
, mas 
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑐𝑜𝑠�̂�
=
𝑎
𝑏
𝑐
𝑏
=
𝑎
𝑐
. Assim, 𝑡𝑔�̂� =
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑐𝑜𝑠�̂�
 
 
CÁLCULO DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
ÂNGULO DE 450 
Considere um quadrado de lado a. 
𝑎2 + 𝑎2 = 𝑑2 ⟹ 𝑑2 = 2𝑎2 ⇒ 𝑑 = 𝑎√2 
𝑠𝑒𝑛450 =
𝑎
𝑎√2
=
1
√2
=
√2
2
 
𝑐𝑜𝑠450 =
𝑎
𝑎√2
=
1
√2
=
√2
2
 
𝑡𝑔450 =
𝑎
𝑎
= 1 
 
ÂNGULO DE 600 
Considere um triângulo equilátero de lado a. 
ℎ2 + (
𝑎
2
)
2
= 𝑎2  ℎ2 = 𝑎2 − (
𝑎
2
)
2
 
 ℎ2 = 𝑎2 −
𝑎2
4
  ℎ2 =
3𝑎2
4
  
 ℎ = √
3𝑎2
4
  ℎ =
𝑎√3
2
 
𝑠𝑒𝑛600 =
𝑎√3
2
𝑎
=
𝑎√3
2𝑎
=
√3
2
 
𝑐𝑜𝑠600 =
𝑎
2
𝑎
=
1
2
 
𝑡𝑔450 =
√3
2
1
2
= √3 
 
ÂNGULO DE 300 
Como o ângulo de 300 é complementar ao de 600, podemos dizer que 
 𝑠𝑒𝑛300 = 𝑐𝑜𝑠600  𝑠𝑒𝑛300 =
1
2
 
𝑐𝑜𝑠300 = 𝑠𝑒𝑛600  𝑐𝑜𝑠300 =
√3
2
 
𝑡𝑔300 =
𝑠𝑒𝑛300
𝑐𝑜𝑠300
=
1
2
√3
2
=
1
√3
=
√3
3
 
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NOTAS DE AULA - PARTE 3 
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Exercício: Duas ambulâncias, que distam entre si 8 km, recebem uma chamada de urgência 
de uma casa. Observe a figura e determine a distância que separa cada ambulância da casa. 
 
 
 
 
 
 
 
A CIRCUNFERÊNCIA 
 
Ângulo Central: tem o vértice no centro da circunferência e seus lados são semi-retas 
secantes a circunferência. 
Medida do ângulo central = medida do arco determinado por ele sobre a circunferência. 
 
Sistemas de Unidades: Sexagesimal ( graus ) e circular ( radianos ). 
 
 
SISTEMA SEXAGESIMAL: Dividindo a circunferência em 360 partes de mesmo 
tamanho determinamos 360 arcos de 10 cada. 
10 =
1
360
 da circunferência 
 
 Relações 
10 = 60´ 
1´ = 60´´ 
10 = 3600´´ 
 
SISTEMA CIRCULAR: Está relacionado com a medida do comprimento da 
circunferência. 
 
Comprimento de uma circunferência: 𝐶 = 2𝜋𝑟 
Radiano: arco cujo comprimento é igual a medida do raio da circunferência que o contém. 
(rad) 
Comprimento da circunferência 𝐶 = 2𝜋𝑟 temos que uma volta completa equivale a 2𝜋rad. 
3600 = 2𝜋rad ou 1800 = 𝜋rad 
 
 
4
82
1
300


b
b
sen
34
2
38
82
3
30cos 0


c
c
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NOTAS DE AULA - PARTE 3 
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Exemplo: Exprimir 300 em radianos. 
1800 rad 
 300 x 
 
𝑥 =
30𝜋
180
=
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
Exemplo: Exprimir 
3𝜋
4
 radianos em graus. 
3𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 =
3 ∙ 180
4
𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 = 1350 
 
 
O CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
Ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada no sentido anti-horário de raio unitário 
cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal. 
 
Quadrantes = as quatro regiões que o plano fica dividido. 
Ponto A(1,0) = Origem dos arcos 
 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
Em uma circunferência trigonométrica no plano cartesiano, de centro na origem e raio 
unitário, considere um ponto M=(x',y') no primeiro quadrante desta circunferência. Este 
ponto M=(x',y') determina um arco AM, correspondente ao ângulo central a. 
 
Considere as projeções ortogonais do ponto M: 
ponto C=(x',0): projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX 
ponto B=(0,y'): projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY 
 
 
 
SENO do ângulo a: 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ = ordenada y' do ponto M 
Notação: sen(AM) ou sen(a). 
 
COSSENO do ângulo a: 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ = abscissa x' do ponto M 
Notação: cos(AM) ou cos(a) 
 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
NOTAS DE AULA - PARTE 3 
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TANGENTE 
Considere a reta t, tangente ao ciclo trigonométrico 
na origem A=(1,0), perpendicular ao eixo OX. 
 
