Aula 06 Funções

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Aula 06
Matemática p/ Polícia Militar-PE (Com videoaulas)
Professores: Arthur Lima, Luiz Gonçalves
MATEMÁTICA P/ POLÍCIA MILITAR-PE 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 06: FUNÇÕES 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 39 
3. Questões apresentadas na aula 99 
4. Gabarito 121 
 
Caro aluno, 
 
 Nesta aula trataremos dos seguintes tópicos do seu edital: 
 
Conceito de função; 2- Domínio, Contra domínio, Imagem de uma função; 3- Análise 
gráfica de uma função; 4- Função injetora, sobrejetora e bijetora; 5- Função 
composta e inversa; 6- Estudo completo da função afim; 7 - Estudo completo da 
função quadrática; 8- Estudo completo da função modular 
 
 Veja TXH�QR�HGLWDO�RULJLQDO�FRQVWDYD�DSHQDV�R� WHUPR� ³)XQo}HV´��PDV�HOH� IRL�
retificado para especificar melhor este tema ± que é bastante amplo. Bons estudos! 
 Precisaremos começar estudando as Equações, ok? Elas são importantes 
para trabalhar as Funções... 
 
1. TEORIA 
1.1 EQUAÇÕES DE 1º GRAU 
 Para começar o estudo deste tópico, vamos trabalhar o seguinte exemplo: 
³-RmR�WLQKD�XPD�TXDQWLGDGH�GH�ERODV�FKHLDV��SRUpP���PXUFKDUDP��UHVWDQGR�DSHQDV�
�� FKHLDV�� 4XDQWDV� ERODV� WLQKD� -RmR"´�� 1HVWH� FDVR�� D� YDULiYHO� TXH� SUHWHQGHmos 
descobrir é o número de bolas. Chamando essa variável de x, sabemos que x 
menos 5 bolas que murcharam resulta em apenas 3 bolas cheias. 
Matematicamente, temos: 
x ± 5 = 3 
portanto, 
x = 8 bolas 
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 Este é um exemplo bem simples. Note que a variável x está elevada ao 
expoente 1 (lembra-se que 1x x ?) . Quando isso acontece, estamos diante de 
uma equação de 1º grau. Estas equações são bem simples de se resolver: basta 
isolar a variável x em um lado da igualdade, passando todos os demais membros 
para o outro lado, e assim obtemos o valor de x. 
 Antes de prosseguirmos, uma observação: você notará que eu não gosto de 
XVDU� D� OHWUD� [�� PDV� VLP� XPD� OHWUD� TXH� ³OHPEUH´� R� TXH� HVWDPRV� EXVFDQGR�� 1R�
exemplo acima, eu teria usado B (de bolas), pois acho que isso evita esquecermos 
o que representa aquela variável ± principalmente quando estivermos trabalhando 
com várias delas ao mesmo tempo. 
2�YDORU�GH�[�TXH�WRUQD�D�LJXDOGDGH�FRUUHWD�p�FKDPDGR�GH�³UDL]�GD�HTXDomR´��
Uma equação de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz. Vejamos outro exemplo: 
3x - 15 = 0 
3x = 15 
x = 5 
 Note que as equações abaixo NÃO são de primeiro grau: 
a) 2 16 0x � 
b) 30 0x x� � 
c) 1 5 0x
x
� � 
 
Uma equação do primeiro grau pode sempre ser escrita na forma 0ax b� , 
onde a e b são números que chamaremos de coeficientes, sendo que, 
necessariamente, 0a z (a deve ser diferente de zero, caso contrário 0.x = 0, e não 
estaríamos diante de uma equação de primeiro grau). Veja que, isolando x em 
0ax b� , temos: 
b
x
a
� 
 
 Portanto, a raíz da equação é sempre dada por b
a
�
. Na equação de primeiro 
grau 2 13 0x � , a = 2 e b = -13. Portanto, a raiz será x = ( 13) 13
2 2
b
a
� � � . 
 $JRUD� LPDJLQH� R� VHJXLQWH� SUREOHPD�� ³2� Q~PHUR� GH� ERODV� TXH� -RmR� WHP��
acrescido em 5, é igual ao dobro do número de bolas que ele tem, menos 2. 
4XDQWDV�ERODV�-RmR�WHP"´ 
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 Ora, sendo B o número de bolas, podemos dizer que B + 5 (o número de 
bolas acrescido em 5) é igual a 2B ± 2 (o dobro do número de bolas, menos 2). Isto 
é: 
B + 5 = 2B ± 2 
 
 Para resolver este problema, basta passar todos os termos que contém a 
incógnita B para um lado da igualdade, e todos os termos que não contém para o 
outro lado. Veja: 
-(-2) + 5 = 2B ± B 
2 + 5 = B 
7 = B 
 Sobre este tema, resolva a questão a seguir: 
 
1. CEPERJ ± PREF. SÃO GONÇALO ± 2011) Antônio recebeu seu salário. As 
contas pagas consumiram a terça parte do que recebeu, e a quinta parte do restante 
foi gasta no supermercado. Se a quantia que sobrou foi de R$440,00, o valor 
recebido por Antonio foi de: 
a) R$780,00 
b) R$795,00 
c) R$810,00 
d) R$825,00 
e) R$840,00 
RESOLUÇÃO: 
 Seja S o salário recebido por Antonio. Se ele gastou a terça parte (isto é, 
3
S ) 
com as contas, sobraram 2
3 3
SS S� . Desse valor restante, a quinta parte (ou seja, 
1 2
5 3
Su ), foi gasta no supermercado. Como sobraram 440 reais, podemos dizer que: 
2 1 2 440
3 5 3
S S� u 
 
 Vamos resolver a equação de primeiro grau acima, com a variável S: 
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2 1 2 440
3 5 3
10 2 440
15 15
8 440
15
15440
8
825
S S
S S
S
S
S
� u 
� 
 
 u
 
 
Resposta: D 
 
1.1.1 SISTEMAS LINEARES 
 Em alguns casos, pode ser que tenhamos mais de uma incógnita. Imagine 
que um exercício diga que: 
x + y = 10 
Veja que existem infinitas possibilidades de x e y que tornam essa igualdade 
verdadeira: 2 e 8, -2 e 12 etc. Por isso, faz-se necessário obter mais uma equação 
envolvendo as duas incógnitas para poder chegar nos seus valores exatos. 
Portanto, imagine que o mesmo exercício diga que: 
x ± 2y = 4 
 Portanto, temos o seguinte sistema, formado por 2 equações e 2 variáveis: 
10
2 4
x y
x y
� ­® � ¯
 
 A principal forma de resolver esse sistema é usando o método da 
substituição. Este método é muito simples, e consiste basicamente em duas etapas: 
1. Isolar uma das variáveis em uma das equações 
2. Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item 
anterior. 
 
A título de exemplo, vamos isolar a variável x na primeira equação acima. 
Teremos, portanto: 
10x y �
 
 
 Agora podemos substituir x por 10 ± y na segunda equação. Assim: 
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2 4
(10 ) 2 4
10 3 4
10 4 3
6 3
2
x y
y y
y
y
y
y
� 
� � 
� 
� 
 
 
 
 Uma vez encontrado o valor de y, basta voltar na equação x = 10 ± y e obter 
o valor de x: 
10
10 2
8
x y
x
x
 �
 �
 
 
 
Treine este método com a questão abaixo: 
 
2. CEPERJ ± SEFAZ/RJ ± 2011) Os professores de uma escola combinaram 
almoçar juntos após a reunião geral do sábado seguinte pela manhã, e o transporte 
até o restaurante seria feito pelos automóveis de alguns professores que estavam 
no estacionamento da escola. Terminada a reunião, constatou-se que: 
‡�&RP���SHVVRDV�HP�FDGD�FDUUR��WRGRV�RV�SURIHVVRUHV�SRGHP�VHU�WUDQVSRUWDGRV�H���
carros podem permanecer no estacionamento. 
‡� 6H� �� SURIHVVRUHV� TXH� QmR� SRVVXHP� FDUUR� GHVLVWLUHP�� WRdos os carros podem 
transportar os professores restantes, com 4 pessoas em cada carro. 
O número total de professores na reunião era: 
A) 40 
B) 45 
C) 50 
D) 55 
E) 60 
RESOLUÇÃO: 
 Chamemos de C o número de carros disponíveis. Com 5 pessoas em cada 
carro, seria possível deixar 2 carros no estacionamento, isto é, usar apenas C ± 2 
carros. Sendo P o número de professores, podemos dizer que P é igual ao número 
de carros que foram usados (C ± 2) multiplicadopor 5, que é a quantidade de 
professores em cada carro: 
( 2) 5P C � u
 
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 Se 2 professores desistirem, isto é, sobrarem P ± 2 professores, estes podem 
ser transportados nos C carros, ficando 4 pessoas em cada carro. Portanto, o 
número de professores transportados neste caso (P ± 2) é igual à multiplicação do 
número de carros (C) por 4, que é a quantidade de professores em cada carro: 
2 4P C� u 
 
 Temos assim um sistema linear com 2 equações e 2 variáveis: 
( 2) 5
2 4
P C
P C
 � u
� u 
 
 Vamos isolar a variável P na segunda equação: 
4 2P C u � 
 
 A seguir, podemos substituir essa expressão na primeira equação: 
( 2) 5
4 2 ( 2) 5
4 2 5 10
2 10 5 4
12
P C
C C
C C
C C
C
 � u
u � � u
� �
� �
 
 
 
 Descobrimos, portanto, que o total de carros é C = 12. O total de professores 
é dado por: 
4 2
12 4 2
50
P C
P
P
 u �
 u �
 
 
Resposta: C 
 
1.2 EQUAÇÕES DE 2º GRAU 
 Assim como as equações de primeiro grau se caracterizam por possuírem a 
variável elevada à primeira potência (isto é, 1x ), as equações de segundo grau 
possuem a variável elevada ao quadrado ( 2x ), sendo escritas na forma 
2 0ax bx c� � , onde a, b e c são os coeficientes da equação. Veja um exemplo: 
2 3 2 0x x� � 
 
