lista de exercicios GAAL

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Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG/ICA
Segunda lista de GAAL
Professor: Luiz Carlos Gabriel Filho
1. O paralelogramo ABCD determinado pelos vetores
−→
AB e
−−→
AD, sendo M e N
pontos me´dios dos lados DC e AB. De acordo com a figura abaixo, responda os
seguintes itens:
q
q
A
C
M
N
D
B
(a)
−−→
AD +
−→
AB =
(b)
−→
BA +
−−→
DA =
(c)
−→
AC −
−−→
BC =
(d)
−−→
AN +
−−→
BC =
(e)
−−→
MN +
−−→
MB =
(f)
−−→
BM −
1
2
−→
AB =
2. Prove que se ~u+ ~x = ~u+ ~y, enta˜o ~x = ~y.
3. De acordo com a figura abaixo, desenhe as somas e subtrac¸o˜es para cada caso
v
u
a) ~u+ ~v;
b) ~u− ~v;
c) −~v − 2~v;
d) 2~u− 3~v.
4. Prove que se α 6= 0, enta˜o α~x = α~u⇒ ~x = ~u.
5. Prove que, se α 6= 0, enta˜o α~x = ~w ⇒ ~x =
1
α
~w.
6. (Regras de sinais) Prove que para qualquer α ∈ R, e qualquer vetor ~v, e´ va´lida
as seguintes relac¸o˜es:
a) (−α)~v = −(α~v);
b) α(−~v) = −(α~v);
c) (−α)(−~v) = α~v;
7. Determinar o vetor −→w na igualdade 3−→w + 2−→u =
1
2
−→v +−→w , sendo −→u = (3,−1) e
−→v = (−2, 4).
8. Obtenha os nmeros α e β tais que −→w = α−→u +β−→v , sendo −→u = (1, 2), −→v = (4,−2)
e −→w = (−1, 8).
9. Seja −→v 6=
−→
0 . Mostre que
−→v
‖ −→v ‖
e´ um vetor unita´rio.
10. Prove que se α−→u = α−→v e se α 6= 0, mostre que −→u = −→v .
11. Mostre que (−1)−→v = −−→v .
12. Prove que, se ~v 6= ~0, enta˜o α~v = β~v, enta˜o α = β.
13. Suponha que ~u = λ~v. Prove que:
a) Se ~v 6= ~0, enta˜o | λ |=
‖~u‖
‖~v‖
;
b) Se ~u e ~v possuem mesmo sentido, enta˜o ~u =
‖~u‖
‖~v‖
~v. Se ~u e ~v possuem sentidos
contra´rios, enta˜o, ~u = −
‖~u‖
‖~v‖
~v.
14. Dados quatro pontos A, B, C e X , tais que
−−→
AX = m
−−→
XB. Exprima
−−→
CX em
func¸a˜o de
−→
CA,
−−→
CB e m.
q q q
A B
C
X
15. Dado um triaˆngulo ABC e pontos X , Y e Z, tais que
−−→
AX = m
−−→
XB,
−−→
BY = n
−−→
Y C
e
−→
CZ = p
−→
ZA. Exprima
−−→
CX,
−→
AY e
−→
BZ em func¸a˜o de
−→
CA,
−−→
CB, m, n e p.
16. Demonstre que o segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o-paralelos de
um trape´zio e´ paralelo a`s bases, e sua medida e´ a semi-soma das medidas das
bases.
A
M
D C
N
B
17. Num triaˆngulo ABC, sejam M , N e P os pontos me´dios dos lados AB, BC e
AC, respectivamente. Demonstre que
−−→
AN +
−−→
BP +
−−→
CM =
−→
0 .
18. Sendo ABCDEF um hexa´gono regular de contro O, prove que
−→
AB +
−→
AC +
−−→
AD +
−→
AE +
−→
AF = 6
−→
AO.
19. Seja OABC um tetraedro e X um ponto da reta BC tal que
−−→
BX = m
−−→
BC.
Escreva
−−→
OX e
−−→
AX em func¸a˜o de
−→
OA,
−−→
OB e
−→
OC.
Bons estudos!