A interseção da reta que passa pelo ponto M da 
circunferência e pelo centro da circunferência 
com a reta tangente t é o ponto T=(1,t'). 
TANGENTE do ângulo a: ordenada do ponto T, Notação: 
tg (AM) ou tg(a). 
 
 
RELAÇÃO ENTRE TANGENTE, SENO E COSSENO 
 
𝑡𝑔 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 
 
PONTOS SOBRE OS EIXOS: SENO, COSSENO E TANGENTE 
 
ÂNGULO 
GRAUS 
ÂNGULO 
RADIANO 
PONTO COSSENO SENO TANGENTE 
00 0 (1,0) 1 0 0 
900𝝅
𝟐
 
(0,1) 0 1 ∄ 
1800 𝝅 (-1,0) -1 0 -1 
2700 𝟑𝝅
𝟐
 
(0,-1) 0 -1 ∄ 
 
Para os ângulos 
𝜋
2
 rad e 
3𝜋
2
rad a tangente não está definida, uma vez que a reta OM não 
intercepta a reta t, pois elas são paralelas. 
 
 
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA 
 
Considere M=(cos(a),sen(a)). 
A distância de M até a origem (0,0) é igual a 1. 
Dessa forma, 
𝑑(𝑀, 𝑂) = √(𝑐𝑜𝑠𝑎 − 0)2 + (𝑠𝑒𝑛𝑎 − 0)2=1 
𝑐𝑜𝑠2𝑎 + 𝑠𝑒𝑛2𝑎 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
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COTANGENTE 
 
 
Considere a reta s tangente à circunferência no ponto 
B=(0,1), perpendicular ao eixo OY. 
A interseção da reta que passa pelo ponto M e pelo 
centro da circunferência e a reta s é o ponto S=(s',1). 
 
COTANGENTE do ângulo a: abscissa s' . 
Notação: cot(AM)=cor(a) 
 
 
 
RELAÇÃO ENTRE COTANGENTE E TANGENTE: 
cot(𝑎) =
cos (𝑎)
𝑠𝑒𝑛(𝑎)
=
1
𝑡𝑔(𝑎)
 
SECANTE E COSSECANTE 
 
 
Considere a reta r tangente à circunferência 
 
SECANTE do ângulo a: abscissa do ponto V. 
Notação: sec(a)=sec(AM) 
Interseção da reta r com o eixo OY: o ponto U=(0,u). 
COSSECANTE do ângulo a: ordenada do ponto U. 
Notação: csc(AM)=csc(a) 
 
 
RELAÇÃO ENTRE SECANTE E COSSENO 
sec(𝑎) =
1
cos (𝑎)
, cos (𝑎) ≠ 0 
 
RELAÇÃO ENTRE COSSECANTE E SENO 
csc(𝑎) =
1
sen (𝑎)
, sen (𝑎) ≠ 0 
 
Os segmentos representativos: 
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RELAÇÕES ENTRE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
 
1 + 𝑡𝑔2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
 
𝑡𝑔 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
1
sen 𝑥
 
1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 =
1
𝑡𝑔 𝑥
 
 
 
 
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE 
 
Ângulos que diferem de 900: 900 e 90- 
A abcissa de Q é simétrica da ordenada de P, 
e a ordenada de Q é igual à abcissa de P: 
𝑠𝑒𝑛(900 + 𝑎) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 
𝑐𝑜𝑠(900 + 𝑎) = −𝑠𝑒𝑛𝑎 
 
 
 
Ângulos Suplementares:  e 180- 
Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, 
respectivamente associados a a e 180°- a, são 
simétricos em relação ao eixo das ordenadas. 
As ordenadas de P e Q são iguais e as suas 
abcissas são simétricas: 
𝑠𝑒𝑛(1800 − 𝑎) = 𝑠𝑒𝑛𝑎 
𝑐𝑜𝑠(1800 − 𝑎) = −𝑐𝑜𝑠𝑎 
 
 
 
 
 
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Ângulos que diferem de 1800:  e 180- 
Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, 
respectivamente associados a a e a 180° + a, 
são simétricos em relação a O, assim, as suas 
ordenadas e as suas abcissas são simétricas: 
𝑠𝑒𝑛(1800 + 𝑎) = −𝑠𝑒𝑛𝑎 
𝑐𝑜𝑠(1800 + 𝑎) = −𝑐𝑜𝑠𝑎 
 
 
 
 
 
 
Ângulos Simétricos:  e - 
Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, 
respectivamente associados a e -a, são 
simétricos em relação ao eixo das abcissas, 
assim, as abcissas de P e Q são iguais e as 
suas ordenadas são simétricas: 
𝑠𝑒𝑛(−𝑎) = −𝑠𝑒𝑛𝑎 
cos(−𝑎) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 
 
 
 
 
Arcos Complementares: arcos com 
origem na origem dos arcos do ciclo 
e extremidades simétricas com relação 
à bissetriz do 1 e 3 quadrantes. 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
− 𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
− 𝑥) 
 