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 Nesta equação, a = 1 (pois 2x está sendo multiplicado por 1), b = -3 e c = 2. 
As equações de segundo grau tem 2 raízes, isto é, existem 2 valores de x que 
tornam a igualdade verdadeira. No caso da equação acima, veja que x = 1 e x = 2 
são raízes, pois: 
21 3 1 2 0� u � 
 
e 
22 3 2 2 0� u � 
 
 
 Toda equação de segundo grau pode ser escrita também da seguinte forma: 
1 2( ) ( ) 0a x r x ru � u � 
 
 Nesta forma de escrever, 1r e 2r são as raízes da equação. Tratando do 
exemplo acima, como as raízes são 1 e 2, podemos escrever: 
1 ( 1) ( 2) 0x xu � u � 
 
 
 Desenvolvendo a equação acima, podemos chegar de volta à equação inicial: 
2
2
1 ( 1) ( 2) 0
2 1 ( 1) ( 2) 0
3 2 0
x x
x x x
x x
u � u � 
� � � � u � 
� � 
 
 
 A fórmula de Báskara nos dá as raízes para uma equação de segundo grau. 
Basta identificar os coeficientes a, b e c e colocá-los nas seguintes fórmulas: 
2 4
2
b b ac
x
a
� � � 
e 
2 4
2
b b ac
x
a
� � � 
 
 
 Como a única diferença entre as duas fórmulas é um sinal, podemos 
escrever simplesmente: 
2 4
2
b b ac
x
a
� r � 
 
 
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 Para exemplificar, vamos calcular as raízes da equação 2 3 2 0x x� � 
utilizando a fórmula de Báskara. Recordando que a = 1, b = -3 e c = 2, basta 
substituir estes valores na fórmula: 
2
2
4
2
( 3) ( 3) 4 1 2
2 1
3 9 8
2
3 1
2
b b ac
x
a
x
x
x
� r � 
� � r � � u u u
r � 
r 
 
 
 Observe esta última expressão. Dela podemos obter as 2 raízes, usando 
primeiro o sinal de adição (+) e depois o de subtração (-). Veja: 
1
3 1 4 2
2 2
x
� 
 
e 
2
3 1 2 1
2 2
x
� 
 
 
 1D�IyUPXOD�GH�%iVNDUD��FKDPDPRV�GH�³GHOWD´��' ) a expressão 2 4b ac� , que 
vai dentro da raiz quadrada. Na resolução acima, 2 4 1b ac� ��RX�VHMD��R�³GHOWD´�HUD�
um valor positivo ( 0' ! ). Quando 0' ! , teremos sempre duas raízes reais para a 
equação, como foi o caso. 
Veja que, se ' for negativo, não é possível obter a raiz quadrada. Portanto, 
se 0' � , dizemos que não existem raízes reais para a equação de segundo grau. 
 Já se 0' , a fórmula de Báskara fica 0
2 2
b b
x
a a
� r � . Isto significa que 
teremos apenas 1 raiz para a equação, ou melhor duas raízes idênticas. Por 
exemplo, vamos calcular as raízes de 2 2 1 0x x� � . Veja que a = 1, b = -2 e c = 1. 
&DOFXODQGR�R�YDORU�GH�³GHOWD´��WHPRV� 
2
2
4
( 2) 4 1 1
4 4 0
b ac' �
' � � u u
' � 
 
 
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 Na fórmula de Báskara, temos: 
2 4
2
2
( 2) 0
2 1
2 1
2
b b ac
x
a
b
x
a
x
x
� r � 
� r ' 
� � r u
 
 
 
 Portanto, chegamos apenas ao valor x = 1. Essa equação de segundo grau 
tem 0' , o que leva a apenas 1 raíz, isto é, a 2 raízes de mesmo valor (x = 1). 
Esta equação poderia ter sido escrita assim: 
1 x (x ± 1) x (x ± 1) = 0 
ou simplesmente 
(x ± 1)2 = 0 
 
 Tente resolver a questão abaixo: 
 
3. VUNESP ± ISS/SJC ± 2012) Em uma sala, o número de meninos excede o 
número de meninas em três. O produto do número de meninos pelo número de 
meninas é um número que excede o número total de alunos em 129. O total de 
alunos nessa sala é 
(A) 25. 
(B) 27. 
(C) 30. 
(D) 32. 
(E) 36. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja A o número de meninas e B o número de meninos. O enunciado diz que 
B excede A em 3, ou seja, 
B = A + 3 
 
 Além disso, é dito que o produto entre A e B (isto é, A x B) excede o número 
total de alunos em 129. Como o total de alunos é dado pela soma A + B, temos: 
A x B = A + B + 129 
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 Temos um sistema com duas equações e duas variáveis: 
B = A + 3 
A x B = A + B + 129 
 
 Substituindo B por A + 3 na última equação, temos: 
A x (A + 3) = A + (A + 3) + 129 
A2 + 3A = 2A + 132 
A2 + A ± 132 = 0 
 
 Podemos resolver essa equação do 2º grau com a fórmula de Báskara, onde 
os coeficientes são a = 1, b = 1 e c = -132: 
2(1) 1 4 1 ( 132)
2 1
1 529
2
1 23
2
A
A
A
� r � u u � u
� r 
� r 
 
A = -12 ou A = 11 
 
 Como A é o número de meninas, ele deve necessariamente ser um número 
positivo. Assim, podemos descartar -12 e afirmar que A = 11 meninas. Portanto, o 
número de meninos é: 
B = A + 3 = 11 + 3 = 14 
 
 O total de alunos é: 
A + B = 11 + 14 = 25 
Resposta: A 
 
 Resolva ainda essa questão: 
 
4. COPS/UEL ± CELEPAR ± 2010) Entre os números x e y existe a seguinte 
relação: x3 + 3xy + xy2 = 27. Nessas condições: 
a) Se x = 3 e y é negativo, então y = -3. 
b) Se x = 3 e y é positivo, então y = 3. 
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c) Se x = 4 então y = 8. 
d) Se x = 8 então y = 4. 
e) Se x = -1 então y = -2. 
RESOLUÇÃO: 
 As alternativas a) e b) dessa questão tratam do caso onde x = 3. Se isto 
ocorrer, a expressão do enunciado se transforma em: 
33 + 3.3.y + 3y2 = 27 
27 + 9y + 3y2 = 27 
9y + 3y2 = 0 
 
 Para resolver esta equação do segundo grau, você pode utilizar a fórmula de 
Báskara que estudamos. Entretanto, veja a seguir uma forma diferente de resolver 
(esta forma é válida apenas quando não temos o termo independente, isto é, 
quando c = 0 em ay2 + by + c = 0). Basta colocar a variável em evidência:y . (9 + 3y) = 0 
 
 Só existem duas formas do produto acima ser zero. Ou y = 0, ou 9 + 3y = 0, o 
que implicaria em y = -3. Estas são as duas raízes. 
 
 Assim, veja que se x = 3 e y é negativo, então y = -3. Chegamos ao resultado 
da alternativa A. 
Resposta: A 
 
1.2.1 EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
 Observe a equação abaixo: 
x4 ± 2x2 ± 3 = 0 
 Aqui temos uma equação de quarto grau, pois temos a variável x elevada à 
quarta potência. Repare ainda que não temos o termo x3 e nem o termo x1 (ou 
simplesmente x). Isto é, estes dois termos possuem coeficiente igual a zero. 
 Essas equações, onde temos x4 e não temos nem x3 nem x, são chamadas 
de biquadradas. Elas são importantes porque podemos resolvê-las utilizando o 
mesmo método que vimos para as equações de segundo grau, com algumas 
adaptações. 
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 2�SULPHLUR�SDVVR�p�³FULDU´�D�YDULiYHO�\��GHILQLQGR�TXH�\� �[2. Assim, podemos 
reescrever a equação inicial, agora em função de y. Basta lembrar que x4 = (x2)2: 
x4 ± 2x2 ± 3 = 0 
(x2)2 ± 2x2 ± 3 = 0 
y2 ± 2y ± 3 = 0 
 
 Veja que nesta última linha temos uma equação de segundo grau com a 
variável y. Sabemos resolvê-la, utilizando a fórmula de Báskara: 
2 4
2
2 4 12
2
2 4
2
b b acy
a
y
y
� r � 
r � 
r 
 
 
 Portanto, temos 2 valores para y: 
y1 = 3 e y2 = -1 
 
 Atenção: até aqui obtemos o valor de y apenas. Mas a equação original tinha 
a variável x, motivo pelo qual devemos buscar os valores de x. Para isto, basta 
lembrar que y = x2. Considerando y1 = 3, temos: 
y = x2 
3 = x2 
3x r
 
 Veja que, a partir de y1, obtivemos 2 valores para x: 1 3x e 2 3x � . A 
partir de y2 devemos obter outros 2 valores de x, totalizando 4 valores de x (o que 
era previsível, afinal temos uma equação de 4º grau): 
y = x2 
-1 = x2 
1x r � 
 
 
 
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 Se estivéssemos trabalhando no conjunto dos números complexos (onde 
existe raiz quadrada de números negativos), estas seriam as outras duas raízes da 
equação original: 3 1x � e 4 1x � � . Entretanto, em regra devemos considerar 
que estamos no conjunto dos números reais, onde não existe raiz quadrada de 
número negativo. Portanto, diante de 1x r � , devemos dizer simplesmente que a 
equação biquadrada x4 ± 2x2 ± 3 = 0 só tem 2 raízes reais, e não 4. 
 Pratique a resolução de equações biquadradas utilizando a equação abaixo: 
x4 ± 13x2 + 36 
 
 Você deverá encontrar y1 = 4 e y2 = 9, e a seguir encontrar x1 = 2, x2 = -2, x3 
= 3 e x4 = -3. 
 
1.2.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 2º GRAU 
 Já aprendemos a resolver sistemas formados por duas ou mais equações de 
primeiro grau, contendo duas ou mais variáveis. Utilizamos para isso o método da 
substituição. Podemos ter sistemas contendo também equações de segundo grau, 
onde aplicaremos o mesmo método para resolver. Veja um exemplo a seguir: 
2 2
3
3
x y
x y
� ­® � �¯
 
 Isolando x na primeira equação, temos que x = 3 ± y. Efetuando a 
substituição na segunda equação, temos que: 
(3 ± y)2 ± y2 = -3 
9 ± 6y + y2 ± y2 = -3 
y = 2 
Logo, x = 3 ± y = 3 ± 2 = 1 
 
 Veja que neste caso a solução foi bem simples, pois a variável y2 foi 
cancelada por ±y2. Entretanto, ainda que isso não ocorra é possível resolver o 
sistema, utilizando os conhecimentos de equações de 2º grau. Veja este outro 
exemplo: 
2 3
1
x y
x y
­ � ® � �¯
 
 
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 Isolando x na segunda equação, temos x = y ± 1. Substituindo na primeira 
equação, temos: 
(y ± 1)2 + y = 3 
y2 ± 2y + 1 + y = 3 
y2 ± y ± 2 = 0 
 
 Com o auxílio da fórmula de Báskara podemos resolver esta equação de 
segundo grau na variável y: 
2( 1) ( 1) 4 1 ( 2)
2 1
y
� � r � � u u � u 
1 3
2
y r 
 
y = 2 ou y = -1 
 
 Para y = 2 temos que x = y ± 1 = 2 ± 1 = 1. Da mesma forma, para y = -1 
você pode ver que x = -2. Assim, este sistema possui duas soluções: 
x = 1 e y = 2 
ou 
x = -2 e y = -1 
 
1.3 FUNÇÕES 
1.3.1 CONCEITO DE FUNÇÃO. DOMÍNIO, CONTRA DOMÍNIO, IMAGEM DE UMA 
FUNÇÃO. FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA. 
 Observe os dois conjuntos abaixo: 
 
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 Veja que as setas servem para associar um elemento do conjunto A a um 
elemento do conjunto B. Vendo todas as setas, temos uma relação entre os 
conjuntos A e B. Observe que podemos ter inúmeras relações entre esses dois 
conjuntos. Observe também que: existem elementos de A que estão ligados a mais 
de um elemento de B; existem elementos de A que não estão ligados a nenhum 
elemento de B; existem dois elementos de A ligados ao mesmo elemento de B. 
Existe uma relação em especial envolvendo esses dois conjuntos, onde cada 
elemento de A está ligado a um único elemento de B. Veja um exemplo abaixo: 
 
 É isso que chamamos de função. Ou seja, uma função é uma relação entre 
elementos de dois conjuntos, que liga cada elemento de um conjunto a um único 
elemento do outro conjunto. Note que o fato dos elementos 2 e 3 do conjunto A 
estarem ligados ao mesmo elemento de B (5) não faz com que a relação deixe de 
ser considerada uma função. O que importa é que cada elemento de A está ligado a 
apenas 1 elemento de B. 
Já o primeiro exemplo que vimos não era uma função por dois motivos: 
- haviam elementos de A que não estavam ligados a nenhum elemento de B (4 e 6); 
- havia um elemento de A ligado a mais de um elemento de B (5). 
 Voltando a falar do exemplo de função apresentado no desenho acima, você 
precisa saber identificar os seguintes conjuntos: 
- Domínio da função (D): é o conjunto onde a função é definida, ou seja, contém 
todos os elementos que serão ligados a elementos de outros conjuntos. Trata-se, 
neste exemplo, do conjunto A, afinal todos seus elementos são ligados a elementos 
do conjunto B; 
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- Contradomínio da função (CD): é o conjunto onde se encontram todos os 
elementos que poderão ser ligados aos elementos do Domínio. Neste caso, trata-se 
do conjunto B; 
- Imagem da função (I): é formado apenas pelos valores do Contradomínio 
efetivamente ligados a algum elemento do Domínio. Veja, por exemplo, que os 
elementos 4 e 6 do conjunto B não estão ligados a nenhum termo do conjunto A. 
Portanto, eles fazem parte do Contradomínio, porém não fazem parte do conjunto 
Imagem. 
 Vamos olhar agora para o conjunto Imagem, isto é, os termos do conjunto B 
TXH� HVWmR� VHQGR� ³XVDGRV´� SHOD� IXQomR�� ,VVR� QRV� SHUPLWLUi� FRQKHFHU� DV�
classificações das funções: 
a) Função Injetora: se cada elemento do conjunto Imagem estiver ligado a um 
único elemento do Domínio, a função é chamada injetora. Ex.: 
 
 Neste exemplo, o conjunto imagem é I = {1, 2, 3, 4, 5, 7}. Veja que o 6 não 
faz parte da Imagem, apesar de ser parte do Contradomínio (B). E cada elemento 
da Imagem está ligadoa apenas um elemento do Domínio, que é o conjunto A. Por 
isso, a função é Injetora. 
 
b) Função Sobrejetora: se não sobrarem elementos do Contradomínio que não 
fazem parte do conjunto Imagem, temos uma função sobrejetora. Em outras 
palavras, trata-se dos casos onde Contradomínio = Imagem. Ex.: 
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 Percebeu que todos os elementos do conjunto B (Contradomínio) estão 
sendo utilizados pela função (ou seja, este é o próprio conjunto Imagem)? Logo, a 
função é Sobrejetora. 
 
c) Função Bijetora: se as duas coisas acima acontecerem ao mesmo tempo, 
isto é, a função for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, a função é dita 
bijetora. Ex.: 
 
 Notou que cada elemento da Imagem está ligado a um único elemento do 
Domínio (conj. A)? E que a Imagem é igual ao próprio Contradomínio (conj. B)? 
Portanto, essa função é Bijetora. 
Qual a importância dessa classificação? Ela nos permite saber se é possível 
³LQYHUWHU� R� VHQWLGR´� GD� IXQomR�� As funções bijetoras são as únicas que sempre 
SHUPLWHP�LQYHUWHU��RX�VHMD��Vy�HODV�WHP�XPD�³IXQomR�LQYHUVD´� A função inversa pode 
ser visualizada simplesmente trocando o sentido das setas, isto é, ligando cada 
elemento do conjunto B a um único elemento de A. 
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Agora que já vimos os conceitos básicos, vamos introduzir as notações 
matemáticas. Para cada elemento x do Domínio, a função f levará a um elemento do 
FRQWUDGRPtQLR��TXH�GHQRWDUHPRV�SRU�I�[���OHLD�³I�GH�[´��RX�³IXQomR�GH�[´����$R�GHILQLU�
uma função, geralmente definimos quem é o domínio (D) e quem é o contradomínio 
(CD) através da notação f:DÆCD. Na função que vimos acima, tínhamos uma 
f:AÆB, ou seja, uma função com Domínio no conjunto A e Contradomínio no 
conjunto B. Na maioria dos exercícios de concurso você terá o:f N N (domínio e 
contradomínio iguais ao conjunto dos números naturais), o:f Z Z (inteiros) ou 
o:f R R (domínio e contradomínio iguais ao conjunto dos números reais). 
Ao representar uma função graficamente, colocamos no eixo horizontal os 
valores que o Domínio pode assumir, isto é, os valores de x; e no eixo vertical os 
valores que a Imagem pode assumir, ou seja, os valores de f(x), que também 
podemos chamar simplesmente de y: 
 
Exemplificando, vamos representar a função o:f R Ronde f(x) = 2x. R , no 
caso, é o conjunto dos números reais. Portanto, a função f(x) tem como Domínio 
todos os números reais, e também os tem como Contradomínio. Se x for igual a 3, 
por exemplo, f(x) será f(3) = 2x3 = 6. Portanto, teremos o ponto P (3, 6), que 
podemos localizar no gráfico. Antes, porém, vamos calcular a função para outros 
valores de x. Veja a tabela abaixo: 
 
 
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Valor de x Valor de f(x) = 2x Ponto (x, f(x)) 
0 0 (0, 0) 
1 2 (1, 2) 
-1 -2 (-1, -2) 
-2 -4 (-2, -4) 
 
Vamos representar os pontos acima no gráfico. Veja: 
 
Observe que os pontos marcados formam uma reta. Para cada número real 
x, teremos um número real dado por f(x) de forma que o ponto (x, f(x)) pertencerá à 
reta desenhada acima. 
Antes de avançarmos para as funções mais cobradas (linear e quadrática), 
veja o exercício abaixo: 
 
5. CEPERJ ± SEEDUC ± 2009) Considere a função :f N No tal que f(0)=0, e 
( 1) ( ) 1f n f n n� � �
 para todo n N . O valor de f(4) é: 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 13 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos começar substituindo n por 0 na expressão ( 1) ( ) 1f n f n n� � � . 
Veja: 
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(0 1) (0) 0 1
(1) (0) 0 1
f f
f f
� � �
 � � 
 Como f(0) = 0, então podemos fazer essa substituição na equação acima e 
obter o valor de f(1): 
(1) 0 0 1
(1) 1
f
f
 � �
 
 Podemos agora substituir n por 1. Veja o que acontece: 
( 1) ( ) 1
(1 1) (1) 1 1
(2) 1 1 1
(2) 3
f n f n n
f f
f
f
� � �
� � �
 � �
 
 
 Substituindo n por 2, teremos: 
( 1) ( ) 1
(2 1) (2) 2 1
(3) 3 2 1
(3) 6
f n f n n
f f
f
f
� � �
� � �
 � �
 
 
 Finalmente, substituindo n por 3, obtemos o valor de f(4): 
(3 1) (3) 3 1
(4) 6 3 1
(4) 10
f f
f
f
� � �
 � �
 
 
Resposta: D. 
 