 
SOMA E DIFERENÇA DE DOIS ARCOS 
 
cos(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 ∙ cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑏 
cos(𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 ∙ cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑏 
 
sen(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛𝑏 ∙ cos 𝑎 
sen(𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛𝑏 ∙ cos 𝑎 
 
𝑡𝑔(𝑎 + 𝑏) =
𝑡𝑔𝑎+𝑡𝑔𝑏
1−𝑡𝑔𝑎∙𝑡𝑔𝑏
, 𝑎 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑏 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 e 𝑎 + 𝑏 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 
𝑡𝑔(𝑎 − 𝑏) =
𝑡𝑔𝑎−𝑡𝑔𝑏
1+𝑡𝑔𝑎∙𝑡𝑔𝑏
, e 𝑎 − 𝑏 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 
 
 
 
 
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NOTAS DE AULA - PARTE 3 
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sen 2a = 2𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ cos 𝑎 
cos 2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎 
𝑡𝑔2𝑎 =
2∙ 𝑡𝑔𝑎
1−𝑡𝑔2𝑎
, 𝑎 ≠
𝜋
4
+ 𝑘
𝜋
2
 e 𝑎 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑝 + 𝑠𝑒𝑛 𝑞 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝑝 + 𝑞
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝 − 𝑞
2
 
𝑠𝑒𝑛 𝑝 − 𝑠𝑒𝑛 𝑞 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝑝 − 𝑞
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝 + 𝑞
2
 
𝑐𝑜𝑠 𝑝 + 𝑐𝑜𝑠 𝑞 = 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝 + 𝑞
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝 − 𝑞
2
 
𝑐𝑜𝑠 𝑝 − 𝑐𝑜𝑠 𝑞 = −2 ∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝 + 𝑞
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝 − 𝑞
2
 
 
Avaliação 
 
1. Determinar o sen75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Resolva a equação 2secx-2cosx=3, considerando somente aquelas que pertencem ao 
intervalo (0,π/2). 
2𝑠𝑒𝑐𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 3 
Substituindo 𝑠𝑒𝑐𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
, obtemos 
2
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
− 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 3 
2 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝑥 
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 = 0 
 
Fazendo uma substituição de variável, 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑦, ficamos com: 
2𝑦2 + 3𝑦 − 2 = 0 
Resolvendo, obtemos para raízes y=1/2 e y=-2. Como 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑦 o valor y=-2 não nos serve. 
cosx=1/2, o que significa que a primeira determinação do ângulo é 600. 
 
 
3. Um automóvel percorre 78,5cm de uma curva, descrevendo um arco de 450. Determine o 
raio da curva. Considere =3,14. 
(a) 100m 
(b) 200m 
)4530(75 000  sensen
4
6
4
2
75
2
2
2
3
2
2
2
1
75
4530cos45cos30)4530(
coscos)(




sen
sen
sensensen
senyxysenxyxsen
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NOTAS DE AULA - PARTE 3 
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(c) 78,5m 
(d) 246m 
Resp: (a) 100m 
 
 
4. Um avião levanta vôo e sobe fazendo um ângulo de 15º com a horizontal. A que altura ele 
estará e qual a distância percorrida quanto sobrevoar uma torre a 2 Km do ponto de partida? 
Dados: tg15=0,27 cos15=0,97 sen15=0,26 
 
(a)400m 
(b) 540m 
(c)600m 
(d)1.000m 
 
Resposta: (b) 540m 
 
5. Simplificando a expressão: T = (cossec x + sec x) / (sen x + cos x), obtemos: 
(a) cosx 
(b) senx 
(c) senx+cosx 
(d) 1/(senxcosx) 
Resp: (d) 1/(senxcosx) 
 
 
Semana Aula: 14 
Limites de funções e continuidade 
 
Objetivos 
 
Ao término desta aula, o aluno deverá: 
 
Compreender conceito de limite de uma função. 
Aplicar as propriedades básicas de limite. 
Resolver limites envolvendo funções polinomiais. 
Resolver limites envolvendo funções exponenciais. 
Resolver limites envolvendo funções logarítmicas. 
Resolver limites envolvendo funções trigonométricas. 
Compreender conceito de continuidade de uma função. 
Determinar se uma função é continua. 
Compreender conceito de limite lateral. 
Determinar os limites laterais de uma função. 
 
Estrutura de Conteúdo 
Tópicos referentes ao conteúdo específico: Limites. 
Noção intuitiva e definição informal de limite 
Propriedades básicas de limite. 
Limites envolvendo funções exponenciais. 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
NOTAS DE AULA - PARTE 3 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
Limites envolvendo funções logarítmicas. 
Limites envolvendo funções trigonométricas. 
Continuidade 
Limites Laterais 
 
1. INTRODUÇÃO/MOTIVAÇÃO. 
O Cálculo Diferencial e Integral está fundamentado em um conjunto de operações que 
envolvem quatro operadores: limite, diferencial, derivada e integral. Neste momento, 
introduziremos o primeiro destes operadores: o Limite. O conceito de Limites é utilizado 
para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima 
de um determinado valor. Além disso, o limite é importante para estudarmos o 
comportamentode uma sequência de números reais, à medida que o índice da sequência vai 
crescendo. 
Os limites são fundamentais para definirmos derivadas e a continuidade de funções. 
 