1.3.2 FUNÇÃO INVERSA 
 Vamos trabalhar com a função que vimos acima, isto é, f(x) = 2x. Veja que 
essa função leva um valor x ao valor f(x), que no caso é igual a 2x. Veja isso no 
diagrama abaixo: 
 
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 A função inversa fará o caminho contrário, isto é, levará os elementos do 
conjunto da direita de volta aos elementos do conjunto da esquerda. O caso acima é 
bem intuitivo: uma vez que f(x)=2x, isto é, os elementos da direita são o dobro 
daqueles da esquerda, a função inversa será aquela que divide os elementos do 
conjunto da direita por 2. Simbolizando a função inversa por 1( )f x� , fica claro que 
neste caso 1( )
2
xf x� . Note, por exemplo, que 1 11(11) 5,5
2
f � . 
 Se você tiver a função f(x) qualquer, e quiser obter a função inversa, basta: 
1. Substituir f(x) por x 
2. Substituir x por 1( )f x� 
3. Rearranjar os termos, isolando 1( )f x� . 
Para exemplificar, imagine ( ) 5
3
xf x � . Executando os dois primeiros passos 
acima, temos: 
1
( ) 5
3
( ) 5
3
xf x
f x
x
�
 �
 �
 
 
 Agora vamos executar o último passo, isolando 1( )f x� : 
1
1
1
1
( ) 5
3
( )5
3
3( 5) ( )
( ) 3( 5)
f x
x
f x
x
x f x
f x x
�
�
�
�
 �
� 
� 
 �
 
 
 Portanto, a função inversa de ( ) 5
3
xf x �
 é 1( ) 3( 5)f x x� � . Para ficar mais 
claro, observe que f(6) = 7, e que 1(7) 6f � . 
 Note que: 
- o conjunto imagem da função f(x) será o domínio da função inversa; 
- o domínio da função f(x) será a imagem da função inversa; 
 Para finalizar, lembre-se: apenas as funções bijetoras admitem uma função 
inversa. 
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1.3.3 FUNÇÃO COMPOSTA 
Veja as duas funções abaixo: 
( ) 5f x x �
 
e 
( ) 1
2
xg x �
 
 Você já sabe calcular, por exemplo, f(4) e g(4). Neste caso, f(4) =9 e g(4)=1. 
O que seria, então, f(g(4))? Para responder, primeiramente precisamos calcular o 
que está dentro dos parênteses, isto é, g(4), obtendo o resultado 1. Este resultado é 
que será substituído na expressão da função f. Assim, f(g(4)) = f(1) = 1 + 5 = 6. 
A função f(g(x)) é uma função composta. Trata-se de uma função formada 
por outras duas. Assim, dado um valor de x, é preciso primeiro calcular o valor de 
g(x) para, a seguir, substituir esse valor na função f, obtendo o resultado final. Ao 
invés de sempre efetuar esses dois passos, é possível descobrir uma expressão 
que já dê direto o valor de f(g(x)). Veja que basta substituir x por g(x)na expressão 
da função f: 
( ) 5
( ( )) ( ) 5
f x x
f g x g x
 �
 � 
 
 Como ( ) 1
2
xg x � , podemos substituir o g(x) que se encontra no lado direito 
da expressão acima. Veja o que obtemos: 
( ( )) ( ) 5
( ( )) 1 5
2
( ( )) 4
2
f g x g x
xf g x
xf g x
 �
§ · � �¨ ¸© ¹
 �
 
 
 Portanto, a expressão acima já dá o resultado da aplicação da função g, 
seguida da aplicação da função f. Veja que 4( (4)) 4 6
2
f g � , como calculamos 
acima. 
 
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Outra forma de simbolizar f(g(x)) é ( )f g x . Vamos aproveitar as funções f(x) 
e g(x) acima para calcular g(f(x)): 
( ) 1
2
( )( ( )) 1
2
( 5)( ( )) 1
2
3( ( ))
2
xg x
f xg f x
xg f x
xg f x
 �
 �
� �
� 
 
 
 Observe que as expressões de f(g(x)) e g(f(x)) são bem diferentes. Muito 
cuidado com isso! Aqui, a ordem importa! 
 É possível ainda calcular a função composta ( )f f x , ou f(f(x)). Basta 
substituir o x, na expressão da função f, por f(x). Veja abaixo: 
( ) 5
( ) ( ) 5
( ) ( 5) 5
( ) 10
f x x
f f x f x
f f x x
f f x x
 �
 �
 � �
 �
 
 
 Vamos finalizar calculando g(g(x)), isto é, ( )g g x : 
( ) 1
2
( )( ) 1
2
1
2( ) 1
2
3( )
4 2
xg x
g xg g x
x
g g x
xg g x
 �
 �
§ ·�¨ ¸© ¹ �
 �
 
 
6. CEPERJ ± SEE/RJ ± 2011) Se 2( )
1
f x
x
 � , a raiz da equação ( ) 10f f x é: 
a) 1/3 
b) 4/3 
c) 5/3 
d) 7/3 
e) 8/3 
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RESOLUÇÃO: 
 Aqui trabalhamos com as funções compostas. Se 2( )
1
f x
x
 � , então a função 
composta ( )f f x , ou simplesmente f(f(x)) é obtida substituindo o valor de x na 
função pela expressão de f(x). Veja: 
2( )
1
f x
x
 � 
2( ) ( ( ))
2 1
1
f f x f f x
x
 § · �¨ ¸�© ¹
 
 Veja que nós simplesmente substituímos o x pela expressão de f(x), isto é, 
por 2
1x � . Vamos rearranjar os termos dessa última equação: 
2( )
2 1
1
f f x
x
 § · �¨ ¸�© ¹
 
2 2 2( ) 2 1 32 1
1 11 1
f f x
x xx
x xx x
 � � ��§ · § ·�¨ ¸ ¨ ¸ � �� �© ¹ © ¹
 
2 1 2 2( ) 23 3 3
1
x xf f x
x x x
x
� � u � � �
�
 
 Portanto, 
2 2( )
3
xf f x
x
� � 
 Portanto, para ( ) 10f f x , basta igualar a expressão acima à 10 e obter o 
valor de x: 
2 2 10
3
2 2 10 (3 )
2 2 30 10
12 32
32 8
12 3
x
x
x x
x x
x
x
� �
� u �
� �
 
 
 
Resposta: E. 
 
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1.3.4 FUNÇÃO AFIM (LINEARES OU DE 1º GRAU) 
 Veja novamente o gráfico que desenhamos para a função f(x) = 2x: 
 
Calculamos diversos pontos para só então traçar o gráfico e perceber que se 
tratava de uma reta. Entretanto, sem desenhar os pontos, você já deveria saber que 
esta função teria, como gráfico, uma reta. Isto porque a função f(x) = 2x é uma 
função do tipo f(x) = ax + b, que chamaremos de função de primeiro grau, onde a = 
2 e b = 0. 
Grave isso: as funções de primeiro grau tem como gráfico uma reta. Nestas 
IXQo}HV��R�FRHILFLHQWH�³D´�p�FKDPDGR�GH�coeficiente angular, pois ele dá a inclinação 
da reta. Se a > 0, a reta será crescente (como a que vimos acima), e se a < 0 a reta 
VHUi�GHFUHVFHQWH��-i�R�FRHILFLHQWH�³E´�p�FKDPado coeficiente linear, e ele indica em 
que ponto a reta cruza o eixo das ordenadas (eixo y, ou eixo f(x)). Veja que na 
função f(x) = 2x, o termo b é igual a zero. Portanto, a função cruza o eixo Y na 
posição y = 0. 
Para fixar o conhecimento: a função f(x) = -3x + 5 é uma função de primeiro 
grau (pois o maior expoente de x é 1), onde o coeficiente angular é a = -3 e o 
coeficiente linear é b = 5. Portanto, seu gráfico é uma reta decrescente (a < 0), que 
cruza o eixo y na posição y = 5 (pois este é o valor de b). 
Muitas vezes o exercício pode solicitar o ponto onde a função cruza o eixo 
horizontal. Veja este ponto, em destaque no gráfico abaixo: 
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 Observe que, neste ponto, f(x) = 0. Portanto, para encontrar o valor de x, 
basta igualar a função a 0: 
ax + b = 0 
 Veja que temos uma equação de primeiro grau. Já sabemos que a raiz será 
b
x
a
� . Ou seja, a função f(x) cruza o eixo x no ponto P ( b
a
�
, 0). 
 
 Para começar a exercitar, resolva o exercício abaixo: 
 
7. COPS/UEL ± Polícia Militar/PR ± 2010) Considere uma colisão de dois veículos. 
Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a 
colisão são dadas nos pontos A = (2, 2) e B = (4, 1). Para compreender como 
ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos 
pontos A e B. Essa trajetória é dada pela equação: 
a) x ± y = 0 
b) x + y ± 5 = 0 
c) x ± 2y + 2 = 0 
d) 2x + 2y ± 8 = 0 
e) x + 2y ± 6 = 0 
 
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RESOLUÇÃO: 
 A equação de uma função linear (cujo gráfico é uma reta) é do tipo: 
f(x) = ax + b 
 
 No ponto A temos x = 2 e y = f(2) = 2. Assim, 
f(2) = a.2 + b 
2 = 2a + b 
b = 2 ± 2a 
 
 No ponto B temos x = 4 e y = f(4) = 1. Logo, 
f(4) = a.4 + b 
1 = 4a + b 
 
 Como já vimos que b é igual a 2 ± 2a, podemos efetuar a substituição nesta 
última equação: 
1 = 4a + (2 ± 2a) 
a = -1/2 
 
 Portanto, b = 2 ± 2 x (-1/2) = 3. Assim, a reta é dada pela função: 
1( ) 3
2
f x x � �
 
 
 Podemos chamar f(x) de y, afinal este é o valor que vai no eixo vertical do 
gráfico. Assim, 
1 3
2
y x � �
 
2 6y x � �
 
2 6 0x y� � 
 
Resposta: E 
 
 
 
 
 
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1.3.5 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 As funções de segundo grau são aquelas do tipo 2( )f x ax bx c � � . Aqui 
usaremos os conceitos aprendidos para equações de segundo grau. 
Primeiramente, é bom você saber que as funções de segundo grau têm um 
gráfico na forma de parábola. Veja um exemplo: 
 
 Neste exemplo, dizemos que a parábola tem concavidade para cima. Note 
ainda que a curva cruza o eixo x em dois pontos, marcados no gráfico. Estas são as 
raízes da função, ou seja, os pontos onde f(x) = 0. Para calcular estas raízes, basta 
igualar a função a zero e usar a fórmula de Báskara para resolver: 
2 0ax bx c� � 
 
 Além disso, veja que a curva cruza o eixo vertical (f(x)) em um ponto, que é 
dado pelo coeficiente c (que é o único que não multiplica x). 
 Saiba ainda que o coeficiente a nunca pode ser zero, pois se isso ocorrer, 
restará apenas f(x) = bx + c, e não mais teremos uma parábola, e sim uma reta. O 
sinal do coeficiente a determina se a concavidade será para cima ou para baixo. Isto 
é, se a > 0, a concavidade será para cima, como na figura acima. E se a < 0, a 
concavidadeserá para baixo, como você vê na figura a seguir: 
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 Observe que até agora vimos exemplos de funções de segundo grau que 
cruzavam o eixo X em 2 pontos, que chamamos de raízes. Você deve estar 
lembrado que, ao estudar as equações de segundo grau, vimos que é possível que 
as mesmas tenham 2 raízes reais (quando 0' ! ); mas também pode ocorrer de 
não ter nenhuma raíz real (se 0' � ). Neste caso, a parábola não cruzará o eixo X. 
Veja um exemplo: 
 
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 Ainda, você lembra que se 0' a função tem 2 raízes reais idênticas. Ou 
seja, ela apenas toca o eixo X, em um único ponto. Observe esse exemplo abaixo: 
 
 
 Vamos fazer uma breve digressão, voltando ao tema Domínio, Contradomínio 
e Imagem, para fixar esses conceitos. Veja o gráfico acima. Note que todos os 
valores de x são usados (para qualquer número real x, teremos um valor de f(x)). 
Portanto, o domínio da função é o conjunto dos números reais. E veja que o 
contradomínio é o conjunto dos números reais também, pois, a princípio, a função 
f(x) pode assumir qualquer valor real. Entretanto, note que o gráfico da função 
apenas toca o eixo x e volta a subir, de forma que nenhum valor f(x) negativo é 
usado. Portanto, o conjunto Imagem (valores que a função efetivamente assume) é 
formado pelos números reais não negativos, isto é, maiores ou iguais a zero. 
Usando notações matemáticas, dizemos que temos uma função o:f R R , cuja 
imagem é o conjunto  t{ | 0}I x R x �OHLD�� ³[�SHUWHQFHQWH�DRV�5HDLV�� WDO�TXH�[�p�
PDLRU�RX�LJXDO�D�]HUR´�� 
 As parábolas com concavidade para cima possuem um ponto onde f(x) atinge 
o seu valor mínimo. Já as parábolas com concavidade para baixo possuem um 
ponto onde f(x) atinge o seu valor máximo. Veja no desenho abaixo: 
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 Veja que a curva em azul é uma função de segundo grau com a>0, ou seja, 
com concavidade para cima. Neste caso, a função tem um ponto mínimo, 
identificado pelas coordenadas X mínima (Xmín.) e Y mínima (f(x)mín.). Já a curva 
em preto é uma função de segundo grau com a<0, tendo concavidade para baixo. 
Assim, a função tem um ponto máximo representado pelas coordenadas X máxima 
(Xmáx.) e Y máxima (f(x)máx.). 
 Esse ponto de máximo ou mínimo da função de segundo grau é chamado de 
Vértice. É fácil obter as coordenadas dele. Basta saber que: 
2vértice
b
x
a
� 
 
. A fórmula acima permite calcular o valor da coordenada X no vértice. Uma 
vez calculado o valor de da coordenada X, basta substituí-la na função e calcular 
( )vérticef x , que será o valor máximo ou mínimo da função, dependendo do caso. 
Vamos rever os conceitos mencionados acima analisando a função 
2 3 2( ) xf x x � � . Vemos que a = 1, b = -3 e c = 2. Como a > 0, então o gráfico da 
função tem concavidade para cima. Calculando o valor de 2 4b ac' � , vemos que 
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1' , que é positivo, portanto a função tem 2 raízes reais, cruzando o eixo x em 2 
pontos. Calculando essas raízes através da fórmula de Báskara, obtemos: 
1
2
1
2
x
x
 
 
 
 Como a concavidade é para cima, a função terá um ponto mínimo. A 
coordenada X deste ponto será: 
( 3) 3
2 2 1 2vértice
b
x
a
� � � u 
 
 O valor mínimo da função será dado por: 
2
2
3 2
3 3 3( ) 3 2
2 2 2
3 1( ) 2
2 4
( )
9 9
4 2
x
f
f
f x x � �
§ · § · � u �¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹
 � � �
 
 
 
 Portanto, podemos fazer um esboço do gráfico desta função da seguinte 
forma: 
 
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 Comece a exercitar seus conhecimentos sobre funções de segundo grau 
resolvendo esta questão: 
 
8. CEPERJ ± PREF. ITABORAI ± 2011) Sobre os gráficos das funções 
:f ƒoƒ (ƒ é o conjunto dos números reais) definida por ( )f x x e :g ƒoƒ 
definida por 2( ) 3 2g x x x � � , é correto afirmar que se interceptam em: 
a) Um único ponto de abscissa positiva 
b) Um único ponto de abscissa negativa 
c) Dois pontos distintos com abscissas de sinais contrários 
d) Dois pontos distintos com abscissas de mesmo sinal 
e) Mais de dois pontos 
RESOLUÇÃO: 
 As duas funções se interceptam nos pontos onde, para um mesmo valor da 
abscissa x, os valores de f(x) e g(x) são iguais. Efetuando essa igualdade, temos: 
2
2
( ) ( )
3 2
4 2 0
g x f x
x x x
x x
 
� � 
� � 
 
 
 Podemos obter os valores de x utilizando a fórmula de Báskara: 
2
2
2
4
2
( 4) ( 4) 4(1)(2)
2(1)
4 16 8
2
4 8 4 2 2 4 2 2 2 2
2 2 2
b b ac
x
a
x
x
x
� r � 
� � r � � 
r � 
r r u r r
 
 
 Como 2 1,41# , então os valores possíveis para x são 3,41 e 0,59. Logo, as 
funções f(x) e g(x) se interceptam em 2 pontos, nos quais as abscissas são 
aproximadamente x = 0,59 e x = 3,41 (ambas positivas). 
Resposta: D. 
 
 
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1.3.6 FUNÇÃO MODULAR 
 Observe a função abaixo: 
f(x) = | 2x ± 5 | 
 
 O símbolo | | nos indica que esta função retorna o módulo, isto é, o valor 
absoluto da operação 2x ± 5. Assim, caso x seja igual a 5, o resultado será: 
f(5) = | 2.5 ± 5 | = | 10 ± 5 | = | 5 | = 5 
 
 Já se x = 1, temos: 
f(1) = | 2.1 ± 5 | = | 2 ± 5 | = | -3 | = 3 
 
 Portanto, veja que se 2x ± 5 t 0, então f(x) será simplesmente o valor de 
2x ± 5. Já se 2x ± 5 < 0, então f(x) será o oposto de 2x ± 5, ou seja, será ±(2x ± 5). 
 
 Vamos agora descobrir o valor de x que atende a igualdade f(x) = 2. Para 
isto, basta igualarmos: 
2 = | 2x ± 5| 
 
 Observe que há duas formas do módulo de 2x ± 5 ser igual a 2. Basta que 2x 
± 5 seja igual a 2 ou então igual a ±2. Assim, devemos considerar cada um desses 
casos: 
2x ± 5 = 2 Æ x = 7/2 
2x ± 5 = -2 Æ x = -3/2 
 
 Assim, veja que apesar de esta ser aparentemente uma função similar às de 
primeiro grau, em realidade existem 2 valores de x que atendem a igualdade. 
 
 Vamos agora esboçar o gráfico da função f(x) acima. Primeiramente, 
devemos obter a raiz da função, ou seja, o valor x que torna f(x) = 0. Para isso, 
basta igualarmos: 
| 2x ± 5 | = 0 
2x ± 5 = 0 
x = 5 / 2 
 
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 Portanto, esta função cruza o eixo horizontal em x = 5/2 = 2,5. Se tivéssemos 
a reta f(x) = 2x ± 5, sabemos que o seu gráfico seria assim: 
 
Veja que esta função cruza o eixo vertical em y = -5, pois: 
f(0) = 2.0 ± 5 
f(0) = -5 
 
Agora, para obtermos o gráfico de f(x) = | 2x ± ��_��EDVWD�³UHEDWHUPRV´�D�SDUWH�negativa do gráfico acima, afinal a função modular nunca apresenta valores 
negativos: 
 
 
 Repare ainda que a função modular tem domínio no conjunto dos números 
reais (x pode assumir qualquer valor em R) e contradomínio no conjunto dos 
números reais não negativos (pois f(x) só pode assumir valores em R+). 
Matematicamente, temos f: R Æ R+. 
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 Veja outro exemplo de função modular, agora com a variável x elevada à 
segunda potência: 
f(x) = | x2 + 5x + 6| 
 
 Para sabermos as raízes desta equação, basta igualarmos a parte dentro do 
módulo a zero: 
0 = x2 + 5x + 6 
 
 Resolvendo essa equação de segundo grau, você encontrará as raízes x = 2 
e x = 3. Se desenhássemos o gráfico da função de segundo grau f(x) = x2 + 5x + 6, 
teríamos uma parábola com concavidade para cima, cruzando o eixo horizontal em 
x = 2 e em x = 3. O eixo y seria cruzado em y = 6, pois f(0) = 6. Ou seja: 
 
 
 Para obtermos o gráfico da função modular f(x) = | x2 + 5x + 6 |, basta 
³UHEDWHUPRV´�D�SDUWH�QHJDWLYD��REWHQGR� 
 
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 Antes de prosseguirmos, veja a questão abaixo, que explora os conceitos 
básicos das funções modulares: 
 
9. COPS/UEL ± CELEPAR ± 2010) Os números x = 7 e y = y0 > 0 verificam a 
equação: 
12 5 3 4
13 5
x y x y� � 
Nessas condições: 
a) y0 = 4 
b) y0 = 9 
c) y0 = -16/7 
d) y0 = 2 
e) y0 = 1 
RESOLUÇÃO: 
 Se x = 7 e y = y0, temos a expressão: 
0 012.7 5 3.7 4
13 5
y y� � 
0 084 5 21 4
13 5
y y� � 
 
 Para que o módulo da expressão 084 5
13
y�
 seja igual ao módulo da expressão 
021 4
5
y�
, temos apenas duas opções: 
0 084 5 21 4
13 5
y y� � 
 
ou 
0 084 5 21 4
13 5
y y� �§ · �¨ ¸© ¹ 
 
 Resolvendo a primeira opção, temos: 
0 05.84 5.5 13.21 13.4y y� � 
0 0420 25 273 52y y� � 
0
147
27
y � 
 