2. IDÉIA INTUITIVA DE LIMITE E DEFINIÇÃO INFORMAL. 
Imagine uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente porque está sendo 
aquecida. Se x = comprimento do lado, A = área, temos que A = x2. Quanto mais x se 
avizinha de 3, a área A tende a 9. Simbolicamente: 
2
3
lim 9
x
x


 
 
O que importa é como a função f está definida próximo de a, não importando o que 
acontece em a. 
 Se f é uma função e a é um número, escrevemos 
lim ( )
x a
f x L


 
e dizemos “o limite de f(x) , quando x tende a a, é igual a L” se pudermos tornar os valores 
de f(x) próximos de L ( tão próximos de L quanto quisermos), tornando x suficientemente 
próximos de a, mas não igual a a. 
 
Isso significa que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos do número L, a medida 
que x tende ao número a ( por qualquer lado de a), mas x ¹ a . 
 Exemplo. 
2
lim ( )
x
f x

, quando 
( ) 2f x x 
 
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x*x
2( )f x x
 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
NOTAS DE AULA - PARTE 3 
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Observe pelo gráfico que, a medida de o valor de x se aproxima de 2, o valor de y=f(x) 
se aproxima de 4. Dizemos então que lim
𝑥→2
(𝑥 + 2) = 4. 
Exemplo. 
2
lim ( )
x
f x

 , 2 4
( )
2
x
f x
x



. 
 
 
Observe pelo gráfico que, a medida de o valor de x se aproxima de 2, o valor de y=f(x) 
se aproxima de 4. Estamos preocupados com os valores próximos de x=2, e não no 
valor exato de x=2. Dizemos então que lim
𝑥→2
(
𝑥2+4
𝑥−2
) = 4. 
 
Exemplo. 
2
lim ( )
x
f x

 , 
2 , 2
( )
6 , 2
x x
f x
x
 
 

 
 
 
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x+2
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(x*x-4)/(x-2)
-2
0
2
4
6
8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
(x*x-4)/(x-2)
Observe que a função não 
está definida para x=2 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
NOTAS DE AULA - PARTE 3 
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Observe pelo gráfico que, a medida de o valor de x se aproxima de 2, o valor de y=f(x) 
se aproxima de 4. Estamos preocupados com os valores próximos de x=2, e não no 
valor exato de x=2. Dizemos então que lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 4. 
Observe ainda que, para x=2, a função retorna como imagem o valor 6. 
 
3. PROPRIEDADES BÁSICAS DE LIMITES 
 
Suponha que 
lim ( )
x a
f x L


 e que 
lim ( )
x a
g x M


. Então: 
 
1) 
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
    
 
2) 
lim[ ( )] lim ( )
x a x a
cf x c f x cL
 
 
, onde c é uma constante qualquer. 
3) 
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
       
   
 
4) Se 
lim ( ) 0
x a
g x M

 
 então lim ( )( )
lim
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf x L
g x g x M



 
 
5) 
 lim ( ) lim ( )
n
n n
x a x a
f x f x L
 
  
 
 , onde n é inteiro positivo qualquer. 
 
6) 
lim ( ) lim ( ) nn n
x a x a
f x f x L
 
 
 , onde L > 0 e n inteiro positivo qualquer ou L  0 e 
n inteiro positivo ímpar qualquer. 
7) 
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x L
 
 
 
8) 
lim
x a
c c


 , c é constante qualquer. 
9) 
lim
x a
x a


 
 
4. LIMITES ENVOLVENDO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Teorema Comparação entre um ângulo e seu seno 
Se 
2
0

 t
 , então 
ttsen 0
 
Teorema- 
0lim
0


sent
x
 
Teorema- Todas as seis funcões trigonométricas – seno, cosseno, tangente, secante e 
cotangente, cossecante - são contínuas. 
Teorema 
1lim
0

 x
senx
x
 
 
5. LIMITES ENVOLVENDO FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 
Exemplo: Determine 
 
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Observando o gráfico genérico da função exponencial de base entre 0 e 1, podemos afirmar 
que a medida que x cresce muito e tende ao infinito, a imagem da função exponencial 
𝑓(𝑥) = (
1
3
)
𝑥
 tende a zero. 
 
 
Exemplo: Determine 
 
Observando o gráfico genérico da função exponencial de base maior que 1 e lembrando que 
o número e é maior que 1, podemos afirmar que a medida que x cresce muito e tende ao 
infinito, a imagem da função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 aumenta cada vez mais também, ou 
seja, tende a infinito. 
 