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 Como o enunciado disse que y0 > 0, devemos descartar esta opção, que 
resulta em um valor negativo. Resolvendo a segunda opção, temos: 
0 084 5 21 4
13 5
y y� �§ · �¨ ¸© ¹ 
0 05.84 5.5 13.21 13.4y y� � � 
0 0420 25 273 52y y� � � 
0 9y 
Resposta: B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) O valor de um caminhão do tipo A novo 
é de R$ 90.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$50.000,00. Supondo que o preço 
caia com o tempo, segundo uma função linear, o valor de um caminhão do tipo A, 
com 2 anos de uso, em reais, é de 
 a) 40.000,00 
 b) 50.000,00 
 c) 60.000,00 
 d) 70.000,00 
 e) 80.000,00 
RESOLUÇÃO: 
 6HMD�³W´�R�WHPSR�GH�XVR�GH�XP�FDPLQKmR�H�I�W��R�SUHoR�GHVWH�FDPLQKmR��HP�
função do tempo de uso. Foi dito que esta é uma função linear, ou seja, uma função 
GH�SULPHLUR�JUDX��GR�WLSR��I�[�� �D[���E��2X�PHOKRU��XVDQGR�D�YDULiYHO�³W´� 
f(t) = a.t + b 
 
 Sabemos que um caminhão novo (t = 0) tem preço f(0) = 90000. Ou seja, 
f(0) = a.0 + b 
90000 = b 
 
 Sabemos também que um caminhão com 4 anos de uso (t = 4) tem preço f(4) 
= 50000. Isto é: 
f(4) = a.4 + b 
50000 = 4a + 90000 
-40000 = 4a 
a = -10000 
 
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 Portanto, temos a função linear que nos dá a relação entre o tempo de uso e 
o preço do caminhão: 
f(t) = -10000t + 90000 
 
 Para t = 2 anos de uso, temos: 
f(2) = -10000 x 2 + 90000 = 70000 reais 
Resposta: D 
 
11. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) A função geradora do gráfico abaixo é 
do tipo y = mx + n 
 
Então, o valor de m3 + n é 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 5 
 d) 8 
 e) 13 
RESOLUÇÃO: 
 Observe no gráfico que, para x = 3, temos y = 1. E para x = -2, temos y = -9. 
Como a reta é do tipo y = mx + n, temos que: 
1 = m.3 + n 
-9 = m.(-2) + n 
 
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1 = 3m + n 
-9 = -2m + n 
 
 Isolando n na primeira equação, temos: 
n = 1 ± 3m 
 
 Substituindo na segunda equação, temos: 
-9 = -2m + (1 ± 3m) 
-9 = -2m + 1 ± 3m 
-10 = -5m 
m = 2 
 
 Logo, n = 1 ± 3m = 1 ± 3.2 = -5. 
 
 Assim, m3 + n = 23 + (-5) = 3. 
Resposta: B 
 
12. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) Uma loja de eletrodomésticos possui 
1.600 unidades de liquidificadores em estoque. Uma recente pesquisa de mercado 
apontou que seriam vendidas 800 unidades a um preço de R$300,00, e que cada 
diminuição de R$ 5,00, no valor do produto, resultaria em 20 novas vendas. Qual 
valor de venda, em reais, permite que a receita seja máxima? 
 a) 230,00 
 b) 240,00 
 c) 250,00 
 d) 270,00 
 e) 280,00 
RESOLUÇÃO: 
 Imagine a função f(p) = a.p + b, onde p é o preço de venda de cada 
liquidificador e f(p) é o número de unidades que poderiam ser vendidas naquele 
preço. 
 Foi dito que para o preço p = 300 reais temos f(300) = 800 unidades 
vendidas. Uma queda de 5 reais no valor do produto (p = 295 reais) levaria a 20 
vendas adicionais, ou seja, f(295) = 820 unidades. Assim, temos: 
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f(300) = a.300 + b 
f(295) = a.295 + b 
 
800 = a.300 + b 
820 = a.295 + b 
 
b = 800 ± 300a 
820 = 295a + (800 ± 300a) 
20 = -5a 
a = -4 
 
b = 800 ± 300.(-4) 
b = 2000 
 
 Assim, temos f(p) = -4p + 2000. 
 
 A receita é dada pela multiplicação do número de unidades vendidas, isto é, 
f(p), pelo preço unitário p: 
Receita(p) = f(p) x p 
Receita(p) = (-4p + 2000) x p 
Receita(p) = -4p2 + 2000p 
 
 Note que a equação acima é uma função de segundo grau do tipo y = ax2 + 
bx + c, onde a = -4, b = 2000 e c = 0. Trata-se de uma parábola com concavidade 
para baixo, pois a < 0. Para descobrirmos a receita máxima, basta encontrarmos o 
vértice desta parábola. 
 O valor de x do vértice é xvértice = -b / 2a, ou seja: 
pvértice = -2000 / (2 x -4) = 250 reais 
 
 Portanto, o preço p = 250 reais é aquele que leva ao máximo da função 
Receita(p), ou seja, gera a receita máxima. Se você quisesse ainda descobrir o 
valor desta receita máxima, bastaria calcular o valor de Receita(250). 
Resposta: C 
 
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13. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) Um funcionário público tem uma 
poupança de R$200,00 e pretende utilizá-la para pagar a 1ª prestação de um 
empréstimo, a ser pago em 24 parcelas iguais de R$ 1.000,00. Sabendo-seque o 
valor da prestação não pode superar um terço do salário do funcionário, qual o 
menor valor, em reais, que ficará disponível, após o pagamento da 1ª prestação, 
para os demais gastos? 
 a) 2.000,00 
 b) 2.200,00 
 c) 3.000,00 
 d) 800,00 
 e) 1.200,00 
RESOLUÇÃO: 
 Se a parcela (R$1000) deve ser menor ou igual a 1/3 do salário, então: 
11000
3
Sd
 
3000 Sd 
 
 Portanto, o salário deve ser maior ou igual a 3000 reais. O menor valor 
possível para este salário é 3000 reais. Após pagar 1000, sobram 2000 reais, e 
mais os 200 reais que o funcionário tinha na poupança, totalizando: 
3000 ± 1000 + 200 = 2200 reais 
Resposta: B 
 
14. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) Em uma festa comunitária, uma barraca 
de tiro ao alvo dá um prêmio ao cliente de R$ 30,00, cada vez que o mesmo acerta 
a área central do alvo. Caso contrário, o cliente paga R$ 10,00. Um indivíduo deu 50 
tiros e pagou R$ 100,00. Nessas condições, o número de vezes que ele ERROU o 
alvo foi 
 a) 10 
 b) 20 
 c) 25 
 d) 35 
 e) 40 
RESOLUÇÃO: 
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 Seja C o número de vezes que o jogador acertou o alvo, e E o número de 
vezes que ele errou. Sabemos que ao todo foram 50 jogadas, ou seja: 
C + E = 50 
 
 Como em cada acerto o jogador ganha 30 reais, o todo ele ganhou 30 x C 
reais. E, como a cada erro o jogador perde 10 reais, ao todo ele perdeu 10 x E reais. 
Ao todo, ele pagou 100 reais, ou seja, ficou com um saldo de -100 reais: 
30C ± 10E = -100 
 
 Isolando C na primeira equação, temos que C = 50 ± E. Substituindo nesta 
última, temos: 
30 x (50 ± E) ± 10E = -100 
1500 ± 30E ± 10E = -100 
1600 = 40E 
E = 40 
 
 Logo, ele errou 40 vezes. 
Resposta: E 
 
15. CESGRANRIO ± BACEN ± 2010) Gabriel brinca com 24 moedas de R$ 1,00. 
Inicialmente, ele forma com elas três pilhas. Em seguida, dobra a segunda pilha 
colocando nela moedas retiradas da primeira; depois, dobra a terceira com moedas 
retiradas da segunda e, finalmente, dobra o que restou na primeira pilha com 
moedas retiradas da terceira, ficando, assim, as três pilhas com o mesmo número 
de moedas. O número de moedas que havia, no início, na pilha mais alta, era 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 8 
(D) 11 
(E) 12 
RESOLUÇÃO: 
 Imagine que temos A moedas na primeira pilha e B moedas na segunda. 
Assim, a terceira pilha terá o restante, ou seja, 24 ± A ± B. Vamos repetir os passos 
de Gabriel: 
- dobrar a segunda pilha colocando nela moedas retiradas da primeira: 
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 Com isso, a segunda pilha ficou com 2B moedas, e a primeira pilha ficou com 
A ± B moedas. 
 
- dobrar a terceira com moedas retiradas da segunda: 
 Com isso, a terceira pilha ficou com 2 x (24 ± A ± B), isto é, 48 ± 2A ± 2B 
moedas. Já a segunda pilha ficou com: 
2B ± (24 ± A ± B) = 3B + A ± 24 moedas 
 
- dobrar o que restou na primeira pilha com moedas retiradas da terceira 
 Com isso, a primeira pilha ficou com 2 x (A ± B) = 2A ± 2B moedas. Já a 
terceira ficou com: 
48 ± 2A ± 2B ± (A ± B) = 48 ± 3A ± B moedas 
 
 As três pilhas ficaram com o mesmo número de moedas. Ou seja: 
2A ± 2B = 3B + A ± 24 = 48 ± 3A ± B 
 
 Podemos separar duas equações: 
2A ± 2B = 3B + A ± 24 
3B + A ± 24 = 48 ± 3A ± B 
 
 Simplificando as equações, temos: 
A = 5B ± 24 
4B + 4A = 72 
 
 Dividindo a segunda equação por 4 temos: 
A = 5B ± 24 
B + A = 18 
 
 Substituindo A na segunda equação pela expressão 5B ± 24 temos: 
B + (5B ± 24) = 18 
6B = 42 
B = 7 
A = 11 
 Assim, a primeira pilha tinha 11 moedas, a segunda tinha 7 e a terceira tinha 
o restante, ou seja, 24 ± 11 ± 7 = 6 moedas. 
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O número de moedas que havia, no início, na pilha mais alta, era 11. 
Resposta: D 
 
16. CESGRANRIO ± BNDES ± 2011) Numa prova de 45 questões, cada questão 
respondida corretamente vale 8 pontos, e 7 pontos são deduzidos a cada questão 
errada. Uma pessoa faz essa prova e fica com nota zero. Quantas questões essa 
pessoa acertou? 
(A) 0 
(B) 15 
(C) 21 
(D) 24 
(E) 30 
RESOLUÇÃO: 
 Suponha que uma pessoa acertou C questões, tendo errado o restante, ou 
seja, 45 ± C. Como cada acerto vale 8 pontos, ela somou 8C pontos. E como cada 
erro gera a dedução de 7 pontos, essa pessoa perdeu 7 x (45 ± C). A pontuação 
total foi zero, portanto: 
8C = 7 x (45 ± C) 
8C = 315 ± 7C 
15C = 315 
C = 21 
Resposta: C 
 
17. CESGRANRIO ± BNDES ± 2011) Uma banca de jornal vende figurinhas a 12 
centavos cada, se a pessoa comprar até 24 figurinhas. Para comprar de 25 até 48 
figurinhas, o preço unitário passa a 11 centavos, e, para comprar acima de 48 
figurinhas, o preço unitário passa a 10 centavos. Os irmãos Aldo, Baldo e Caldo 
colecionam um álbum cada um deles, e, apesar de ainda faltarem figurinhas para 
completar seu álbum, Caldo não tem dinheiro para comprar mais figurinhas. Aldo e 
Baldo precisam de 24 figurinhas cada um para completar suas coleções e ambos 
têm o dinheiro exato para comprar individualmente as figurinhas que faltam. Caldo 
vai à banca com o dinheiro de seus irmãos e compra figurinhas suficientes para que 
todos completem seus álbuns e ainda traz um troco de 6 centavos. Quantas 
figurinhas faltam para Caldo completar seu álbum? 
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(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 9 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que o dinheiro de Aldo permite comprar exatamente 24 figurinhas. 
Para esta quantidade, o preço unitário é de 12 centavos. Portanto, Aldo tem 24 x 
0,12 = 2,88 reais. O mesmo vale para Baldo. 
 Assim, Caldo foi à banca com um total de 2,88 + 2,88 = 5,76 reais. Como ele 
voltou para casa com 6 centavos, ele gastou 5,70 reais na banca Vejamos quantas 
figurinhas podem ser compradas ao preço unitário de 10 centavos (válido para 
compras acima de 48 unidades): 
5,70 / 0,10 = 57 figurinhas 
 Como 48 figurinhas foram destinadas aos seus irmãos, então Caldo ficou 
com 57 ± 48 = 9 figurinhas, que foram suficientes para completar o seu álbum. 
Resposta: D 
 
18. CESGRANRIO ± BNDES ± 2010) Certa marca de café é comercializada 
exclusivamente em embalagens de 250 g ou de 400 g. Se um consumidor dessa 
marca comprar uma embalagem de cada, gastará, ao todo, R$ 3,30. Se, em vez 
disso, esse consumidor comprar o correspondente a 900 g em embalagens desse 
café, pagará, ao todo, R$ 4,60. A diferença, em reais, entre os preços das 
embalagens de 400 g e de 250 g é 
(A) 0,40 
(B) 0,50 
(C) 0,60 
(D) 0,70 
(E) 0,80 
RESOLUÇÃO: 
 Seja P o preço de uma embalagem pequena e G o preço de uma embalagem 
grande. Ao comprar uma embalagem de cada, o cliente gasta 3,30 reais: 
P + G = 3,3 
G = 3,3 ± P 
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 Para comprar exatamente 900g, é preciso adquirir duas embalagens 
pequenas e uma grande (pois 2 x 250 + 400 = 900). Neste caso o cliente gasta 4,60: 
2P + G = 4,60 
2P + (3,3 ± P) = 4,60 
P+ 3,3 = 4,60 
P = 1,3 reais 
Logo, 
G = 3,3 ± 1,3 = 2 reais 
 Assim, a diferença de preço entre a embalagem grande e a pequena é de 2 ± 
1,3 = 0,7 reais. 
Resposta: D 
 
19. CESGRANRIO ± BNDES ± 2006) Qual o valor de x no sistema 
 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos começar isolando y na primeira equação: 
y = 2x + z ± 4 
 
 Agora podemos fazer essa substituição nas outras duas equações, obtendo: 
x + 3(2x + z ± 4) + z = 14 
3x + 2(2x + z ± 4) ± 4z = 0 
 
 Simplificando-as, temos: 
7x +4z = 26 
7x ± 2z = 8 
 
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 Isolando 7x na primeira equação, temos: 7x = 26 ± 4z. Substituindo na 
segunda, temos: 
(26 ± 4z) ± 2z = 8 
18 ± 6z = 0 
z = 3 
 
 Portanto, 
7x = 26 ± 4.3 
x = 2 
 
y = 2x + z ± 4 
y = 2.2 + 3 ± 4 
y = 3 
Resposta: C 
 
20. CESGRANRIO ± BNDES ± 2004) Para arrecadar R$ 240,00 a fim de comprar 
um presente para um colega que se aposentava, os funcionários de uma empresa 
fizeram um rateio. No dia do pagamento, 5 funcionários resolveram não participar, o 
que aumentou a quota de cada um dos demais em R$ 8,00. Quantos funcionários 
efetivamente participaram do rateio? 
(A) 8 
(B) 9 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 15 
RESOLUÇÃO: 
 Seja N o número de funcionários e P o valor que cada um pagaria 
originalmente. Assim, 
N x P = 240 
P = 240 / N 
 
 Com a desistência de 5 funcionários, ficaram N ± 5, e cada um pagou 8 reais 
a mais, ou seja, P + 8, o que também totalizou 240 reais: 
(N ± 5) x (P + 8) = 240 
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(N ± 5) x (240/N + 8) = 240 
240 + 8N ± 1200/N ± 40 = 240 
8N ± 1200/N = 40 
8N2 ± 1200 = 40N 
8N2 ± 40N ± 1200= 0 
N2 ± 5N ± 150= 0 
 
 Resolvendo essa equação de segundo grau, temos: 
N = 15 ou N = -10 
 
 Como o número de funcionários deve ser um valor positivo, devemos adotar 
a solução N = 15. Com a desistência de 5 funcionários, apenas 10 efetivamente 
participaram do rateio. 
Resposta: C 
 
21. CESGRANRIO ± BNDES ± 2011) Na cantina de uma fábrica, o lanche 
constituído de sanduíche e suco custa R$ 4,00. O sanduíche custa R$ 2,40 a mais 
que o suco. O preço do suco, em reais, é 
(A) 0,80 
(B) 1,00 
(C) 1,20 
(D) 1,40 
(E) 1,60 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que: 
sanduíche + suco = 4,00 
sanduíche = suco + 2,40 
 
 Podemos usar a segunda equação para fazer uma substituição na primeira: 
(suco + 2,40) + suco = 4,00 
2 x suco = 1,60 
suco = 0,80 reais 
Resposta: A 
 
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22. COPS/UEL ± CELEPAR ± 2010) Uma pessoa, participando de um concurso, 
responde metade das questões de Matemática na primeira hora. Na segunda hora, 
resolveu metade do restante e, na terceira hora, respondeu às 9 últimas questões. 
Nessas condições, a prova de Matemática tinha: 
a) 30 questões 
b) 34 questões 
c) 36 questões 
d) 38 questões 
e) 40 questões 
RESOLUÇÃO: 
 Seja Q a quantidade de questões da prova. Assim, Q/2 foram respondidas na 
primeira hora, restando outras Q/2 questões. Destas, metade foram resolvidas na 
segunda hora, isto é, (Q/2)/2 = Q/4. Assim: 
Total de questões = primeira hora + segunda hora + terceira hora 
Q = Q/2 + Q/4 + 9 
4Q = 2Q + Q + 36 
Q = 36 
Resposta: C 
 
23. CEPERJ ± PREF. SÃO GONÇALO ± 2011) 
Seja 0, se x é um número racional( )
2, se x é um número irracional
f x
x
­° ® �°¯ , o valor de 
( 6) ( 16)
(3,2) ( 8)
f f
f f
�
� é: 
a) 3 1� 
b) 2 3 1� 
c) 6 
d) 6 1� 
e) 2 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que 6 e 8 não possuem raiz quadrada exata. Portanto, 6 e 8 
são irracionais. Seguindo a regra dada pelo enunciado ( ( ) 2f x x � , para x 
irracional), temos: 
 
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( 6) 6 2f � 
e 
( 8) 8 2f � 
 Sabemos que 16 é igual a 4, que é um número racional. Da mesma forma, 
3,2 também é racional. Portanto, seguindo a regra do enunciado (f(x) = 0, se x é 
racional), teremos: 
( 16) 0f 
e 
(3,2) 0f 
 
 Logo, a expressão ( 6) ( 16)(3,2) ( 8)
f f
f f
�
� pode ser trabalhada da seguinte forma: 
( 6) ( 16) ( 6 2) 0 6 2
(3,2) ( 8) 0 ( 8 2) 8 2
f f
f f
� � � � � � � � 
 Notando que 6 3 2 3 2 u u , e 8 4 2 2 2 u u , temos: 
6 2 3 2 2 2( 3 1) ( 3 1) 3 1
18 2 2 2 2 2
� u � � � �� � 
Resposta: A. 
 