Teorema- 
e
x
x
x








1
1lim
 ou ainda 
  ex x
x


1
0
1lim
 
Teorema - 
a
x
a x
x
ln
1
lim
0



 
 
 
 
 
x
x
e

lim
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 6. CONTINUIDADE 
O conceito de continuidade é um conceito fundamental no Cálculo Diferencial, quando 
tratamos das funções. Se contínua em alguns ou todos os pontos de seu domínio são hipóteses 
que com frequências precisamos considerar quando precisamos provar alguns resultados. 
Intuitivamente, uma função continua em um ponto P de seu domínio é uma função que não 
apresenta “salto” em P. 
 
Dizemos que a função f é contínua em um número a se e somente se as seguintes condições 
forem válidas: 
(i) f(a) é definido 
(ii) 
lim ( )
x a
f x L


 existe 
(iii) 
lim ( ) ( )
x a
f x f a


 
 
Exemplo- A função f definida por 
2( ) 3f x x 
 é contínua em 0? 
(i) f(0)=02-3=-3 
(ii) 
2
0 0
lim ( ) lim 3 3
x x
f x x
 
   
 
(iii) 
0
lim ( ) (0)
x
f x f


 
Se qualquer das condições (i), (ii) e (iii) da definição falhar, dizemos que f é descontínua no 
número a. 
Uma função f é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números do intervalo. 
 
Exemplo - A função f não é contínua . 
3 2 3
( )
5 3
x x
f x
x x
 
 
 
 
 
Observamos pelo gráfico a descontinuidade em x=3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo - A função Heaviside H, que homenageia o engenheiro elétrico Oliver Heaviside 
( 1850-1920), é usada para descrever uma corrente elétrica que é estabelecida quando t = 0. 
Esta função é definida por 






01
00
)(
tse
tse
tH
. 
 
Esta função não é contínua. 
 
3 
7 
2 
1 
x 
y 
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Suponha que f é uma função descontínua em a, mas 
lim ( )
x a
f x

 exista. Então, ou 
( ) lim ( )
x a
f a f x


 ou f(a) não existe. Tal descontinuidade é chamada removível uma vez que 
se f for redefinida em a, de forma que 
lim ( ) ( )
x a
f x f a


 então f tornar-se-ia continua em a. 
Se a descontinuidade não for removível ela é chamada de essencial. 
 
 
7. LIMITES LATERAIS 
Escrevemos 
lim ( )
x a
f x L


 e dizemos que o limite a esquerda de f(x) quando x tende a a ( 
ou o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda ) é igual a L se pudermos tornar os 
valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, tornando-se x suficientemente próximo de a 
e x menor do que a. 
 
Analogamente,se for exigido que x seja maior do que a, obteremos o limite a direita de f(x) 
quando x tende a a como sendo igual a L e escrevemos 
lim ( )
x a
f x L


 
Se os dois limites laterais existem e têm o mesmo valor, o limite da função no ponto existe 
e todos os três limites têm o mesmo valor. 
Ou seja, Se 
lim ( )
x a
f x L


 e 
lim ( )
x a
f x L


 então temos que 
lim ( )
x a
f x L


 
 
Exemplo: 
A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do 
centro do planeta é 
 
 
 
 
 onde M é a massa da Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional. Fé uma função 
contínua de r? 
 
Para valores de r menores que R a função é contínua e para valores maiores também. A 
questão é verificar se no ponto r=R a função é continua. 
 
Precisamos determinar os limites laterais e verificar se são iguais. 
Calculando o limite a esquerda, pensamos em valores menores do que R. 
lim
𝑟→𝑅−
𝐹(𝑟) = lim
𝑟→𝑅
𝐺𝑀𝑟
𝑅3
=
𝐺𝑀𝑅
𝑅3
=
𝐺𝑀
𝑅2
 
Calculando o limite a direita, pensamos em valores maiores do que R. 
 
lim
𝑟→𝑅+
𝐹(𝑟) = lim
𝑟→𝑅
𝐺𝑀
𝑟2
=
𝐺𝑀
𝑅2
 
Como os limites laterais são iguais, a função é continua também para r=R 
 
 
Indicação de Leitura Específica 









Rrse
r
GM
Rrse
R
GMr
rF
2
3
)(
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http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites5.php 
http://matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=7 
 
http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites3.php 
http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/continuidade/continuidade.htm 
 
Sugestão de leitura e exercícios: 
http://www.eu-e-a-matematica.net/2013/08/exercicios-resolvidos-de-limites-1.html 
http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites2.php 
http://www.matematicadidatica.com.br/Fatoracao.aspx 
http://www.matematiques.com.br/conteudos.php?t=Q&d=Resumos&idcategorias=83 
http://www.matematicamuitofacil.com/fatoracao.html 
http://www.eu-e-a-matematica.net/2013/08/exercicios-resolvidos-de-limites-1.html 
http://www.matematiques.com.br/arquivos/doc_calculo__1770670608.pdf 
http://matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=624 
http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites2.php 
 
 
Avaliação 
 
 
1 Determine 
 
 2. Determine 
 
Observe que não podemos substituir o valor de 3 no lugar de x pois teremos 0/0. Assim, 
precisamos transformar a fração de modo que possamos fazer a substituição. Utilizamos a 
fatoração conhecida como diferença de dois quadrados. 
 
 
 
 
 
3. Determine 
 
Observe que não podemos substituir o valor de 3 no lugar de x pois teremos 0/0. Assim, 
precisamos transformar a fração de modo que possamos fazer a substituição. Utilizamos a 
fatoração conhecida como Produto de Stevin. 
 
 
 
 
 
4. Determine lim
𝑥→0
𝑡𝑔 𝑥
𝑥
 
 
7)1()1(35)35(lim 22
1


xx
x
3
9
lim
2
3 

 x
x
x
6)3(lim
3
)3)(3(
lim
3
9
lim
33
2
3







x
x
xx
x
x
xxx
3
32
lim
2
3 

 x
xx
x
4)1(lim
3
)1)(3(
lim
3
32
lim
33
2
3







x
x
xx
x
xx
xxx
xx
senx
x
x
senx
x
tgx
xxx cos
limcoslimlim
000 

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Mas, sabemos que 
1lim
0

 x
senx
x
. 
Então, 
 
 
 
Mas, cos0o=1. 
 
 
 
 
 
5. Determine 
 
 
 
 
Mas, como 
1lim
0

 x
senx
x
, temos que 
1lim
2
0






 x
senx
x
, assim, 
 
 
 
Pois cos0o=1. 
 
 
6. Determine 
 
 
 
 
 
 
 
7. Determine lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥+2
 
 
 
lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥+2
= lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
(1 +
1
𝑥
)
2
 
Mas, 
e
x
x
x








1
1lim
 e lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
2
= 1, pois lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 0. 
Assim, 
lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥+2
= 𝑒 
 
x
x x
2
1
1lim 







2
22
2
1
1lim
1
1lim
1
1lim e
xxx
x
x
x
x
x
x






































xxx
senx
xx cos
1
lim
cos
lim
00 

1
cos
1
limlim
00

 xx
tgx
xx
20
cos1
lim
x
x
x


)cos1(
lim
)cos1(
cos1
lim
)cos1(
)cos1)(cos1(
lim
cos1
lim
2
2
02
2
02020 xx
xsen
xx
x
xx
xx
x
x
xxxx 









2
1
)cos1(
1
lim
)cos1(
lim
02
2
0



  xxx
xsen
xx
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8. Determine 
 
Precisamos mudar a variável, pois temos dentro do parenteses o quociente 3/x que nos 
impede de utilizar o teorema acima. 
 
Fazemos 
3
𝑥
= 𝑦, e a medida que x tende a infinito, percebemos que y tende a zero. 
 
Fazendo a substituição, obtemos: 
 
 
 
 
9. Determine 
 
(a)1 
(b)3 
(c)2 
(d) ½ 
 
Resp: (c)2 
 
 
10. Observando a função abaixo podemos afirmar que: 
 
 
 
 
(a) É uma função contínua. 
(b) É descontínua para x=3. 
(c) Não é uma função 
(d) Nada podemos afirmar. 
 
Resp: (b) É descontínua para x=3. 
 
 
11. Considere a função abaixo e as afirmativas a seguir. 











2
1
0
2
1
;
21
12
)(
xse
xse
x
x
xf 
 
(I) O limite da função quando x tende a esquerda é igual a 1 
(II) O limite da função quando x tende a direita é igual a -1. 
(III) O limite da função é igual a 0 
 
x
x x








3
1lim
      3
3
1
0
3
1
0
3
0
1lim1lim1lim
3
1lim eyyy
x
y
y
y
y
y
y
x
x




















2
1
1
lim
1x
x
x


3;
39
35
)( 





 a
xsex
xsex
xf
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NOTAS DE AULA - PARTE 3 
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(a) Somente (I) e (II) são verdadeiras. 
(b) Somente (I) é verdadeira. 
(c) Somente (II) é verdadeira. 
(d) Somente (III) é verdadeira. 
Resp: (a) Somente (I) e (II) são verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
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NOTAS DE AULA - PARTE 3 
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Semana Aula: 15 
Limites Laterais, Limites envolvendo infinito e Assíntotas 
 
Objetivos 
Ao término desta aula, o aluno deverá 
Compreender conceito de limite de uma função envolvendo infinito. 
Resolver limites de funções envolvendo infinito. 
Compreender a definição formal de limite. 
Provar o limite de uma função. 
 
Estrutura de Conteúdo 
 
Tópicos referentes ao conteúdo específico: Limites. 
Limites no infinito. 
Limites infinitos. 
Assíntotas verticais. 
Assíntotas horizontais. 
Definição Formal de Limite. 
 
1. INTRODUÇÃO/MOTIVAÇÃO. 
Os limites infinitos e no infinito têm tudoa ver com crescimento, decrescimento e 
assíntotas. Com o auxílio da noção de Limite, podemos analisar o comportamento de uma 
função quando a variável cresce "muito", em valor absoluto. Podemos também observar 
quando a variável tende a um valor fixo e a função cresce "muito". 
As assíntotas horizontais ocorrem quando uma função se aproxima de um valor finito, 
ficando muito próxima desse valor, enquanto a variável cresce muito, em valor absoluto, 
enquanto que as assíntotas verticais ocorrem quando a função cresce muito, em módulo, 
enquanto a variável se aproxima de um valor finito. 
 