24. CEPERJ ± SEPLAG/RJ ± 2012) Um controle remoto de TV e mais as duas 
pilhas necessárias para seu funcionamento podem ser comprados em certo site da 
internet por R$30,00. O controle, apenas, custa R$16,00 reais a mais que o preço 
das duas pilhas. O preço de uma pilha é: 
A) R$ 3,50 
B) R$ 4,00 
C) R$ 5,50 
D) R$ 7,00 
E) R$ 8,00 
RESOLUÇÃO: 
 Seja 2P o preço das duas pilhas juntas. O controle remoto custa 16 reais a 
mais que as duas pilhas, ou seja, custa 2P + 16. 
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 Sabemos também que o preço do controle remoto e mais as duas pilhas é 
igual a 30, ou seja: 
Controle + Pilhas = 30 
(2P+ 16) + 2P = 30 
4P = 14 
P = 14 / 4 = 7 / 2 = 3,5 
 Portanto, o preço de uma pilha é igual a R$3,50. 
Resposta: A 
 
25. CEPERJ ± PREFEITURA SÃO GONÇALO ± 2011) Em um determinado 
concurso foram totalizados 1500 candidatos inscritos, entre homens e mulheres. No 
dia da prova faltaram 4
9
das mulheres e estavam presentes 5
6
dos homens. E 
verificou-se que o número de homens e mulheres presentes no dia da prova era o 
mesmo. A porcentagem de mulheres inscritas nesse concurso foi de: 
a) 30% 
b) 40% 
c) 45% 
d) 50% 
e) 60% 
RESOLUÇÃO: 
Vamos usar a letra m para representar o total de mulheres inscritas e h para 
representar o total de homens inscritos no concurso. De início, sabemos que: 
h + m = 1500 
 Faltaram 4
9
GDV� PXOKHUHV�� &RPR� Mi� YLPRV�� D� H[SUHVVmR� ³GDV´� SRGH� VHU�
substituída pelo símbolo de multiplicação, da seguinte forma: 
4
9
das mulheres = 4
9
m
 
 O número de mulheres presentes, portanto, foi: 
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4 5
9 9
m m m� 
 O número de homens presente, conforme o enunciado, foi de 5
6
h . E, se o 
número de homens e mulheres presentes foi igual, temos: 
5 5
9 6
m h 
 Logo, 6 2
9 3
h m m . Substituindo h na expressão h+m=1500 por 2
3
m , 
temos: 
2 1500
3
5 1500
3
31500 900
5
m m
m
m
� 
 
 u 
 
 Assim, as mulheres inscritas eram 900 em um total de 1500 candidatos. 
Percentualmente, elas eram: 
900 9 3 0,6 60%
1500 15 5
 
 
Resposta: E. 
 
26. FGV ± CAERN ± 2010) Em um cofrinho há R$6,00 em moedas de 10 centavos 
e de 25 centavos. A quantidade de moedas de 10 centavos é um múltiplo de 7. 
Quantas moedas de 10 centavos háa mais do que moedas de 25 centavos? 
a) 32 
b) 25 
c) 18 
d) 11 
e) 4 
RESOLUÇÃO: 
 Como o número de moedas de 10 centavos é múltiplo de 7, vamos dizer que 
WHPRV�³�1´�PRHGDV�GH����FHQWDYRs, e M moedas de 25 centavos. 
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 Ao todo, sabemos que temos 6 reais, isto é: 
 
6 = 7N x 0,10 + M x 0,25 
6 = 0,7N + 0,25M 
 
 Não temos mais informações, mas sabemos que N e M devem ser números 
naturais (afinal não há número negativo de moedas, ou fracionário). Para simplificar 
as contas, podemos multiplicar ambos os lados da equação acima por 4 (pois 0,25 x 
4 = 1). Veja: 
4 6 4 0,7 4 0,25
24 2,8
24 2,8
N M
N M
M N
u u � u
 �
 �
 
 
 Podemos, agora, ir testando valores para N (1, 2, 3, 4, 5 etc.) até obter um 
número natural para M. Se N = 1, temos: 
 
M = 24 ± 2,8 x 1 = 21,2 
 
 Veja que N não pode ser 1, pois com isso M seria um número fracionário. 
Testando outros valores de N, veja o que acontece quando N = 5: 
 
M = 24 ± 2,8 x 5 = 24 ± 14 = 10 
 
 Portanto, N = 5 e M = 10. Isto é, temos 10 moedas de 25 centavos e 7N, isto 
é, 35 moedas de 10 centavos. Veja que isso totaliza 6 reais: 
 
10 x 0,25 + 35 x 0,10 = 2,5 + 3,5 = 6 
 
 Assim, a diferença entre o número de moedas de 10 e de 25 centavos é de 
35 ± 10 = 25 (letra B). 
Resposta: B 
 
 
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27. FGV ± MEC ± 2008) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos 
os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos 
restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens 
passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total 
de pessoas na sala, as crianças correspondem a: 
(A) 12,5% 
(B) 17,5% 
(C) 20% 
(D) 22,5% 
(E) 25% 
RESOLUÇÃO: 
 Chamemos de H, M e C o número de homens, mulheres e crianças, 
respectivamente. Se saírem todos os homens da sala, sobram M + C pessoas. 
Desta quantidade, M representa 80%. Isto é: 
 
M = 80% x (M + C) 
M = 0,8M + 0,8C 
0,2M = 0,8C 
M = 4C 
 
 Se saírem todas as mulheres da sala, sobram H + C pessoas. Desta 
quantidade, H representa 75%, ou seja: 
 
H = 75% x (H + C) 
0,25H = 0,75C 
H = 3C 
 
 Portanto, o total de pessoas na sala é de: 
 
H + M + C = 3C + 4C + C = 8C 
 
 Veja que 8C corresponde ao total, isto é, 100% das pessoas na sala. Assim, 
podemos montar a proporção abaixo para descobrir o percentual X que as crianças 
(C) representam: 
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 8C ------------------100% 
C --------------------X 
 
 Efetuando a multiplicação cruzada (nas diagonais), temos: 
 
8C x X = C x 100% 
8X = 1 
X = 1/8 = 0,125 = 12,5% 
 
 Assim, as crianças representam 12,5% do total de pessoas que estavam 
inicialmente na sala. 
Resposta: A 
 
28. FGV ± SEFAZ/RJ ± 2011) A soma de dois números é 120, e a razão entre o 
menor e o maior é 1/2. O menor número é 
(A) 20 . 
(B) 25 . 
(C) 30 . 
(D) 35 . 
(E) 40 . 
RESOLUÇÃO: 
 Sejam A e B os dois números do enunciado. A soma deles é 120: 
A + B = 120 
 
 E a razão entre eles é de 1/2. Considerando que A é o menor deles, então: 
 
1
2
A
B
 , portanto B = 2A 
 
 Substituindo B por 2A na primeira equação, temos: 
 
A + 2A = 120 
3A = 120 
A = 40 
Resposta: E 
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29. CEPERJ ± PREF. SÃO GONÇALO ± 2011) Os irmãos Pedro e Paulo estudam 
no 8º ano do Ensino Fundamental e entraram em uma papelaria para comprar lápis 
e canetas de que precisavam para o semestre. As canetas que compraram foram 
todas do mesmo preço. Os lápis que compraram foram também todos do mesmo 
preço. Pedro comprou 2 canetas e 5 lápis e pagou R$16,50. Paulo comprou 3 
canetas e 2 lápis e pagou também R$16,50. Assim, quem comprar 1 caneta e um 
lápis, iguais aos comprados pelos irmãos, pagará: 
a) R$6,00 
b) R$6,20 
c) R$6,50 
d) R$6,75 
e) R$6,90 
RESOLUÇÃO: 
 Temos duas variáveis nessa questão: o preço do lápis, que chamaremos de 
L, e o preço da caneta, que chamaremos de C. Para descobri-las, precisamos de 2 
equações, que foram fornecidas pelo enunciado. Veja: 
- Pedro comprou 2 canetas e 5 lápis e pagou R$16,50. 
 Matematicamente, podemos escrever a frase acima como: 
2 5 16,50C Lu � u 
 
- Paulo comprou 3 canetas e 2 lápis e pagou também R$16,50. 
 Ou seja, 
3 2 16,50C Lu � u 
 
 Temos, portanto, 2 equações e duas variáveis, montando o sistema linear 
abaixo: 
2 5 16,50
3 2 16,50
C L
C L
u � u ­® u � u ¯
 
 
 Para resolvê-lo usaremos o método da substituição, que consiste em isolar 
uma variável em uma equação e substituí-la na outra. Vamos isolar L na primeira 
equação: 
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2 5 16,50
5 16,50 2
16,50 2
5
C L
L C
CL
u � u 
u � u
� u 
 
 
 Substituindo a expressão encontrada acima na segunda equação, temos: 
� �
3 2 16,50
16,50 23 2 16,50
5
15 2 16,50 2 82,5
15 33 4 82,5
11 49,5
4,5
C L
CC
C C
C C
C
C
u � u 
� u§ ·u � u ¨ ¸© ¹
� u � 
� � 
 
 
 
 
 Como o preço da caneta é C = 4,5, podemos substituir esse valor em 
qualquer das equações para obter o valor de L: 
16,50 2
5
16,50 2 4,5
5
7,50 1,50
5
CL
L
L
� u 
� u 
 
 
 
 Portanto, quem comprar 1 caneta e 1 lápis pagará 4,50 + 1,50 = 6,00. 
Resposta: A. 
 
30. CEPERJ ± SEEDUC ± 2009) No sistema 0,3 1,2 2,4
0,5 0,8 0,9
x y
x y
� ­® � �¯
 o valor de x é: 
a) 1 
b) -1 
c) 0 
d) 2 
e) 2/3 
RESOLUÇÃO: 
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 Para facilitar as contas, podemos multiplicar os dois lados das duas 
equações por 10. Veja: 
3 12 24
5 8 9
x y
x y
� ­® � �¯
 
 
 Vamos isolar a variável y na primeira equação: 
24 3 8
12 4
x xy � � 
 
 
 Substituindo na segunda equação, podemos obter x: 
5 8 9
85 8 ( ) 9
4
5 2 (8 ) 9
5 16 2 9
7 7
1
x y
x
x
x x
x x
x
x
� �
�� u �
� u � �
� � �
 
 
 
 
Resposta: A. 
 
31. CEPERJ ± SEEDUC ± 2009) A equação 2 0x bx c� � possui raízes 3 e 5. 
Então, b+c é igual a: 
a) 7 
b) 10 
c) 15 
d) 19 
e) 23 
RESOLUÇÃO: 
 Veja na equação do enunciado que a = 1. Sendo r1 e r2 as duas raízes de 
uma equação de segundo grau, essa equação pode ser escrita da seguinte forma: 
( 1)( 2) 0a x r x ru � � 
 
 
 Portanto, a equação do enunciado pode ser escrita como: 
1 ( 3)( 5) 0x xu � � 
 
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