2. LIMITES INFINITOS 
Seja I um intervalo aberto que contém o número real a. Seja uma função definida em I-{a} . 
Dizemos que, quando x se aproxima de a, f(x) cresce (decresce) ilimitadamente e 
escrevemos: 
lim ( )
x a
f x 

 
 
Observe 
2
1
( )f x
x

 em x=0 
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Exemplo - 
4
( )
2 3
f x
x


 
 
 
Atenção: Observe que  não é um número. O limite não existe. O símbolo é apenas uma 
forma particular de expressar a não existência do limite, significa que a função pode assumir 
valores tão grandes quanto quisermos. 
 
Teorema Seja 
( )
( )
( )
p x
f x
q x

. Se o denominador da fração tende a zero enquanto o numerador 
tende a um número qualquer diferente de zero, a fração tenderá a ter um enorme valor 
absoluto, i.e., 
Se 
lim ( ) 0
x a
p x L

 
 e 
lim ( ) 0
x a
q x


 então 
( )
lim
( )x a
p x
q x
 
 
Ou ainda 
Se 
lim ( ) 0
x a
p x L

 
 e 
lim ( ) 0
x a
q x


 e 
 I ) se 
0
)(
)(

xg
xf
 , quando 
ax 
 então 

 )(
)(
lim
xg
xf
ax
 
 II ) se 
0
)(
)(

xg
xf
 , quando 
ax 
 então 

 )(
)(
lim
xg
xf
ax
 
Exemplo- 2
2
2 5 1
( ) , 3
6
x x
f x a
x x
 
 
 
 
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
-1 -0.5 0 0.5 1
1/(x*x)
-10
-5
0
5
10
-10 -5 0 5 10
4/(2*x-3)
0
lim
x
 
 
3/2 
3
2
4
lim
2 3x x


 

 
 
3
2
4
lim
2 3x x


 

 
 
 
 
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NOTAS DE AULA - PARTE 3 
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 a esquerda 
3
( )
lim ( )
( )x
p x
f x
q x

  
 
 
 a direita 
3
( )
lim ( )
( )x
p x
f x
q x

  
 
 f não tem limite, finito ou infinito. 
 
Exemplo: 
21 )1(
23
lim


 x
x
x
 Fazendo o estudo do sinal: 
 -2/3 1 
23 x
 - + + 
2)1( x
 + + + 
)()( xgxf
 - + + 
 
3. LIMITES NO INFINITO 
 
Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a,+). Dizemos que, quando x cresce 
ilimitadamente ( ou indefinidamente ), f(x) se aproxima do número L e escrevemos: 
Lxf
x


)(lim
 
Analogamente podemos definir os seguintes limites: 
 
Lxf
x


)(lim
, 


)(lim xf
x
 e 


)(lim xf
x
 
Exemplo: Observe 
1
( )f x
x

 
 
 
Teorema Se n é um número inteiro e positivo, então: 
 


n
x
xlim
 
 






 imparfornse
parfornse
xn
x
lim
 
Teorema: Se n é um número inteiro positivo, então 
 
Teorema : Se 
0,)( 10  n
n
n axaxaaxf 
 é uma função polinomial, então: 
n
n
xx
xaxf

 lim)(lim
 
-100
-50
0
50
100
-1 -0.5 0 0.5 1
1/x
0
1
lim
1
lim 





 nx
n
x xx
lim ( ) 0
lim ( ) 0
x
x
f x
f x




 

 )(
)(
lim0
)(
)(
xg
xf
xg
xf
ax
 
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NOTAS DE AULA - PARTE 3 
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Exemplo : 


535 lim13lim xxxx
xx
 
 
Teorema : Se 
0,)( 10  n
n
n axaxaaxf 
 e 
0,)( 10  m
m
m bxbxbbxg 
 são funções polinomiais, então: 
m
m
n
n
xx xb
xa
xg
xf

 lim
)(
)(
lim
 
Exemplo : 
5
3
5
3
lim
15
23
lim 


 x
x
x
x
xx
 
 
Exemplo: 
 
 
Exemplo: 
 
 
4. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 
 
Limites infinitos são úteis no traçado de gráficos pois podem ser usados para localização de 
assíntotas destes gráficos. 
Considere 
2 6
( )
5
x
f x
x



 
 
 
Da mesma maneira, a linha horizontal y = 2 é chamada assíntota horizontal do gráfico, pois 
lim ( ) 2
x
f x


 e 
lim ( ) 2
x
f x


 
 
 
A linha reta vertical x = a é chamada assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos 
uma das seguintes condições for válida: 
(i) 
lim ( )
x a
f x

 
 
(ii) 
lim ( )
x a
f x

 
 
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-10 -5 0 5 10
(2*x-6)/(x-5)
0
5
2
lim
5
2
lim
5
32
lim
3
2
3
2


 xx
x
x
x
xxx
0
1
limlimlim
101
100
100101
99100



 xx
x
xx
xx
xxx
x = 5 
y = 2 
Note a maneira pela qual o gráfico se 
aproxima da reta vertical x = 5. 
5
lim ( )
x
f x

 
 e 
5
lim ( )
x
f x

 
 
 
Essa reta é chamada de assíntota 
vertical do gráfico 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
NOTAS DE AULA - PARTE 3 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
(iii) 
lim ( )
x a
f x

 
 
(iv) 
lim ( )
x a
f x

 
 
A linha horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo 
menos uma das seguintes condições for válida: 
(i) 
lim ( )
x
f x b


 (ii) 
lim ( )
x
f x b


 
Antes de começarmos a aula, é importante que haja uma leitura atenta do Plano de Aula da 
disciplina, seus objetivos, o conteúdo que será apresentado e a bibliografia recomendada. 
Tópicos referentes ao conteúdo específico: Limites. 
Definição Formal de Limite. 
 
5. CAUCHY E WEIRSTRASS. 
Deve-se a Cauchy, matemática inglês, em 1821, a primeira definição formal de Limites: 
" Quando os valores sucessivos atribuídos a uma variável aproximam-se indefinidamente 
de um valor fixo, chegando a diferir dele tão pouco quanto se deseje, este último e chamado 
limite de todos os outros. " 
 
A definição formal de limite, com epsilons e deltas, utilizada hoje em dia, deve-se ao 
matemático alemão Karl Weierstrass 
" Diz-se que L é um limite da função f(x) para o valor x=a se, dado qualquer numero 
positivo epsilon, existe um numero positivo delta tal que |f(x)-L|<epsilon para qualquer x 
que verifique 0<|x-a|<delta". 
 
6. DEFINIÇÃO FORMAL 
Comentário: “estar próximo” é muito vago, relativo, carece de precisão. 
Definição: Limite 
Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto 
possivelmente no próprio a. Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a é L, e 
escrevemos 
lim ( )
x a
f x L

se para todo número  > 0 há um número correspondente  > 0 tal que 
se 
0 x a   
 então 
( )f x L  
  
 
Uma vez que 
x a
 é a distância de x a a e 
( )f x L
 é a distância de f(x) a L, e como  pode 
ser arbitrariamente pequeno, a definição de limite pode ser expressa em palavras da seguinte 
forma: 
 
lim ( )
x a
f x L


 significa que a distância entre f(x) e L pode ser arbitrariamente pequena 
tomando-se a distância de x a a suficientemente pequena ( mas não 0). 
 
Geometricamente, 
lim ( )
x a
f x L


 significa que, para xa, podemos garantir que f(x) se 
encontra em qualquer pequeno intervalo aberto em torno de L se garantirmos que x está em 
um intervalo aberto escolhido em torno de a. 
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Estratégias de Aprendizagem 
 
Sugestão de Objeto de Aprendizagem: 
 
http://www.im.ufal.br/professor/thales/tics/1-deflimite/01_deflimite.html 
 
No site sugerido acima, há um objeto de aprendizagem no qual podemos definir os valores 
de a, L e e, e a própria função f. Pode se tentar encontrar um valor para d que satisfaça a 
condição da definição formal. Se L for realmente o limite, sempre será possível encontrar d 
para qualquer e, por menor que este seja. 
 
 
Indicação de Leitura Específica 
Sugerimos a leitura do material didático referente à Limites, e a resolução dos exercícios 
relacionados. 
 
Sugestão de vídeos: 
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/limits_topic/limits-infinity/v/limits-
and-infinity 
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/limits_topic/limits-infinity/v/limits-
at-positive-and-negative-infinity 
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/limits_topic/limits-infinity/v/more-
limits-at-infinity 
 
 Sugestão de exercícios resolvidos: 
http://www.professores.uff.br/salete/cdii/a2.pdf 
http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites4.php 
http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 
matematiques.com.br/arquivos/doc_calculo__752171686.ppt 
 
 Sugestão de Leitura: 
http://www.mathlynx.com/online/pt_calc1var_limits_at_infinity 
 
Avaliação 
a a+ a- 
L 
f(a-) 
f(a+) 
L+ 
L- 
x 
y 
f 
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1. Determine 
x
xsen
x cos1
lim
2
0 
 
(a) 2 
(b) 1 
(c)0 
(d) ½ 
 
Resp: (a)2 
 
2. Determine x
x x
5
1
1lim 







 
(a) e1/5 
(b) e5 
(c) 0 
(d)1 
Resp: (b) e5 
 
3. Determine 
253
14
lim
2 

 xx
x
x
 
 
(a) 3/4 
(b) 0 
(c) 1 
(d) 4 
Resp: (b) 0 
 
 
4. Para cada uma das funções definidas abaixo 
, calcule o limite da função quando x e quando x . 
 
Resp: ½ 
 
 
 
Resp: 0